Heute stehen wir am Anfang einer neuen Ära der Informationsverarbeitung, in der Quantentechnologien immer bedeutsamer werden. Ungeachtet bedeutender Fortschritte bei der experimentellen Erzeugung und Manipulation sowie der theoretischen Beschreibung von einfachen Quantensystemen, in den letzten drei Jahrzehnten, gibt es noch viele ungelöste Probleme im Verständnis des Verhaltens und der Eigenschaften von komplexen Vielteilchenquantensystemen. In dieser Dissertation wird eine theoretische Untersuchung einer Reihe von Problemen im Zusammenhang mit der Verschränkung - dem nichtlokalen Merkmal von komplexen Quantensystemen - in Vielteilchenzuständen endlichdimensionaler Quantensysteme durchgeführt. Wir betrachten zusätzlich optimale Möglichkeiten zur Manipulation solcher Systeme. Der Schwerpunkt der Arbeit liegt insbesondere auf optimalen Quantentransformationen die eine gewünschte Operation unabhängig von den Anfangszuständen des Systems erlauben. Der erste Teil dieser Arbeit widmet sich dabei einer detaillierten Analyse, wie sich die Verschränkung in Qubit-Systemen unter Einwirkung einer nichtunitären Dynamik (zeitlich) entwickelt. Im zweiten Teil der Arbeit konstruieren wir mehrere optimale zustandsunabhängige Transformationen, untersuchen ihre Eigenschaften und schlagen Anwendungen in der Quantenkommunikation und im Quantencomputing vor.
Heute stehen wir am Anfang einer neuen Ära der Informationsverarbeitung, in der Quantentechnologien immer bedeutsamer werden. Ungeachtet bedeutender Fortschritte bei der experimentellen Erzeugung und Manipulation sowie der theoretischen Beschreibung von einfachen Quantensystemen, in den letzten drei Jahrzehnten, gibt es noch viele ungelöste Probleme im Verständnis des Verhaltens und der Eigenschaften von komplexen Vielteilchenquantensystemen. In dieser Dissertation wird eine theoretische Untersuchung einer Reihe von Problemen im Zusammenhang mit der Verschränkung - dem nichtlokalen Merkmal von komplexen Quantensystemen - in Vielteilchenzuständen endlichdimensionaler Quantensysteme durchgeführt. Wir betrachten zusätzlich optimale Möglichkeiten zur Manipulation solcher Systeme. Der Schwerpunkt der Arbeit liegt insbesondere auf optimalen Quantentransformationen die eine gewünschte Operation unabhängig von den Anfangszuständen des Systems erlauben. Der erste Teil dieser Arbeit widmet sich dabei einer detaillierten Analyse, wie sich die Verschränkung in Qubit-Systemen unter Einwirkung einer nichtunitären Dynamik (zeitlich) entwickelt. Im zweiten Teil der Arbeit konstruieren wir mehrere optimale zustandsunabhängige Transformationen, untersuchen ihre Eigenschaften und schlagen Anwendungen in der Quantenkommunikation und im Quantencomputing vor.
