Le ZX-Calculus est un langage graphique puissant et intuitif, issu de la théorie des catégories, et qui permet de raisonner et calculer en quantique. Les évolutions quantiques sont vues dans ce formalisme comme des graphes ouverts, ou diagrammes, qui peuvent être transformés localement selon un ensemble d’axiomes qui préservent le résultat du calcul. Un aspect des plus importants du langage est sa complétude : Étant donnés deux diagrammes qui représentent la même évolution quantique, puis-je transformer l’un en l’autre en utilisant seulement les règles graphiques permises par le langage ? Si c’est le cas, cela veut dire que le langage graphique capture entièrement la mécanique quantique. Le langage est connu comme étant complet pour une sous-classe (ou fragment) particulière d’évolutions quantiques, appelée Clifford. Malheureusement, celle-ci n’est pas universelle : on ne peut pas représenter, ni même approcher, certaines évolutions. Dans cette thèse, nous proposons d’élargir l’ensemble d’axiomes pour obtenir la complétude pour des fragments plus grands du langage, qui en particulier sont approximativement universels, voire universels. Pour ce faire, dans un premier temps nous utilisons la complétude d’un autre langage graphique et transportons ce résultat au ZX-Calculus. Afin de simplifier cette fastidieuse étape, nous introduisons un langage intermédiaire, intéressant en lui-même car il capture un fragment particulier mais universel de la mécanique quantique : Toffoli-Hadamard. Nous définissons ensuite la notion de diagramme linéaire, qui permet d’obtenir une preuve uniforme pour certains ensembles d’équations. Nous définissons également la notion de décomposition d’un diagramme en valeurs singuliaires, ce qui nous permet de nous épargner un grand nombre de calculs. Dans un second temps, nous définissons une forme normale qui a le mérite d’exister pour une infinité de fragments du langage, ainsi que pour le langage lui-même, sans restriction. Grâce à cela, nous reprouvons les résultats de complétude précédents, mais cette fois sans utiliser de langage tiers, et nous en dérivons de nouveaux, pour d’autres fragments. Les états contrôlés, utilisés pour la définition de forme normale, s’avèrent en outre utiles pour réaliser des opérations non-triviales telles que la somme, le produit terme-à-terme, ou la concaténation.
Le ZX-Calculus est un langage graphique puissant et intuitif, issu de la théorie des catégories, et qui permet de raisonner et calculer en quantique. Les évolutions quantiques sont vues dans ce formalisme comme des graphes ouverts, ou diagrammes, qui peuvent être transformés localement selon un ensemble d’axiomes qui préservent le résultat du calcul. Un aspect des plus importants du langage est sa complétude : Étant donnés deux diagrammes qui représentent la même évolution quantique, puis-je transformer l’un en l’autre en utilisant seulement les règles graphiques permises par le langage ? Si c’est le cas, cela veut dire que le langage graphique capture entièrement la mécanique quantique. Le langage est connu comme étant complet pour une sous-classe (ou fragment) particulière d’évolutions quantiques, appelée Clifford. Malheureusement, celle-ci n’est pas universelle : on ne peut pas représenter, ni même approcher, certaines évolutions. Dans cette thèse, nous proposons d’élargir l’ensemble d’axiomes pour obtenir la complétude pour des fragments plus grands du langage, qui en particulier sont approximativement universels, voire universels. Pour ce faire, dans un premier temps nous utilisons la complétude d’un autre langage graphique et transportons ce résultat au ZX-Calculus. Afin de simplifier cette fastidieuse étape, nous introduisons un langage intermédiaire, intéressant en lui-même car il capture un fragment particulier mais universel de la mécanique quantique : Toffoli-Hadamard. Nous définissons ensuite la notion de diagramme linéaire, qui permet d’obtenir une preuve uniforme pour certains ensembles d’équations. Nous définissons également la notion de décomposition d’un diagramme en valeurs singuliaires, ce qui nous permet de nous épargner un grand nombre de calculs. Dans un second temps, nous définissons une forme normale qui a le mérite d’exister pour une infinité de fragments du langage, ainsi que pour le langage lui-même, sans restriction. Grâce à cela, nous reprouvons les résultats de complétude précédents, mais cette fois sans utiliser de langage tiers, et nous en dérivons de nouveaux, pour d’autres fragments. Les états contrôlés, utilisés pour la définition de forme normale, s’avèrent en outre utiles pour réaliser des opérations non-triviales telles que la somme, le produit terme-à-terme, ou la concaténation.
