Die Grundlage dieser Arbeit ist die q-deformierte Heisenberg-Algebra.Zuerst definieren wir diese Algebra, betrachten ihre Darstellungen und geben anschließend eine Einbettung der q-Heisenberg-Operatoren in die undeformierte Heisenberg-Algebra an.Die q-Heisenberg-Operatoren besitzen ein diskretes Spektrum.Diese sogenannten q-Gitter spielen eine wesentliche Rolle in dieser Arbeit.Mit Hilfe eines algebraischen Kalküls betreiben wir q-deformierte Quantenmechanik und nichtabelsche Eichtheorie auf einer Unteralgebra der q-Heisenberg-Algebra, die von den Elementen x und x -1 erzeugt wird.Wir betten ein freies q-Teilchen in den Ortsraum der undeformierten Quantenmechanik ein, untersuchen seine Eigenschaften und stellen es in Diagrammen graphisch dar.Ein solches Teilchen nimmt nur auf einem q-Gitter von Null verschiedene Werte an.Wir verwenden das q-Teilchen als stationäres Streupotenzial für die Streuung einer ebenen Welle, und untersuchen den Reflexionskoeffizient nach Spuren der diskreten Struktur.Zum Schluss verwenden wir noch den Grundzustand des q-Oszillators als stationäres Streupotenzial und vergleichen den Reflexionskoeffizient der gestreuten Welle mit den entsprechenden Resultaten der undeformierten Quantenmechanik.
Die Grundlage dieser Arbeit ist die q-deformierte Heisenberg-Algebra.Zuerst definieren wir diese Algebra, betrachten ihre Darstellungen und geben anschließend eine Einbettung der q-Heisenberg-Operatoren in die undeformierte Heisenberg-Algebra an.Die q-Heisenberg-Operatoren besitzen ein diskretes Spektrum.Diese sogenannten q-Gitter spielen eine wesentliche Rolle in dieser Arbeit.Mit Hilfe eines algebraischen Kalküls betreiben wir q-deformierte Quantenmechanik und nichtabelsche Eichtheorie auf einer Unteralgebra der q-Heisenberg-Algebra, die von den Elementen x und x -1 erzeugt wird.Wir betten ein freies q-Teilchen in den Ortsraum der undeformierten Quantenmechanik ein, untersuchen seine Eigenschaften und stellen es in Diagrammen graphisch dar.Ein solches Teilchen nimmt nur auf einem q-Gitter von Null verschiedene Werte an.Wir verwenden das q-Teilchen als stationäres Streupotenzial für die Streuung einer ebenen Welle, und untersuchen den Reflexionskoeffizient nach Spuren der diskreten Struktur.Zum Schluss verwenden wir noch den Grundzustand des q-Oszillators als stationäres Streupotenzial und vergleichen den Reflexionskoeffizient der gestreuten Welle mit den entsprechenden Resultaten der undeformierten Quantenmechanik.
Die Arbeit bietet eine systematische Einführung in die Grundlagen der Quantenmechanik und entwickelt diese ausgehend von Heisenbergs Ansatz, „nur messbare Größen zuzulassen“ . Im Zentrum steht die Abkehr von klassischen Atommodellen und die Etablierung der Operatorenmechanik, in der Observablen durch hermitesche Operatoren auf einem komplexen Hilbertraum dargestellt werden. Zustände werden als Vektoren formuliert, deren Transformationen und Messprozesse durch lineare Operatoren beschrieben sind. Ein Schwerpunkt liegt auf der physikalischen und mathematischen Analyse des Spins. Ausgehend vom Stern‑Gerlach‑Experiment wird gezeigt, dass Spinkomponenten nicht kontinuierlich, sondern ausschließlich diskrete Werte annehmen: „Dem war aber nicht so. Sondern es gab nur Punkte rund um o und um u.“ . Die Arbeit erläutert die quantisierte Natur des Spins, die Rolle des Landé‑Faktors, die Interpretation von Messprozessen sowie die Wahrscheinlichkeitsverteilungen bei Drehung des Messapparats. Darauf aufbauend wird die mathematische Struktur der Quantenmechanik entwickelt: Hilberträume, Orthonormalbasen, Bra‑Ket‑Notation, Wahrscheinlichkeitsamplituden und die Darstellung von Operatoren als Matrizen. Die Pauli‑Matrizen werden eingeführt und ihre Rolle als Spinoperatoren detailliert hergeleitet. Die Bedeutung von Eigenwerten und Eigenvektoren für stabile Zustände wird anhand des Spinoperators Sz demonstriert. Abschließend verbindet der Text experimentelle Evidenz, mathematische Formalisierung und konzeptionelle Interpretation zu einer kohärenten Darstellung der Quantenmechanik, die sowohl für die physikalische Intuition als auch für die theoretische Weiterarbeit geeignet ist.
