M. Schrödinger et la plupart des auteurs qui se sont occupés de Mécanique ondulatoire ont cherché à représenter les phénomènes dynamiques par des propagations d'ondes à amplitude continue du type classique en Optique. Au premier abord, il est difficile de comprendre comment ce point de vue peut se concilier avec la structure atomique de la matière et du rayonnement, structure qui n'est plus guère contestée aujourd'hui. Le but du présent mémoire est de montrer que les solutions continues fournissent, en réalité, seulement une certaine vue statistique des phénomènes dynamiques dont la description exacte exige sans doute la considération d'ondes comportant des singularités. En particulier, ce genre de conceptions permet de donner un sens clair à l'équation proposée par Schrodinger pour la dynamique des systèmes.
M. Schrödinger et la plupart des auteurs qui se sont occupés de Mécanique ondulatoire ont cherché à représenter les phénomènes dynamiques par des propagations d'ondes à amplitude continue du type classique en Optique. Au premier abord, il est difficile de comprendre comment ce point de vue peut se concilier avec la structure atomique de la matière et du rayonnement, structure qui n'est plus guère contestée aujourd'hui. Le but du présent mémoire est de montrer que les solutions continues fournissent, en réalité, seulement une certaine vue statistique des phénomènes dynamiques dont la description exacte exige sans doute la considération d'ondes comportant des singularités. En particulier, ce genre de conceptions permet de donner un sens clair à l'équation proposée par Schrodinger pour la dynamique des systèmes.
Sommaire.2014 Le but du mémoire est d'exposer les principes généraux de la nouvelle conception ondulatoire de la mécanique suggérée par l'auteur et confirmée par les récents travaux de Schrodinger.L'auteur a cherché d'abord à montrer, dans le cas particulier des champs constants, comment les résultats de Schrodinger prolongent et complètent les siens; puis il examine si les mêmes idées peuvent être étendues aux champs variables et à la dynamique des systèmes.Résumant enfin la manière dont Schrodinger a pu ramener la mécanique quantique d'Heisenberg, Born et Jordan à la nouvelle mécanique ondula- toire, il indique rapidement, en terminant, les problèmes que pose le raccord de la théorie électromagnétique avec l'ensemble de ces conceptions.SÉRIE VI. -TOME VII.NOVEMBRE 1926 N-IJ 1. I. -DYNAMIQUE ONDULATOIRE DU POINT MATÉRIEL DANS LN CH.1J1P ' Pour interpréter les faits expérimentaux, les physiciens ont été amenés à considérer surtout le type suivant de solution de l'équation ( t ) : OÙ '1 est une constante appelée la fréquence de l'onde, et -1, une fonction représentant son (1) Voir notamment Thèse de doctorat, )Iasson, i924, et J. Phys., t. 7 (1926).1-6.(2) Ann.der Phys., t. 79 (i926), 351, 489 et 734.Je désignerai ces trois mémoires par les lettres A, B, C.
L'auteur reprend l'étude, tant de fois entreprise, des principes fondamentaux de l'Energétique. pour l'appliquer au phénomène que constitue le mouvement d'un point matériel L'analyse de ces principes conduit, pour les transformations réversibles, à des énoncés précis, dont l'application fournit, d'une part les équations de Lagrange, et de l'autre, la fonction qui joue un rôle analogue à celui de l'entropie thermodynamique, Pour le phenomène du mouvement, cette « entropie mecanique » n'est autre que l'action S; le principe d'Hamil on est alors simplement l'expression du principe de Carnot généralisé, appliqué à un cycle infiniment petit. Ce résultat a deux conséquences importantes : 1° Il rend plus facilement acceptable la mystérieuse hypothèse de ['atomicité de l'action, clef de voûte de la théorie des quanta. En effet. l'identification de l'action à une « entropie » range celle-ci dans la catégorie des facteur, de capacité d'une certaine forme d'énergie Or, l'observation nous montre que chaque fois qu'un élément physique a une structure discontinue, il est, énergétiquement un facteur de capacité. L'atomicité de l'action rentre ainsi dans un principe général, le principe de l'atomicité des entropies; elle n'est pas plus imprévue, ni plus mystérieuse que l'atomicité de la matière ou de électricité. 2° Ce résultat permet de traiter les problèmes d'intensité, c'est à-dire en fait, le problème de la répartition statistique d'un grand nombre d'éléments. A cette fin, on relie la probabilité de présence ψ d'un point en une région déterminée à l'entropie mécanique S par une relation qui généralise l'hypothèse de Boltzmann S = k log ψ. Des résultats simples montrent que la constante universelle k est égale à h/2πi, en accord avec la mécanique ondulatoire. Si on fait cette substitution dans l'équation de Jacobi que vérifie S, on retombe sur l'équation de Schrödinger, à condition d'admettre une relation supplémentaire (par exemple Δ S = 0 pour un cas simple). On peut ainsi obtenir l'équation de Schrödinger par un procédé direct et qui n'est pas exclusivement formel. Ce procédé montre que cette équation n'est pas universelle, mais simplement l'équation d'un mouvement particulier. Les développements précédents ont le grave défaut de ne faire usage que des notions classiques ; on n'envisage pas, dans cet article. leur relation avec les nouvelles mécaniques, ni avec le principe d'indétermination de Heisenberg. Incidemment, on introduit dans le cours des raisonnements une notion mathématique nouvelle : la probabilité imaginaire. Un paragraphe est consacré à l'analyse sommaire de cette notion et montre qu'on aurait pu la retrouver mathématiquement, sans hypothèse physique, par simple généralisation.