ZX-Calculs pour l'informatique quantique et leur complétude Le ZX-Calculus est un langage graphique puissant et intuitif, issu de la théorie des catégories, et qui permet de raisonner et calculer en quantique. Les évolutions quantiques sont vues dans ce formalisme comme des graphes ouverts, ou diagrammes, qui peuvent être transformés localement selon un ensemble d’axiomes qui préservent le résultat du calcul. Un aspect des plus importants du langage est sa complétude : Étant donnés deux diagrammes qui représentent la même évolution quantique, puis-je transformer l’un en l’autre en utilisant seulement les règles graphiques permises par le langage ? Si c’est le cas, cela veut dire que le langage graphique capture entièrement la mécanique quantique. Le langage est connu comme étant complet pour une sous-classe (ou fragment) particulière d’évolutions quantiques, appelée Clifford. Malheureusement, celle-ci n’est pas universelle : on ne peut pas représenter, ni même approcher, certaines évolutions. Dans cette thèse, nous proposons d’élargir l’ensemble d’axiomes pour obtenir la complétude pour des fragments plus grands du langage, qui en particulier sont approximativement universels, voire universels. Pour ce faire, dans un premier temps nous utilisons la complétude d’un autre langage graphique et transportons ce résultat au ZX-Calculus. Afin de simplifier cette fastidieuse étape, nous introduisons un langage intermédiaire, intéressant en lui-même car il capture un fragment particulier mais universel de la mécanique quantique : Toffoli-Hadamard. Nous définissons ensuite la notion de diagramme linéaire, qui permet d’obtenir une preuve uniforme pour certains ensembles d’équations. Nous définissons également la notion de décomposition d’un diagramme en valeurs singuliaires, ce qui nous permet de nous épargner un grand nombre de calculs. Dans un second temps, nous définissons une forme normale qui a le mérite d’exister pour une infinité de fragments du langage, ainsi que pour le langage lui-même, sans restriction. Grâce à cela, nous reprouvons les résultats de complétude précédents, mais cette fois sans utiliser de langage tiers, et nous en dérivons de nouveaux, pour d’autres fragments. Les états contrôlés, utilisés pour la définition de forme normale, s’avèrent en outre utiles pour réaliser des opérations non-triviales telles que la somme, le produit terme-à-terme, ou la concaténation.
Langages graphiques pour le contrôle quantique et l'optique linéaire Dans le modèle usuel de calcul quantique, des opérations sur des données quantiques sont contrôlées de manière essentiellement classique. Un contrôle lui aussi quantique est cependant possible, mais a été peu étudié en comparaison. En particulier, il manque au contrôle quantique un formalisme permettant de l'exprimer de manière simple afin de raisonner efficacement sur des processus l'impliquant. La première contribution de cette thèse est de poser les fondations d'un cadre formel dédié au contrôle quantique, sous la forme d'un langage graphique. Notre principal résultat concernant ce langage est l'introduction d'une théorie équationnelle complète, c'est à dire d'un ensemble d'équations permettant de transformer un diagramme, par réécriture locale successive, en n'importe quel autre diagramme représentant le même programme ou processus physique. Une deuxième contribution est l'application de ce formalisme d'une part au problème de l'optimisation des ressources dans les processus impliquant un contrôle quantique, et d'autre part à la caractérisation de l'équivalence observationnelle des canaux de communication quantiques. La troisième contribution de cette thèse est l'introduction d'un langage pour les circuits optiques linéaires. Nous l'équipons d'une théorie équationnelle complète, ainsi que d'une forme normale simple, accessible par un système de réécriture fortement normalisant et confluent. La dernière contribution de cette thèse, peut-être la plus importante, est l'introduction d'une théorie équationnelle complète pour le langage des circuits quantiques. Nous nous appuyons pour cela sur une correspondance entre les circuits quantiques et les circuits optiques, qui nous permet de transférer la théorie équationnelle déjà obtenue pour les circuits optiques.
