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Journal de physique

Sur les champs electromagnétiques de la théorie des quanta - II.

L. Goldstein

Published Jan 1, 1934• 0 citations
Publisher

Abstract

On étudie,conformément à un programme donné dans un travail antérieur, les champs électromagnétiques statiques associés aux états stationnaires discrets d'un atome hydrogénoïde en théorie de Dirac. Les potentiels d'où dérivent les champs, obtenus ici ne diffêrent pas quant à leur aspect des potentiels évalués dans la théorie non relativiste. Comme dans cette dernière, le potentiel scalaire prend, en coordonnées polaires, une forme fermée et s'exprime à l'aide d'une série finie dont chaque terme est le produit d'un polynome de Legendre pair, de première espèce, en le cosinus de l'angle polaire θ par une fonction du rayon vecteur du point où l'on évalue le potentiel. Ces fonctions radiales correspondent ici toujours à des fonctions gamma incomplètes auxquelles s'ajoute, en général, un terme de la forme e^(-r) f( r), f(r) étant une somme de polynomes en r et 1/r, r étant la longueur du rayon vecteur du point considéré. Le potentiel vecteur, existant en théorie relativiste, dans tous les états, ne peut pas ètre obtenu sous une forme fermée, comme c'était déjà le cas à l'approximation non relativiste, montrant que le vecteur densité de courant relativiste, donne lieu, lui aussi, à un champ magnétique statique d'une structure formelle compliquée.

DOI
10.1051/jphysrad:01934005012062300

Related papers

Sur les champs électromagnétiques de la théorie des quanta - I.

L. Goldstein

Dans cette première partie d'un travail relatif à l'étude des champs électromagnétiques on étudie, à l'a proximation non relativiste et négligeant le spin de l'électron, les champs statiques des atomes hydrogénoïdes. Les potentiels électrostatiques et champs électriques associés aux états discrets s'obtiennent sous une forme fermée, le potentiel vecteur et le champ magnétique associés aux niveaux (1 ≽ 4, m ≠ 0) ne peuvent être obtenus que sous forme d'une série infinie de termes qui, pour le potentiel vecteur, sont des produits de polynomes de Legendre pairs, en le cosinus de l'angle polaire 0, par des fonctions compliquées de la distance à l'origine du point où le potentiel vecteur est évalué. Les potentiels sca'aires et champs électriques des niveaux (n, 1 ≽ 1, m ≠ 0) présentent une allure particulière pour des distances à l'origine relativement faibles et en premier lieu au voisinage de l'axe magnétique. La réalité physique de ces allures de potentiel ou de champ et d'une manière générale la réalité des champs atomiques ne serait admissible cependant que dans les limites où elle est conforme à l'interprétation de la théorie (possibilité d'exploration des champs).

Journal de physique•Jan 1, 1934•0 citations

Sur les champs électromagnétiques de la théorie des quanta. III

L. Goldstein

On étudie les champ statiques, d'une part, en vue de préciser les limites spatiales oú une loi de champ due à une source peut être vérifiée au moyen de mesures et, d'autre part, en vue de fixer les conditions où la forme classique des lois ponctuelles se trouve justifiée. Dans le premier de ces problèmes, la méthode de mesure utilisée est celle de la diffusion de corps d'épreuve convenables dans les champs créés par des centres, les dimensions des premiers commes celles des derniers étant négligées. Une comparaison des conclusions relatives aux régions d'espace entourant une source - où règne ou ne règne pas, un champ hypothétique de forme précise — des points de vue classique et quantique, et pour le même processus de mesure, conduit à fixer la limite de validité comparative de la théorie classique. Cette limite serait déterminée par le rapport d/λ, où d est la distance d'approche minimum classique du corps d'épreuve utilisé à la source du champ et λ la longueur d'onde de de Broglie associée au corps d'épreuve. Tant que ce rapport est supérieur à l'unité, les conclusions indiquées coïncident dans les théories classique et quantique; par contre, lorsque ce rapport est inférieur à l'unité on se trouve dans un domaine où seules les conclusions conformes à la Mécanique quantique sont admissibles. La condition d/λ < 1 pouvait être généralisée comme devant être satisfaite nécessairement par toute méthode d'approximation fondée sur la Mécanique quantique en vue de décrire des processus de diffusion dans les champs considérés ici (champs dérivant d'un potentiel et fonctions de la distance). Il se trouve en particulier que dans les champs du type Coulomb le rapport précédent est justement le paramètre de développement en série de la méthode d'approximations successives de Born. On montre enfin, en étudiant localement un champ statique à l'aide de mesures directes de composantes de champ, que les lois classiques ponctuelles peuvent être justifiées dans le cas des champs uniformes et dans les régions des champs non uniformes où ceux ci varient relativement lentement le long de distances de l'ordre des dimensions linéaires des corps d'épreuve de volume fini utilisés dans la mesure.

