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Journal de physique

Remarques sur la mécanique ondulatoire

Léon Brillouin

Published Jan 1, 1926• 249 citations
Publisher

Abstract

L'équation fondamentale de la mécanique ondulatoire peut ètre résolue par une méthode d'approximations successives ; au lieu de chercher directement la fonction ψ de Schrodinger, on pose ψ = e^((2πi/h)S) et l'on obtient pour S une équation de la forme [FORMULE], où le premier membre est identique à celui de l'équation de Hamilton, tandis qu'au second membre figure une expression linéaire par rapport aux dérivées partielles du premier et second ordre de S. Cette équation peut être résolue par approximations en posant [FORMULE] et l'on a pour S0 l'équation ordinaire de Hamilton ; la série des équations qui permettent de déterminer S1, S2..., Sn... est ensuite linéaire. La fonction S, en un point donné, est multiforme, tout comme la fonction classique S0 ; sa valeur est déterminée à Σ mh Ik près, les lk étant les périodes de S ; pour que la fonction ψ n'ait qu'une seule détermination, il faut que la périodicité de l'exponentielle compense l'indétermination de S, ce qui donne les conditions Ih = nh h (nk entier). Si l'on s'en tient à la première approximation (S0), on retrouve ainsi la mécanique quantifiée de Sommerfeld, Schwarzschild, etc. Les approximations ultérieures apportent diverses corrections à ce premier calcul (quanta fractionnaires, sélection, etc.). L'auteur développe et précise cette méthode, qu'il avait déjà exposée dans une note aux compte rendus [C. R., t. 183 (5 juillet 1926), p. 24] et qui fut indiquée indépendamment par Wentzel [Zts. f. Phys., t. 38 (1926), p. 318] sous une forme d'ailleurs moins générale. Il était aussi intéressant de rechercher le type le plus général de problèmes résolubles ; c'est ce que tente l'auteur, en généralisant autant que possible les résultats obtenus précédemment. Incidemment, on constate que les équations générales ne permettent plus l'inversion du signe du temps, à moins que l'on ne change simultanément le signe de h ; ceci aura pour conséquence physique de remplacer les absorptions d'énergie par des émissions, et réciproquement D'autre part, les renseignements donnés, d'une manière très générale, sur la méthode de résolution des équations, permettent de préciser la forme des matrices et de montrer par quel mécanisme s'introduisent les règles de sélection. L'auteur indique enfin une suggestion sur le rôle du temps dans la mécanique nouvelle ; il propose une définition qui permet de retrouver sans ambiguïté les fréquences optiques, mais enlève toute existence physique aux fréquences des états stables.

DOI
10.1051/jphysrad:01926007012035300

Related papers

Remarques sur les équations de la mécanique ondulatoire

Jean Ullmo

L'hypothèse des sauts quantiques (qu'un point matériel ne peut émettre ou recevoir d'actions extérieures qu'à des intervalles d'action hamiltonienne égaux à h) impose au champ ambiant des forces électromagnétiques une propagation apparente régie par une équation d'ondes où intervient l'action hamiltonienne de l'électron-explorateur nécessaire pour déceler le champ. Cette action hamiltonienne étant d'autre part déterminée par le champ extérieur à la manière classique, l'équation définitive qui régit le champ ambiant résulte de l'élimination de l'action hamiltonienne entre l'équation d'ondes et les équations de la mécanique classique. Cette élimination, immédiate dans le cas de l'approximation de Schrodinger, ne peut se faire dans le cas de la mécanique relativiste qu'en passant des équations du second ordre (des ondes et d'Hamilton-Jacobi) à des équations du premier ordre équivalentes et donne alors le système d'équations de Dirac. Ces équations de Dirac une fois résolues, on peut calculer en fonction de leurs solutions, au moyen des équations précédentes du premier ordre, la quantité de mouvement et l'énergie d'un électron-explorateur en un point quelconque du champ ambiant. Le fait que la position initiale d'un électron vrai est indéterminée dans les données du problème ne permet alors de traiter l'étude de la trajectoire de l'électron que statistiquement, par les méthodes classiques de la mécanique statistique. On retrouve ainsi, dans le cas des trajectoires « possibles » de la mécanique classique, les interprétations statistiqnes prises en hypothèse par Dirac. Un appendice revient sur l'approximation de Schrödinger, précise la différence des électrons vrais et des électrons explorateurs, et interprète l'expérience de Davisson et Germer.

