Combining classical and quantum control : A logical, syntactic and semantic perspective Cette thèse vise principalement à établir les fondements théoriques nécessaires à la conception d'un langage de programmation complet pour l'informatique quantique. L'idée qui a inspiré toutes les contributions de cette thèse est de produire dans le cadre quantique un développement similaire à celui utilisé pour les langages de programmation et la logique dans le paradigme classique. En nous appuyant sur les travaux préparatoires de la correspondance Curry-Howard-Lambek, nous essayons d'approfondir les trois pierres angulaires de cette correspondance : les langages de programmation, la logique et la théorie des catégories, en nous concentrant sur la combinaison de deux paradigmes et en considérant des programmes avec des flots de contrôle quantique et classique. Nous avons essayé d'aller plus loin. Nous avons également abordé les deux visions complémentaires de la mécanique quantique, celles de Heisenberg et de Schrödinger, et adopté l'une d'elles pour définir une sémantique physiquement intuitive pour les langages dont nous discutons. Cette thèse apporte deux contributions principales à la littérature existante sur les langages de programmation quantiques. Nous introduisons tout d'abord un lambda calcul quantique qui combine le contrôle quantique et classique, dont la conception s'appuie sur la structure mathématique de sa sémantique dénotationnelle physiquement intuitive. La sémantique opérationnelle de ce langage est basée sur une adaptation des configurations quantiques que nous introduisons, et est liée au modèle dénotationnel par un résultat d'adéquation. Le langage fournit également un prototype de types inductifs quantiques à travers le type qnat, un type pour les entiers naturels quantiques. Le modèle dénotationnel de ce calcul est basé sur les algèbres de von Neumann, qui sont au cœur de la formulation mathématique de la vision de Heisenberg de la mécanique quantique. La deuxième contribution est un langage de preuve pour le fragment IMALL de la logique linéaire qui s'appuie sur certaines observations clés du calcul présenté ci-dessus. Ce langage estl'un des premiers à pouvoir prendre en charge des programmes combinant des constructions telles que le quantum switch et la mesure. À cet égard, ce travail constitue une amélioration significative par rapport au calcul précédent, car il prend en charge une version plus fine du contrôle quantique, permettant ainsi l'écriture d'algorithmes tels que le quantum switch. La syntaxe du langage est par nature algébrique et linéaire, permettant d'écrire des combinaisons linéaires de termes. Une conséquence majeure, avec la sémantique de la modalité B qu'il introduit, est que la mesure n'est plus une construction de base du langage. Elle peut désormais être écrite comme un programme parmi d'autres dans le langage. Enfin, la sémantique dénotationnelle de ce travail est basée sur les algèbres C* - une généralisation des algèbres de von Neumann. Le modèle dénotationnel s'avère adéquat pour la sémantique opérationnelle, dont la linéarité en est une conséquence naturelle. Enfin, nous concluons cette thèse en présentant les limites de ces travaux et les orientations possibles pour des travaux futurs.