Journal de physique•Jan 1, 1935•0 citations

Remarques sur les équations de la mécanique ondulatoire

Jean Ullmo

L'hypothèse des sauts quantiques (qu'un point matériel ne peut émettre ou recevoir d'actions extérieures qu'à des intervalles d'action hamiltonienne égaux à h) impose au champ ambiant des forces électromagnétiques une propagation apparente régie par une équation d'ondes où intervient l'action hamiltonienne de l'électron-explorateur nécessaire pour déceler le champ. Cette action hamiltonienne étant d'autre part déterminée par le champ extérieur à la manière classique, l'équation définitive qui régit le champ ambiant résulte de l'élimination de l'action hamiltonienne entre l'équation d'ondes et les équations de la mécanique classique. Cette élimination, immédiate dans le cas de l'approximation de Schrodinger, ne peut se faire dans le cas de la mécanique relativiste qu'en passant des équations du second ordre (des ondes et d'Hamilton-Jacobi) à des équations du premier ordre équivalentes et donne alors le système d'équations de Dirac. Ces équations de Dirac une fois résolues, on peut calculer en fonction de leurs solutions, au moyen des équations précédentes du premier ordre, la quantité de mouvement et l'énergie d'un électron-explorateur en un point quelconque du champ ambiant. Le fait que la position initiale d'un électron vrai est indéterminée dans les données du problème ne permet alors de traiter l'étude de la trajectoire de l'électron que statistiquement, par les méthodes classiques de la mécanique statistique. On retrouve ainsi, dans le cas des trajectoires « possibles » de la mécanique classique, les interprétations statistiqnes prises en hypothèse par Dirac. Un appendice revient sur l'approximation de Schrödinger, précise la différence des électrons vrais et des électrons explorateurs, et interprète l'expérience de Davisson et Germer.

Journal de physique•Jan 1, 1929•0 citations

Sur diverses grandeurs physiques de la théorie de Dirac

L. Goldstein

On étudie les valeurs probables ou valeurs moyennes de diverees grandeurs opératorielles de la théorie de Dirac dans les états discrets des atomes hydrogénoïdes. Une discussion, en connexion avec ces valeurs moyennes, des composantes de la vitesse (dérivées temporelles des coordonnées de l'électron) et de l'accélération conduit à classer ces grandeurs avec les grandeurs intrinsèques (spin, moments magnétique et électrique) et les opérateurs à densité invariante en un groupe de grandeurs non observables. Celles-ci se présentent toujours sous la forme d'un produit de matrices fondamentales ou d'une combinaison linéaire de tels produits. Cette forme opératorielle serait une condition suffisante du caractère non observable. L'étude du moment magnétique atomique, opérateur de perturbation, permet d'écrire sous sa forme exacte l'opérateur du second ordre, en l'énergie, de Dirac qui a été donné toujours, en présence d'un champ extérieur, sous une forme légèrement inexacte. On montre, en même temps, que la masse intervient sous la forme opératorielle dans les opérations sur des grandeurs quantiques.