Journal de physique•Jan 1, 1929•0 citations

L'équation de Schrödinger et l'énergétique

A. Proca

L'auteur reprend l'étude, tant de fois entreprise, des principes fondamentaux de l'Energétique. pour l'appliquer au phénomène que constitue le mouvement d'un point matériel L'analyse de ces principes conduit, pour les transformations réversibles, à des énoncés précis, dont l'application fournit, d'une part les équations de Lagrange, et de l'autre, la fonction qui joue un rôle analogue à celui de l'entropie thermodynamique, Pour le phenomène du mouvement, cette « entropie mecanique » n'est autre que l'action S; le principe d'Hamil on est alors simplement l'expression du principe de Carnot généralisé, appliqué à un cycle infiniment petit. Ce résultat a deux conséquences importantes : 1° Il rend plus facilement acceptable la mystérieuse hypothèse de ['atomicité de l'action, clef de voûte de la théorie des quanta. En effet. l'identification de l'action à une « entropie » range celle-ci dans la catégorie des facteur, de capacité d'une certaine forme d'énergie Or, l'observation nous montre que chaque fois qu'un élément physique a une structure discontinue, il est, énergétiquement un facteur de capacité. L'atomicité de l'action rentre ainsi dans un principe général, le principe de l'atomicité des entropies; elle n'est pas plus imprévue, ni plus mystérieuse que l'atomicité de la matière ou de électricité. 2° Ce résultat permet de traiter les problèmes d'intensité, c'est à-dire en fait, le problème de la répartition statistique d'un grand nombre d'éléments. A cette fin, on relie la probabilité de présence ψ d'un point en une région déterminée à l'entropie mécanique S par une relation qui généralise l'hypothèse de Boltzmann S = k log ψ. Des résultats simples montrent que la constante universelle k est égale à h/2πi, en accord avec la mécanique ondulatoire. Si on fait cette substitution dans l'équation de Jacobi que vérifie S, on retombe sur l'équation de Schrödinger, à condition d'admettre une relation supplémentaire (par exemple Δ S = 0 pour un cas simple). On peut ainsi obtenir l'équation de Schrödinger par un procédé direct et qui n'est pas exclusivement formel. Ce procédé montre que cette équation n'est pas universelle, mais simplement l'équation d'un mouvement particulier. Les développements précédents ont le grave défaut de ne faire usage que des notions classiques ; on n'envisage pas, dans cet article. leur relation avec les nouvelles mécaniques, ni avec le principe d'indétermination de Heisenberg. Incidemment, on introduit dans le cours des raisonnements une notion mathématique nouvelle : la probabilité imaginaire. Un paragraphe est consacré à l'analyse sommaire de cette notion et montre qu'on aurait pu la retrouver mathématiquement, sans hypothèse physique, par simple généralisation.

Journal de physique•Jan 1, 1929•0 citations

Lois de probabilite EN mecanique ondulatoire

Edmond Arnous

La Mécanique ondulatoire dispose de deux méthodes : la première, la méthode classique, qui repose sur l'équation de Schrödinger et le calcul des matrices, a connu des succès éclatants qui lui valurent une sorte de monopole dans la physique de l'atome et de la molécule. Mais elle ne s'applique en toute rigueur qu'aux opérateurs bornés et ceux-ci ne se rencontrent guère en Mécanique ondulatoire. La seconde par contre, la méthode de Neumann, qui repose sur l'algèbre des familles spectrales, est mathématiquement inattaquable. Malheureusement, elle est inutilisable dans les applications. Si l'on songe au rôle que joue la puissance de l'instrument mathématique dans le développement des théories physiques, on comprend alors l'intérêt que présenterait une méthode qui réunisse les qualités du formalisme de Neumann et du formalisme classique. La méthode proposée ici les réunit sans doute en partie. Elle substitue aux familles spectrales leurs transformées de Fourier-Stieltjes Us. Les multiples propriétés des opérateurs Us et la grande maniabilité des fonctions caractéristiques (ψ, Us, ψ) des lois de probabilités correspondantes, lui permettent de traiter un certain nombre de problèmes avec une brièveté sans doute difficile à surpasser. On en donne quelques exemples (1).

