L'auteur reprend l'étude, tant de fois entreprise, des principes fondamentaux de l'Energétique. pour l'appliquer au phénomène que constitue le mouvement d'un point matériel L'analyse de ces principes conduit, pour les transformations réversibles, à des énoncés précis, dont l'application fournit, d'une part les équations de Lagrange, et de l'autre, la fonction qui joue un rôle analogue à celui de l'entropie thermodynamique, Pour le phenomène du mouvement, cette « entropie mecanique » n'est autre que l'action S; le principe d'Hamil on est alors simplement l'expression du principe de Carnot généralisé, appliqué à un cycle infiniment petit. Ce résultat a deux conséquences importantes : 1° Il rend plus facilement acceptable la mystérieuse hypothèse de ['atomicité de l'action, clef de voûte de la théorie des quanta. En effet. l'identification de l'action à une « entropie » range celle-ci dans la catégorie des facteur, de capacité d'une certaine forme d'énergie Or, l'observation nous montre que chaque fois qu'un élément physique a une structure discontinue, il est, énergétiquement un facteur de capacité. L'atomicité de l'action rentre ainsi dans un principe général, le principe de l'atomicité des entropies; elle n'est pas plus imprévue, ni plus mystérieuse que l'atomicité de la matière ou de électricité. 2° Ce résultat permet de traiter les problèmes d'intensité, c'est à-dire en fait, le problème de la répartition statistique d'un grand nombre d'éléments. A cette fin, on relie la probabilité de présence ψ d'un point en une région déterminée à l'entropie mécanique S par une relation qui généralise l'hypothèse de Boltzmann S = k log ψ. Des résultats simples montrent que la constante universelle k est égale à h/2πi, en accord avec la mécanique ondulatoire. Si on fait cette substitution dans l'équation de Jacobi que vérifie S, on retombe sur l'équation de Schrödinger, à condition d'admettre une relation supplémentaire (par exemple Δ S = 0 pour un cas simple). On peut ainsi obtenir l'équation de Schrödinger par un procédé direct et qui n'est pas exclusivement formel. Ce procédé montre que cette équation n'est pas universelle, mais simplement l'équation d'un mouvement particulier. Les développements précédents ont le grave défaut de ne faire usage que des notions classiques ; on n'envisage pas, dans cet article. leur relation avec les nouvelles mécaniques, ni avec le principe d'indétermination de Heisenberg. Incidemment, on introduit dans le cours des raisonnements une notion mathématique nouvelle : la probabilité imaginaire. Un paragraphe est consacré à l'analyse sommaire de cette notion et montre qu'on aurait pu la retrouver mathématiquement, sans hypothèse physique, par simple généralisation.
L'auteur reprend l'étude, tant de fois entreprise, des principes fondamentaux de l'Energétique. pour l'appliquer au phénomène que constitue le mouvement d'un point matériel L'analyse de ces principes conduit, pour les transformations réversibles, à des énoncés précis, dont l'application fournit, d'une part les équations de Lagrange, et de l'autre, la fonction qui joue un rôle analogue à celui de l'entropie thermodynamique, Pour le phenomène du mouvement, cette « entropie mecanique » n'est autre que l'action S; le principe d'Hamil on est alors simplement l'expression du principe de Carnot généralisé, appliqué à un cycle infiniment petit. Ce résultat a deux conséquences importantes : 1° Il rend plus facilement acceptable la mystérieuse hypothèse de ['atomicité de l'action, clef de voûte de la théorie des quanta. En effet. l'identification de l'action à une « entropie » range celle-ci dans la catégorie des facteur, de capacité d'une certaine forme d'énergie Or, l'observation nous montre que chaque fois qu'un élément physique a une structure discontinue, il est, énergétiquement un facteur de capacité. L'atomicité de l'action rentre ainsi dans un principe général, le principe de l'atomicité des entropies; elle n'est pas plus imprévue, ni plus mystérieuse que l'atomicité de la matière ou de électricité. 