Challenges
Datasets
Workspaces
Papers
Discussions
Leaderboard
Log inSign up
Challenges
Datasets
Workspaces
Papers
Discussions
Leaderboard
Blog
Job Board
Q3AS

© 2026 Aqora Quantum S.A.S.

TermsPrivacyLegal Notice

N-Dimensional Affine Weyl-Heisenberg Wavelets

Charles Kalisa, Bruno Torrésani

Published Jan 1, 1993• 34 citations
OpenAlex

Abstract

: n-dimensional coherent states systems generated by translations, modulations, rotations and dilations are described. Starting from unitary irreducible representations of the n-dimen- sional affine Weyl-Heisenberg group, which are not square-integrable, one is led to consider systems of coherent states labeled by the elements of quotients of the original group. Such systems can yield a resolution of the identity, and then be used as alternatives to usual wavelet or windowed Fourier analysis. When the quotient space is the phase space of the representation, different embeddings of it into the group provide different descriptions of the phase space. R'esum'e: On d'ecrit des syst`emes d"etats coh'erents engendr'es par des translations, dilatations et rotations en n-dimensions. Partant de repr'esentations unitaires irr'eductibles du groupe de Weyl-Heisenberg affine en dimension n, qui ne sont pas de carr'e integrable, on est naturellement conduit `a consid'erer des syst`emes d"etats coh...

Related papers

De Sitter to Poincaré contraction and relativistic coherent states

S. Twareque Ali, Jean-Pierre Antoine, Jean‐Pierre Gazeau

We continue the analysis of relativistic phase space, identified with the quotient of the Poincare group in 1+1 dimensions by the time translation subgroup. Proceeding by contraction from the corresponding (Anti) de Sitter group SO 0 (2, 1), we obtain a realisation of the Poincare representation P(m) of mass m in a space of functions defined on phase space. The contraction singles out a privileged section in the Poincare group, with a unique left and right invariant measure. Using that section, we show that the representation P(m) is square integrable over the coset space, i.e. phase space. From this we build a new set of Poincare coherent states, and more generally weighted coherent states, which have all the usual properties, resolution of the identity, overcompleteness, reproducing kernel, orthogonality relations. Finally we derive the corresponding Wigner transform On poursuit l'analyse de l'espace de phase relativiste, identifie au quotient du groupe de Poincare en dimension 1+1 par le sous-groupe des translations temporelles. Par contraction a partir du groupe Anti-de Sitter correspondant SO 0 (2, 1), on obtient une realisation de la representation P(m) de masse m du groupe de Poincare dans un espace de fonctions definies sur l'espace de phase. La contraction selectionne une section privilegiee dans le groupe de Poincare, possedant une unique mesure invariante a la fois a gauche et a droite. Avec ce choix de section, on montre que la representation P(m) est de carre sommable sur l'espace quotient, c'est-a-dire l'espace de phase. A partir de la, on construit une nouvelle famille d'etats coherents de Poincare et, plus generalement, d'etats coherents avec poids, qui ont toutes les proprietes usuelles: resolution de l'identite, surcompletude, noyau reproduisant, relations d'orthogonalite. Enfin, on derive la transformation de Wigner correspondante

Annales De L Institut Henri Poincare-physique Theorique•Jan 1, 1990•7 citations

REPRESENTATIONS DE L'ALGEBRE DE WEYL-HEISENBERG Q-DEFORMEE ET ETATS COHERENTS Q-DEFORMES

Noureddine Boucerredj

Les états cohérents qui sont des superpositions linéaires de tous les états stationnaires, jouent un grand rôle dans la mécanique quantique, et peuvent être considérés comme liens avec la mécanique classique. Nous avons étudié les états cohérents dans un cadre plus général de la quantification qui est la théorie de déformation.Nous avons étudié aussi les états cohérents du groupe de Weyl-Heisenberg q-déformé en généralisant la représentation de Macfarlane pour les opérateurs de création et d'annihilation q-déformés.Finalement, nous avons étudié les états cohérents de l’algèbre de W. H. q-déformée dans la représentation de configuration

Sciences & Technologie. A, sciences exactes•Jun 1, 2007•0 citations

The Canonical Coherent States Associated With Quotients of the Ane Weyl-Heisenberg Group

Stephan Dahlke, Dirk A. Lorenz, Peter Maaß +2 more

This paper is concerned with the uncertainty principle in the context of the ane-W eyl-Heisenberg group in one and two dimensions. As the representation of this group fails to be square integrable, we explore various admissible sections of this group, and calculate the resulting uncertainty principles as well as its minimizers with respect to these sections. Previous studies have shown that these sections give rise to mixed smoothness spaces. We demonstrate that the minimizers obtained for these sections actually interpolate between Gabor and wavelets functions.