•Jan 1, 1946•0 citations

Lois de probabilité en mécanique ondulatoire

Edmond Arnous

La Mécanique ondulatoire dispose de deux méthodes : la première, la méthode classique, qui repose sur l'équation de Schrödinger et le calcul des matrices, a connu des succès éclatants qui lui valurent une sorte de monopole dans la physique de l'atome et de la molécule. Mais elle ne s'applique en toute rigueur qu'aux opérateurs bornés et ceux-ci ne se rencontrent guère en Mécanique ondulatoire. La seconde par contre, la méthode de Neumann, qui repose sur l'algèbre des familles spectrales, est mathématiquement inattaquable. Malheureusement, elle est inutilisable dans les applications. Si l'on songe au rôle que joue la puissance de l'instrument mathématique dans le développement des théories physiques, on comprend alors l'intérêt que présenterait une méthode qui réunisse les qualités du formalisme de Neumann et du formalisme classique. La méthode proposée ici les réunit sans doute en partie. Elle substitue aux familles spectrales leurs transformées de Fourier-Stieltjes Us. Les multiples propriétés des opérateurs Us et la grande maniabilité des fonctions caractéristiques (ψ, Us, ψ) des lois de probabilités correspondantes, lui permettent de traiter un certain nombre de problèmes avec une brièveté sans doute difficile à surpasser. On en donne quelques exemples (1).

Journal de physique•Jan 1, 1947•2 citations

Théorie des sauts quantiques

Jean Ullmo

La mécanique classique ne tient pas compte du fait que les forces d'interaction qui agissent sur l'électron sont propagées par ondes. D'autre part, la théorie de Maxwell ne définit aucune fréquence des ondes dont elle étudie la propagation. L'apparition de la discontinuité manifestée par les théories des quanta est attribuée à une propriété fondamentale de la matière, qui ne peut émettre ou recevoîr d'actions extérieures qu'à des intervalles d'action hamiltonnienne égaux à h. Ceci permet de définir des fréquences pour le champ ambiant, champ des forces extérieures agissant sur l'électron. Le champ ambiant apparaît ainsi discontinu du fait des électrons explorateurs qui sont nécessaires pour le faire apparaître, et on lui substitue, pour l'étude mathématique, un champ continu fictif de même amplitude et de même fréquence. Seules certaines de ces fréquences sont stables, permettent l'équilibre entre le champ ambiant et l'électron qui y est plongé : ce sont les fréquences données par l'équation de Schrodinger, qui est retrouvée à partir des conceptions précédentes : c'est donc une équation de condition ajoutée aux équations de la mécanique classique. C'est essentiellement parce qu'on traite un problème de conditions aux limites que les « fréquences critiques » apparaissent. (Le succès de l'interprétation statistique de l'équation de Schrodinger est attribuée aux propriétés générales d'une méthode d'intégration d'une équation aux dérivées partielles.) En même temps, une interprétation de la cinquième dimension est proposée, et la raison donnée de la simplification qu'elle apporte aux calculs. La théorie présente conduit naturellement à considérer le système d'équations de Dirac et à donner une signification géométrique aux « spinvariables » qu'il a introduites.

Journal de physique•Jan 1, 1929•0 citations

Recherches sur la nouvelle théorie des quanta

E. Császár

L'auteur démontre que la fonction ψ figurant dans l'équation fondamentale (équation de l'amplitude) de la mécanique ondulatoire appartenant au mouvement simplement périodique d'un point matériel, possède la propriété suivante : [FORMULE] où τ désigne la période, Δ l'opérateur de Laplace, est invariant adiabatique, si l'on assujettit l'un des paramètres du mouvement à une variation très lente ; les coordonnées figurant dans ψ sont déterminées comme fonctions du temps à l'aide des équations du mouvement de la mécanique classique Cette intégrale est dans un rapport étroit avec les anciennes intégrales des quanta L'auteur applique le théorème démontré à des cas spéciaux : à l'oscillateur harmonique et à l'ellipse de Képler. Il en fait également application à la théorie des perturbations : il résout le problème de l'oscillateur anharmonique et calcule les principales formules de thermodynamique par rapport à un système constitué d'oscillateurs anharmoniques.

