La restriction de l'operateur de diffusion aux sous-espaces invariants des representations du groupe d'ambiguite des transformations canoniques conduit exactement a l'effet Aharonov-Bohm
Ce travail de recherche est entierement consacre a l'etude mathematique d'un systeme physique electromagnetique. Nous nous sommes inspires d'une experience physique denomme effet de bohm-aharonov, sujet de controverse dans la physique contemporaine. Nous construisons l'appareil mathematique necessaire pour une etude precise de cet effet: a l'aide d'une methode b. K. W. Classique, nous montrons que le groupe unitaire du systeme est un operateur fourier integral global, puis nous l'ecrivons sous la forme d'un operateur integral; cette ecriture permet de faire apparaitre la regle de feynman, bien connue des physiciens. Nous etudions ensuite les operateurs d'onde associes a ce systeme, d'abord pour des potentiels electrostatiques et magnetques a courte portee, puis a longue portee: dans ce dernier cas, une modification des operateurs d'onde est necessaire; nous avons choisi une modification stationnaire a la isozaki-kitada. Comme corollaire, nous retrouvons les resultats recents de loss-thaller, sur l'existence et la completude des operateurs d'onde non modifies, pour un potentiel magnetique a decroissance modere a l'infini. Nous generalisons ensuite la formule de representation des matrices de diffusion et etudions la singularite du noyau integral.
Les marches quantiques à temps discret (MQTD) sont une généralisation quantique des marches aléatoires classiques. À deux dimensions d’espace et sous un champ magnétique transverse, le tracé des quasi-énergies d’une MQTD en fonction du flux magnétique donne un papillon de Floquet-Hofstadter, qui est le diagramme de phase d’un isolant topologique. Pour indexer ses gaps, un nouvel invariant topologique (appelé RLBL) doit être défini qui tient compt ede la périodicité des quasi-énergies. Pour certains réseaux (chaîne de boucles, pavage T3), la MQTD présente également des cages d’Aharonov-Bohm qui correspondent à une localisation extrême du marcheur en raison d’une interférence magnétique destructive. Ces cages nécessitent des dés spécifiques mais présentent une dynamique plus riche que celle des modèles de liaisons fortes. L’extension spatiale des cages peut être contrôlée. L’introduction de perturbations, telles que du désordre statique ou dynamique sur les dés ou des interactions, conduit à briser ces cages et induit des comportements différents: localisation exponentielle, diffusion, diffusion anormale ou encore propagation balistique. Enfin, un dernier chapitre est consacré à l’étude du modèle de Hubbard à deux corps sur une chaîne avec une interaction désordonnée. En raison du désordre,les états moléculaires peuvent se localiser d’Anderson ou se dissocier par hybridation avec une bande atomique. Les états atomiques présentent des signatures du “chaos quantique”. Nous trouvons également des états qui sont localisés le long d’une seule direction que l’on nomme “états séparatrices” et qui n’ont pas d’équivalent dans les billards quantiques usuels.
Les marches quantiques à temps discret (MQTD) sont une généralisation quantique des marches aléatoires classiques. À deux dimensions d’espace et sous un champ magnétique transverse, le tracé des quasi-énergies d’une MQTD en fonction du flux magnétique donne un papillon de Floquet-Hofstadter, qui est le diagramme de phase d’un isolant topologique. Pour indexer ses gaps, un nouvel invariant topologique (appelé RLBL) doit être défini qui tient compt ede la périodicité des quasi-énergies. Pour certains réseaux (chaîne de boucles, pavage T3), la MQTD présente également des cages d’Aharonov-Bohm qui correspondent à une localisation extrême du marcheur en raison d’une interférence magnétique destructive. Ces cages nécessitent des dés spécifiques mais présentent une dynamique plus riche que celle des modèles de liaisons fortes. L’extension spatiale des cages peut être contrôlée. L’introduction de perturbations, telles que du désordre statique ou dynamique sur les dés ou des interactions, conduit à briser ces cages et induit des comportements différents: localisation exponentielle, diffusion, diffusion anormale ou encore propagation balistique. Enfin, un dernier chapitre est consacré à l’étude du modèle de Hubbard à deux corps sur une chaîne avec une interaction désordonnée. En raison du désordre,les états moléculaires peuvent se localiser d’Anderson ou se dissocier par hybridation avec une bande atomique. Les états atomiques présentent des signatures du “chaos quantique”. Nous trouvons également des états qui sont localisés le long d’une seule direction que l’on nomme “états séparatrices” et qui n’ont pas d’équivalent dans les billards quantiques usuels.