Journal de physique•Jan 1, 1935•0 citations

Sur quelques propriétés des corpuscules de spin 1/2 h/2π dans les champs électromagnétiques

Gérard Petiau

L'introduction dans l'équation d'ondes de l'électron de Dirac, représentant, d'une façon générale, les corpuscules de spin 1/2.h/2π d'un terme d'interaction électromagnétique s'exerçant directement par les champs et non plus seulement par les potentiels, permet de représenter un corpuscule possédant un moment magnétique propre non lié à l'existence de la charge. Nous examinons ici quelques propriétés de ce corpuscule que l'on peut déduire de l'équation d'ondes. Après avoir défini un opérateur vitesse généralisé, nous montrons comment l'introduction d'un tenseur d'impulsion généralisé permet d'étudier les forces résultant de l'action du champ sur le corpuscule, celles-ci se décomposant en une force correspondant à la force de Lorentz classique et en une force due au moment électromagnétique propre ou force de spin dont nous discutons la possibilité de mise en évidence. Les résultats obtenus sont ensuite retrouvés dans l'étude de l'approximation non relativiste de l'équation d'ondes considérée, d'abord dans le cas du champ électromagnétique quelconque puis, plus en détail, dans le cas du champ électrique central.

Journal de physique•Jan 1, 1948•0 citations

Studies of Richardson-Gaudin spin-½ models with arbitrary magnetic field

Claude Dimo

Cette thèse est divisée en trois parties et s'étend sur sept chapitres compris entre l'introduction et la conclusion générales. En effet, la première partie, constituée de quatre chapitres est surtout axée sur une étude statique des modèles de Richardson-Gaudin du spin 1/2 avec champ magnétique arbitraire incluant la possibilité d'un couplage XYZ totalement anisotrope tel que les termes $S^x_jS^x_k , S^y_j S^y_k mathrm{et} S^z_j S^z_k$ ont tous des forces de couplage distinctes. Dans cette partie on détermine de manière générique le spectre en énergie, les valeurs moyennes de spin central, les fonctions d'ondes et les fonctions de corrélation à deux points du modèles considéré; lesquels seront utiles pour une analyse dynamique poussée de ces modèles. Le calcul du spectre en énergie du système courant peut exploiter son intégrabilité qui se matérialise par un ensemble d'équations constituant la condition d'intégrabilité. Ce calcul se fait indépendamment de la symétrie du modèle considéré et passe par la résolution d'un système d'équations quadratiques relativement simple à résoudre numériquement.La seconde partie quant à elle est focalisée sur quelques exemples d'applications qu'on pourrait implémenter sur la base des résultats obtenus dans la partie I. En effet, Il a récemment été démontré que le modèle à spin central XX est intégrable. Il décrit un spin particulier couplé via des couplages spin-spin XX à un bain d'autres spins tout en ressentant un champ magnétique le long de l'axe $hat{z}$, c'est-à-dire perpendiculaire au plan dans lequel le couplage existe. Ce qui nous intéresse ici est dans un premier temps de démontrer que le modèle à spin central XX reste intégrable en présence d'un champ magnétique orienté arbitrairement. Dans un second temps nous étudions si les états sombres subsistent dans ce cas. La symétrie U(1) du modèle considéré est brisée par l'ajout d'une composante du champ externe dans le plan XY, ce qui pourrait conduire à une physique radicalement différente. Néanmoins, nous montrons que, pour un couplage suffisamment fort, la structure des états sombres réapparaît même en présence d'un champ magnétique dans le plan. Un autre exemple d'application qui clôture cette deuxième partie est celui des états sombres XXX avec champ magnétique arbitraire. Ces états bien qu'ayant une physique différentes de celle rencontrée dans les modèles précédemment étudiés existent et une loi générique à été établie pour les compter.Cette loi à été vérifiée jusqu'à 12 spins dans le bain, donc nous pouvons supposer qu'elle fonctionne aussi au delà de 12 spins dans le bain, nous pouvons conjecturer qu'elle soit valide pour n'importe quelle valeur de N.La troisième partie de ce projet quant à lui est dédié à une étude dynamique des modèles non intégrables se rapprochant de ceux étudiés dans la première partie de ce manuscrit. En effet, ces modèles sont juste la représentation des modèles de Richardson-Gaudin plongés dans un champ magnétique dépendant du temps et orienté suivant $hat{z}$.Dans un processus de rotation autour de l'axe $hat{z}$ du champ magnétique associé au spin central, il est possible de définir une base dépendant du temps dans laquelle le problème dépendant temps se réduit a un problème indépendant. Le hamiltonien obtenu peut alors être intégrable et nécessiter l'utilisation des résultats trouvés dans la première partie pour être résolu. Pour ces modèles, en imaginant par exemple que le système soit initialement préparé dans un état sombre du hamiltonien statique, on constate clairement que sa dynamique n'est pas triviale et conduit à des oscillations parfaites de cet état.Les systèmes de tailles finies issus des modèles de spin central traités dans cette thèse dépendent fortement de la distribution des couplages entre le spin central et chaque spin nucléaire constituant le bain.