Combining classical and quantum control : A logical, syntactic and semantic perspective Cette thèse vise principalement à établir les fondements théoriques nécessaires à la conception d'un langage de programmation complet pour l'informatique quantique. L'idée qui a inspiré toutes les contributions de cette thèse est de produire dans le cadre quantique un développement similaire à celui utilisé pour les langages de programmation et la logique dans le paradigme classique. En nous appuyant sur les travaux préparatoires de la correspondance Curry-Howard-Lambek, nous essayons d'approfondir les trois pierres angulaires de cette correspondance : les langages de programmation, la logique et la théorie des catégories, en nous concentrant sur la combinaison de deux paradigmes et en considérant des programmes avec des flots de contrôle quantique et classique. Nous avons essayé d'aller plus loin. Nous avons également abordé les deux visions complémentaires de la mécanique quantique, celles de Heisenberg et de Schrödinger, et adopté l'une d'elles pour définir une sémantique physiquement intuitive pour les langages dont nous discutons. Cette thèse apporte deux contributions principales à la littérature existante sur les langages de programmation quantiques. Nous introduisons tout d'abord un lambda calcul quantique qui combine le contrôle quantique et classique, dont la conception s'appuie sur la structure mathématique de sa sémantique dénotationnelle physiquement intuitive. La sémantique opérationnelle de ce langage est basée sur une adaptation des configurations quantiques que nous introduisons, et est liée au modèle dénotationnel par un résultat d'adéquation. Le langage fournit également un prototype de types inductifs quantiques à travers le type qnat, un type pour les entiers naturels quantiques. Le modèle dénotationnel de ce calcul est basé sur les algèbres de von Neumann, qui sont au cœur de la formulation mathématique de la vision de Heisenberg de la mécanique quantique. La deuxième contribution est un langage de preuve pour le fragment IMALL de la logique linéaire qui s'appuie sur certaines observations clés du calcul présenté ci-dessus. Ce langage estl'un des premiers à pouvoir prendre en charge des programmes combinant des constructions telles que le quantum switch et la mesure. À cet égard, ce travail constitue une amélioration significative par rapport au calcul précédent, car il prend en charge une version plus fine du contrôle quantique, permettant ainsi l'écriture d'algorithmes tels que le quantum switch. La syntaxe du langage est par nature algébrique et linéaire, permettant d'écrire des combinaisons linéaires de termes. Une conséquence majeure, avec la sémantique de la modalité B qu'il introduit, est que la mesure n'est plus une construction de base du langage. Elle peut désormais être écrite comme un programme parmi d'autres dans le langage. Enfin, la sémantique dénotationnelle de ce travail est basée sur les algèbres C* - une généralisation des algèbres de von Neumann. Le modèle dénotationnel s'avère adéquat pour la sémantique opérationnelle, dont la linéarité en est une conséquence naturelle. Enfin, nous concluons cette thèse en présentant les limites de ces travaux et les orientations possibles pour des travaux futurs.
Sémantique des Jeux Quantique Cette thèse porte sur la sémantique des langages de programmation quantiques, et en particulier sur celle du lambda-calcul quantique, un langage paradigmatique dû à Selinger et Valiron qui marrie flot de contrôle classique riche (fonctions d’ordre supérieur, récursion, etc) avec des données quantiques (création de qubits, mesure, application d’opérateurs unitaires). Pour donner un modèle du lambda-calcul quantique, il convient de trouver une alliance harmonieuse entre les modèles traditionnels de sémantique dénotationnelle (qui donnent du sens aux programmes en les interprétant dans des univers mathématiques adéquats) et les mathématiques du quantique (espaces de Hilbert, matrices de densité, etc). Cette thèse comporte trois contributions principales : Premièrement, nous étendons la sémantique des jeux, une approche dynamique à la sémantique dénotationnelle, au cas quantique. Nous obtenons le premier modèle dénotationnel du lambda-calcul quantique complet qui soit à la fois compositionnel et interactif, c’est à dire qu’il représente la dynamique de l’exécution. Notre modèle est une généralisation naturelle de développements récents pour le cas probabiliste.Deuxièmement, nous relions formellement notre modèle au seul modèle dénotationnel pré-existant du lambda-calcul quantique complet, le modèle relationnel quantique dû à Pagani, Selinger et Valiron. Finalement, nous montrons que notre modèle de jeux est pleinement adéquat, la correspondance idéale entre un langage de programmation et sa sémantique dénotationnelle. Nous en déduisons que le modèle relationnel quantique était lui-aussi pleinement adéquat, un problème que ses auteurs avaient laissé ouvert. Cette thèse se décompose en trois parties. La première partie présente des préliminaires de théorie des catégories, qui permettent de définir un cadre formel englobant à la fois notre modèle de jeux quantique et le modèle relationnel quantique, puis des préliminaires sur les mathématiques du quantique, et enfin des préliminaires sur la programmation quantique et ses modèles. La deuxième partie commence par des préliminaires de sémantique des jeux, et définit notre modèle de jeux quantique dans un cadre simplifié : le lambda-calcul linéaire quantique. Enfin, la troisième partie s'appuie sur la deuxième pour présenter le modèle de jeux quantique complet, prouver que ce modèle est pleinement adéquat, et en déduire que le modèle relationnel quantique est lui aussi pleinement adéquat.
