Le problème de la quantification des ondes est étudié sur l'exemple des ondes élastiques; l'introduction des coordonnées généralisées de Waller ramène la quantification d'une onde à celle d'un oscillateur harmonique à deux dimensions, dégéneré. Cette remarque est essentielle, car il existe pour cet oscillateur fictif une conservation du moment de rotation, qui se traduit par la conservation du sens de propagation des ondes libres. L'oscillateur harmonique dégénéré est traité d'une manière gènérale; le type des fonctions d'onde est indiqué pour un nombre quelconque de dimensions; les ondes sont complètement écrites pour deux dimensions, ainsi que les matrices les plus importantes; on y retrouve, en particulier, les matrices de Peierls; ces calculs justifient toute la théorie des conductibilités électrique et calorifique des métaux, et répondent aux critiques de Wilson.
Le problème de la quantification des ondes est étudié sur l'exemple des ondes élastiques; l'introduction des coordonnées généralisées de Waller ramène la quantification d'une onde à celle d'un oscillateur harmonique à deux dimensions, dégéneré. Cette remarque est essentielle, car il existe pour cet oscillateur fictif une conservation du moment de rotation, qui se traduit par la conservation du sens de propagation des ondes libres. L'oscillateur harmonique dégénéré est traité d'une manière gènérale; le type des fonctions d'onde est indiqué pour un nombre quelconque de dimensions; les ondes sont complètement écrites pour deux dimensions, ainsi que les matrices les plus importantes; on y retrouve, en particulier, les matrices de Peierls; ces calculs justifient toute la théorie des conductibilités électrique et calorifique des métaux, et répondent aux critiques de Wilson.
L'équation fondamentale de la mécanique ondulatoire peut ètre résolue par une méthode d'approximations successives ; au lieu de chercher directement la fonction ψ de Schrodinger, on pose ψ = e^((2πi/h)S) et l'on obtient pour S une équation de la forme [FORMULE], où le premier membre est identique à celui de l'équation de Hamilton, tandis qu'au second membre figure une expression linéaire par rapport aux dérivées partielles du premier et second ordre de S. Cette équation peut être résolue par approximations en posant [FORMULE] et l'on a pour S0 l'équation ordinaire de Hamilton ; la série des équations qui permettent de déterminer S1, S2..., Sn... est ensuite linéaire. La fonction S, en un point donné, est multiforme, tout comme la fonction classique S0 ; sa valeur est déterminée à Σ mh Ik près, les lk étant les périodes de S ; pour que la fonction ψ n'ait qu'une seule détermination, il faut que la périodicité de l'exponentielle compense l'indétermination de S, ce qui donne les conditions Ih = nh h (nk entier). Si l'on s'en tient à la première approximation (S0), on retrouve ainsi la mécanique quantifiée de Sommerfeld, Schwarzschild, etc. Les approximations ultérieures apportent diverses corrections à ce premier calcul (quanta fractionnaires, sélection, etc.). L'auteur développe et précise cette méthode, qu'il avait déjà exposée dans une note aux compte rendus [C. R., t. 183 (5 juillet 1926), p. 24] et qui fut indiquée indépendamment par Wentzel [Zts. f. Phys., t. 38 (1926), p. 318] sous une forme d'ailleurs moins générale. Il était aussi intéressant de rechercher le type le plus général de problèmes résolubles ; c'est ce que tente l'auteur, en généralisant autant que possible les résultats obtenus précédemment. Incidemment, on constate que les équations générales ne permettent plus l'inversion du signe du temps, à moins que l'on ne change simultanément le signe de h ; ceci aura pour conséquence physique de remplacer les absorptions d'énergie par des émissions, et réciproquement D'autre part, les renseignements donnés, d'une manière très générale, sur la méthode de résolution des équations, permettent de préciser la forme des matrices et de montrer par quel mécanisme s'introduisent les règles de sélection. L'auteur indique enfin une suggestion sur le rôle du temps dans la mécanique nouvelle ; il propose une définition qui permet de retrouver sans ambiguïté les fréquences optiques, mais enlève toute existence physique aux fréquences des états stables.