Journal de physique•Jan 1, 1931•0 citations
L'équation fondamentale de la mécanique ondulatoire peut ètre résolue par une méthode d'approximations successives ; au lieu de chercher directement la fonction ψ de Schrodinger, on pose ψ = e^((2πi/h)S) et l'on obtient pour S une équation de la forme [FORMULE], où le premier membre est identique à celui de l'équation de Hamilton, tandis qu'au second membre figure une expression linéaire par rapport aux dérivées partielles du premier et second ordre de S. Cette équation peut être résolue par approximations en posant [FORMULE] et l'on a pour S0 l'équation ordinaire de Hamilton ; la série des équations qui permettent de déterminer S1, S2..., Sn... est ensuite linéaire. La fonction S, en un point donné, est multiforme, tout comme la fonction classique S0 ; sa valeur est déterminée à Σ mh Ik près, les lk étant les périodes de S ; pour que la fonction ψ n'ait qu'une seule détermination, il faut que la périodicité de l'exponentielle compense l'indétermination de S, ce qui donne les conditions Ih = nh h (nk entier). Si l'on s'en tient à la première approximation (S0), on retrouve ainsi la mécanique quantifiée de Sommerfeld, Schwarzschild, etc. Les approximations ultérieures apportent diverses corrections à ce premier calcul (quanta fractionnaires, sélection, etc.). L'auteur développe et précise cette méthode, qu'il avait déjà exposée dans une note aux compte rendus [C. R., t. 183 (5 juillet 1926), p. 24] et qui fut indiquée indépendamment par Wentzel [Zts. f. Phys., t. 38 (1926), p. 318] sous une forme d'ailleurs moins générale. Il était aussi intéressant de rechercher le type le plus général de problèmes résolubles ; c'est ce que tente l'auteur, en généralisant autant que possible les résultats obtenus précédemment. Incidemment, on constate que les équations générales ne permettent plus l'inversion du signe du temps, à moins que l'on ne change simultanément le signe de h ; ceci aura pour conséquence physique de remplacer les absorptions d'énergie par des émissions, et réciproquement D'autre part, les renseignements donnés, d'une manière très générale, sur la méthode de résolution des équations, permettent de préciser la forme des matrices et de montrer par quel mécanisme s'introduisent les règles de sélection. L'auteur indique enfin une suggestion sur le rôle du temps dans la mécanique nouvelle ; il propose une définition qui permet de retrouver sans ambiguïté les fréquences optiques, mais enlève toute existence physique aux fréquences des états stables.
L'hypothèse des sauts quantiques (qu'un point matériel ne peut émettre ou recevoir d'actions extérieures qu'à des intervalles d'action hamiltonienne égaux à h) impose au champ ambiant des forces électromagnétiques une propagation apparente régie par une équation d'ondes où intervient l'action hamiltonienne de l'électron-explorateur nécessaire pour déceler le champ. Cette action hamiltonienne étant d'autre part déterminée par le champ extérieur à la manière classique, l'équation définitive qui régit le champ ambiant résulte de l'élimination de l'action hamiltonienne entre l'équation d'ondes et les équations de la mécanique classique. Cette élimination, immédiate dans le cas de l'approximation de Schrodinger, ne peut se faire dans le cas de la mécanique relativiste qu'en passant des équations du second ordre (des ondes et d'Hamilton-Jacobi) à des équations du premier ordre équivalentes et donne alors le système d'équations de Dirac. Ces équations de Dirac une fois résolues, on peut calculer en fonction de leurs solutions, au moyen des équations précédentes du premier ordre, la quantité de mouvement et l'énergie d'un électron-explorateur en un point quelconque du champ ambiant. Le fait que la position initiale d'un électron vrai est indéterminée dans les données du problème ne permet alors de traiter l'étude de la trajectoire de l'électron que statistiquement, par les méthodes classiques de la mécanique statistique. On retrouve ainsi, dans le cas des trajectoires « possibles » de la mécanique classique, les interprétations statistiqnes prises en hypothèse par Dirac. Un appendice revient sur l'approximation de Schrödinger, précise la différence des électrons vrais et des électrons explorateurs, et interprète l'expérience de Davisson et Germer.