•Jan 1, 2006•5 citations

Coherent states for n-dimensional Euclidean groups E(n) and their application

Christopher John Isham, John R. Klauder

The n-dimensional Euclidean group—the group of rotations and translations of Rn —is the natural canonical group for quantizing a system whose configuration space is the sphere Sn−1, n≥2. Since every unitary irreducible representation of E(n) is nonsquare integrable it follows that coherent states involving the whole group do not exist for such representations. Instead, coherent states are defined based on unitary, reducible representations of the group, and it will be shown that, with such states, quantum dynamics on the sphere admits a path-integral representation involving novel first-order classical actions defined on E(n) as well as integrations over the entire group manifold at each time slice. Irreducibility of the quantization is achieved through a final limiting process.

Journal of Mathematical Physics•Mar 1, 1991•54 citations

Calcul et intrication quantiques: repr´esentation unitaire du groupe de Coxeter/Weyl W(E8)

Michel R. P. Planat

Dans un premier temps, je pr´esenterais bri`evement comment David Mermin rend compte des aspects paradoxaux de la r´ealit´e quantique, `a partir de la non-compatibilit´e alg´ebrique des r`egles pour les valeurs propres (mesures quantiques) et pour les vecteurs propres (´etats quantiques) d'ensembles d'observables qui ne commutent pas tous. Je montrerai alors comment on peut transf´erer un tel questionnement `a un groupe `a sym´etrie octahedrale et `a ses invariants. Ensuite, j'introduirais au calcul quantique, o`u les portes unitaires sont les ´el´ements d'un groupe ad´equat. On cherche `a contenir les erreurs du calcul, repr´esent´ees par les produits tensoriels des matrices de Pauli, dans un sous-groupe fini de portes quantiques, ´el´ements du groupe unitaire complexe U(2n) `a n qubits, et `a repr´esenter au mieux toute matrice unitaire (universalit´e du calcul), d'o`u le groupe de Clifford et sa relation au groupe symplectique Sp(2n, 2). La d´ecomposition de Sp(2n, 2) en ses sous-groupes orthogonaux (extrasp´eciaux) se refl`ete en une d´ecomposition du groupe de Clifford en deux dipoles, dont les ´el´ements rel`event de plusieurs concepts int´eressants: les groupes de r´eflections complexes, les designs unitaires, ainsi que l'intrication quantique. Je les introduirai en d´etail dans le s´eminaire. Puis je montrerai que le groupe de Coxeter/Weyl fini le plus grand W(E8), d'ordre 696 729 600, peux-ˆetre repr´esent´e par des portes quantiques r´eelles `a trois qubits, dont l'une au moins, la porte de Toffoli, est ´etrang`ere au groupe de Clifford. La structure de W(E8), ainsi repr´esent´ee, est intimement li´ee au ´etats GHZ, et sa d´ecomposition en sous-groupes maximaux est li´ee aux ´etats bipartites W ou aux ´etats `a intrication en chaˆıne. Quelques perspectives pour le calcul quantique et l'unification de la physique seront discut´ees. Bibliographie Clifford group dipoles and the enactment of Weyl/Coxeter group W(E8) by entangling gates. Preprint 0904.3691

•Jun 11, 2009•0 citations

Galilean wavelets: Coherent states of the affine Galilei group

Jean-Pierre Antoine, I. Mahara

We derive Galilean wavelets, by which we mean coherent states of the affine Galilei group, that is, the Galilei group extended by independent space and time dilations. The construction follows a general method based on square integrable group representations, possibly modulo a subgroup, i.e., on a homogeneous space of the underlying group. We also examine the restriction to the Schrödinger subgroup, which contains only dilations that leave invariant the Schrödinger and the heat equations.