Nous présentons dans cette thèse un nouveau modèlepour les langages de programmation quantique. Notre modèle est uneadaptation de la sémantique de jeux probabilistes définie par Danos etHarmer: nous y ajoutons des stratégies quantiquespour permettre la représentation des états et des opérations quantiques.Nous établissons quelques propriétés de base de ces stratégies. Cespropriétés sont ensuite utilisées pour construire des sémantiquesdénotationnelles pour trois langages de programmation quantique. Le premierlangage est une formalisation du calcul par mesures proposé par Danoset al. Les deux autres langages sont nouveaux: ce sont deslangages quantiques d'ordre supérieur dont la syntaxe a été construiteà partir d'observations expliquant l'échec des tentatives précédentespour construire une sémantique dénotationnelle pour de tels langages. La sémantique de jeux présentée dans cette thèseest la première sémantique dénotationnelle pour de telslambda-calculs équipés de types et d'opérations supplémentairespermettant la programmation d'algorithmes quantiques. Les résultatsprésentés valident les deux approches différentes utilitées dans laconception de ces deux nouveaux languages d'ordre supérieur: une premièreoù les états quantiques sont indirectement accessibles via desréférences et une seconde où ils sont introduit directement comme desconstantes dans le langage. Les stratégies quantiques présentéespermettent de comprendre les contraintes devant êtreimposées aux systèmes de type quantique comportant des types d'ordresupérieurs. La contrainte la plus importante est le fait que l'abstractionsur une partie d'un état quantique comportant plusieurs qbits inconnus doitêtre prohibée. Les stratégies quantiques constituent un nouveau modèle mathématique quidécrit l'interaction entre les données classiques et quantiques par desdialogues entre système et environnement. L'interaction entre les differentespar
Contextualité quantique, géométries finies & informatique quantique Le développement de machines quantiques de tailles modestes accessibles en ligne permet aujourd'hui de réaliser des expériences sur des calculateurs à distance. L'avantage de l'informatique quantique repose sur des phénomènes strictement non classiques, tels que la superposition et l'intrication, qui sont des ressources maintenant bien connues. Le phénomène non-classique de la contextualité est peut-être moins bien établi bien qu'il ouvre aussi des perspectives très intéressntes à travers de nombreuses applications telles que la cryptographie quantique, les codes d'accès aléatoires, les codes correcteurs d'erreurs et l'avantage du coût de la mémoire pour la simulation des mesures quantiques. L'objectif de cette thèse est triple : développer de nouveaux tests résistants au bruit pour démontrer la contextualité avec des ordinateurs quantiques bruités d'échelle intermédiaire ; concevoir des algorithmes quantiques pour calculer les limites classiques de ces tests, avec une meilleure complexité par rapport aux algorithmes existants ; interpreter les invariants algébriques, utilisés pour distinguer les classes d'intrication, en termes d'observables à base d'opérateurs de Pauli. À ces fins, l'utilisation de configurations géométriques telles que les espaces polaires symplectiques et leurs sous-géométries est largement exploitée, permettant d'établir un lien solide entre le domaine, relativement ancien des géométries finies, et les concepts plus récents de la théorie de l'information quantique. Pour le premier objectif, nous utilisons l'apport de la géométrie pour fournir des tests de contextualité qui violent largement les limites classiques sur tous les ordinateurs quantiques IBM. Ces tests démontrent empiriquement l'absence de modèles à variables cachées non contextuelles décrivant le système sous-jacent. C'est un résultat d'intérêt ontologique. Plus précisément, il s'agit de la première violation connue du jeu de pseudotélépathie de Mermin sur de telles machines, et des plus grandes violations du test de Rio Negro. Concernant le deuxième objectif, nous nous appuyons sur les symétries de nos géométries pour construire un algorithme quantique basé sur l'algorithme de recherche de Grover. Cet algorithme