Verschränkung ist eine der wichtigsten Besonderheiten der Quantentheorie, welche kein klassisches Analogon besitzt. Aufgrund dieser ist es nicht länger angemessen zusammengesetzte Systeme lediglich als eine Kombination von unabhängig voneinander beschreibbaren Subsystemen zu betrachten. Anstatt dessen gibt es Quantenzustände die inseparabel bezüglich der einzelnen Bestandteile des Systems sind. Wohingegen Verschränkung zunächst als eine Art künstlicher Fehler der Theorie angesehen wurde, hat sich deren Existenz mittlerweile durch zahlreiche Experimente bestätigt. Diese Gegebenheit hat weitreichende Konsequenzen. Auf einer fundamentalen Ebene lässt sich hiermit zeigen, daß es keine lokal-realistische Alternative zur Quantentheorie gibt. Zusätzlich stellt Verschränkung eine Ressource für neue Technologien der Informationsverarbeitung dar, wie z.B. Quantenkryptographie, Dense Coding, Quantenteleportation oder der Quantencomputer. Trotz intensiver Forschung in den letzten Jahrzehnten gibt es noch viele offene Fragen bezüglich Verschränkung und deren Manifestationen. Dies gilt insbesondere für Verschränkung in komplexen Vielteilchensystemen. Gegenstand dieser Dissertation ist es Verschränkung und nicht-lokal-realitsche Korrelationen in zusammengesetzten endlich-dimensionalen Quantensystemen (Multipartite Qudits) zu untersuchen und zu verstehen. Um die Analyse solcher Systeme zu erleichtern, werden neue mathematische Hilfsmittel, wie zum Beispiel praktische Parameterisierungen von unitären Gruppen, Dichtematrizen und Unterräumen vorgestellt. Die Struktur von Verschränkung in Vielteilchensystemen wird betrachtet, und eine exakte Charakterisierung von Multilevel-Vielteilchenverschränkung wird eingeführt. Es werden Methoden zur Verschränkungsdetektion angegeben, und deren experimentelle Implementierung diskutiert. Ein weiteres Thema ist die Quantifizierung von Verschränkung. In diesem Zusammenhang wird ein nützliches Maß für Vielteilchenverschränkung vorgestellt. Darüber hinaus wird auch die Klassifizierung von Vielteilchenverschränkung thematisiert, und ein systematischer Ansatz zur Unterscheidung verschiedener Klassen angegeben. Der letzte Teil dieser Arbeit beschäftigt sich mit Relationen zwischen Verschränkung und anderen fundamentalen Aspekten der Quantentheorie. Insbesondere wird eine Verbindung zwischen dem Komplementaritätsprinzip und dem Separabilitätsproblem hergestellt. Besondere Aufmerksamkeit gilt auch dem Zusammenhang zwischen Verschränkung und nicht-lokal-realitischen Korrelationen. Hier wird eine geometrische Struktur, welche diskreten zusammengesetzten Systemen zugrunde liegt, verwendet, um deren Verschiedenartigkeit veranschaulichen zu können.
Die Quantenmechanik und ihre Phänomene, wie zum Beispiel Verschränkung oder Nichtlokalität, sind bis heute nicht vollständig erschlossen. Das Ziel dieser Arbeit ist es, eine Einführung in den Begriff der Verschränkung und seine Auswirkungen zu geben. Insbesondere Kriterien zur Detektion und Maße zur Quantifizierung von Verschränkung werden vorgestellt. Desweiteren wird der Begriff der Nichtlokalität näher untersucht und eine Möglichkeit, die Bell Ungleichung, vorgestellt nichtlokale Quantenzustände zu detektieren. Ein weiterer Teil dieser Arbeit ist der Frage gewidmet, wie sich Quantenzustände unter LOCC Transformationen und global unitären Transformationen verändern. Hierfür werden mehrere Beispiele behandelt. Unter anderem GHZ-, Werner-, Gisin Zustände werden genauer beleuchtet und deren Veränderung der Verschränkung und Nichtlokalität untersucht. Ein weiterer wichtiger Teil dieser Arbeit widmet sich der Frage der Visualisierung von Quantenzuständen um ein besseres Verständnis für deren Verhalten zu erlangen. Explizit werden reine zwei qubit Systeme untersucht. Die Verknüpfung solcher Zustände mit dem komplex projektiven Raum ermöglicht eine vollständige geometrische Darstellung. Im Fall von gemischten Zuständen ist die Dimensionszahl zu hoch um eine vernünftige Darstellung aller Zustände zu ermöglichen. Allerdings zeigt sich, dass eine Superposition von Bell Zuständen nur drei Freiheitsgrade besitzt und dadurch darstellbar ist. Doch auch Zustände mit mehr als drei Freiheitsgraden können, durch eine in dieser Arbeit vorgestellte Methode, visualisiert werden, indem der Bereich der physikalischen Zustände innerhalb der darstellung angepasst wird.
