Les états cohérents qui sont des superpositions linéaires de tous les états stationnaires, jouent un grand rôle dans la mécanique quantique, et peuvent être considérés comme liens avec la mécanique classique. Nous avons étudié les états cohérents dans un cadre plus général de la quantification qui est la théorie de déformation.Nous avons étudié aussi les états cohérents du groupe de Weyl-Heisenberg q-déformé en généralisant la représentation de Macfarlane pour les opérateurs de création et d'annihilation q-déformés.Finalement, nous avons étudié les états cohérents de l’algèbre de W. H. q-déformée dans la représentation de configuration
Les états cohérents qui sont des superpositions linéaires de tous les états stationnaires, jouent un grand rôle dans la mécanique quantique, et peuvent être considérés comme liens avec la mécanique classique. Nous avons étudié les états cohérents dans un cadre plus général de la quantification qui est la théorie de déformation.Nous avons étudié aussi les états cohérents du groupe de Weyl-Heisenberg q-déformé en généralisant la représentation de Macfarlane pour les opérateurs de création et d'annihilation q-déformés.Finalement, nous avons étudié les états cohérents de l’algèbre de W. H. q-déformée dans la représentation de configuration
Les états cohérents jouent un grand rôle dans la mécanique quantique et peuvent être considérés comme liens avec la mécanique classique; par conséquent, il est nécessaire de les étudier dans un cadre plus général de la quantification qui constitue la théorie de déformation.Nous avons étudié les états cohérents du groupe de Weyl-Heisenberg faiblement déformé. Nous avons également étudié quelques propriétés des états cohérents faiblement déformés de cette algèbre, et construit l’opérateur de déplacement généralisé, ainsi que la minimisation de la relation d’incertitude de Heisenberg.Enfin, nous avons étudié les états cohérents de l’algèbre de W.-H. dans l’espace de configuration.
Quantification de variables conjuguées par états cohérents Dans ce travail on se concentre sur une méthode alternative de quantification a travers des états cohérents. La méthode canonique associe un pair de variables conjuguées classiques et identifie leur crochet de Poisson au commutateur quantique de ses observables quantiques correspondantes. Les observables sont définies comme des opérateurs auto-adjoints agissant sur un espace de Hilbert particulier. Leurs valeurs physiques se trouvent dans leur résolution spectrale, et pourtant sont liés à une mesure à valeur projection (PV). Néanmoins, il existe un empêchement lorsqu’on impose des bornes sur les ces spectres. Cette restriction sur la définition des opérateurs est décrite par un théorème de W. Pauli et ouvre la voie vers la définition de méthodes alternatives de quantification. La quantification par états cohérents propose une définition d’observable quantique qui prend des valeurs à travers la valeur moyenne sur une famille « cohérente » non-orthogonale et surcomplète de vecteurs dans l’espace de Hilbert. Les états cohérents définis à cet effet partagent avec ceux de oscillateur harmonique la propriété d’être des résolutions de l’identité et d’être parametrisés par un indice discret et une variable complexe. Ceci les rend particulièrement utiles pour « traduire » des variables classiques en opérateurs quantiques bien définis. On a étudié trois cas particuliers ou la définition d’opérateurs auto-adjoints est compromise. En premier on propose une définition de l’opérateur de phase, correspondant à l’angle conjugué à l’action classique. En deuxième place on étudie la quantification du mouvement dans un puits infini de potentiel, notamment, l’opérateur d’impulsion problématique est défini proprement. Finalement ont propose un opérateur temps, conjugué au Hamiltonien, pour une particule libre en utilisant des états cohérents de type SU(1,1) sur des demi plans de Poincaré
Dans ce travail on se concentre sur une méthode alternative de quantification a travers des états cohérents. La méthode canonique associe un pair de variables conjuguées classiques et identifie leur crochet de Poisson au commutateur quantique de ses observables quantiques correspondantes. Les observables sont définies comme des opérateurs auto-adjoints agissant sur un espace de Hilbert particulier. Leurs valeurs physiques se trouvent dans leur résolution spectrale, et pourtant sont liés à une mesure à valeur projection (PV). Néanmoins, il existe un empêchement lorsqu’on impose des bornes sur les ces spectres. Cette restriction sur la définition des opérateurs est décrite par un théorème de W. Pauli et ouvre la voie vers la définition de méthodes alternatives de quantification. La quantification par états cohérents propose une définition d’observable quantique qui prend des valeurs à travers la valeur moyenne sur une famille « cohérente » non-orthogonale et surcomplète de vecteurs dans l’espace de Hilbert. Les états cohérents définis à cet effet partagent avec ceux de oscillateur harmonique la propriété d’être des résolutions de l’identité et d’être parametrisés par un indice discret et une variable complexe. Ceci les rend particulièrement utiles pour « traduire » des variables classiques en opérateurs quantiques bien définis. On a étudié trois cas particuliers ou la définition d’opérateurs auto-adjoints est compromise. En premier on propose une définition de l’opérateur de phase, correspondant à l’angle conjugué à l’action classique. En deuxième place on étudie la quantification du mouvement dans un puits infini de potentiel, notamment, l’opérateur d’impulsion problématique est défini proprement. Finalement ont propose un opérateur temps, conjugué au Hamiltonien, pour une particule libre en utilisant des états cohérents de type SU(1,1) sur des demi plans de Poincaré
Desirant etablir une theorie mathematique qui contienne le cas usuel (commutatif) et le cas bosonique (des relations canoniques de commutation) on travaille sur l'algebre des polynomes sur un espace de hilbert alterne w dont on deforme le produit en fonction d'un parametre positif h qui vaut 0 pour le cas usuel et 1 pour le cas bosonique. On appelle algebre de heisenberg et on note hb l'algebre obtenue ; on la munit d'une topologie d'algebre a involution et on complete, ce qui nous permet de travailler avec des exponentielles. En particulier l'algebre a involution v des exponentielles unitaires est dans ce complete, et on peut y definir des etats par leur transformee de fourier (par un theoreme generalisant celui de bochner), et meme par leur transformee de laplace. On generalise aussi quelques resultats grace a l'application symbole (chapitre 1). On utilise essentiellement la generalisation e de l'etat gaussien centre de variance un reel positif quelconque, et on note l2(hb) le complete de hb pour le produit scalaire defini par e. V est dans l'algebre des operateurs bornes de l2(hb) et on note m sa fermeture faible. E definit un produit scalaire sur m et on a l2(hb) = l2(m) ; de plus, dans le cas h = 1, m est l'algebre de von neumann sur laquelle sont generalement obtenus les resultats concernant le cas bosonique ; on peut ainsi utiliser les esperances conditionnelles et l'integration stochastique definies par barnett, streater et wilde, qui se generalisent a tout h positif. D'autre part, on peut relever dans hb tout element w de wd (la somme de d copies de w) par tout polynome usuel de dimension 2d. Ceci nous permet de generaliser la propriete de markov, puis d'etudier les processus de bessel et les diffusions gaussiennes non commutatifs, ainsi que les semi-groupes associes (chapitre 2). On conclut par la generalisation de la formule de ito et par des exemples d'application, comme la resolution de certaines equations differentielles (stochastiques ou non) (chapitre 3).