•Sep 27, 2021•0 citations
On étudie,conformément à un programme donné dans un travail antérieur, les champs électromagnétiques statiques associés aux états stationnaires discrets d'un atome hydrogénoïde en théorie de Dirac. Les potentiels d'où dérivent les champs, obtenus ici ne diffêrent pas quant à leur aspect des potentiels évalués dans la théorie non relativiste. Comme dans cette dernière, le potentiel scalaire prend, en coordonnées polaires, une forme fermée et s'exprime à l'aide d'une série finie dont chaque terme est le produit d'un polynome de Legendre pair, de première espèce, en le cosinus de l'angle polaire θ par une fonction du rayon vecteur du point où l'on évalue le potentiel. Ces fonctions radiales correspondent ici toujours à des fonctions gamma incomplètes auxquelles s'ajoute, en général, un terme de la forme e^(-r) f( r), f(r) étant une somme de polynomes en r et 1/r, r étant la longueur du rayon vecteur du point considéré. Le potentiel vecteur, existant en théorie relativiste, dans tous les états, ne peut pas ètre obtenu sous une forme fermée, comme c'était déjà le cas à l'approximation non relativiste, montrant que le vecteur densité de courant relativiste, donne lieu, lui aussi, à un champ magnétique statique d'une structure formelle compliquée.
Dans cette première partie d'un travail relatif à l'étude des champs électromagnétiques on étudie, à l'a proximation non relativiste et négligeant le spin de l'électron, les champs statiques des atomes hydrogénoïdes. Les potentiels électrostatiques et champs électriques associés aux états discrets s'obtiennent sous une forme fermée, le potentiel vecteur et le champ magnétique associés aux niveaux (1 ≽ 4, m ≠ 0) ne peuvent être obtenus que sous forme d'une série infinie de termes qui, pour le potentiel vecteur, sont des produits de polynomes de Legendre pairs, en le cosinus de l'angle polaire 0, par des fonctions compliquées de la distance à l'origine du point où le potentiel vecteur est évalué. Les potentiels sca'aires et champs électriques des niveaux (n, 1 ≽ 1, m ≠ 0) présentent une allure particulière pour des distances à l'origine relativement faibles et en premier lieu au voisinage de l'axe magnétique. La réalité physique de ces allures de potentiel ou de champ et d'une manière générale la réalité des champs atomiques ne serait admissible cependant que dans les limites où elle est conforme à l'interprétation de la théorie (possibilité d'exploration des champs).
On étudie les champ statiques, d'une part, en vue de préciser les limites spatiales oú une loi de champ due à une source peut être vérifiée au moyen de mesures et, d'autre part, en vue de fixer les conditions où la forme classique des lois ponctuelles se trouve justifiée. Dans le premier de ces problèmes, la méthode de mesure utilisée est celle de la diffusion de corps d'épreuve convenables dans les champs créés par des centres, les dimensions des premiers commes celles des derniers étant négligées. Une comparaison des conclusions relatives aux régions d'espace entourant une source - où règne ou ne règne pas, un champ hypothétique de forme précise — des points de vue classique et quantique, et pour le même processus de mesure, conduit à fixer la limite de validité comparative de la théorie classique. Cette limite serait déterminée par le rapport d/λ, où d est la distance d'approche minimum classique du corps d'épreuve utilisé à la source du champ et λ la longueur d'onde de de Broglie associée au corps d'épreuve. Tant que ce rapport est supérieur à l'unité, les conclusions indiquées coïncident dans les théories classique et quantique; par contre, lorsque ce rapport est inférieur à l'unité on se trouve dans un domaine où seules les conclusions conformes à la Mécanique quantique sont admissibles. La condition d/λ < 1 pouvait être généralisée comme devant être satisfaite nécessairement par toute méthode d'approximation fondée sur la Mécanique quantique en vue de décrire des processus de diffusion dans les champs considérés ici (champs dérivant d'un potentiel et fonctions de la distance). Il se trouve en particulier que dans les champs du type Coulomb le rapport précédent est justement le paramètre de développement en série de la méthode d'approximations successives de Born. On montre enfin, en étudiant localement un champ statique à l'aide de mesures directes de composantes de champ, que les lois classiques ponctuelles peuvent être justifiées dans le cas des champs uniformes et dans les régions des champs non uniformes où ceux ci varient relativement lentement le long de distances de l'ordre des dimensions linéaires des corps d'épreuve de volume fini utilisés dans la mesure.
