Dans cet article, nous etudions les matrices de diffusion associees a un operateur de Schrodinger avec champ magnetique a longue portee. Nous estimons la singularite de l'amplitude de diffusion sur la diagonale et etablissons la compacite des matrices de transitions S (λ)-1. Comme application, nous etudions le phenomene de Aharonov-Bohm en theorie de diffusion quantique : nous montrons que cet effet apparait comme une perturbation de phase sur l'amplitude de diffusion
Dans cet article, nous etudions les matrices de diffusion associees a un operateur de Schrodinger avec champ magnetique a longue portee. Nous estimons la singularite de l'amplitude de diffusion sur la diagonale et etablissons la compacite des matrices de transitions S (λ)-1. Comme application, nous etudions le phenomene de Aharonov-Bohm en theorie de diffusion quantique : nous montrons que cet effet apparait comme une perturbation de phase sur l'amplitude de diffusion
Ce travail de recherche est entierement consacre a l'etude mathematique d'un systeme physique electromagnetique. Nous nous sommes inspires d'une experience physique denomme effet de bohm-aharonov, sujet de controverse dans la physique contemporaine. Nous construisons l'appareil mathematique necessaire pour une etude precise de cet effet: a l'aide d'une methode b. K. W. Classique, nous montrons que le groupe unitaire du systeme est un operateur fourier integral global, puis nous l'ecrivons sous la forme d'un operateur integral; cette ecriture permet de faire apparaitre la regle de feynman, bien connue des physiciens. Nous etudions ensuite les operateurs d'onde associes a ce systeme, d'abord pour des potentiels electrostatiques et magnetques a courte portee, puis a longue portee: dans ce dernier cas, une modification des operateurs d'onde est necessaire; nous avons choisi une modification stationnaire a la isozaki-kitada. Comme corollaire, nous retrouvons les resultats recents de loss-thaller, sur l'existence et la completude des operateurs d'onde non modifies, pour un potentiel magnetique a decroissance modere a l'infini. Nous generalisons ensuite la formule de representation des matrices de diffusion et etudions la singularite du noyau integral.
L'objet de ce travail est l'etude spectrale de l'effet Aharonov-Bohm pour des operateurs, dits du type de Bochner-Laplace, associe a un potentiel electrique et a une connexion lineaire sur un fibre hermitien au-dessus d'une variete riemannienne compacte et connexe. Dans le premier chapitre, on definit, a partir d'un chemin ferme et d'une connexion plate, une classe d'equivalence de matrices unitaires constantes appelee matrice d'holonomie. On obtient alors, une caracterisation des connexions triviales a l'aide de conditions sur cette classe. On s'interesse ensuite au probleme de comparaison des valeurs propres et on commence par regarder le cas d'un fibre trivial. Dans ce cas, l'operateur considere est un operateur de Schrodinger avec un potentiel electrique et un potentiel magnetique (de type Yang-Mills) a valeurs matricielles. On donne alors des conditions necessaires et suffisantes sur le potentiel magnetique, pour que l'operateur associe admette les memes premieres valeurs propres que celui definit par le potentiel magnetique nul. Les resultats obtenus dans ce chapitre completent et generalisent ceux de B. Helffer, I. Shigekawa pour le cas scalaire et S. Manabe-I. Shigekawa pour les systemes. Le cas d'un fibre non necessairement trivial est etudie dans le chapitre 3. Dans le chapitre 4, on fait une analyse semi-classique de l'effet Aharonov-Bohm dans le complementaire d'un disque de plan.
Les marches quantiques à temps discret (MQTD) sont une généralisation quantique des marches aléatoires classiques. À deux dimensions d’espace et sous un champ magnétique transverse, le tracé des quasi-énergies d’une MQTD en fonction du flux magnétique donne un papillon de Floquet-Hofstadter, qui est le diagramme de phase d’un isolant topologique. Pour indexer ses gaps, un nouvel invariant topologique (appelé RLBL) doit être défini qui tient compt ede la périodicité des quasi-énergies. Pour certains réseaux (chaîne de boucles, pavage T3), la MQTD présente également des cages d’Aharonov-Bohm qui correspondent à une localisation extrême du marcheur en raison d’une interférence magnétique destructive. Ces cages nécessitent des dés spécifiques mais présentent une dynamique plus riche que celle des modèles de liaisons fortes. L’extension spatiale des cages peut être contrôlée. L’introduction de perturbations, telles que du désordre statique ou dynamique sur les dés ou des interactions, conduit à briser ces cages et induit des comportements différents: localisation exponentielle, diffusion, diffusion anormale ou encore propagation balistique. Enfin, un dernier chapitre est consacré à l’étude du modèle de Hubbard à deux corps sur une chaîne avec une interaction désordonnée. En raison du désordre,les états moléculaires peuvent se localiser d’Anderson ou se dissocier par hybridation avec une bande atomique. Les états atomiques présentent des signatures du “chaos quantique”. Nous trouvons également des états qui sont localisés le long d’une seule direction que l’on nomme “états séparatrices” et qui n’ont pas d’équivalent dans les billards quantiques usuels.
