Madelung a mis la mécanique de Schrödinger sous une forme qui rapproche cette mécanique, appliquée à l'électron, de l'électrodynamique classique relative à un fluide électrique continu. Nous montrons dans le présent article que la mécanique relativiste de Dirac peut subir la même transformation. Les formules tensorielles obtenues présentent encore ici un certain aspect électrodynamique classique; elles mettent en valeur le caractère géométrique des scalaires, vecteurs et tenseurs attachés à l'électron. Ces résultats pourront peut-être rendre service pour obtenir les perfectionnements que paraît nécessiter l'actuelle théorie quantique du rayonnement.
Madelung a mis la mécanique de Schrödinger sous une forme qui rapproche cette mécanique, appliquée à l'électron, de l'électrodynamique classique relative à un fluide électrique continu. Nous montrons dans le présent article que la mécanique relativiste de Dirac peut subir la même transformation. Les formules tensorielles obtenues présentent encore ici un certain aspect électrodynamique classique; elles mettent en valeur le caractère géométrique des scalaires, vecteurs et tenseurs attachés à l'électron. Ces résultats pourront peut-être rendre service pour obtenir les perfectionnements que paraît nécessiter l'actuelle théorie quantique du rayonnement.
L'hypothèse des sauts quantiques (qu'un point matériel ne peut émettre ou recevoir d'actions extérieures qu'à des intervalles d'action hamiltonienne égaux à h) impose au champ ambiant des forces électromagnétiques une propagation apparente régie par une équation d'ondes où intervient l'action hamiltonienne de l'électron-explorateur nécessaire pour déceler le champ. Cette action hamiltonienne étant d'autre part déterminée par le champ extérieur à la manière classique, l'équation définitive qui régit le champ ambiant résulte de l'élimination de l'action hamiltonienne entre l'équation d'ondes et les équations de la mécanique classique. Cette élimination, immédiate dans le cas de l'approximation de Schrodinger, ne peut se faire dans le cas de la mécanique relativiste qu'en passant des équations du second ordre (des ondes et d'Hamilton-Jacobi) à des équations du premier ordre équivalentes et donne alors le système d'équations de Dirac. Ces équations de Dirac une fois résolues, on peut calculer en fonction de leurs solutions, au moyen des équations précédentes du premier ordre, la quantité de mouvement et l'énergie d'un électron-explorateur en un point quelconque du champ ambiant. Le fait que la position initiale d'un électron vrai est indéterminée dans les données du problème ne permet alors de traiter l'étude de la trajectoire de l'électron que statistiquement, par les méthodes classiques de la mécanique statistique. On retrouve ainsi, dans le cas des trajectoires « possibles » de la mécanique classique, les interprétations statistiqnes prises en hypothèse par Dirac. Un appendice revient sur l'approximation de Schrödinger, précise la différence des électrons vrais et des électrons explorateurs, et interprète l'expérience de Davisson et Germer.
On étudie,conformément à un programme donné dans un travail antérieur, les champs électromagnétiques statiques associés aux états stationnaires discrets d'un atome hydrogénoïde en théorie de Dirac. Les potentiels d'où dérivent les champs, obtenus ici ne diffêrent pas quant à leur aspect des potentiels évalués dans la théorie non relativiste. Comme dans cette dernière, le potentiel scalaire prend, en coordonnées polaires, une forme fermée et s'exprime à l'aide d'une série finie dont chaque terme est le produit d'un polynome de Legendre pair, de première espèce, en le cosinus de l'angle polaire θ par une fonction du rayon vecteur du point où l'on évalue le potentiel. Ces fonctions radiales correspondent ici toujours à des fonctions gamma incomplètes auxquelles s'ajoute, en général, un terme de la forme e^(-r) f( r), f(r) étant une somme de polynomes en r et 1/r, r étant la longueur du rayon vecteur du point considéré. Le potentiel vecteur, existant en théorie relativiste, dans tous les états, ne peut pas ètre obtenu sous une forme fermée, comme c'était déjà le cas à l'approximation non relativiste, montrant que le vecteur densité de courant relativiste, donne lieu, lui aussi, à un champ magnétique statique d'une structure formelle compliquée.
L'auteur essaye d'établir les bases d'une théorie des photons dans l'espace de configuration, dans l'espoir d'éliminer de cette façon certaines difficultés de la théorie actuelle du rayonnement. L'algorithme dont il se sert est constitué par les dérivées d'ordre fractionnaire, et l'idée fondamentale consiste à décomposer convenablement le vecteur d'univers [FORMULE] On examine successivement l'expression des champs, leur polarisation, leurs lois de transformation et la valeur de l'énergie. La solution comporte trois étapes d'approximation, tout à fait analogues aux approximations de Schrödinger, de Pauli et de Dirac pour la mécanique quantique. Dans ce premier article, on n'aborde que l'approximation de Schrödinger. Il résulte d'une analyse serrée que, vraisemblablement,l'expression de la densité d'énergie classique (1/(8π))(E² + H²) n'est vraie qu'en première approximation, à savoir, pour les ondes planes et pour un faisceau infinitésimal d'ondes, de directions, et de fréquences légèrement différentes; elle n'est plus vraie pour une lumière quelconque. Cette conclusion semble pouvoir être soumise au contrôle expérimental.