identifie une affectation optimale de variables cachées classiques avec une complexité comparable à l'algorithme de Grover. Un tel avantage algorithmique est intéressant dans une grande famille de problèmes, connus sous le nom de Max Lin 2, où plusieurs contraintes sur un ensemble de données ne peuvent pas être satisfaites simultanément. Ainsi, l'étude de la contextualité - qui peut être vue comme une limitation de la satisfaction logique pour décrire les systèmes physiques - peut apporter de nouvelles perspectives à des problèmes où la satisfaction d'instruction logique simultanée n'est pas viable. Enfin, pour le troisième objectif, nous proposons de nombreuses connexions entre les géométries finies et les invariants algébriques, en commençant par des liens entre les quadrangles généralisés et les invariants cubiques de Cartan, puis en montrant comment les géométries maximalement mixtes permettent de reconstruire les polynômes de Mermin, et finalement en décrivant les sous-ensembles minimaux d'opérateurs de Pauli qui permettent de calculer les hyperdéterminants. On peut ainsi, grâce à ces invariants, identifier la classe d'intrication de systèmes de qubits N=2,3,4 par des mesures sans avoir besoin d'une tomographie complète du système. En résumé dans cette thèse, nous abordons une grande variété de questions à l'intersection de la géométrie finie et de l'informatique quantique - de la conception de tests de contextualité à l'étude de la non-localité à travers des invariants algébriques en passant par le calcul quantique de bornes classiques. Les idées proposées dans ce travail pourront être utiles à la fois pour l'étude des fondements de la mécanique quantique et pour son application à l'informatique quantique.
Le développement de machines quantiques de tailles modestes accessibles en ligne permet aujourd'hui de réaliser des expériences sur des calculateurs à distance. L'avantage de l'informatique quantique repose sur des phénomènes strictement non classiques, tels que la superposition et l'intrication, qui sont des ressources maintenant bien connues. Le phénomène non-classique de la contextualité est peut-être moins bien établi bien qu'il ouvre aussi des perspectives très intéressntes à travers de nombreuses applications telles que la cryptographie quantique, les codes d'accès aléatoires, les codes correcteurs d'erreurs et l'avantage du coût de la mémoire pour la simulation des mesures quantiques. L'objectif de cette thèse est triple : développer de nouveaux tests résistants au bruit pour démontrer la contextualité avec des ordinateurs quantiques bruités d'échelle intermédiaire ; concevoir des algorithmes quantiques pour calculer les limites classiques de ces tests, avec une meilleure complexité par rapport aux algorithmes existants ; interpreter les invariants algébriques, utilisés pour distinguer les classes d'intrication, en termes d'observables à base d'opérateurs de Pauli. À ces fins, l'utilisation de configurations géométriques telles que les espaces polaires symplectiques et leurs sous-géométries est largement exploitée, permettant d'établir un lien solide entre le domaine, relativement ancien des géométries finies, et les concepts plus récents de la théorie de l'information quantique. Pour le premier objectif, nous utilisons l'apport de la géométrie pour fournir des tests de contextualité qui violent largement les limites classiques sur tous les ordinateurs quantiques IBM. Ces tests démontrent empiriquement l'absence de modèles à variables cachées non contextuelles décrivant le système sous-jacent. C'est un résultat d'intérêt ontologique. Plus précisément, il s'agit de la première violation connue du jeu de pseudotélépathie de Mermin sur de telles machines, et des plus grandes violations du test de Rio Negro. Concernant le deuxième objectif, nous nous appuyons sur les symétries de nos géométries pour construire un algorithme quantique basé sur l'algorithme de recherche de Grover. Cet algorithme identifie une affectation optimale de variables cachées classiques avec une complexité comparable à l'algorithme de Grover. Un tel avantage algorithmique est intéressant dans une grande famille de problèmes, connus sous le nom de Max Lin 2, où plusieurs