L'hypothèse des sauts quantiques (qu'un point matériel ne peut émettre ou recevoir d'actions extérieures qu'à des intervalles d'action hamiltonienne égaux à h) impose au champ ambiant des forces électromagnétiques une propagation apparente régie par une équation d'ondes où intervient l'action hamiltonienne de l'électron-explorateur nécessaire pour déceler le champ. Cette action hamiltonienne étant d'autre part déterminée par le champ extérieur à la manière classique, l'équation définitive qui régit le champ ambiant résulte de l'élimination de l'action hamiltonienne entre l'équation d'ondes et les équations de la mécanique classique. Cette élimination, immédiate dans le cas de l'approximation de Schrodinger, ne peut se faire dans le cas de la mécanique relativiste qu'en passant des équations du second ordre (des ondes et d'Hamilton-Jacobi) à des équations du premier ordre équivalentes et donne alors le système d'équations de Dirac. Ces équations de Dirac une fois résolues, on peut calculer en fonction de leurs solutions, au moyen des équations précédentes du premier ordre, la quantité de mouvement et l'énergie d'un électron-explorateur en un point quelconque du champ ambiant. Le fait que la position initiale d'un électron vrai est indéterminée dans les données du problème ne permet alors de traiter l'étude de la trajectoire de l'électron que statistiquement, par les méthodes classiques de la mécanique statistique. On retrouve ainsi, dans le cas des trajectoires « possibles » de la mécanique classique, les interprétations statistiqnes prises en hypothèse par Dirac. Un appendice revient sur l'approximation de Schrödinger, précise la différence des électrons vrais et des électrons explorateurs, et interprète l'expérience de Davisson et Germer.
On étudie les valeurs probables ou valeurs moyennes de diverees grandeurs opératorielles de la théorie de Dirac dans les états discrets des atomes hydrogénoïdes. Une discussion, en connexion avec ces valeurs moyennes, des composantes de la vitesse (dérivées temporelles des coordonnées de l'électron) et de l'accélération conduit à classer ces grandeurs avec les grandeurs intrinsèques (spin, moments magnétique et électrique) et les opérateurs à densité invariante en un groupe de grandeurs non observables. Celles-ci se présentent toujours sous la forme d'un produit de matrices fondamentales ou d'une combinaison linéaire de tels produits. Cette forme opératorielle serait une condition suffisante du caractère non observable. L'étude du moment magnétique atomique, opérateur de perturbation, permet d'écrire sous sa forme exacte l'opérateur du second ordre, en l'énergie, de Dirac qui a été donné toujours, en présence d'un champ extérieur, sous une forme légèrement inexacte. On montre, en même temps, que la masse intervient sous la forme opératorielle dans les opérations sur des grandeurs quantiques.
L'introduction dans l'équation d'ondes de l'électron de Dirac, représentant, d'une façon générale, les corpuscules de spin 1/2.h/2π d'un terme d'interaction électromagnétique s'exerçant directement par les champs et non plus seulement par les potentiels, permet de représenter un corpuscule possédant un moment magnétique propre non lié à l'existence de la charge. Nous examinons ici quelques propriétés de ce corpuscule que l'on peut déduire de l'équation d'ondes. Après avoir défini un opérateur vitesse généralisé, nous montrons comment l'introduction d'un tenseur d'impulsion généralisé permet d'étudier les forces résultant de l'action du champ sur le corpuscule, celles-ci se décomposant en une force correspondant à la force de Lorentz classique et en une force due au moment électromagnétique propre ou force de spin dont nous discutons la possibilité de mise en évidence. Les résultats obtenus sont ensuite retrouvés dans l'étude de l'approximation non relativiste de l'équation d'ondes considérée, d'abord dans le cas du champ électromagnétique quelconque puis, plus en détail, dans le cas du champ électrique central.