L'hypothèse des sauts quantiques (qu'un point matériel ne peut émettre ou recevoir d'actions extérieures qu'à des intervalles d'action hamiltonienne égaux à h) impose au champ ambiant des forces électromagnétiques une propagation apparente régie par une équation d'ondes où intervient l'action hamiltonienne de l'électron-explorateur nécessaire pour déceler le champ. Cette action hamiltonienne étant d'autre part déterminée par le champ extérieur à la manière classique, l'équation définitive qui régit le champ ambiant résulte de l'élimination de l'action hamiltonienne entre l'équation d'ondes et les équations de la mécanique classique. Cette élimination, immédiate dans le cas de l'approximation de Schrodinger, ne peut se faire dans le cas de la mécanique relativiste qu'en passant des équations du second ordre (des ondes et d'Hamilton-Jacobi) à des équations du premier ordre équivalentes et donne alors le système d'équations de Dirac. Ces équations de Dirac une fois résolues, on peut calculer en fonction de leurs solutions, au moyen des équations précédentes du premier ordre, la quantité de mouvement et l'énergie d'un électron-explorateur en un point quelconque du champ ambiant. Le fait que la position initiale d'un électron vrai est indéterminée dans les données du problème ne permet alors de traiter l'étude de la trajectoire de l'électron que statistiquement, par les méthodes classiques de la mécanique statistique. On retrouve ainsi, dans le cas des trajectoires « possibles » de la mécanique classique, les interprétations statistiqnes prises en hypothèse par Dirac. Un appendice revient sur l'approximation de Schrödinger, précise la différence des électrons vrais et des électrons explorateurs, et interprète l'expérience de Davisson et Germer.
La mécanique classique ne tient pas compte du fait que les forces d'interaction qui agissent sur l'électron sont propagées par ondes. D'autre part, la théorie de Maxwell ne définit aucune fréquence des ondes dont elle étudie la propagation. L'apparition de la discontinuité manifestée par les théories des quanta est attribuée à une propriété fondamentale de la matière, qui ne peut émettre ou recevoîr d'actions extérieures qu'à des intervalles d'action hamiltonnienne égaux à h. Ceci permet de définir des fréquences pour le champ ambiant, champ des forces extérieures agissant sur l'électron. Le champ ambiant apparaît ainsi discontinu du fait des électrons explorateurs qui sont nécessaires pour le faire apparaître, et on lui substitue, pour l'étude mathématique, un champ continu fictif de même amplitude et de même fréquence. Seules certaines de ces fréquences sont stables, permettent l'équilibre entre le champ ambiant et l'électron qui y est plongé : ce sont les fréquences données par l'équation de Schrodinger, qui est retrouvée à partir des conceptions précédentes : c'est donc une équation de condition ajoutée aux équations de la mécanique classique. C'est essentiellement parce qu'on traite un problème de conditions aux limites que les « fréquences critiques » apparaissent. (Le succès de l'interprétation statistique de l'équation de Schrodinger est attribuée aux propriétés générales d'une méthode d'intégration d'une équation aux dérivées partielles.) En même temps, une interprétation de la cinquième dimension est proposée, et la raison donnée de la simplification qu'elle apporte aux calculs. La théorie présente conduit naturellement à considérer le système d'équations de Dirac et à donner une signification géométrique aux « spinvariables » qu'il a introduites.
M. Schrödinger et la plupart des auteurs qui se sont occupés de Mécanique ondulatoire ont cherché à représenter les phénomènes dynamiques par des propagations d'ondes à amplitude continue du type classique en Optique. Au premier abord, il est difficile de comprendre comment ce point de vue peut se concilier avec la structure atomique de la matière et du rayonnement, structure qui n'est plus guère contestée aujourd'hui. Le but du présent mémoire est de montrer que les solutions continues fournissent, en réalité, seulement une certaine vue statistique des phénomènes dynamiques dont la description exacte exige sans doute la considération d'ondes comportant des singularités. En particulier, ce genre de conceptions permet de donner un sens clair à l'équation proposée par Schrodinger pour la dynamique des systèmes.
