L'objet de ce travail est l'etude spectrale de l'effet Aharonov-Bohm pour des operateurs, dits du type de Bochner-Laplace, associe a un potentiel electrique et a une connexion lineaire sur un fibre hermitien au-dessus d'une variete riemannienne compacte et connexe. Dans le premier chapitre, on definit, a partir d'un chemin ferme et d'une connexion plate, une classe d'equivalence de matrices unitaires constantes appelee matrice d'holonomie. On obtient alors, une caracterisation des connexions triviales a l'aide de conditions sur cette classe. On s'interesse ensuite au probleme de comparaison des valeurs propres et on commence par regarder le cas d'un fibre trivial. Dans ce cas, l'operateur considere est un operateur de Schrodinger avec un potentiel electrique et un potentiel magnetique (de type Yang-Mills) a valeurs matricielles. On donne alors des conditions necessaires et suffisantes sur le potentiel magnetique, pour que l'operateur associe admette les memes premieres valeurs propres que celui definit par le potentiel magnetique nul. Les resultats obtenus dans ce chapitre completent et generalisent ceux de B. Helffer, I. Shigekawa pour le cas scalaire et S. Manabe-I. Shigekawa pour les systemes. Le cas d'un fibre non necessairement trivial est etudie dans le chapitre 3. Dans le chapitre 4, on fait une analyse semi-classique de l'effet Aharonov-Bohm dans le complementaire d'un disque de plan.
L'objet de ce travail est l'etude spectrale de l'effet Aharonov-Bohm pour des operateurs, dits du type de Bochner-Laplace, associe a un potentiel electrique et a une connexion lineaire sur un fibre hermitien au-dessus d'une variete riemannienne compacte et connexe. Dans le premier chapitre, on definit, a partir d'un chemin ferme et d'une connexion plate, une classe d'equivalence de matrices unitaires constantes appelee matrice d'holonomie. On obtient alors, une caracterisation des connexions triviales a l'aide de conditions sur cette classe. On s'interesse ensuite au probleme de comparaison des valeurs propres et on commence par regarder le cas d'un fibre trivial. Dans ce cas, l'operateur considere est un operateur de Schrodinger avec un potentiel electrique et un potentiel magnetique (de type Yang-Mills) a valeurs matricielles. On donne alors des conditions necessaires et suffisantes sur le potentiel magnetique, pour que l'operateur associe admette les memes premieres valeurs propres que celui definit par le potentiel magnetique nul. Les resultats obtenus dans ce chapitre completent et generalisent ceux de B. Helffer, I. Shigekawa pour le cas scalaire et S. Manabe-I. Shigekawa pour les systemes. Le cas d'un fibre non necessairement trivial est etudie dans le chapitre 3. Dans le chapitre 4, on fait une analyse semi-classique de l'effet Aharonov-Bohm dans le complementaire d'un disque de plan.
Ce travail de recherche est entierement consacre a l'etude mathematique d'un systeme physique electromagnetique. Nous nous sommes inspires d'une experience physique denomme effet de bohm-aharonov, sujet de controverse dans la physique contemporaine. Nous construisons l'appareil mathematique necessaire pour une etude precise de cet effet: a l'aide d'une methode b. K. W. Classique, nous montrons que le groupe unitaire du systeme est un operateur fourier integral global, puis nous l'ecrivons sous la forme d'un operateur integral; cette ecriture permet de faire apparaitre la regle de feynman, bien connue des physiciens. Nous etudions ensuite les operateurs d'onde associes a ce systeme, d'abord pour des potentiels electrostatiques et magnetques a courte portee, puis a longue portee: dans ce dernier cas, une modification des operateurs d'onde est necessaire; nous avons choisi une modification stationnaire a la isozaki-kitada. Comme corollaire, nous retrouvons les resultats recents de loss-thaller, sur l'existence et la completude des operateurs d'onde non modifies, pour un potentiel magnetique a decroissance modere a l'infini. Nous generalisons ensuite la formule de representation des matrices de diffusion et etudions la singularite du noyau integral.