Charakteristische quantenmechanische Phänomene wie die Verschränkung werden oft als starker Bruch mit der klassischen Physik angesehen. Viele dieser scheinbaren Besonderheiten kommen jedoch nicht durch die zugrunde liegende physikalische Theorie zustande, sondern durch die Art, wie sie mathematisch beschrieben werden. In dieser Arbeit benutzen wir den Wigner–Weyl Formalismus, um sowohl die klassische Physik in der Sprache der Quantenphysik auszudrücken, als auch der Quantenmechanik eine klassische Beschreibung zuzuschreiben. Das erlaubt es uns, Artefakte, die rein aus der gewählten Beschreibung entspringen, von den zugrundeliegenden robusten Unterschieden zu trennen. Nach einer Darstellung der Dualität zwischen Phasenraum– und Hilbertraum–Beschreibung sowie einer Einführung in gaußsche kontinuierliche Variablen Systeme untersuchen wir, wie klassische Korrelationen im Phasenraum bei der Abbildung auf Operatoren scheinbare „Verschränkung“ erzeugen können. Daraus ergibt sich dann eine Hierarchie operativer Grenzen: Die Positivität des zugeordneten Operators trennt physikalisch zulässige Quantenzustände von nicht physikalischen, rein repräsentationsbedingten Artefakten. Innerhalb dieser positiven Zustände markiert die Negativität der Wigner–Funktion eine zweite Grenze zwischen klassisch reproduzierbaren und genuin nichtklassischen Zuständen. In diesem Kontext definieren wir repräsentative Verschränkung (Nichtseparierbarkeit trotz fehlender Positivität), hybride Verschränkung (echte Quantenkorrelationen, die jedoch klassisch imitiert werden können) und genuine Verschränkung jenseits dieses Bereichs. Ein zentrales Ergebnis ist, dass kovarianzbasierte (Verschränkungs–) Zeugen außerhalb des gaußschen Regimes ohne zusätzliche Positivitätsprüfungen irreführend sein können. Abschließend werden wir dieses System auf zeitliche Entwicklung in Protokollen zur „gravitationsvermittelten Verschränkung“ anwenden und dabei klassische und quantenmechanische Dynamik vergleichen. Dabei wird sichtbar gemacht, ab welcher Ordnung der Potenzialentwicklung relevante Unterschiede auftreten, und wie das Auftreten von Negativität in der klassischen Hilbertraum–Evolution als dynamischer Ursprung repräsentativer Verschränkung interpretiert werden kann.
Unter dem Einfluß einer Störung geht ein quantenmechanisches System bei kontinuierlichem Spektrum bekanntlich mit der Übergangswahrscheinlichkeit (1) (§ 17) von einem Zustand n in einen anderen Zustand k über. ϱ (Εn) ist die Dichte der Energiezustände des kontinuierlichen Spektrums. In der Phosphortheorie ist es notwendig, Übergangswahrscheinlichkeiten für Übergänge zwischen diskreten Zuständen wechselwirkender quantenmechanischer Systeme abzuleiten (§ 17). Da hier kein kontinuierliches Spektrum vorhanden ist, wird die Dichte ρ (En) als statistische Streuung der Energien gedeutet, d. h. als Linienbreitenfunktion (§ 22). Um die analoge Formel zum Kontinuumsfall mit veränderter Deutung der Dichtefunktion zu beweisen, muß auf die Grundlagen der statistischen Auffassung physikalischer Ereignisse zurückgegangen werden (§ 18). Es zeigt sich, daß im eindimensionalen Fall des freien Teilchens neben der Bornschen Interpretation auch eine Energie—Zeit-Statistik möglich ist, bei welcher der Ort x des Teilchens als Parameter auftritt (§ 19). Diese statistische Interpretation ist symmetrisch zur Orts-Impulsstatistik mit der Zeit t als Parameter. Auf den HILBERT-Raum der Zustandsfunktionen komplizierterer quantenmechanischer Systeme ist diese symmetrische Interpretation übertragbar (§ 20). Damit lassen sich die Übergangswahrscheinlichkeiten mit Hilfe statistischer Überlegungen (§ 21) über den Wechselwirkungsprozeß (§ 23) streng aus der SCHRÖDINGER-Gleichung mit dem Wechselwirkungsoperator herleiten. Die Linienbreiten sind in dieser Darstellung an die Störung rückgekoppelt (§ 24) und erlauben in einfachen Fällen eine direkte Berechnung der Übergangswahrscheinlichkeit.
