L'auteur essaye d'établir les bases d'une théorie des photons dans l'espace de configuration, dans l'espoir d'éliminer de cette façon certaines difficultés de la théorie actuelle du rayonnement. L'algorithme dont il se sert est constitué par les dérivées d'ordre fractionnaire, et l'idée fondamentale consiste à décomposer convenablement le vecteur d'univers [FORMULE] On examine successivement l'expression des champs, leur polarisation, leurs lois de transformation et la valeur de l'énergie. La solution comporte trois étapes d'approximation, tout à fait analogues aux approximations de Schrödinger, de Pauli et de Dirac pour la mécanique quantique. Dans ce premier article, on n'aborde que l'approximation de Schrödinger. Il résulte d'une analyse serrée que, vraisemblablement,l'expression de la densité d'énergie classique (1/(8π))(E² + H²) n'est vraie qu'en première approximation, à savoir, pour les ondes planes et pour un faisceau infinitésimal d'ondes, de directions, et de fréquences légèrement différentes; elle n'est plus vraie pour une lumière quelconque. Cette conclusion semble pouvoir être soumise au contrôle expérimental.
L'auteur essaye d'établir les bases d'une théorie des photons dans l'espace de configuration, dans l'espoir d'éliminer de cette façon certaines difficultés de la théorie actuelle du rayonnement. L'algorithme dont il se sert est constitué par les dérivées d'ordre fractionnaire, et l'idée fondamentale consiste à décomposer convenablement le vecteur d'univers [FORMULE] On examine successivement l'expression des champs, leur polarisation, leurs lois de transformation et la valeur de l'énergie. La solution comporte trois étapes d'approximation, tout à fait analogues aux approximations de Schrödinger, de Pauli et de Dirac pour la mécanique quantique. Dans ce premier article, on n'aborde que l'approximation de Schrödinger. Il résulte d'une analyse serrée que, vraisemblablement,l'expression de la densité d'énergie classique (1/(8π))(E² + H²) n'est vraie qu'en première approximation, à savoir, pour les ondes planes et pour un faisceau infinitésimal d'ondes, de directions, et de fréquences légèrement différentes; elle n'est plus vraie pour une lumière quelconque. Cette conclusion semble pouvoir être soumise au contrôle expérimental.
L'auteur examine la première approximation d'une mécanique quantique des photons dans l'espace de configuration, fondée sur les principes indiqués dans un précédent article (Journal de Physique, 1934, t. 5, p. 6). L'approximation consiste à décrire le photon par une fonction d'onde à deux composantes seulement. On obtient l'expression des composantes du champ électromagnétique, qui satisfont aux équations de Maxwell et se transforment correctement. On trouve qu'un photon d'énergie et de quantité de mouvement bien définies correspond à une lumière polarisée circulairement dans un sens déterminé. Pour le problème général de la signification des énergies negatives, ces résultats conduisent à l'interprétation suivante, à vérifier : L'énergie d'une particule est par essence une quantité positive; son signe n'indique que le sens de rotation, droit ou gauche, de certains champs attachés à la particule, et qui se confondent avec le champ electromagnétique de Maxwell si la particule est un corpuscule de lumière.
La fonction d'onde du photon en principe et en pratique Pendant ces trois ans, nous nous sommes intéressés à quelques sujets choisis en optique et en électrodynamique quantiques. Le fil rouge de nos interrogations est la fonction d’onde du photon. Les expériences d’optique et d’électrodynamique quantique peuvent-elles être décrites de manière simple, dans l’espace des positions, à l’aide d’une fonction d’onde décrivant le ou les photon(s) impliqués dans l’expérience ? Ce n’est pas entièrement évident :la description usuelle des photons se fait dans l’espace réciproque des vecteurs d’onde. Mais ces expériences gagnent à être décrites par la mécanique ondulatoire en représentation position, comme cela est fait dans les manuels de mécanique quantique pour des situations impliquant des particules massives. De surcroît, une expérience récente[1] a conduit à l’observation de trajectoires de photons uniques à travers un interféromètre à deux fentes d’Young.Pour essayer de décrire formellement ces trajectoires, il est naturel de formuler une mécanique ondulatoire pour les photons. Nous avons donc examiné en détail la construction formelle de la fonction d’onde du photon, un objet qui est resté peu étudié jusqu’aux années 1990. Nous avons également étudié les propriétés de la fonction d’onde du photon en présence de sources, et considéré pour ce faire divers systèmes quantiques ouverts (en interaction). Nous avons vu qu’il existe, en principe, une infinité de possibilités pour le choix de la fonction d’onde du photon.Nous avons mis en évidence un certain nombre de critères sur la base desquels il apparaît que seuls trois choix parmi tous ceux possibles sont intéressants, l’un d’entre eux ramenant à un objet introduit par Glauber [2] pour étudier la détection de la lumière et les corrélations du champ électromagnétique. Nous avons également vu qu’en l’absence de sources l’équation quantique de propagation des photons est formellement identique aux équations de Maxwell.