Quanteninformationstheorie untersucht die Möglichkeiten mit Quantensystemen Information zu verarbeiten. Die ungewöhnlichen Eigenschaften der Quantenmechanik, wie beispielsweise Superposition und Verschränkung, erlauben neue Wege der Informationsverarbeitung, die in klassischen Theorien nicht denkbar wären. In den letzten Jahren wurden diese besonderen Quanteneffekte dazu genutzt, um außergewöhnliche Resultate, wie zum Beispiel Quantencomputer, Quantenkryptographie und Quantenkommunikation, zu erreichen. Das Feld der Quantenkommunikation erforscht die Prinzipien der Quantenmechanik, um bestimmte Aufgaben und Protokolle zu realisieren, die mit klassischen Ressourcen unmöglich wären. Im Allgemeinen ist Kommunikation der Prozess bei dem eine Nachricht von einem Sender zu einem Empfänger übermittelt wird. Solch ein Vorgang benötigt die Kodierung der zu sendenden Information auf einem Signalträger (elektromagnetische Wellen, Spannung, mechanische Wellen, etc.), der den Gesetzen der Physik gehorcht. Aus dieser Perspektive ermöglicht die Quantenmechanik mit ihren der Intuition widersprechenden Prinzipien einen völlig neuen Rahmen für Kommunikationstheorie und Informationsverarbeitung. Das Ziel der vorliegenden Arbeit ist es, ein Modell der Kommunikation mit beschränkten Ressourcen (gemessen an der Anzahl an Informationsträgern) und endlicher Ausbreitungsgeschwindigkeit zu untersuchen. Wir zeigen, dass Kommunikation, welche die obigen Restriktionen erfüllt, für klassische Systeme grundlegenden Schranken gehorcht. Im Gegensatz dazu können diese klassischen Barrieren durch Quanteneffekte überwunden werden. Tatsächlich kann Quantenkommunikation mit nur einem Teilchen in räumlicher Superposition und mit endlicher Ausbreitungsgeschwindigkeit zu „Mehrwegkommunikation“ führen, was mit rein klassischen Ressourcen unmöglich wäre. Im Kontext von Mehrspieler Kommunikationsspielen zeigen wir einerseits, dass für klassische Theorien die Gewinnwahrscheinlichkeit immer unter Eins liegt und mit der Anzahl der Spieler monoton sinkt. Andererseits erlaubt Kommunikation mittels eines Quantenteilchens in Superposition verschiedener Aufenthaltsorte das Spiel unabhängig von der Anzahl der Spieler immer mit Sicherheit zu gewinnen. Dieses Protokoll wird explizit für zwei, drei und fünf Parteien charakterisiert und danach für eine beliebige Anzahl an Spielern verallgemeinert. Des Weiteren schlagen wir eine mögliche experimentelle Implementation mit einzelnen Photonen für ein Spiel mit drei Parteien vor.
Verschränkung ist eine faszinierende Eigenart der Quantenphysik, die diese beträchtlich von klassischen Konzepten unterscheidet. Einerseits impliziert Verschränkung überraschende philosophische Aspekte, wie die Unvereinbarkeit von lokal-realistischen Theorien mit der Quantenphysik, andererseits kann sie erfolgreich für Aufgaben der Quanteninformation und Quantenkommunikation verwendet werden, um Protokolle im Hinblick auf klassische Prozeduren zu verbessern. Es ist noch immer ein offenes mathematisches Problem, herauszufinden, ob ein Quantenzustand verschränkt ist oder nicht; für einen allgemeinen Zustand auf einem beliebig dimensionalen Hilbertraum gibt es keine operationelle Vorgangsweise. Für reine Zustände und niedrig dimensionale Zweiteilchen-Systeme, z.B. für zwei Qubits, ist dieses Problem gelöst, da berechenbare notwendige und hinreichende Bedingungen für Separabilität (d.h. für Nicht-Verschränktheit) gefunden wurden. Außerdem kann die Verschränkung für ein Zwei-Qubit-System leicht quantifiziert werden. Für höher dimensionale und/oder Mehrteilchen-Systeme wurde in Bezug auf die Bestimmung und Quantifizierung von Verschränkung schon einiges erreicht, allerdings