L'auteur reprend l'étude, tant de fois entreprise, des principes fondamentaux de l'Energétique. pour l'appliquer au phénomène que constitue le mouvement d'un point matériel L'analyse de ces principes conduit, pour les transformations réversibles, à des énoncés précis, dont l'application fournit, d'une part les équations de Lagrange, et de l'autre, la fonction qui joue un rôle analogue à celui de l'entropie thermodynamique, Pour le phenomène du mouvement, cette « entropie mecanique » n'est autre que l'action S; le principe d'Hamil on est alors simplement l'expression du principe de Carnot généralisé, appliqué à un cycle infiniment petit. Ce résultat a deux conséquences importantes : 1° Il rend plus facilement acceptable la mystérieuse hypothèse de ['atomicité de l'action, clef de voûte de la théorie des quanta. En effet. l'identification de l'action à une « entropie » range celle-ci dans la catégorie des facteur, de capacité d'une certaine forme d'énergie Or, l'observation nous montre que chaque fois qu'un élément physique a une structure discontinue, il est, énergétiquement un facteur de capacité. L'atomicité de l'action rentre ainsi dans un principe général, le principe de l'atomicité des entropies; elle n'est pas plus imprévue, ni plus mystérieuse que l'atomicité de la matière ou de électricité. 2° Ce résultat permet de traiter les problèmes d'intensité, c'est à-dire en fait, le problème de la répartition statistique d'un grand nombre d'éléments. A cette fin, on relie la probabilité de présence ψ d'un point en une région déterminée à l'entropie mécanique S par une relation qui généralise l'hypothèse de Boltzmann S = k log ψ. Des résultats simples montrent que la constante universelle k est égale à h/2πi, en accord avec la mécanique ondulatoire. Si on fait cette substitution dans l'équation de Jacobi que vérifie S, on retombe sur l'équation de Schrödinger, à condition d'admettre une relation supplémentaire (par exemple Δ S = 0 pour un cas simple). On peut ainsi obtenir l'équation de Schrödinger par un procédé direct et qui n'est pas exclusivement formel. Ce procédé montre que cette équation n'est pas universelle, mais simplement l'équation d'un mouvement particulier. Les développements précédents ont le grave défaut de ne faire usage que des notions classiques ; on n'envisage pas, dans cet article. leur relation avec les nouvelles mécaniques, ni avec le principe d'indétermination de Heisenberg. Incidemment, on introduit dans le cours des raisonnements une notion mathématique nouvelle : la probabilité imaginaire. Un paragraphe est consacré à l'analyse sommaire de cette notion et montre qu'on aurait pu la retrouver mathématiquement, sans hypothèse physique, par simple généralisation.
La Mécanique ondulatoire dispose de deux méthodes : la première, la méthode classique, qui repose sur l'équation de Schrödinger et le calcul des matrices, a connu des succès éclatants qui lui valurent une sorte de monopole dans la physique de l'atome et de la molécule. Mais elle ne s'applique en toute rigueur qu'aux opérateurs bornés et ceux-ci ne se rencontrent guère en Mécanique ondulatoire. La seconde par contre, la méthode de Neumann, qui repose sur l'algèbre des familles spectrales, est mathématiquement inattaquable. Malheureusement, elle est inutilisable dans les applications. Si l'on songe au rôle que joue la puissance de l'instrument mathématique dans le développement des théories physiques, on comprend alors l'intérêt que présenterait une méthode qui réunisse les qualités du formalisme de Neumann et du formalisme classique. La méthode proposée ici les réunit sans doute en partie. Elle substitue aux familles spectrales leurs transformées de Fourier-Stieltjes Us. Les multiples propriétés des opérateurs Us et la grande maniabilité des fonctions caractéristiques (ψ, Us, ψ) des lois de probabilités correspondantes, lui permettent de traiter un certain nombre de problèmes avec une brièveté sans doute difficile à surpasser. On en donne quelques exemples (1).