À bas nombre de photons, le formalisme de la fonction d’onde peut se révéler très pratique. Nous avons adapté l’approche aux systèmes en interaction, en nous intéressant dans un premier temps à l’électrodynamique quantique1en cavité [3], en particulier aux expériences réalisées par le groupe de Serge Haroche [4]. Nous avons proposé un modèle simple pour la description des photons dans les cavités d’électrodynamique. À l’aide de ce modèle, et de la fonction d’onde du photon, nous avons étudié la propagation des photons s’échappant de la cavité. Nous avons également construit l’équation maîtresse de Lindblad sans introduire de sauts quantiques non unitaires (voir également [5]). Nous nous sommes enfin intéressés à la question de l’évolution spatiotemporelle d’un photon émis lors d’une désexcitation d’un électron atomique. Après avoir étudié soigneusement la dynamique de la désexcitation de l’électron, notamment aux temps très courts [6, 7], nous nous sommes attachés à décrire, aussi rigoureusement que possible, le champ électromagnétique émis. Celui-ci, de manière surprenante, n’évolue pas causalement. Si cela n’est pas entièrement inattendu au vu du théorème de Hegerfeldt, qui stipule [8] que la causalité est exclue pour les systèmes décrits par un Hamiltonien dont le spectre est borné inférieurement, nous avons identifié [9] deux autres sources de non-causalité, l’une, prédite qualitativement par Shirokov [10], et l’autre, entièrement nouvelle à notre connaissance, et dont la compréhension reste à affiner.
L'équation fondamentale de la mécanique ondulatoire peut ètre résolue par une méthode d'approximations successives ; au lieu de chercher directement la fonction ψ de Schrodinger, on pose ψ = e^((2πi/h)S) et l'on obtient pour S une équation de la forme [FORMULE], où le premier membre est identique à celui de l'équation de Hamilton, tandis qu'au second membre figure une expression linéaire par rapport aux dérivées partielles du premier et second ordre de S. Cette équation peut être résolue par approximations en posant [FORMULE] et l'on a pour S0 l'équation ordinaire de Hamilton ; la série des équations qui permettent de déterminer S1, S2..., Sn... est ensuite linéaire. La fonction S, en un point donné, est multiforme, tout comme la fonction classique S0 ; sa valeur est déterminée à Σ mh Ik près, les lk étant les périodes de S ; pour que la fonction ψ n'ait qu'une seule détermination, il faut que la périodicité de l'exponentielle compense l'indétermination de S, ce qui donne les conditions Ih = nh h (nk entier). Si l'on s'en tient à la première approximation (S0), on retrouve ainsi la mécanique quantifiée de Sommerfeld, Schwarzschild, etc. Les approximations ultérieures apportent diverses corrections à ce premier calcul (quanta fractionnaires, sélection, etc.). L'auteur développe et précise cette méthode, qu'il avait déjà exposée dans une note aux compte rendus [C. R., t. 183 (5 juillet 1926), p. 24] et qui fut indiquée indépendamment par Wentzel [Zts. f. Phys., t. 38 (1926), p. 318] sous une forme d'ailleurs moins générale. Il était aussi intéressant de rechercher le type le plus général de problèmes résolubles ; c'est ce que tente l'auteur, en généralisant autant que possible les résultats obtenus précédemment. Incidemment, on constate que les équations générales ne permettent plus l'inversion du signe du temps, à moins que l'on ne change simultanément le signe de h ; ceci aura pour conséquence physique de remplacer les absorptions d'énergie par des émissions, et réciproquement D'autre part, les renseignements donnés, d'une manière très générale, sur la méthode de résolution des équations, permettent de préciser la forme des matrices et de montrer par quel mécanisme s'introduisent les règles de sélection. L'auteur indique enfin une suggestion sur le rôle du temps dans la mécanique nouvelle ; il propose une définition qui permet de retrouver sans ambiguïté les fréquences optiques, mais enlève toute existence physique aux fréquences des états stables.