Desirant etablir une theorie mathematique qui contienne le cas usuel (commutatif) et le cas bosonique (des relations canoniques de commutation) on travaille sur l'algebre des polynomes sur un espace de hilbert alterne w dont on deforme le produit en fonction d'un parametre positif h qui vaut 0 pour le cas usuel et 1 pour le cas bosonique. On appelle algebre de heisenberg et on note hb l'algebre obtenue ; on la munit d'une topologie d'algebre a involution et on complete, ce qui nous permet de travailler avec des exponentielles. En particulier l'algebre a involution v des exponentielles unitaires est dans ce complete, et on peut y definir des etats par leur transformee de fourier (par un theoreme generalisant celui de bochner), et meme par leur transformee de laplace. On generalise aussi quelques resultats grace a l'application symbole (chapitre 1). On utilise essentiellement la generalisation e de l'etat gaussien centre de variance un reel positif quelconque, et on note l2(hb) le complete de hb pour le produit scalaire defini par e. V est dans l'algebre des operateurs bornes de l2(hb) et on note m sa fermeture faible. E definit un produit scalaire sur m et on a l2(hb) = l2(m) ; de plus, dans le cas h = 1, m est l'algebre de von neumann sur laquelle sont generalement obtenus les resultats concernant le cas bosonique ; on peut ainsi utiliser les esperances conditionnelles et l'integration stochastique definies par barnett, streater et wilde, qui se generalisent a tout h positif. D'autre part, on peut relever dans hb tout element w de wd (la somme de d copies de w) par tout polynome usuel de dimension 2d. Ceci nous permet de generaliser la propriete de markov, puis d'etudier les processus de bessel et les diffusions gaussiennes non commutatifs, ainsi que les semi-groupes associes (chapitre 2). On conclut par la generalisation de la formule de ito et par des exemples d'application, comme la resolution de certaines equations differentielles (stochastiques ou non) (chapitre 3).
La dynamique d'un système quantique gouverné par un hamiltonien dépendant du temps de manière périodique peut être décrite à l'aide d'un opérateur de Floquet sur un espace de Hilbert convenable. La nature spectrale de cet opérateur donne des informations sur le comportement temporel asymptotique du système concerné. Deux modèles sont étudiés dans cette perspective. La première analyse que nous proposons, prolonge et complète les travaux de Combescure sur la dynamique de systèmes stationnaires à spectre discret, simple, frappés périodiquement par une perturbation de rang un. Un premier résultat est d'abord obtenu lorsque les valeurs propres du système stationnaire sont données par un polynôme vérifiant certaines conditions arithmétiques et lorsque la perturbation est convenablement choisie : le spectre de l'opérateur de Floquet est alors singulier continu. Nous montrons ensuite que sous certaines hypothèses sur la croissance de ces valeurs propres, ce spectre reste singulier continu pour presque toute période au sens de la mesure de Lebesgue et tout choix convenable de la perturbation de rang un. Une stratégie d'analyse spectrale différente est ensuite mise en place pour une classe d'opérateurs de Floquet intervenant dans un modèle de conduction électronique et ayant une représentation matricielle multi-diagonale. Bien que ces opérateurs soient bâtis autour d'un nombre de paramètres plus importants, nous montrons que dans une certaine limite motivée par des considérations physiques, l'étude spectrale est seulement gouvernée par deux suites de phases. Lorsque ces phases sont engendrées par certains processus ergodiques, nous montrons que le spectre de l'opérateur de Floquet est singulier. Lorsqu'elles sont données par une construction périodique, le spectre présente une portion absolument continue ainsi qu'un nombre fini de valeurs propres isolées et de multiplicité un.
Cette these se compose de trois parties. Dans une premiere partie on etudie un probleme spectral associe a l'equation de Schrodinger independante du temps en trois dimensions et a plusieurs particules : la caracterisation des etats excites d'une molecule en termes de recherche de points critiques sur une variete. L'approximation utilisee est l'approximation MCSCF. Le probleme spectral est transforme en un probleme de geodesiques et d'etude d'indice de Morse de points critiques. On met en œuvre un algorithme pour le traitement numerique de ce probleme et on met en evidence l'amelioration des resultats obtenus par rapport aux algorithmes existants. Dans une deuxieme partie, on etudie l'equation de Schrodinger dependante du temps a une particule en une dimension. Des potentiels non triviaux en espace et ou en temps sont appliques. On resout alors exactement le probleme des conditions aux limites transparentes dans le cadre continu ou discret. On donne des formules fermees originales sous forme d'algorithme possedant un nombre d'iterations fini ou bien via des representations integrales sur des fonctions speciales. Le cas des potentiels harmonique, electrostatique dependant du temps, semi-periodique sont ainsi resolus. On etudie de maniere formelle sans donner de formule fermee la forme prise par l'operateur de Dirichlet-to-Neuman dans le cas d'un potentiel encore plus complique. Cette partie est completee par des apports divers d'analyse sur les fonctions speciales et certaines equations integrales. Dans une troisieme partie on etudie des proprietes et des algorithmes de resolutions numeriques d'une equation des film fin a frontiere libre posee sur une variete avec bords.