La Mécanique ondulatoire dispose de deux méthodes : la première, la méthode classique, qui repose sur l'équation de Schrödinger et le calcul des matrices, a connu des succès éclatants qui lui valurent une sorte de monopole dans la physique de l'atome et de la molécule. Mais elle ne s'applique en toute rigueur qu'aux opérateurs bornés et ceux-ci ne se rencontrent guère en Mécanique ondulatoire. La seconde par contre, la méthode de Neumann, qui repose sur l'algèbre des familles spectrales, est mathématiquement inattaquable. Malheureusement, elle est inutilisable dans les applications. Si l'on songe au rôle que joue la puissance de l'instrument mathématique dans le développement des théories physiques, on comprend alors l'intérêt que présenterait une méthode qui réunisse les qualités du formalisme de Neumann et du formalisme classique. La méthode proposée ici les réunit sans doute en partie. Elle substitue aux familles spectrales leurs transformées de Fourier-Stieltjes Us. Les multiples propriétés des opérateurs Us et la grande maniabilité des fonctions caractéristiques (ψ, Us, ψ) des lois de probabilités correspondantes, lui permettent de traiter un certain nombre de problèmes avec une brièveté sans doute difficile à surpasser. On en donne quelques exemples (1).
La mécanique classique ne tient pas compte du fait que les forces d'interaction qui agissent sur l'électron sont propagées par ondes. D'autre part, la théorie de Maxwell ne définit aucune fréquence des ondes dont elle étudie la propagation. L'apparition de la discontinuité manifestée par les théories des quanta est attribuée à une propriété fondamentale de la matière, qui ne peut émettre ou recevoîr d'actions extérieures qu'à des intervalles d'action hamiltonnienne égaux à h. Ceci permet de définir des fréquences pour le champ ambiant, champ des forces extérieures agissant sur l'électron. Le champ ambiant apparaît ainsi discontinu du fait des électrons explorateurs qui sont nécessaires pour le faire apparaître, et on lui substitue, pour l'étude mathématique, un champ continu fictif de même amplitude et de même fréquence. Seules certaines de ces fréquences sont stables, permettent l'équilibre entre le champ ambiant et l'électron qui y est plongé : ce sont les fréquences données par l'équation de Schrodinger, qui est retrouvée à partir des conceptions précédentes : c'est donc une équation de condition ajoutée aux équations de la mécanique classique. C'est essentiellement parce qu'on traite un problème de conditions aux limites que les « fréquences critiques » apparaissent. (Le succès de l'interprétation statistique de l'équation de Schrodinger est attribuée aux propriétés générales d'une méthode d'intégration d'une équation aux dérivées partielles.) En même temps, une interprétation de la cinquième dimension est proposée, et la raison donnée de la simplification qu'elle apporte aux calculs. La théorie présente conduit naturellement à considérer le système d'équations de Dirac et à donner une signification géométrique aux « spinvariables » qu'il a introduites.
L'auteur démontre que la fonction ψ figurant dans l'équation fondamentale (équation de l'amplitude) de la mécanique ondulatoire appartenant au mouvement simplement périodique d'un point matériel, possède la propriété suivante : [FORMULE] où τ désigne la période, Δ l'opérateur de Laplace, est invariant adiabatique, si l'on assujettit l'un des paramètres du mouvement à une variation très lente ; les coordonnées figurant dans ψ sont déterminées comme fonctions du temps à l'aide des équations du mouvement de la mécanique classique Cette intégrale est dans un rapport étroit avec les anciennes intégrales des quanta L'auteur applique le théorème démontré à des cas spéciaux : à l'oscillateur harmonique et à l'ellipse de Képler. Il en fait également application à la théorie des perturbations : il résout le problème de l'oscillateur anharmonique et calcule les principales formules de thermodynamique par rapport à un système constitué d'oscillateurs anharmoniques.