Manier le ZX-calcul : flexsymétrie, systèmes ouverts et limandes Cette thèse concerne l'application de langages graphiques à l'informatique quantique. Par langages graphiques on entends l'usage de diagrammes, très similaire au circuits, représentant des évolutions de systèmes quantique. La thèse introduit ces langages dans le formalisme de la théorie des catégories et s’intéresse en particulier a un langage : le ZX-calcul, ainsi qu'a ses proche parent le ZW-calcul et le ZH-calcul. La notion de flexsymmetrie est introduite, décrivant des diagrammes dont les entrés et sorties sont toutes interchangeables entre elles. La notion et ensuite utilisée pour classifier tout les langage similaire au ZX-calcul. Il est montré que les seuls langages admissibles sont le ZX-calcul, le ZW-calcul et le ZH-calcul. Ensuite est abordée la question de l'extension de ces langages au cas de systèmes mixtes classique-quantique. Une construction catégorique générale est proposée et est utilisée pour étendre les différent langages. Enfin la thèse introduit des notations permettant de représenter de manière compact des algorithmes quantiques mettant en jeux des diagrammes arbitrairement grand. Afin d'en éprouver l'efficacité, ces notations sont utilisé pour montrer graphiquement la correction de différents algorithmes quantiques.
Le thème unificateur des contenus sera l’examen des codes correcteurs d’erreurs à travers le prisme du calcul ZX. Plus précisément, nous aborderons les codes de stabilisateur ainsi que les codes polaires classique et quantique. L’objectif d’utiliser le prisme du ZX-calculus est de bénéficier d’un niveau d’abstraction plus élevé. Le premier avantage de cette approche est de voir si nous pouvons offrir une interprétation plus naturelle des preuves existantes, ce qui faciliterait leur enseignement et leur apprentissage. L’autre avantage est que la simplification conceptuelle apportée par l’abstraction permettrait de mieux comprendre les effets et les implications de la mécanique quantique, favorisant ainsi des avancées plus significatives dans le développement des algorithmes quantiques de tous types. En utilisant le ZX-calculus, nous commencerons par examiner les codes stabilisateurs qui sont les plus utilisés parmi les codes correcteurs d’erreurs quantiques. Ensuite, nous entrerons également dans les détails des codes polaires classiques et quantiques et montrerons comment nous pouvons reformuler la méthode de décodage classique en une méthode qui prend en compte les contraintes de l’information quantique, telles que l’impossibilité de connaître l’état d’un qubit à moins de le mesurer et donc de le perturber. Cette nouvelle méthode est applicable dans les cas quantiques ainsi que classiques pour certains types de canaux d’erreur. Tout cela conduit à la formulation d’une nouvelle méthode de décodage visant à fonctionner pour tous les types de canaux d’erreur en catégorisant tous les scénarios d’erreur possibles nécessitant des actions pour corriger les données, puis en utilisant un ensemble de mesures pour réduire les possibilités à un point qui nous donne une certitude presque totale.
L'informatique quantique est un paradigme émergent de calcul, dans lequel des phénomènes physiques quantiques tels que l'intrication et la superposition sont exploités pour obtenir un avantage sur le calcul classique. Bien que le programmeur quantique dispose d'un large choix de langages de programmation, aucun ne permet de garantir la faisabilité de ses programmes. À cette fin, nous introduisons un langage de programmation quantique du premier ordre (FOQ) qui permet de raisonner sur la réalisabilité physique et la complexité des programmes quantiques. Nous introduisons des restrictions, vérifiables statiquement, sur les programmes FOQ qui nous permettent d'identifier des fragments sûrs et complets pour le temps polynomial quantique (PFOQ) et le temps polylogarithmique (LFOQ). Nous fournissons plusieurs exemples de programmes en temps polynomial et polylogarithmique capturés par ces fragments, représentant des fonctions quantiques pertinentes, telles que la transformée de Fourier quantique, l'arithmétique quantique, ainsi que des exemples comme la recherche dichotomique. Nous introduisons également de nouvelles techniques de compilation permettant de traduire des programmes PFOQ et LFOQ en circuits de complexité raisonnable, évitant l'explosion exponentielle pouvant résulter de l'utilisation récursive d'une instruction de contrôle quantique. Nous améliorons encore cette technique de compilation et définissons un fragment de FOQ qui est cohérent et complet pour le temps polynomial quantique, où la complexité en circuit de l'instruction conditionnelle quantique correspond au maximum des branches, et non leur somme. Nous développons un compilateur prototype implémentant ces idées pour les langages PFOQ et LFOQ.