contraintes sur un ensemble de données ne peuvent pas être satisfaites simultanément. Ainsi, l'étude de la contextualité - qui peut être vue comme une limitation de la satisfaction logique pour décrire les systèmes physiques - peut apporter de nouvelles perspectives à des problèmes où la satisfaction d'instruction logique simultanée n'est pas viable. Enfin, pour le troisième objectif, nous proposons de nombreuses connexions entre les géométries finies et les invariants algébriques, en commençant par des liens entre les quadrangles généralisés et les invariants cubiques de Cartan, puis en montrant comment les géométries maximalement mixtes permettent de reconstruire les polynômes de Mermin, et finalement en décrivant les sous-ensembles minimaux d'opérateurs de Pauli qui permettent de calculer les hyperdéterminants. On peut ainsi, grâce à ces invariants, identifier la classe d'intrication de systèmes de qubits N=2,3,4 par des mesures sans avoir besoin d'une tomographie complète du système. En résumé dans cette thèse, nous abordons une grande variété de questions à l'intersection de la géométrie finie et de l'informatique quantique - de la conception de tests de contextualité à l'étude de la non-localité à travers des invariants algébriques en passant par le calcul quantique de bornes classiques. Les idées proposées dans ce travail pourront être utiles à la fois pour l'étude des fondements de la mécanique quantique et pour son application à l'informatique quantique.
Notre thèse est une analyse philosophique dont le but est de spécifier la métaphysique de la mécanique quantique et d'en déterminer les fondements logiques. Depuis le début de sa formulation, des problèmes d'interprétation ont surgi en mécanique quantique. La cause principale de ces problèmes est, d'après nous, le choix d'une métaphysique, entendue comme positionnement par rapport à l'existence des entités théoriques étudiées par la mécanique quantique. D'autre part, il existe en philosophie des sciences un débat entre le réalisme scientifique et ses opposants antiréalistes. En philosophie analytique, Dummett a déplacé les débats métaphysiques du terrain de l'ontologie vers le terrain logico-sémantique. En effet, selon son analyse, les débats métaphysiques sont des débats à propos du choix d'une logique. Selon Dummett, une métaphysique réaliste a pour fondement la logique classique et une métaphysique antiréaliste a pour fondement une logique non classique. Par contre, le choix d'une logique doit être justifié par une théorie sémantique qui doit elle-même être justifiée par un modèle de la signification. L'approche logico-algébrique de la mécanique quantique a donné naissance à la logique quantique comme champ de recherche. Ce champ de recherche tente de déterminer la structure logique de la mécanique quantique par des structures d'ordre ou algébriques. Par exemple, la logique classique est interprétée par une algèbre de Boole tandis que la logique quantique standard est interprétée par la structure de treillis orthomodulaire. Nos hypothèses sont que la métaphysique de la mécanique quantique est antiréaliste et que la structure formelle de la logique quantique est une algèbre booléenne partielle transitive. Nous faisons l'hypothèse additionnelle que la logique quantique que nous défendons possède une assignation de valeurs de vérité probabilitaire conditionnelle dans laquelle la valeur de vérité d'un énoncé quantique est identifiée à la probabilité que lui attribue la théorie quantique et est conditionnelle à l'état du système quantique. Pour la détermination de la métaphysique de la mécanique quantique, la méthode utilisée est l'application de l'analyse dummettienne des débats métaphysiques à la classe des énoncés de la mécanique quantique. Pour la détermination de la logique quantique, nous nous inscrivons dans l'approche logico-algébrique de la mécanique quantique. Le choix de la structure algébrique ainsi que celui de l'assignation de valeurs de vérité sont justifiés par des contraintes sémantiques provenant de la théorie sémantique quantique et du modèle de la signification. L'analyse dummettienne appliquée à la classe des énoncés quantiques soutient un antiréalisme radical puisque, pour