Nach dem Energieerhaltungssatz kann Energie nicht erzeugt, sondern nur von einer Form in eine andere umgewandelt werden. In einem energetisch abgeschlossenen System muß dem-gemäß die Gesamtenergie konstant bleiben. Die vorliegende Arbeit geht grundsätzlich der Frage nach, inwieweit dieses physikalische Gesetz überhaupt noch Platz für eine mentale Energie läßt, zumal eine solche Wirkkraft unausweichlich eine Überdetermination zu begrün-den scheint. Ich stelle u.a. jene Überlegungen der Quantenphysik vor, welche mir geeignet erscheinen, die Kluft zwischen Geist und Materie überbrücken zu können. Zum einen des-halb, weil sie die althergebrachte Vorstellung von Materie in Frage stellen, zum anderen, weil sie die Einwirkung des Bewußtseins und das Verhältnis von Objektivität und Subjektivität beleuchten. Es scheint, als besäße das Elektron keine vom Bewußtsein unabhängigen Eigenschaften und als wäre in der Quantentheorie das Objekt vom Subjekt prinzipiell nicht zu trennen. Die Quantenmechanik kennt nichtlokale Verbindungen, die weder mit Energie, noch mit Mechanik, noch mit herkömmlicher kausaler Verknüpfung zu tun haben. Die Nichtlokali-tät stellt somit eine Korrelation, nicht einen kausalen Zusammenhang, wie etwa eine Wechsel-wirkung dar, da keinerlei Signalübertragung stattfindet. Die kausale Geschlossenheit der Welt kann nur soweit Gültigkeit beanspruchen, als physikalische klassische Systeme als umfassende Darstellungen der Welt angesehen werden können. Die Vorstellung, dass subatomare Teilchen einen bestimmten Weg in Raum und Zeit verfolgen und miteinander interferieren, ist eine rein mentale Konstruktion, die unserem Vor-stellungsvermögen entgegenkommt, aber keinerlei zusätzliche Erklärungskraft besitzt. In der gegenwärtigen Diskussion über mentale Verursachung wird oftmals von einem Dualismus ausgegangen, der meines Erachtens von einem überholten Materiebegriff ausgeht. Bei der „Mental-Energie“ ist das Mentale letztlich nicht geheimnisvoller, als die Energie, und die kausale Verbindung des Geistes mit sogenannter „Materie“ nicht rätselhafter und unmöglich-er, als zwei korrelierte Teilchen, die unabhängig von Zeit, Raum verschränkt sind. Ich versuche zu argumentieren, dass es ein “irreduzibles Selbst“ gibt und dass sein „Innewerden“ möglich ist, ansonsten wir gar nicht wissen und spüren könnten, dass wir beispielsweise zentriert sind, wenn wir in unserer Mitte sind. Die Mitte existiert nur „mitten-drin“, als Mitte von Etwas. Ich behaupte, dass es möglich ist, dieses Etwas durch das „Prinzip der transzendenten Resonanz“, als das nicht hintergehbare Selbst, verstärkt wahrzunehmen. Es ist ein Gewahrwerden seiner selbst durch „Spiegelung“ oder „Nachhall“ des Unverstellten und Wesentlichen in besonderen Lebensmomenten. Das Eigentliche um uns bringt durch Resonanz das Eigentliche in uns zum Anklingen: Das „eigentliche Selbst“. Wir erleben uns selbst nicht nur als Erlebende und Erkennende dieser transzendenten Momente, sondern gleichzeitig auch als feststellende, auffindende, wesensgleiche und somit auf gleicher Wellenlänge seiende Kategorisierer und Bewerter dieser besonderen essentiellen Qualität, die um diese Wertkategorie auch wissen. Auf diese Weise bekommen wir neben diesem erkennenden auch ein ergänzendes Wissen von uns selbst, weil ein Teil unseres „ontischen Ergänzungsbedarfs“ den wir als „ex-zentrische“ Wesen haben, gedeckt wurde. In diesem transzendenten Sich-Selbst-Erleben stillen wir unsere Sehnsucht nach Ganzheit. Die Sehn-sucht nach dieser Komplettierung ist die Quelle aller mentalen Energie.