2° Ce résultat permet de traiter les problèmes d'intensité, c'est à-dire en fait, le problème de la répartition statistique d'un grand nombre d'éléments. A cette fin, on relie la probabilité de présence ψ d'un point en une région déterminée à l'entropie mécanique S par une relation qui généralise l'hypothèse de Boltzmann S = k log ψ. Des résultats simples montrent que la constante universelle k est égale à h/2πi, en accord avec la mécanique ondulatoire. Si on fait cette substitution dans l'équation de Jacobi que vérifie S, on retombe sur l'équation de Schrödinger, à condition d'admettre une relation supplémentaire (par exemple Δ S = 0 pour un cas simple). On peut ainsi obtenir l'équation de Schrödinger par un procédé direct et qui n'est pas exclusivement formel. Ce procédé montre que cette équation n'est pas universelle, mais simplement l'équation d'un mouvement particulier. Les développements précédents ont le grave défaut de ne faire usage que des notions classiques ; on n'envisage pas, dans cet article. leur relation avec les nouvelles mécaniques, ni avec le principe d'indétermination de Heisenberg. Incidemment, on introduit dans le cours des raisonnements une notion mathématique nouvelle : la probabilité imaginaire. Un paragraphe est consacré à l'analyse sommaire de cette notion et montre qu'on aurait pu la retrouver mathématiquement, sans hypothèse physique, par simple généralisation.
L'hypothèse des sauts quantiques (qu'un point matériel ne peut émettre ou recevoir d'actions extérieures qu'à des intervalles d'action hamiltonienne égaux à h) impose au champ ambiant des forces électromagnétiques une propagation apparente régie par une équation d'ondes où intervient l'action hamiltonienne de l'électron-explorateur nécessaire pour déceler le champ. Cette action hamiltonienne étant d'autre part déterminée par le champ extérieur à la manière classique, l'équation définitive qui régit le champ ambiant résulte de l'élimination de l'action hamiltonienne entre l'équation d'ondes et les équations de la mécanique classique. Cette élimination, immédiate dans le cas de l'approximation de Schrodinger, ne peut se faire dans le cas de la mécanique relativiste qu'en passant des équations du second ordre (des ondes et d'Hamilton-Jacobi) à des équations du premier ordre équivalentes et donne alors le système d'équations de Dirac. Ces équations de Dirac une fois résolues, on peut calculer en fonction de leurs solutions, au moyen des équations précédentes du premier ordre, la quantité de mouvement et l'énergie d'un électron-explorateur en un point quelconque du champ ambiant. Le fait que la position initiale d'un électron vrai est indéterminée dans les données du problème ne permet alors de traiter l'étude de la trajectoire de l'électron que statistiquement, par les méthodes classiques de la mécanique statistique. On retrouve ainsi, dans le cas des trajectoires « possibles » de la mécanique classique, les interprétations statistiqnes prises en hypothèse par Dirac. Un appendice revient sur l'approximation de Schrödinger, précise la différence des électrons vrais et des électrons explorateurs, et interprète l'expérience de Davisson et Germer.