Le modèle d'Izergin-Korepin Parmi les modèles de mécanique statistique classique avec interaction les systèmes intégrables de Yang–Baxter (YB) jouent un rôle particulier. Le modèle central dans la théorie des systèmes intégrables YB est le modèle à six vertex. Plusieurs méthodes ont été développées pour étudier le modèle à six vertex. Notre but est de comprendre la physique du modèle à dix-neuf vertex d’Izergin–Korepin (IK), qui peut être vu comme une généralisation du modèle à six vertex. On donne une vue d’ensemble de l’Ansatz algébrique de Bethe pour le modèle IK basé sur la matrice R à dix-neuf vertex et on propose une nouvelle présentation pour les états propres de la matrice de transfert associée. On adresse aussi la question du calcul des produits scalaires pour le modèle IK. Un objet important dans la théorie des produits scalaires est la fonction de partition avec des conditions aux bords de domaine. Pour cette fonction de partition, définie pour le modèle IK, on obtient une relation de récurrence pour laquelle on trouve la solution dans un cas particulier. La théorie de la représentation du groupe quantique (U_q(A^{(2)}_{2})) associé au modèle IK nous permet d’obtenir toutes les représentations de dimension plus élevée pertinentes pour ce modèle (les modules de Kirillov–Reshetikhin (KR)). Ceci est réalisé dans la présentation de Drinfeld des groupes quantiques. Cette présentation a des avantages techniques quand on calcule les matrices R par la formule de Khoroshkin–Tolstoy (KT). On l’utilise pour calculer la matrice R évaluée sur le produit tensoriel de la représentation fondamentale et d’un module KR de dimension plus élevée. D’un autre côté, la présentation de Drinfeld montre la connexion entre les sous-algèbres de Borel du groupe quantique U_q(A^{(2)}_{2})) et les algèbres d’oscillateurs q-déformés (Oscq). Ces algèbres sont étroitement liées à la définition(par la théorie de la représentation) d’un certain type de matrices de transfert : les opérateurs Q; ces opérateurs jouent un rôle central dans la théorie des relations fonctionnelles des modèles intégrables. On utilise les algèbres de type Oscq dans la formule KT pour calculer quelques matrices L, qui sont utilisées pour construire les opérateurs Q. Finalement,on considère un cas particulier de l’état fondamental du modèle IK avec paramètre de déformation q égal à une racine de l’unité. Dans ce cas, on calcule explicitement les valeurs propres de différentes matrices de transfert, y compris de l’opérateur Q. On utilise ce dernier résultat pour obtenir l’état fondamental du modèle IK pour des petites tailles.
Die Grundlage dieser Arbeit ist die q-deformierte Heisenberg-Algebra.Zuerst definieren wir diese Algebra, betrachten ihre Darstellungen und geben anschließend eine Einbettung der q-Heisenberg-Operatoren in die undeformierte Heisenberg-Algebra an.Die q-Heisenberg-Operatoren besitzen ein diskretes Spektrum.Diese sogenannten q-Gitter spielen eine wesentliche Rolle in dieser Arbeit.Mit Hilfe eines algebraischen Kalküls betreiben wir q-deformierte Quantenmechanik und nichtabelsche Eichtheorie auf einer Unteralgebra der q-Heisenberg-Algebra, die von den Elementen x und x -1 erzeugt wird.Wir betten ein freies q-Teilchen in den Ortsraum der undeformierten Quantenmechanik ein, untersuchen seine Eigenschaften und stellen es in Diagrammen graphisch dar.Ein solches Teilchen nimmt nur auf einem q-Gitter von Null verschiedene Werte an.Wir verwenden das q-Teilchen als stationäres Streupotenzial für die Streuung einer ebenen Welle, und untersuchen den Reflexionskoeffizient nach Spuren der diskreten Struktur.Zum Schluss verwenden wir noch den Grundzustand des q-Oszillators als stationäres Streupotenzial und vergleichen den Reflexionskoeffizient der gestreuten Welle mit den entsprechenden Resultaten der undeformierten Quantenmechanik.