Modèles géométriques sur réseau et théories conformes irrationnelles Dans cette thèse nous étudions différents aspects des modèles critiques non-unitaires de physique statistique en deux dimensions. Notre approche, partant de modèles discrets sur le réseau, permet d'en apprendre plus sur les théories conformes associées. Celles-ci sont non-unitaires et souvent irrationnelles, logarithmiques ou encore non-compactes. Pour commencer, le problème de l'entropie d'intrication dans des chaînes de spin non-unitaires et son interprétation dans les modèles de boucles sont considérés. Le rôle de la charge centrale effective, une quantité pertinente pour étudier aussi d'autres problèmes de ce manuscrit, y est discuté. Ensuite, nous regardons deux problèmes liés au modèle de Chalker-Coddington, une chaîne de spin supersymétrique de dimension infinie, importante pour l'étude de la transition entre plateaux dans l'effet Hall quantique entier. Puisque ce modèle a un nombre infini de degrés de liberté, il a été proposé de considérer une série de troncations. Nous présentons de nouveaux résultats basés sur cette approche et développons cette méthode dans le cadre du mouvement Brownien dans sa formulation supersymétrique. Ensuite, un nouveau modèle est proposé pour interpoler la classe A et la classe C de l'effet Hall quantique. Le modèle de Chalker-Coddington est une réalisation particulière de la classe A tandis que la classe C, qui décrit la physique de l'effet Hall quantique de spin, est relié à un modèle de percolation. Ce modèle donne un exemple de flot sous l'action du groupe de renormalisation entre une théorie conforme compacte et non-compacte. La dernière partie de cette thèse discute la classification des observables sur réseau avec une symétrie discrète. Le processus est illustré sur le modèle de Potts avec sa symétrie sous l'action du groupe des permutations et des résultats déjà connus sont étendus au cas des opérateurs non-scalaires. Cette approche est importante dans l'étude de l'indécomposabilité des modèles non-unitaires et peut être utilisée pour étudier la percolation en dimension supérieure.
Dans cette thèse nous étudions différents aspects des modèles critiques non-unitaires de physique statistique en deux dimensions. Notre approche, partant de modèles discrets sur le réseau, permet d'en apprendre plus sur les théories conformes associées. Celles-ci sont non-unitaires et souvent irrationnelles, logarithmiques ou encore non-compactes. Pour commencer, le problème de l'entropie d'intrication dans des chaînes de spin non-unitaires et son interprétation dans les modèles de boucles sont considérés. Le rôle de la charge centrale effective, une quantité pertinente pour étudier aussi d'autres problèmes de ce manuscrit, y est discuté. Ensuite, nous regardons deux problèmes liés au modèle de Chalker-Coddington, une chaîne de spin supersymétrique de dimension infinie, importante pour l'étude de la transition entre plateaux dans l'effet Hall quantique entier. Puisque ce modèle a un nombre infini de degrés de liberté, il a été proposé de considérer une série de troncations. Nous présentons de nouveaux résultats basés sur cette approche et développons cette méthode dans le cadre du mouvement Brownien dans sa formulation supersymétrique. Ensuite, un nouveau modèle est proposé pour interpoler la classe A et la classe C de l'effet Hall quantique. Le modèle de Chalker-Coddington est une réalisation particulière de la classe A tandis que la classe C, qui décrit la physique de l'effet Hall quantique de spin, est relié à un modèle de percolation. Ce modèle donne un exemple de flot sous l'action du groupe de renormalisation entre une théorie conforme compacte et non-compacte. La dernière partie de cette thèse discute la classification des observables sur réseau avec une symétrie discrète. Le processus est illustré sur le modèle de Potts avec sa symétrie sous l'action du groupe des permutations et des résultats déjà connus sont étendus au cas des opérateurs non-scalaires. Cette approche est importante dans l'étude de l'indécomposabilité des modèles non-unitaires et peut être utilisée pour étudier la percolation en dimension supérieure.