In der vorliegenden Arbeit „Schrödinger's Equation as Newtons's Law of Motion“ werden neuere Ergebnisse aus dem Gebiet der Transporttheorie vorgestellt und gezeigt wie die wohl bekannteste Gleichung der Quantenmechanik, die Schrödingergleichung als Newtonsche Gleichung geschrieben werden kann. Also als eine klassische Bewegungsgleichung. Zu Beginn werden die für die Arbeit wichtigsten Ergebnisse der Transporttheorie behandelt. Die Existenz einer optimalen Transportstrategie im Sinne von Kantorovich steht ganz zu Beginn. Es folgen die Definition einer Metrik auf dem Raum der Wahrscheinlichkeitsmaße und wichtige Eigenschaften dieser Metrik (z.B.: Metrisierung der schwachen Topologie). Danach wird aus der Existenz einer Lösung des Transportproblems im Sinne von Kantorovich die Existenz einer optimalen Transportabbildung hergeleitet. Eine solche Transportabbildung wird auch Lösung des Mongeproblems genannt. Die Herleitung dieser optimalen Abbildung erfolgt nur für den speziellen Fall der für die Arbeit wichtigen Kostenfunktion (die Distanzfunktion des Grundraums zum Quadrat). Mit Hilfe dieser Abbildung werden dann die wichtigsten Resultate für die angestrebte Geometrisierung des Raumes der Wahrscheinlichkeitsmaße gezeigt. Zuerst wird mittels der Transportabbildung eine ganze Familie von Transportabbildungen definiert. Diese Familie von Abbildungen erlaubt es dann Geodäten auf dem Raum der Wahrscheinlichkeitsmaße zu definieren. In Abschnitt 6 werden diesen Geodäten Vektorfelder zugeordnet und mittels dieser Vektorfelder auch Geschwindigkeitsvektoren. In Abschnitt 7 wird dann mit Hilfe der Benamou-Brenier-Formel eine Norm (bzw. inneres Produkt) von Geschwindigkeitsvektoren definiert. Dieses innere Produkt ist von zentralem Interesse. Mit Hilfe dieses Produktes wird dann (formal) eine differenzierbare Struktur, im Sinne der Riemannschen Geometrie, auf dem Raum der Wahrscheinlichkeitsmaße definiert. Die Notation für diese Geometrie wird in Abschnitt 9 festgelegt. Danach folgen einige Beispiele. Es werden die Gradienten verschiedener Funktionale berechnet. Eines dieser Beispiele (die Fisherinformation) ist auch für den weiteren Teil der Arbeit von höchstem Interesse. Um eine Verbindung der Schrödinger Gleichung zu der von uns angestrebten Newtonschen Gleichung herzustellen ist ein Zwischenschritt erforderlich. In Abschnitt 11 wird ein auf Erwin Madelung zurückgehendes Resultat vorgestellt. Es zeigt, dass die Schrödinger Gleichung in ein System von Gleichungen (eine Hamiltion -Jacobi und eine Kontinuitätsgleichung) umgeschrieben werden kann. Die zentrale Aussage erfolgt dann in Theorem 16. Es wird gezeigt, dass eine Newtonsche Gleichung auf deren rechten Seite ein spezielles Potential steht zu den Madelunggleichungen äquivalent ist. Das angesprochene Potential besteht aus einem klassischen Potential und der sogenannten Fisherinformation. Im letzten Teil der Arbeit wird die Äquivalenz der Gleichungen mittels der Methoden der symplektischen Geometrie gezeigt, um die Aussage in aller Allgemeinheit dar zu stellen.