Cette thèse s'inscrit dans le domaine de physique théorique appelé systèmes intégrables, qui mêle fructueusement physique et mathématiques et se caractérise par la possibilité d'obtenir des résultats exacts (i.e. non perturbatifs) guidant les prédictions physiques qui en découlent. Dans ce contexte, l'équation de Schrödinger non-linéaire (à 1+1 dimensions) est un système privilégié. On la retrouve comme modèle de phénomènes variés tant classiques (optique non-linéaire, mécanique des fluides...) que quantiques (gaz ultra-froids, condensation de Bose-Einstein...). En outre, elle a contribué à la mise au point de techniques de résolution des systèmes intégrables : méthode de diffusion inverse, ansatz de Bethe, identification et utilisation de symétries (groupes quantiques, Yangiens). En utilisant ce système à la fois comme support de test et comme modèle de prédiction, mon travail de thèse tourne autour de deux points principaux : - Inclusion de degrés de liberté bosoniques et fermioniques. - Inclusion d'un bord ou d'une impureté. Dans un premier temps, j'ai étudié une version « supersymétrique » de cette équation pour laquelle j'ai montré la validité de tous les résultats d'intégrabilité, de symétrie et de résolution explicite classiques et quantiques connus pour la version scalaire originelle. La question de l'inclusion d'un bord a été traitée d'un autre point de vue. L'idée est de partir d'une algèbre de symétrie caractéristique des systèmes intégrables avec bord, l'algèbre de réflexion, et de construire un Hamiltonien général intégrable et possédant cette algèbre comme structure de symétrie. Un cas particulier de l'Hamiltonien intégrable obtenu n'est autre que l'Hamiltonien de Schrödinger non-linéaire en présence d'un bord. Un autre cas particulier est l'Hamiltonien de Sutherland en présence d'un bord pour lequel la symétrie n'était pas connue. Le problème de l'inclusion d'une impureté dans un système intégrable a constitué la plus grosse partie de mon travail. J'ai pu montrer qu'il est possible de préserver l'intégrabilité d'un système avec interaction lorsqu'on introduit un défaut qui transmet et réfléchit (une impureté) grâce à une nouvelle structure algébrique, l'algèbre de Réflexion-Transmission, appliquée à l'équation de Schrödinger non-linéaire. Cela permet de trouver la forme explicite du champ, de calculer de façon exacte les éléments de la matrice de diffusion et les fonctions de corrélation à N points et d'identifier la symétrie du problème. Suite à ce travail, les équations exactes qui régissent le spectre d'énergie d'un gaz de particules en interaction de contact et en présence d'une impureté contrôlée par quatre paramètres ont été établies. Ces résultats ouvrent des perspectives d'applications en physique de la matière condensée.
La mécanique classique ne tient pas compte du fait que les forces d'interaction qui agissent sur l'électron sont propagées par ondes. D'autre part, la théorie de Maxwell ne définit aucune fréquence des ondes dont elle étudie la propagation. L'apparition de la discontinuité manifestée par les théories des quanta est attribuée à une propriété fondamentale de la matière, qui ne peut émettre ou recevoîr d'actions extérieures qu'à des intervalles d'action hamiltonnienne égaux à h. Ceci permet de définir des fréquences pour le champ ambiant, champ des forces extérieures agissant sur l'électron. Le champ ambiant apparaît ainsi discontinu du fait des électrons explorateurs qui sont nécessaires pour le faire apparaître, et on lui substitue, pour l'étude mathématique, un champ continu fictif de même amplitude et de même fréquence. Seules certaines de ces fréquences sont stables, permettent l'équilibre entre le champ ambiant et l'électron qui y est plongé : ce sont les fréquences données par l'équation de Schrodinger, qui est retrouvée à partir des conceptions précédentes : c'est donc une équation de condition ajoutée aux équations de la mécanique classique. C'est essentiellement parce qu'on traite un problème de conditions aux limites que les « fréquences critiques » apparaissent. (Le succès de l'interprétation statistique de l'équation de Schrodinger est attribuée aux propriétés générales d'une méthode d'intégration d'une équation aux dérivées partielles.) En même temps, une interprétation de la cinquième dimension est proposée, et la raison donnée de la simplification qu'elle apporte aux calculs. La théorie présente conduit naturellement à considérer le système d'équations de Dirac et à donner une signification géométrique aux « spinvariables » qu'il a introduites.
