On peut légitimer la théorie de Schrödinger et la célèbre équation aux dérivées partielles qui en est le fondement en se laissant guider par l'analogie fondamentale entre la mécanique classique et l'optique géométrique, analogie qui fut le point de départ de de Broglie. On doit construire pour cela les équations de la déformation élastique de la variété courbe hétérogène formée par l'espace des configurations du modèle mécanique étudié. On est ainsi conduit à trois hypothèses distinctes suivant que les ondes de Broglie-Schrodinger sont longitudinales, transversales ou mixtes.
On peut légitimer la théorie de Schrödinger et la célèbre équation aux dérivées partielles qui en est le fondement en se laissant guider par l'analogie fondamentale entre la mécanique classique et l'optique géométrique, analogie qui fut le point de départ de de Broglie. On doit construire pour cela les équations de la déformation élastique de la variété courbe hétérogène formée par l'espace des configurations du modèle mécanique étudié. On est ainsi conduit à trois hypothèses distinctes suivant que les ondes de Broglie-Schrodinger sont longitudinales, transversales ou mixtes.
Ce contenu est une compilation d'articles de l'encyclopedie libre Wikipedia. L'equation de Schrodinger, concue par le physicien autrichien Erwin Schrodinger en 1925, est une equation fondamentale en physique quantique non relativiste. Elle decrit l'evolution dans le temps d'une particule massive non-relativiste, et remplit ainsi le meme role que la relation fondamentale de la dynamique en mecanique classique. Au debut du xxe siecle, il etait devenu clair que la lumiere presente une dualite onde-corpuscule, c'est-a-dire qu'elle pouvait se manifester, selon les circonstances, soit comme une particule, le photon, soit comme une onde electromagnetique. Louis de Broglie proposa de generaliser cette dualite a toutes les particules connues bien que cette hypothese eut pour consequence paradoxale la production d'interferences par les electrons — a l'instar de la lumiere — ce qui fut verifie ulterieurement par l'experience de Davisson-Germer.
M. Schrödinger et la plupart des auteurs qui se sont occupés de Mécanique ondulatoire ont cherché à représenter les phénomènes dynamiques par des propagations d'ondes à amplitude continue du type classique en Optique. Au premier abord, il est difficile de comprendre comment ce point de vue peut se concilier avec la structure atomique de la matière et du rayonnement, structure qui n'est plus guère contestée aujourd'hui. Le but du présent mémoire est de montrer que les solutions continues fournissent, en réalité, seulement une certaine vue statistique des phénomènes dynamiques dont la description exacte exige sans doute la considération d'ondes comportant des singularités. En particulier, ce genre de conceptions permet de donner un sens clair à l'équation proposée par Schrodinger pour la dynamique des systèmes.
L'hypothèse des sauts quantiques (qu'un point matériel ne peut émettre ou recevoir d'actions extérieures qu'à des intervalles d'action hamiltonienne égaux à h) impose au champ ambiant des forces électromagnétiques une propagation apparente régie par une équation d'ondes où intervient l'action hamiltonienne de l'électron-explorateur nécessaire pour déceler le champ. Cette action hamiltonienne étant d'autre part déterminée par le champ extérieur à la manière classique, l'équation définitive qui régit le champ ambiant résulte de l'élimination de l'action hamiltonienne entre l'équation d'ondes et les équations de la mécanique classique. Cette élimination, immédiate dans le cas de l'approximation de Schrodinger, ne peut se faire dans le cas de la mécanique relativiste qu'en passant des équations du second ordre (des ondes et d'Hamilton-Jacobi) à des équations du premier ordre équivalentes et donne alors le système d'équations de Dirac. Ces équations de Dirac une fois résolues, on peut calculer en fonction de leurs solutions, au moyen des équations précédentes du premier ordre, la quantité de mouvement et l'énergie d'un électron-explorateur en un point quelconque du champ ambiant. Le fait que la position initiale d'un électron vrai est indéterminée dans les données du problème ne permet alors de traiter l'étude de la trajectoire de l'électron que statistiquement, par les méthodes classiques de la mécanique statistique. On retrouve ainsi, dans le cas des trajectoires « possibles » de la mécanique classique, les interprétations statistiqnes prises en hypothèse par Dirac. Un appendice revient sur l'approximation de Schrödinger, précise la différence des électrons vrais et des électrons explorateurs, et interprète l'expérience de Davisson et Germer.