La mécanique classique ne tient pas compte du fait que les forces d'interaction qui agissent sur l'électron sont propagées par ondes. D'autre part, la théorie de Maxwell ne définit aucune fréquence des ondes dont elle étudie la propagation. L'apparition de la discontinuité manifestée par les théories des quanta est attribuée à une propriété fondamentale de la matière, qui ne peut émettre ou recevoîr d'actions extérieures qu'à des intervalles d'action hamiltonnienne égaux à h. Ceci permet de définir des fréquences pour le champ ambiant, champ des forces extérieures agissant sur l'électron. Le champ ambiant apparaît ainsi discontinu du fait des électrons explorateurs qui sont nécessaires pour le faire apparaître, et on lui substitue, pour l'étude mathématique, un champ continu fictif de même amplitude et de même fréquence. Seules certaines de ces fréquences sont stables, permettent l'équilibre entre le champ ambiant et l'électron qui y est plongé : ce sont les fréquences données par l'équation de Schrodinger, qui est retrouvée à partir des conceptions précédentes : c'est donc une équation de condition ajoutée aux équations de la mécanique classique. C'est essentiellement parce qu'on traite un problème de conditions aux limites que les « fréquences critiques » apparaissent. (Le succès de l'interprétation statistique de l'équation de Schrodinger est attribuée aux propriétés générales d'une méthode d'intégration d'une équation aux dérivées partielles.) En même temps, une interprétation de la cinquième dimension est proposée, et la raison donnée de la simplification qu'elle apporte aux calculs. La théorie présente conduit naturellement à considérer le système d'équations de Dirac et à donner une signification géométrique aux « spinvariables » qu'il a introduites.
La Mécanique ondulatoire dispose de deux méthodes : la première, la méthode classique, qui repose sur l'équation de Schrödinger et le calcul des matrices, a connu des succès éclatants qui lui valurent une sorte de monopole dans la physique de l'atome et de la molécule. Mais elle ne s'applique en toute rigueur qu'aux opérateurs bornés et ceux-ci ne se rencontrent guère en Mécanique ondulatoire. La seconde par contre, la méthode de Neumann, qui repose sur l'algèbre des familles spectrales, est mathématiquement inattaquable. Malheureusement, elle est inutilisable dans les applications. Si l'on songe au rôle que joue la puissance de l'instrument mathématique dans le développement des théories physiques, on comprend alors l'intérêt que présenterait une méthode qui réunisse les qualités du formalisme de Neumann et du formalisme classique. La méthode proposée ici les réunit sans doute en partie. Elle substitue aux familles spectrales leurs transformées de Fourier-Stieltjes Us. Les multiples propriétés des opérateurs Us et la grande maniabilité des fonctions caractéristiques (ψ, Us, ψ) des lois de probabilités correspondantes, lui permettent de traiter un certain nombre de problèmes avec une brièveté sans doute difficile à surpasser. On en donne quelques exemples (1).
La Mécanique ondulatoire dispose de deux méthodes : la première, la méthode classique, qui repose sur l'équation de Schrödinger et le calcul des matrices, a connu des succès éclatants qui lui valurent une sorte de monopole dans la physique de l'atome et de la molécule. Mais elle ne s'applique en toute rigueur qu'aux opérateurs bornés et ceux-ci ne se rencontrent guère en Mécanique ondulatoire. La seconde par contre, la méthode de Neumann, qui repose sur l'algèbre des familles spectrales, est mathématiquement inattaquable. Malheureusement, elle est inutilisable dans les applications. Si l'on songe au rôle que joue la puissance de l'instrument mathématique dans le développement des théories physiques, on comprend alors l'intérêt que présenterait une méthode qui réunisse les qualités du formalisme de Neumann et du formalisme classique. La méthode proposée ici les réunit sans doute en partie. Elle substitue aux familles spectrales leurs transformées de Fourier-Stieltjes Us. Les multiples propriétés des opérateurs Us et la grande maniabilité des fonctions caractéristiques (ψ, Us, ψ) des lois de probabilités correspondantes, lui permettent de traiter un certain nombre de problèmes avec une brièveté sans doute difficile à surpasser. On en donne quelques exemples (1).
L'hypothèse des sauts quantiques (qu'un point matériel ne peut émettre ou recevoir d'actions extérieures qu'à des intervalles d'action hamiltonienne égaux à h) impose au champ ambiant des forces électromagnétiques une propagation apparente régie par une équation d'ondes où intervient l'action hamiltonienne de l'électron-explorateur nécessaire pour déceler le champ. Cette action hamiltonienne étant d'autre part déterminée par le champ extérieur à la manière classique, l'équation définitive qui régit le champ ambiant résulte de l'élimination de l'action hamiltonienne entre l'équation d'ondes et les équations de la mécanique classique. Cette élimination, immédiate dans le cas de l'approximation de Schrodinger, ne peut se faire dans le cas de la mécanique relativiste qu'en passant des équations du second ordre (des ondes et d'Hamilton-Jacobi) à des équations du premier ordre équivalentes et donne alors le système d'équations de Dirac. Ces équations de Dirac une fois résolues, on peut calculer en fonction de leurs solutions, au moyen des équations précédentes du premier ordre, la quantité de mouvement et l'énergie d'un électron-explorateur en un point quelconque du champ ambiant. Le fait que la position initiale d'un électron vrai est indéterminée dans les données du problème ne permet alors de traiter l'étude de la trajectoire de l'électron que statistiquement, par les méthodes classiques de la mécanique statistique. On retrouve ainsi, dans le cas des trajectoires « possibles » de la mécanique classique, les interprétations statistiqnes prises en hypothèse par Dirac. Un appendice revient sur l'approximation de Schrödinger, précise la différence des électrons vrais et des électrons explorateurs, et interprète l'expérience de Davisson et Germer.