cette classe, la bivalence est inacceptable et le modèle de signification est le modèle justificationniste. En montrant que les conjonctions et disjonctions d'énoncés quantiques portant sur des observables incompatibles n'ont pas de signification, le modèle justificationniste de la signification justifie la structure algébrique que nous proposons. La signification des énoncés quantiques revient à une signification expérimentale. De plus, la signification des énoncés quantiques revient à une signification expérimentale. De plus, la théorie sémantique quantique que nous avons construite dont l'assignation probabilitaire fait partie, est justifiée également par le modèle justificationniste de la signification. L'originalité majeure de notre recherche est sa méthode, c'est-à-dire le fait de combiner une analyse dummettienne de la métaphysique de la mécanique quantique et une exploration des logiques quantiques existantes. Autant pour la spécification de la métaphysique que pour la détermination de la logique quantique, les justifications sont issues, en fin de compte, du modèle de la signification qui s'applique à la classe des énoncés quantiques. Un autre point important et original de notre thèse est la construction de la théorie sémantique quantique qui permet d'expliquer la compositionnalité des énoncés quantiques. Grâce à la théorie sémantique quantique, la logique quantique que nous proposons, en l'occurrence la logique quantique booléenne partielle, est vérifonctionnelle. Plutôt que de nous servir des arguments habituels que nous rencontrons en sciences et en philosophie des sciences pour prendre position dans le débat opposant le réalisme et l'antiréalisme qui a lieu en mécanique quantique, nous nous servons d'une thèse que Dummett a développée en philosophie analytique pour y parvenir. Notre recherche vient appuyer, par le biais de la philosophie analytique, tout un courant de pensée antiréaliste à propos de la mécanique quantique qui existe en physique et en philosophie des sciences. Notre contribution se situe sur le plan de l'interprétation logique et métaphysique de la mécanique quantique. ______________________________________________________________________________ MOTS-CLÉS DE L’AUTEUR : Philosophie de la physique, Mécanique quantique, Métaphysique, Dummett, Logique quantique, Structures algébriques et d'ordre.
Langages graphiques pour le contrôle quantique et l'optique linéaire Dans le modèle usuel de calcul quantique, des opérations sur des données quantiques sont contrôlées de manière essentiellement classique. Un contrôle lui aussi quantique est cependant possible, mais a été peu étudié en comparaison. En particulier, il manque au contrôle quantique un formalisme permettant de l'exprimer de manière simple afin de raisonner efficacement sur des processus l'impliquant. La première contribution de cette thèse est de poser les fondations d'un cadre formel dédié au contrôle quantique, sous la forme d'un langage graphique. Notre principal résultat concernant ce langage est l'introduction d'une théorie équationnelle complète, c'est à dire d'un ensemble d'équations permettant de transformer un diagramme, par réécriture locale successive, en n'importe quel autre diagramme représentant le même programme ou processus physique. Une deuxième contribution est l'application de ce formalisme d'une part au problème de l'optimisation des ressources dans les processus impliquant un contrôle quantique, et d'autre part à la caractérisation de l'équivalence observationnelle des canaux de communication quantiques. La troisième contribution de cette thèse est l'introduction d'un langage pour les circuits optiques linéaires. Nous l'équipons d'une théorie équationnelle complète, ainsi que d'une forme normale simple, accessible par un système de réécriture fortement normalisant et confluent. La dernière contribution de cette thèse, peut-être la plus importante, est l'introduction d'une théorie équationnelle complète pour le langage des circuits quantiques. Nous nous appuyons pour cela sur une correspondance entre les circuits quantiques et les circuits optiques, qui nous permet de transférer la théorie équationnelle déjà obtenue pour les circuits optiques.