Avant-propos Avant-proposLa mécanique quantique est une branche de la physique dont l'importance n'a cessé de s'accroître au cours des dernières décennies.Elle est bien sûr essentielle pour comprendre la structure et la dynamique des objets microscopiques comme les atomes, les molécules, ainsi que leurs interactions avec le rayonnement électromagnétique.Mais elle est aussi à la base du fonctionnement de nombreux dispositifs comme les sources laser (communications, médecine, usinage, etc.), les horloges atomiques (essentielles, en particulier, pour le GPS), les transistors (et donc les communications, l'informatique), l'imagerie par résonance magnétique, la production d'énergie (capteurs solaires, nucléaire), etc., donc des applications pratiques innombrables.Elle permet également d'expliquer des phénomènes surprenants comme la superfluidité ou la supraconductivité.Un grand intérêt est actuellement porté aux états quantiques intriqués, dont les propriétés de non-localité et non-séparabilité sont peu intuitives, et permettent d'envisager des applications remarquables dans le domaine de l'information quantique.Notre civilisation devient ainsi de plus en plus imprégnée par les applications technologiques qui découlent des concepts quantiques.Il est par suite clair qu'une attention particulière doit être portée à l'enseignement de la mécanique quantique.L'objet de ces trois tomes est de concourir à cet objectif.Un premier contact avec la mécanique quantique peut cependant être très déroutant.Le présent ouvrage, issu de plusieurs enseignements auprès des étudiants, a été conçu dans le but de faciliter une approche initiale, et d'aider ensuite le lecteur à progresser continûment vers un niveau avancé de mécanique quantique.Les deux premiers tomes, publiés il y a plus de 40 ans, ont été utilisés par des étudiants du monde entier.Ils restaient toutefois à un niveau intermédiaire ; l'ouvrage est maintenant complété par un troisième tome qui permet au lecteur d'aller plus loin.L'ensemble est systématiquement fondé sur une approche progressive des problèmes, où aucune difficulté n'est passée sous silence, et où chaque aspect des diverses questions est discuté en détail (en partant souvent d'un rappel classique).Cette volonté d'aller au fond des choses «sans tricher ni prendre de raccourci» se concrétise dans la structure même de l'ouvrage, construite à l'aide de deux textes distincts mais imbriqués : les chapitres et les compléments.Comme indiqué dans le "mode d'emploi" de la page précédente, les chapitres présentent les idées générales et les notions de base, tandis que les compléments illustrent les méthodes et concepts qui viennent d'être introduits, tout en proposant un large éventail d'applications et de prolongements intéressants.Le tome I présente une introduction générale du sujet, suivie d'un chapitre détaillé qui décrit les outils mathématiques de base de la mécanique quantique.Ce chapitre peut paraître un peu long et dense, mais l'expérience d'enseignement des auteurs a montré que cette présentation est à terme la plus efficace.Les postulats sont énoncés à partir du troisième chapitre, avec de nombreuses illustrations dans les compléments.Ensuite sont décrites quelques grandes applications de la mécanique quantique, par exemple l'oscillateur harmonique, qui donne lieu à de très nombreuses applications (vibration des molécules, phonons, etc.), dont bon nombre font l'objet d'un complément spécifique.Le tome II poursuit dans cette voie, en élargissant sa portée, et à un niveau un peu plus élevé.Il aborde la théorie des collisions, le spin, la composition des moments cinétiques et les calculs des perturbations indépendantes ou dépendantes du temps.
Dans cette these on etudie la caracterisation de la fonction d'onde de Jastrow de n particules en presence de differents types de correlations fortes entre particules. Ces correlations ont pour origine les forces a n-corps au sein de l'ensemble des n particules (n n). L'ansatz de Jastrow consiste a representer la fonction d'onde comme produit de fonctions d'ondes (1, 2, , n) = exp (1, 2, , n) representant un amas quelconque de n particules (n = 2, 3, , n). Pratiquement il decrit un etat lie fluide ou solide des n particules. Pour que ces correlations correspondent a des potentiels interparticulaires a n-corps, la fonction inconnue doit satisfaire a une equation fonctionnelle connue sous le nom de condition de Sutherland. En fait la condition de Sutherland est une condition de solubilite du probleme car une fois qu’est connue l'ansatz de Jastrow est completement defini ainsi que le potentiel interparticulaire qui lui est propre. Pour representer l'etat fondamental des n particules on choisira de facon que les seuls zeros des variables relatives soient ceux qui sont imposes par un principe d'exclusion eventuel et que l'interpretation statistique de la fonction d'onde soit respectee. Pour se familiariser avec le mecanisme de fonctionnement de l'ansatz de Jastrow, on repasse en revue le probleme des n-corps unidimensionnels qui est soluble avec l'ansatz de Jastrow pour lequel la condition de Sutherland est identique a une equation fonctionnelle des fonctions elliptiques de Weierstrass. Ensuite on traite le cas pertinent pour les phenomenes physiques recents en deux dimensions, en examinant successivement n = 2, et 3. Avant de generaliser on montre que pour n = 2, on peut construire des solutions assez facilement si seulement la solution est invariante par translation. Par contre en presence d'invariance supplementaire par rotation, la seule solution physiquement acceptable est celle qui correspond a l'interaction harmonique, exactement soluble par d'autres moyens aussi. Pour 3 n n il est ne����cessaire de developper une theorie de fonctions a plusieurs variables qui generaliseraient les fonctions elliptiques et possederaient des relations fonctionnelles du type de Sutherland. Cette etude montre qu'il existe un champ de recherche nouveau dans le traitement de la physique quantique de n particules planaires en presence de fortes correlations, que l'ansatz de Bethe classique, connu en une dimension, ne peut tenir compte. Seulement en face de ces perspectives attrayantes elle necessite la construction de fonctions nouvelles a plusieurs variables ayant globalement les memes proprietes fonctionnelles que les fonctions elliptiques connues.