Journal of Mathematical Physics•Nov 1, 1999•8 citations
: n-dimensional coherent states systems generated by translations, modulations, rotations and dilations are described. Starting from unitary irreducible representations of the n-dimen- sional affine Weyl-Heisenberg group, which are not square-integrable, one is led to consider systems of coherent states labeled by the elements of quotients of the original group. Such systems can yield a resolution of the identity, and then be used as alternatives to usual wavelet or windowed Fourier analysis. When the quotient space is the phase space of the representation, different embeddings of it into the group provide different descriptions of the phase space. R'esum'e: On d'ecrit des systemes d"etats coh'erents engendr'es par des translations, dilatations et rotations en n-dimensions. Partant de repr'esentations unitaires irr'eductibles du groupe de Weyl-Heisenberg affine en dimension n, qui ne sont pas de carr'e integrable, on est naturellement conduit a consid'erer des syst`emes d"etats coh...
We continue the analysis of relativistic phase space, identified with the quotient of the Poincare group in 1+1 dimensions by the time translation subgroup. Proceeding by contraction from the corresponding (Anti) de Sitter group SO 0 (2, 1), we obtain a realisation of the Poincare representation P(m) of mass m in a space of functions defined on phase space. The contraction singles out a privileged section in the Poincare group, with a unique left and right invariant measure. Using that section, we show that the representation P(m) is square integrable over the coset space, i.e. phase space. From this we build a new set of Poincare coherent states, and more generally weighted coherent states, which have all the usual properties, resolution of the identity, overcompleteness, reproducing kernel, orthogonality relations. Finally we derive the corresponding Wigner transform On poursuit l'analyse de l'espace de phase relativiste, identifie au quotient du groupe de Poincare en dimension 1+1 par le sous-groupe des translations temporelles. Par contraction a partir du groupe Anti-de Sitter correspondant SO 0 (2, 1), on obtient une realisation de la representation P(m) de masse m du groupe de Poincare dans un espace de fonctions definies sur l'espace de phase. La contraction selectionne une section privilegiee dans le groupe de Poincare, possedant une unique mesure invariante a la fois a gauche et a droite. Avec ce choix de section, on montre que la representation P(m) est de carre sommable sur l'espace quotient, c'est-a-dire l'espace de phase. A partir de la, on construit une nouvelle famille d'etats coherents de Poincare et, plus generalement, d'etats coherents avec poids, qui ont toutes les proprietes usuelles: resolution de l'identite, surcompletude, noyau reproduisant, relations d'orthogonalite. Enfin, on derive la transformation de Wigner correspondante
Les états cohérents qui sont des superpositions linéaires de tous les états stationnaires, jouent un grand rôle dans la mécanique quantique, et peuvent être considérés comme liens avec la mécanique classique. Nous avons étudié les états cohérents dans un cadre plus général de la quantification qui est la théorie de déformation.Nous avons étudié aussi les états cohérents du groupe de Weyl-Heisenberg q-déformé en généralisant la représentation de Macfarlane pour les opérateurs de création et d'annihilation q-déformés.Finalement, nous avons étudié les états cohérents de l’algèbre de W. H. q-déformée dans la représentation de configuration
This paper is concerned with the uncertainty principle in the context of the ane-W eyl-Heisenberg group in one and two dimensions. As the representation of this group fails to be square integrable, we explore various admissible sections of this group, and calculate the resulting uncertainty principles as well as its minimizers with respect to these sections. Previous studies have shown that these sections give rise to mixed smoothness spaces. We demonstrate that the minimizers obtained for these sections actually interpolate between Gabor and wavelets functions.
The n-dimensional Euclidean group—the group of rotations and translations of Rn —is the natural canonical group for quantizing a system whose configuration space is the sphere Sn−1, n≥2. Since every unitary irreducible representation of E(n) is nonsquare integrable it follows that coherent states involving the whole group do not exist for such representations. Instead, coherent states are defined based on unitary, reducible representations of the group, and it will be shown that, with such states, quantum dynamics on the sphere admits a path-integral representation involving novel first-order classical actions defined on E(n) as well as integrations over the entire group manifold at each time slice. Irreducibility of the quantization is achieved through a final limiting process.
Dans un premier temps, je pr´esenterais bri`evement comment David Mermin rend compte des aspects paradoxaux de la r´ealit´e quantique, `a partir de la non-compatibilit´e alg´ebrique des r`egles pour les valeurs propres (mesures quantiques) et pour les vecteurs propres (´etats quantiques) d'ensembles d'observables qui ne commutent pas tous. Je montrerai alors comment on peut transf´erer un tel questionnement `a un groupe `a sym´etrie octahedrale et `a ses invariants. Ensuite, j'introduirais au calcul quantique, o`u les portes unitaires sont les ´el´ements d'un groupe ad´equat. On cherche `a contenir les erreurs du calcul, repr´esent´ees par les produits tensoriels des matrices de Pauli, dans un sous-groupe fini de portes quantiques, ´el´ements du groupe unitaire complexe U(2n) `a n qubits, et `a repr´esenter au mieux toute matrice unitaire (universalit´e du calcul), d'o`u le groupe de Clifford et sa relation au groupe symplectique Sp(2n, 2). La d´ecomposition de Sp(2n, 2) en ses sous-groupes orthogonaux (extrasp´eciaux) se refl`ete en une d´ecomposition du groupe de Clifford en deux dipoles, dont les ´el´ements rel`event de plusieurs concepts int´eressants: les groupes de r´eflections complexes, les designs unitaires, ainsi que l'intrication quantique. Je les introduirai en d´etail dans le s´eminaire. Puis je montrerai que le groupe de Coxeter/Weyl fini le plus grand W(E8), d'ordre 696 729 600, peux-ˆetre repr´esent´e par des portes quantiques r´eelles `a trois qubits, dont l'une au moins, la porte de Toffoli, est ´etrang`ere au groupe de Clifford. La structure de W(E8), ainsi repr´esent´ee, est intimement li´ee au ´etats GHZ, et sa d´ecomposition en sous-groupes maximaux est li´ee aux ´etats bipartites W ou aux ´etats `a intrication en chaˆıne. Quelques perspectives pour le calcul quantique et l'unification de la physique seront discut´ees. Bibliographie Clifford group dipoles and the enactment of Weyl/Coxeter group W(E8) by entangling gates. Preprint 0904.3691