L'équation fondamentale de la mécanique ondulatoire peut ètre résolue par une méthode d'approximations successives ; au lieu de chercher directement la fonction ψ de Schrodinger, on pose ψ = e^((2πi/h)S) et l'on obtient pour S une équation de la forme [FORMULE], où le premier membre est identique à celui de l'équation de Hamilton, tandis qu'au second membre figure une expression linéaire par rapport aux dérivées partielles du premier et second ordre de S. Cette équation peut être résolue par approximations en posant [FORMULE] et l'on a pour S0 l'équation ordinaire de Hamilton ; la série des équations qui permettent de déterminer S1, S2..., Sn... est ensuite linéaire. La fonction S, en un point donné, est multiforme, tout comme la fonction classique S0 ; sa valeur est déterminée à Σ mh Ik près, les lk étant les périodes de S ; pour que la fonction ψ n'ait qu'une seule détermination, il faut que la périodicité de l'exponentielle compense l'indétermination de S, ce qui donne les conditions Ih = nh h (nk entier). Si l'on s'en tient à la première approximation (S0), on retrouve ainsi la mécanique quantifiée de Sommerfeld, Schwarzschild, etc. Les approximations ultérieures apportent diverses corrections à ce premier calcul (quanta fractionnaires, sélection, etc.). L'auteur développe et précise cette méthode, qu'il avait déjà exposée dans une note aux compte rendus [C. R., t. 183 (5 juillet 1926), p. 24] et qui fut indiquée indépendamment par Wentzel [Zts. f. Phys., t. 38 (1926), p. 318] sous une forme d'ailleurs moins générale. Il était aussi intéressant de rechercher le type le plus général de problèmes résolubles ; c'est ce que tente l'auteur, en généralisant autant que possible les résultats obtenus précédemment. Incidemment, on constate que les équations générales ne permettent plus l'inversion du signe du temps, à moins que l'on ne change simultanément le signe de h ; ceci aura pour conséquence physique de remplacer les absorptions d'énergie par des émissions, et réciproquement D'autre part, les renseignements donnés, d'une manière très générale, sur la méthode de résolution des équations, permettent de préciser la forme des matrices et de montrer par quel mécanisme s'introduisent les règles de sélection. L'auteur indique enfin une suggestion sur le rôle du temps dans la mécanique nouvelle ; il propose une définition qui permet de retrouver sans ambiguïté les fréquences optiques, mais enlève toute existence physique aux fréquences des états stables.
Le ZX-Calculus est un langage graphique puissant et intuitif, issu de la théorie des catégories, et qui permet de raisonner et calculer en quantique. Les évolutions quantiques sont vues dans ce formalisme comme des graphes ouverts, ou diagrammes, qui peuvent être transformés localement selon un ensemble d’axiomes qui préservent le résultat du calcul. Un aspect des plus importants du langage est sa complétude : Étant donnés deux diagrammes qui représentent la même évolution quantique, puis-je transformer l’un en l’autre en utilisant seulement les règles graphiques permises par le langage ? Si c’est le cas, cela veut dire que le langage graphique capture entièrement la mécanique quantique. Le langage est connu comme étant complet pour une sous-classe (ou fragment) particulière d’évolutions quantiques, appelée Clifford. Malheureusement, celle-ci n’est pas universelle : on ne peut pas représenter, ni même approcher, certaines évolutions. Dans cette thèse, nous proposons d’élargir l’ensemble d’axiomes pour obtenir la complétude pour des fragments plus grands du langage, qui en particulier sont approximativement universels, voire universels. Pour ce faire, dans un premier temps nous utilisons la complétude d’un autre langage graphique et transportons ce résultat au ZX-Calculus. Afin de simplifier cette fastidieuse étape, nous introduisons un langage intermédiaire, intéressant en lui-même car il capture un fragment particulier mais universel de la mécanique quantique : Toffoli-Hadamard. Nous définissons ensuite la notion de diagramme linéaire, qui permet d’obtenir une preuve uniforme pour certains ensembles d’équations. Nous définissons également la notion de décomposition d’un diagramme en valeurs singuliaires, ce qui nous permet de nous épargner un grand nombre de calculs. Dans un second temps, nous définissons une forme normale qui a le mérite d’exister pour une infinité de fragments du langage, ainsi que pour le langage lui-même, sans restriction. Grâce à cela, nous reprouvons les résultats de complétude précédents, mais cette fois sans utiliser de langage tiers, et nous en dérivons de nouveaux, pour d’autres fragments. Les états contrôlés, utilisés pour la définition de forme normale, s’avèrent en outre utiles pour réaliser des opérations non-triviales telles que la somme, le produit terme-à-terme, ou la concaténation.