L'auteur reprend l'étude, tant de fois entreprise, des principes fondamentaux de l'Energétique. pour l'appliquer au phénomène que constitue le mouvement d'un point matériel L'analyse de ces principes conduit, pour les transformations réversibles, à des énoncés précis, dont l'application fournit, d'une part les équations de Lagrange, et de l'autre, la fonction qui joue un rôle analogue à celui de l'entropie thermodynamique, Pour le phenomène du mouvement, cette « entropie mecanique » n'est autre que l'action S; le principe d'Hamil on est alors simplement l'expression du principe de Carnot généralisé, appliqué à un cycle infiniment petit. Ce résultat a deux conséquences importantes : 1° Il rend plus facilement acceptable la mystérieuse hypothèse de ['atomicité de l'action, clef de voûte de la théorie des quanta. En effet. l'identification de l'action à une « entropie » range celle-ci dans la catégorie des facteur, de capacité d'une certaine forme d'énergie Or, l'observation nous montre que chaque fois qu'un élément physique a une structure discontinue, il est, énergétiquement un facteur de capacité. L'atomicité de l'action rentre ainsi dans un principe général, le principe de l'atomicité des entropies; elle n'est pas plus imprévue, ni plus mystérieuse que l'atomicité de la matière ou de électricité. 2° Ce résultat permet de traiter les problèmes d'intensité, c'est à-dire en fait, le problème de la répartition statistique d'un grand nombre d'éléments. A cette fin, on relie la probabilité de présence ψ d'un point en une région déterminée à l'entropie mécanique S par une relation qui généralise l'hypothèse de Boltzmann S = k log ψ. Des résultats simples montrent que la constante universelle k est égale à h/2πi, en accord avec la mécanique ondulatoire. Si on fait cette substitution dans l'équation de Jacobi que vérifie S, on retombe sur l'équation de Schrödinger, à condition d'admettre une relation supplémentaire (par exemple Δ S = 0 pour un cas simple). On peut ainsi obtenir l'équation de Schrödinger par un procédé direct et qui n'est pas exclusivement formel. Ce procédé montre que cette équation n'est pas universelle, mais simplement l'équation d'un mouvement particulier. Les développements précédents ont le grave défaut de ne faire usage que des notions classiques ; on n'envisage pas, dans cet article. leur relation avec les nouvelles mécaniques, ni avec le principe d'indétermination de Heisenberg. Incidemment, on introduit dans le cours des raisonnements une notion mathématique nouvelle : la probabilité imaginaire. Un paragraphe est consacré à l'analyse sommaire de cette notion et montre qu'on aurait pu la retrouver mathématiquement, sans hypothèse physique, par simple généralisation.
La mécanique classique ne tient pas compte du fait que les forces d'interaction qui agissent sur l'électron sont propagées par ondes. D'autre part, la théorie de Maxwell ne définit aucune fréquence des ondes dont elle étudie la propagation. L'apparition de la discontinuité manifestée par les théories des quanta est attribuée à une propriété fondamentale de la matière, qui ne peut émettre ou recevoîr d'actions extérieures qu'à des intervalles d'action hamiltonnienne égaux à h. Ceci permet de définir des fréquences pour le champ ambiant, champ des forces extérieures agissant sur l'électron. Le champ ambiant apparaît ainsi discontinu du fait des électrons explorateurs qui sont nécessaires pour le faire apparaître, et on lui substitue, pour l'étude mathématique, un champ continu fictif de même amplitude et de même fréquence. Seules certaines de ces fréquences sont stables, permettent l'équilibre entre le champ ambiant et l'électron qui y est plongé : ce sont les fréquences données par l'équation de Schrodinger, qui est retrouvée à partir des conceptions précédentes : c'est donc une équation de condition ajoutée aux équations de la mécanique classique. C'est essentiellement parce qu'on traite un problème de conditions aux limites que les « fréquences critiques » apparaissent. (Le succès de l'interprétation statistique de l'équation de Schrodinger est attribuée aux propriétés générales d'une méthode d'intégration d'une équation aux dérivées partielles.) En même temps, une interprétation de la cinquième dimension est proposée, et la raison donnée de la simplification qu'elle apporte aux calculs. La théorie présente conduit naturellement à considérer le système d'équations de Dirac et à donner une signification géométrique aux « spinvariables » qu'il a introduites.