Les diagrammes sont omniprésents en physique et ont catalysé le progrès à de nombreuses reprises. Des réseaux tensoriels aux circuits quantiques en passant par les diagrammes de Feynman, rares sont les domaines de la physique qui ne font pas appel à un raisonnement informel par l'image. Ces diagrammes représentent les opérations mathématiques sous-jacentes et facilitent l'interprétation physique, mais ne peuvent généralement pas être calculés directement. Dans cette thèse, le ZXH-calcul, un langage graphique basé sur le ZX-calcul, est proposé comme prototype d'un outil de calcul diagrammatique formel pour la physique théorique impliquant le spin. Cela permet d'étendre le calcul ZXH (et plus largement la famille de calculs ZX à laquelle il appartient) au-delà de son domaine traditionnel qui a été largement dominé par l'informatique quantique. Pour ce faire, les réseaux de spin issus de la physique de la matière condensée sont étudiés. Il est également montré comment les réseaux de spins de la forme souvent considérée comme l'espace d'état de la gravité quantique à boucles (LQG) peuvent être diagrammatisés avec les opérateurs qui agissent sur eux.Pour y parvenir, une forme diagrammatique de la théorie des représentations SU(2) est exposée. Un certain nombre de résultats sont ensuite présentés dans la matière condensée. L'état 1D AKLT, un état topologique protégé par symétrie, est exprimé dans le calcul ZXH en développant une représentation des spins supérieurs à 1/2 dans le calcul. En exploitant le pouvoir de simplification des règles du calcul ZXH, on montre comment cette représentation permet de retrouver directement la représentation de l'état AKLT par produit de matrice, l'existence d'états de bord topologiquement protégés et la non-vanie d'un paramètre d'ordre de chaîne. Au-delà de ces propriétés connues, l'approche diagrammatique permet également de dériver analytiquement que la phase de Berry de toute chaîne AKLT 1D de longueur finie est π. En outre, une preuve alternative que l'état AKLT 2D sur un réseau hexagonal peut être réduit à un état de graphe, démontrant qu'il s'agit d'une ressource universelle de calcul quantique. En continuant sur le thème de la matière condensée, on montre ensuite comment on peut construire des phases topologiques d'ordre supérieur en 2D de manière schématique, ce qui est utilisé pour illustrer une transition de phase avec rupture de symétrie.En ce qui concerne la LQG, la première étape est l'analyse des diagrammes de Yutsis, un calcul graphique standard utilisé en chimie quantique et en gravité quantique, qui capture les principales caractéristiques de la théorie des représentations SU(2). Ensuite, on montre comment il s'intègre dans le calcul de binor de Penrose. Les deux sont ensuite subsumés et réécrits en diagrammes ZXH. Dans ce processus, nous montrons comment l'invariance SU(2) des symboles de Wigner peut être prouvée de manière triviale dans le calcul ZXH. En outre, nous montrons comment nous pouvons calculer explicitement les symboles 3jm, 4jm et 6j dans le diagramme. On pense depuis longtemps que la gravité quantique devrait être étroitement liée à la théorie de l'information quantique. Dans cet article, nous présentons une façon de rendre cette connexion exacte, en écrivant les réseaux de spin de la gravité quantique à boucles dans le langage ZX-diagrammatique du calcul quantique. Enfin, après avoir exposé les raisons de considérer les réseaux de spins comme la quantification de l'espace, nous discutons des opérateurs géométriques et, dans des cas spécifiques, nous fournissons des versions diagrammatiques des opérateurs. Plus généralement, ce qui est fait ici montre une voie par laquelle LQG peut être interprété en termes d'information quantique en réécrivant ses états cinématiques comme des réseaux de qubits dans ZXH.