kann das Problem noch nicht als gelöst angesehen werden, vieles ist noch zu erforschen. In dieser Dissertation werden neue Methoden zur Bestimmung und Quantifizierung von Verschränkung für Systeme, die über Zwei-Qubit-Systeme hinausgehen, präsentiert. Zustände solcher Systeme werden üblicherweise durch Dichteoperatoren beschrieben und in Matrix-Schreibweise verwendet. Für hochdimensionale und/oder Mehrteilchen-Systeme können diese Dichtematrizen allerdings sehr unpraktisch werden. Mit Hilfe von Bloch-Zerlegungen können Dichteoperatoren kompakter und einfacher dargestellt werden. In dieser Schreibweise werden Dichteoperatoren in eine vollständige und orthogonale Operatorenbasis des Operatorenraums zerlegt. Für Qubits ist diese Schreibweise geläufig und üblicherweise werden die Pauli-Spin-1/2 Operatoren für die Operatorenbasis verwendet. Für Qudits, das sind Zustände allgemein dimensionaler Systeme, gibt es allerdings keine eindeutige Verallgemeinerung der Pauli-Operatorenbasis. Daher untersuchen wir drei mögliche Operatorenbasen: Die verallgemeinerte Gell-Mann-Operatorenbasis, die Polarisationsoperatorenbasis, sowie die Weyloperatorenbasis. Weiters wird eine Methode präsentiert, mit welcher die Zerlegung eines beliebigen Operators in eine der drei Operatorenbasen mit Hilfe der Zerlegung von sogenannten Standardoperatoren gefunden werden kann. Als Beispiel zur Anwendung dieser Methode betrachten wir den maximal verschränkten Zwei-Qudit Zustand und zerlegen diesen in jede der Operatorenbasen. Im Zusammenhang mit der Bestimmung von Verschränkung sind „Entanglement Witnesses'“ ein wichtiges und oft verwendetes Hilfsmittel. Diese sind Observablen und detektieren die Verschränkung eines Zustandes, sofern sie für diesen einen negativen Erwartungswert aufweisen, und wenn gleichzeitig bekannt ist, dass der Erwartungswert für alle separablen Zustände nicht negativ werden kann. Diese letztere Bedingung ist allerdings im Allgemeinen nicht leicht zu zeigen. In diesem Zusammenhang bietet sich die Verwendung von Bloch-Zerlegungen für vereinfachte Relationen an, und somit kann die Bedingung in vielen Fällen bewiesen werden. Eine besondere Klasse von Entanglement Witnesses sind geometrische Entanglement Witnesses, welche eine direkte euklidisch-geometrische Darstellung des Operatorenraumes erlauben. Die Wichtigkeit dieser Witnesses wird durch „Shift“-Methoden verdeutlicht, welche verschränkte und im Speziellen „bound entangled“ Zustände detektieren können, und außerdem helfen, die Menge der separablen Zustände von konvexen Untermengen von Zuständen zu bestimmen. Als Beispiel betrachten wir eine Drei-Parameter-Familie von Zwei-Qutrit Zuständen. Weiters können geometrische Entanglement Witnesses auch zur geometrischen Quantifizierung von Verschränkung verwendet werden, insbesondere zur Bestimmung des Hilbert-Schmidt Verschränkungsmaßes. Dies wird an den Beispielen der isotropen Zwei-Qudit Zustände und Zwei-Parameter Familien von Zwei-Qubit und Zwei-Qutrit Zuständen gezeigt. Zuletzt widmen wir uns dem Problem der Bestimmung von Verschränkung in Mehr-Qubit Systemen. In diesem Zusammenhang bieten wir eine allgemeine Konstruktion von Entanglement Witnesses unter Verwendung von statischen Strukturfaktoren an. In der Festkörperphysik beschreiben Strukturfaktoren dynamische Eigenschaften von Festkörpern in Streuexperimenten. Die strukturellen Entanglement Witnesses detektieren echte Mehrteilchen-Verschränkung, wie z.B. Dicke-Zustände und Dicke-ähnliche Zustände mit geänderten Phasen der vorkommenden Terme. Sie beinhalten außerdem nur Zwei-Punkt-Korrelationen und sind für die experimentelle Anwendung in verschieden physikalischen Systemen geeignet.