L'équation fondamentale de la mécanique ondulatoire peut ètre résolue par une méthode d'approximations successives ; au lieu de chercher directement la fonction ψ de Schrodinger, on pose ψ = e^((2πi/h)S) et l'on obtient pour S une équation de la forme [FORMULE], où le premier membre est identique à celui de l'équation de Hamilton, tandis qu'au second membre figure une expression linéaire par rapport aux dérivées partielles du premier et second ordre de S. Cette équation peut être résolue par approximations en posant [FORMULE] et l'on a pour S0 l'équation ordinaire de Hamilton ; la série des équations qui permettent de déterminer S1, S2..., Sn... est ensuite linéaire. La fonction S, en un point donné, est multiforme, tout comme la fonction classique S0 ; sa valeur est déterminée à Σ mh Ik près, les lk étant les périodes de S ; pour que la fonction ψ n'ait qu'une seule détermination, il faut que la périodicité de l'exponentielle compense l'indétermination de S, ce qui donne les conditions Ih = nh h (nk entier). Si l'on s'en tient à la première approximation (S0), on retrouve ainsi la mécanique quantifiée de Sommerfeld, Schwarzschild, etc. Les approximations ultérieures apportent diverses corrections à ce premier calcul (quanta fractionnaires, sélection, etc.). L'auteur développe et précise cette méthode, qu'il avait déjà exposée dans une note aux compte rendus [C. R., t. 183 (5 juillet 1926), p. 24] et qui fut indiquée indépendamment par Wentzel [Zts. f. Phys., t. 38 (1926), p. 318] sous une forme d'ailleurs moins générale. Il était aussi intéressant de rechercher le type le plus général de problèmes résolubles ; c'est ce que tente l'auteur, en généralisant autant que possible les résultats obtenus précédemment. Incidemment, on constate que les équations générales ne permettent plus l'inversion du signe du temps, à moins que l'on ne change simultanément le signe de h ; ceci aura pour conséquence physique de remplacer les absorptions d'énergie par des émissions, et réciproquement D'autre part, les renseignements donnés, d'une manière très générale, sur la méthode de résolution des équations, permettent de préciser la forme des matrices et de montrer par quel mécanisme s'introduisent les règles de sélection. L'auteur indique enfin une suggestion sur le rôle du temps dans la mécanique nouvelle ; il propose une définition qui permet de retrouver sans ambiguïté les fréquences optiques, mais enlève toute existence physique aux fréquences des états stables.
La mécanique quantique, telle qu'elle est habituellement formulée, se limite à prédire les « résultats de mesure » et ne dit rien sur le monde en dehors des laboratoires.La théorie de de Broglie-Bohm, par contre, donne une dynamique de la matière en mouvement, où les particules sont guidées par une onde, qui est solution de l'équation de Schrödinger.Cette théorie permet de retrouver les prédictions habituelles de la mécanique quantique et explique ce qui se passe lors de « mesures », qui sont en fait des interactions entre un système macroscopique et le système quantique « mesuré », interactions qui sont entièrement décrites par la théorie, sans faire de la « mesure » un deus ex machina, comme c'est le cas dans la présentation usuelle de la mécanique quantique.
L'auteur essaye d'établir les bases d'une théorie des photons dans l'espace de configuration, dans l'espoir d'éliminer de cette façon certaines difficultés de la théorie actuelle du rayonnement. L'algorithme dont il se sert est constitué par les dérivées d'ordre fractionnaire, et l'idée fondamentale consiste à décomposer convenablement le vecteur d'univers [FORMULE] On examine successivement l'expression des champs, leur polarisation, leurs lois de transformation et la valeur de l'énergie. La solution comporte trois étapes d'approximation, tout à fait analogues aux approximations de Schrödinger, de Pauli et de Dirac pour la mécanique quantique. Dans ce premier article, on n'aborde que l'approximation de Schrödinger. Il résulte d'une analyse serrée que, vraisemblablement,l'expression de la densité d'énergie classique (1/(8π))(E² + H²) n'est vraie qu'en première approximation, à savoir, pour les ondes planes et pour un faisceau infinitésimal d'ondes, de directions, et de fréquences légèrement différentes; elle n'est plus vraie pour une lumière quelconque. Cette conclusion semble pouvoir être soumise au contrôle expérimental.