L'hypothèse des sauts quantiques (qu'un point matériel ne peut émettre ou recevoir d'actions extérieures qu'à des intervalles d'action hamiltonienne égaux à h) impose au champ ambiant des forces électromagnétiques une propagation apparente régie par une équation d'ondes où intervient l'action hamiltonienne de l'électron-explorateur nécessaire pour déceler le champ. Cette action hamiltonienne étant d'autre part déterminée par le champ extérieur à la manière classique, l'équation définitive qui régit le champ ambiant résulte de l'élimination de l'action hamiltonienne entre l'équation d'ondes et les équations de la mécanique classique. Cette élimination, immédiate dans le cas de l'approximation de Schrodinger, ne peut se faire dans le cas de la mécanique relativiste qu'en passant des équations du second ordre (des ondes et d'Hamilton-Jacobi) à des équations du premier ordre équivalentes et donne alors le système d'équations de Dirac. Ces équations de Dirac une fois résolues, on peut calculer en fonction de leurs solutions, au moyen des équations précédentes du premier ordre, la quantité de mouvement et l'énergie d'un électron-explorateur en un point quelconque du champ ambiant. Le fait que la position initiale d'un électron vrai est indéterminée dans les données du problème ne permet alors de traiter l'étude de la trajectoire de l'électron que statistiquement, par les méthodes classiques de la mécanique statistique. On retrouve ainsi, dans le cas des trajectoires « possibles » de la mécanique classique, les interprétations statistiqnes prises en hypothèse par Dirac. Un appendice revient sur l'approximation de Schrödinger, précise la différence des électrons vrais et des électrons explorateurs, et interprète l'expérience de Davisson et Germer.
L'auteur reprend l'étude, tant de fois entreprise, des principes fondamentaux de l'Energétique. pour l'appliquer au phénomène que constitue le mouvement d'un point matériel L'analyse de ces principes conduit, pour les transformations réversibles, à des énoncés précis, dont l'application fournit, d'une part les équations de Lagrange, et de l'autre, la fonction qui joue un rôle analogue à celui de l'entropie thermodynamique, Pour le phenomène du mouvement, cette « entropie mecanique » n'est autre que l'action S; le principe d'Hamil on est alors simplement l'expression du principe de Carnot généralisé, appliqué à un cycle infiniment petit. Ce résultat a deux conséquences importantes : 1° Il rend plus facilement acceptable la mystérieuse hypothèse de ['atomicité de l'action, clef de voûte de la théorie des quanta. En effet. l'identification de l'action à une « entropie » range celle-ci dans la catégorie des facteur, de capacité d'une certaine forme d'énergie Or, l'observation nous montre que chaque fois qu'un élément physique a une structure discontinue, il est, énergétiquement un facteur de capacité. L'atomicité de l'action rentre ainsi dans un principe général, le principe de l'atomicité des entropies; elle n'est pas plus imprévue, ni plus mystérieuse que l'atomicité de la matière ou de électricité. 2° Ce résultat permet de traiter les problèmes d'intensité, c'est à-dire en fait, le problème de la répartition statistique d'un grand nombre d'éléments. A cette fin, on relie la probabilité de présence ψ d'un point en une région déterminée à l'entropie mécanique S par une relation qui généralise l'hypothèse de Boltzmann S = k log ψ. Des résultats simples montrent que la constante universelle k est égale à h/2πi, en accord avec la mécanique ondulatoire. Si on fait cette substitution dans l'équation de Jacobi que vérifie S, on retombe sur l'équation de Schrödinger, à condition d'admettre une relation supplémentaire (par exemple Δ S = 0 pour un cas simple). On peut ainsi obtenir l'équation de Schrödinger par un procédé direct et qui n'est pas exclusivement formel. Ce procédé montre que cette équation n'est pas universelle, mais simplement l'équation d'un mouvement particulier. Les développements précédents ont le grave défaut de ne faire usage que des notions classiques ; on n'envisage pas, dans cet article. leur relation avec les nouvelles mécaniques, ni avec le principe d'indétermination de Heisenberg. Incidemment, on introduit dans le cours des raisonnements une notion mathématique nouvelle : la probabilité imaginaire. Un paragraphe est consacré à l'analyse sommaire de cette notion et montre qu'on aurait pu la retrouver mathématiquement, sans hypothèse physique, par simple généralisation.
M. Schrödinger et la plupart des auteurs qui se sont occupés de Mécanique ondulatoire ont cherché à représenter les phénomènes dynamiques par des propagations d'ondes à amplitude continue du type classique en Optique. Au premier abord, il est difficile de comprendre comment ce point de vue peut se concilier avec la structure atomique de la matière et du rayonnement, structure qui n'est plus guère contestée aujourd'hui. Le but du présent mémoire est de montrer que les solutions continues fournissent, en réalité, seulement une certaine vue statistique des phénomènes dynamiques dont la description exacte exige sans doute la considération d'ondes comportant des singularités. En particulier, ce genre de conceptions permet de donner un sens clair à l'équation proposée par Schrodinger pour la dynamique des systèmes.