Diese Dissertation behandelt zwei Schlusselthemen der experimentellen Quantenoptomechanik: Optimale Schatzung des Zustandes eines optomechanischen Systems und Erzeugung und Nachweis von optomechanischer Verschrankung. Im ersten Teil der Dissertation prasentiere ich das erste Experiment zur optimalen Zustandsschatzung in der Cavity-Optomechanik. Die optimale Zustandsschatzung erfolgt durch einen Kalmanfilter, dem ein realistisches Modell des Experiments zu Grunde liegt. Die Anwendbarkeit des Kalmanfilters auf unser Experiment wird durch statistische Methoden nachgewiesen. Der Kalmanfilter ermoglicht eine systematische Behandlung typischer experimenteller Unzulanglichkeiten, wie etwa die gleichzeitige Kopplung an mehrere mechanische Moden, frequenzabhangiges Laserrauschen und ineffiziente Detektion. Der Kalmanfilter ist universell anwendbar fur beliebige cavity-optomechanische Systeme, so lange die Wechselwirkung Gaussch ist. Er kann sowohl auf klassische Systeme angewandt werden, als auch auf Systeme, die durch Quantenrauschen dominiert sind. Auserdem erlaubt der Kalmanfilter eine Echtzeit-Implementierung, so dass er als Grundlage fur optimales Feedback-Kuhlen quanten-optomechanischer Systeme dienen kann.
Der zweite Teil der Dissertation beschaftigt sich mit optomechanischer Verschrankung. Die optomechanische Wechselwirkung zwischen dem Lichtfeld und einer mechanischen Mode kann zu Verschrankung zwischen verschiedenen temporalen Moden des reflektierten Lichtfelds fuhren. Dieser Effekt kann beispielsweise in Pump-probe-Experimenten nachgewiesen werden. In dieser Arbeit analysiere ich ein alternatives Protokoll zur Detektion solcher Verschrankung fur optomechanische cavities, die kontinuierlich und resonant getrieben werden. Ausfuhrliche, systematische Simulationen zeigen, dass dieses Protokoll auch in Systemen mit mehreren mechanischen Moden und unter realistischen Annahmen an das klassische Laserrauschen Verschrankung nachweisen kann. Eine Besonderheit des Protokolls ist, dass die verschiedenen temporalen Lichtmoden vollstandig im Postprocessing extrahiert und korreliert werden. Daher ist die Methode sehr flexibel und ermoglicht prinzipiell die Analyse von Korrelationen zwischen beliebigen temporalen Moden des reflektierten Lichtfelds.
Das Forschungsgebiet der Theorie der Verschränkung von Quantensystemen ist vergleichsweise jung. Ein grundlegendes Verständnis der elementarsten solcher Systeme (i.e. Zweiteilchensysteme) wurde in den letzten Jahrzehnten erreicht, doch Verschränkung in Mehrteilchensystemen birgt nach wie vor viele offene Fragen und Mysterien. Insbesondere ist es bis dato völlig unklar, wie spezielle Konzepte aus dem Zweiteilchenfall am sinnvollsten auf die Mehrteilchensituation verallgemeinert werden können. Diese Arbeit behandelt die zentralen Aspekte und Fragestellungen der Detektion, Charakterisierung und Klassifikation von Mehrteilchenverschränkung. Unterschiede und Gemeinsamkeiten zwischen Zwei- und Mehrteilchenszenarien werden erläutert, verschiedene mögliche Verallgemeinerungen präsentiert und in einigen Bereichen werden Resultate erarbeitet. Der besondere Schwerpunkt dieser Arbeit liegt bei einem Formalismus – dem sogenannten HMGH-Framework, der im Lauf der letzten Jahre entwickelt und erweitert wurde – der die Konstruktion sehr spezifischer Separabilitätskriterien ermöglicht, welche fähig sind, zwischen verschiedenen Arten von Mehrteilchenverschränkung zu unterscheiden. Mit Hilfe dieser Kriterien werden die Problemstellungen der teilweisen Separabilität (partial separability), der genuinen Mehrteilchenverschränkung (genuine multipartite entanglement) und – schließlich – der Klassifikation von Mehrteilchenverschränkung (die die den fundamentalsten und kritischsten Unterschiede zur Zweiteilchenverschränkung beinhalten) behandelt und diskutiert. Um die so erhaltenen Resultate zu verdeutlichen werden mehrere Beispiele aus verschiedenen (und unterschiedlich nah verwandten) Themenbereichen präsentiert, die die Fähigkeiten, Stärken und Schwächen des HMGH-Frameworks aufzeigen und Einblicke in den gegenwärtigen Status der Forschung auf dem Gebiet der Mehrteilchenverschränkungstheorie im Gesamten geben.