Les systèmes quantiques avec interaction à longue portée ont attiré une attention considérable ces dernières années, tant d'un point de vue expérimental que théorique. La classe des systèmes de longue portée considère l'interaction totale de deux constituants quelconques alors que l'amplitude d'interaction décroît algébriquement avec la distance relative R comme R^{-alpha}.Les derniers progrès expérimentaux et technologiques ont permis de réaliser des systèmes de longue portée sur plusieurs plateformes de simulation quantique, dont les cristaux d'ions artificiels et les gaz quantiques dipolaires.D'un point de vue théorique, les interactions à longue portée rendent caduques divers concepts et théorèmes fondamentaux avec des conséquences considérables.Parmi ceux-ci figurent les bornes de Lieb--Robinson qui garantissent l'émergence de la causalité dans les systèmes non-relativistes de courte portée sur réseau. Dans cette thèse, nous étudions les effets des interactions à longue portée sur les propriétés hors équilibre et à l'équilibre des modèles de spin sur réseau en utilisant des calculs analytiques complémentaires utilisant des simulations de réseaux tensoriels de pointe, tout en nous concentrant particulièrement sur la caractéristique quantique centrale et unique de l'intrication.Premièrement, dans le modèle d'Ising en champ transverse de longue portée, nous montrons l'émergence d'une forme faible de causalité caractérisée par des exposants dynamiques non universels.D'une part, la magnétisation et les corrélations locales présentent un cône causal émergent sub-balistique tandis que les caractéristiques marquées à l'intérieur de celui-ci se propagent de manière super-balistique ou balistique, respectivement.D'autre part, le cône causal émergent pour toutes les entropies d'intrication s'avère être balistique indépendamment de la portée des interactions et l'intérieur est sans caractéristiques marquées.Deuxièmement, nous déterminons le diagramme de phase quantique d'équilibre du modèle XXZ à longue portée en termes de couplage anisotrope et d'exposant d'interaction de longue portée en étudiant une représentation du spectre de la matrice de densité réduite suivant une bipartition en demi-chaîne, appelée spectre d'intrication.Nous montrons qu'il présente une autosimilarité remarquable dans la phase critique où le système est décrit par un liquide de Luttinger, et que l'autosimilarité s'étend à l'intrication géométrique et au paramètre de Luttinger.La transition hors du liquide de Luttinger est cohérente avec la rupture de l'autosimilarité et une analyse par groupe de renormalisation.La combinaison synergique de ces deux dernières nous permet de déterminer les transitions de phase correspondantes que nous corroborons à l'aide de simulations numériques.De plus, nous montrons que le hamiltonien d'intrication, l'opérateur hermitien dont le spectre est le spectre d'intrication, suit la forme du théorème de Bisognano--Wichmann dans les grandes régions des phases incluant la limite à courte portée, tandis qu'une telle forme peut être exclue dans la phase où les effets à longue portée sont véritablement pertinents.Nos résultats jettent une lumière nouvelle, à travers le prisme de l'intrication quantique, sur les propriétés de l'état hors équilibre et de l'état fondamental des chaînes de spin en interaction à longue portée et ouvrent la voie à de nouvelles études expérimentales et théoriques.
Dynamique loin de l'équilibre et intrication dans les systèmes quantiques à longue portée Les systèmes quantiques avec interaction à longue portée ont attiré une attention considérable ces dernières années, tant d'un point de vue expérimental que théorique. La classe des systèmes de longue portée considère l'interaction totale de deux constituants quelconques alors que l'amplitude d'interaction décroît algébriquement avec la distance relative R comme R^{-alpha}.Les derniers progrès expérimentaux et technologiques ont permis de réaliser des systèmes de longue portée sur plusieurs plateformes de simulation quantique, dont les cristaux d'ions artificiels et les gaz quantiques dipolaires.D'un point de vue théorique, les interactions à longue portée rendent caduques divers concepts et théorèmes fondamentaux avec des conséquences considérables.Parmi ceux-ci figurent les bornes de Lieb--Robinson qui garantissent l'émergence de la causalité dans les systèmes non-relativistes de courte portée sur réseau. Dans cette thèse, nous étudions les effets des interactions à longue portée sur les propriétés hors équilibre et à l'équilibre des modèles de spin sur réseau en utilisant des calculs analytiques complémentaires utilisant des simulations de réseaux tensoriels de pointe, tout en nous concentrant particulièrement sur la caractéristique quantique centrale et unique de l'intrication.Premièrement, dans le modèle d'Ising en champ transverse de longue portée, nous montrons l'émergence d'une forme faible de causalité caractérisée par des exposants dynamiques non universels.D'une part, la magnétisation et les corrélations locales présentent un cône causal émergent sub-balistique tandis que les caractéristiques marquées à l'intérieur de celui-ci se propagent de manière super-balistique ou balistique, respectivement.D'autre part, le cône causal émergent pour toutes les entropies d'intrication s'avère être balistique indépendamment de la portée des interactions et l'intérieur est sans caractéristiques marquées.Deuxièmement, nous déterminons le diagramme de phase quantique d'équilibre du modèle XXZ à longue portée en termes de couplage anisotrope et d'exposant d'interaction de longue portée en étudiant une représentation du spectre de la matrice de densité réduite suivant une bipartition en demi-chaîne, appelée spectre d'intrication.Nous montrons qu'il présente une autosimilarité remarquable dans la phase critique où le système est décrit par un liquide de Luttinger, et que l'autosimilarité s'étend à l'intrication géométrique et au paramètre de Luttinger.La transition hors du liquide de Luttinger est cohérente avec la rupture de l'autosimilarité et une analyse par groupe de renormalisation.La combinaison synergique de ces deux dernières nous permet de déterminer les transitions de phase correspondantes que nous corroborons à l'aide de simulations numériques.De plus, nous montrons que le hamiltonien d'intrication, l'opérateur hermitien dont le spectre est le spectre d'intrication, suit la forme du théorème de Bisognano--Wichmann dans les grandes régions des phases incluant la limite à courte portée, tandis qu'une telle forme peut être exclue dans la phase où les effets à longue portée sont véritablement pertinents.Nos résultats jettent une lumière nouvelle, à travers le prisme de l'intrication quantique, sur les propriétés de l'état hors équilibre et de l'état fondamental des chaînes de spin en interaction à longue portée et ouvrent la voie à de nouvelles études expérimentales et théoriques.