Cette thèse est divisée en trois parties et s'étend sur sept chapitres compris entre l'introduction et la conclusion générales. En effet, la première partie, constituée de quatre chapitres est surtout axée sur une étude statique des modèles de Richardson-Gaudin du spin 1/2 avec champ magnétique arbitraire incluant la possibilité d'un couplage XYZ totalement anisotrope tel que les termes SjxSkx,SjySkymathrmetSjzSkzS^x_jS^x_k , S^y_j S^y_k mathrm{et} S^z_j S^z_kSjx​Skx​,Sjy​Sky​mathrmetSjz​Skz​ ont tous des forces de couplage distinctes. Dans cette partie on détermine de manière générique le spectre en énergie, les valeurs moyennes de spin central, les fonctions d'ondes et les fonctions de corrélation à deux points du modèles considéré; lesquels seront utiles pour une analyse dynamique poussée de ces modèles. Le calcul du spectre en énergie du système courant peut exploiter son intégrabilité qui se matérialise par un ensemble d'équations constituant la condition d'intégrabilité. Ce calcul se fait indépendamment de la symétrie du modèle considéré et passe par la résolution d'un système d'équations quadratiques relativement simple à résoudre numériquement.La seconde partie quant à elle est focalisée sur quelques exemples d'applications qu'on pourrait implémenter sur la base des résultats obtenus dans la partie I. En effet, Il a récemment été démontré que le modèle à spin central XX est intégrable. Il décrit un spin particulier couplé via des couplages spin-spin XX à un bain d'autres spins tout en ressentant un champ magnétique le long de l'axe hatzhat{z}hatz, c'est-à-dire perpendiculaire au plan dans lequel le couplage existe. Ce qui nous intéresse ici est dans un premier temps de démontrer que le modèle à spin central XX reste intégrable en présence d'un champ magnétique orienté arbitrairement. Dans un second temps nous étudions si les états sombres subsistent dans ce cas. La symétrie U(1) du modèle considéré est brisée par l'ajout d'une composante du champ externe dans le plan XY, ce qui pourrait conduire à une physique radicalement différente. Néanmoins, nous montrons que, pour un couplage suffisamment fort, la structure des états sombres réapparaît même en présence d'un champ magnétique dans le plan. Un autre exemple d'application qui clôture cette deuxième partie est celui des états sombres XXX avec champ magnétique arbitraire. Ces états bien qu'ayant une physique différentes de celle rencontrée dans les modèles précédemment étudiés existent et une loi générique à été établie pour les compter.Cette loi à été vérifiée jusqu'à 12 spins dans le bain, donc nous pouvons supposer qu'elle fonctionne aussi au delà de 12 spins dans le bain, nous pouvons conjecturer qu'elle soit valide pour n'importe quelle valeur de N.La troisième partie de ce projet quant à lui est dédié à une étude dynamique des modèles non intégrables se rapprochant de ceux étudiés dans la première partie de ce manuscrit. En effet, ces modèles sont juste la représentation des modèles de Richardson-Gaudin plongés dans un champ magnétique dépendant du temps et orienté suivant hatzhat{z}hatz.Dans un processus de rotation autour de l'axe hatzhat{z}hatz du champ magnétique associé au spin central, il est possible de définir une base dépendant du temps dans laquelle le problème dépendant temps se réduit a un problème indépendant. Le hamiltonien obtenu peut alors être intégrable et nécessiter l'utilisation des résultats trouvés dans la première partie pour être résolu. Pour ces modèles, en imaginant par exemple que le système soit initialement préparé dans un état sombre du hamiltonien statique, on constate clairement que sa dynamique n'est pas triviale et conduit à des oscillations parfaites de cet état.Les systèmes de tailles finies issus des modèles de spin central traités dans cette thèse dépendent fortement de la distribution des couplages entre le spin central et chaque spin nucléaire constituant le bain.