Bilesik sistemlerin sahip olabilecegi; klasik korelasyonlar, kuantum dolaniklik, kuantum diskort ve dissonans gibi korelasyonlarin nicelendirilmesi ve siniflandirilmasi son on yilda yogun calismalarin konusudur. Bir kismi ancak son yillarda fark edilmis olan bu korelasyonlar, kuantum bilisim ve kuantum bilgisayim kuramlarindaki uygulamalar icin; nicelendirilebilir, kontrol edilebilir, islenebilir, iletilebilir ve tuketilebilir baslica kuantum kaynaklaridir. Bu calismada ilk olarak korelasyonlar acisindan kuantum sistemlerin durumlar uzayinin genel yapisi tanitilmistir. Sistemlerin olcum sureclerinden etkilenme derecelerine gore korelasyonlarin klasik ve kuantum korelasyonlar olarak karsilikli bilisim araciligiyla siniflandirilmasi ele alinmistir. Tum bu korelasyonlarin bagil entropi yoluyla nicelendirilmeleri de incelenmistir. Saf ve saf olmayan durumlardan secilen karakteristik ornekler belli ayrintilarla tanitilmis ve sozu edilen nicelendirme yontemleriyle korelasyon analizleri yapilmistir.Abstract The quantification and classification of the correlations that compound system may have; such as, classical correlations, quantum entanglement, quantum discord and dissonance, are subject of intense studies in the last decade. These correlations, some of which are recognized only recently, constitute the major quantum resources that can be quantified, controlled, processed, transmitted and exploited in many applications of quantum information and quantum computation theories. In this study the general structure of the state space of quantum systems is first introduced from the perspective of correlations. By the degree of measurement induced-disturbance, classification of correlations by means of mutual information as classical and quantum correlations is then taken up. The quantification of all of these correlations via relative entropy is studied as well. As application, selected characteristic pure and non-pure state examples are presented in some details and their correlation analysis are carried out with thementioned quantification methods.
Bilesik sistemlerin sahip olabilecegi; klasik korelasyonlar, kuantum dolaniklik, kuantum diskort ve dissonans gibi korelasyonlarin nicelendirilmesi ve siniflandirilmasi son on yilda yogun calismalarin konusudur. Bir kismi ancak son yillarda fark edilmis olan bu korelasyonlar, kuantum bilisim ve kuantum bilgisayim kuramlarindaki uygulamalar icin; nicelendirilebilir, kontrol edilebilir, islenebilir, iletilebilir ve tuketilebilir baslica kuantum kaynaklaridir. Bu calismada ilk olarak korelasyonlar acisindan kuantum sistemlerin durumlar uzayinin genel yapisi tanitilmistir. Sistemlerin olcum sureclerinden etkilenme derecelerine gore korelasyonlarin klasik ve kuantum korelasyonlar olarak karsilikli bilisim araciligiyla siniflandirilmasi ele alinmistir. Tum bu korelasyonlarin bagil entropi yoluyla nicelendirilmeleri de incelenmistir. Saf ve saf olmayan durumlardan secilen karakteristik ornekler belli ayrintilarla tanitilmis ve sozu edilen nicelendirme yontemleriyle korelasyon analizleri yapilmistir.Abstract The quantification and classification of the correlations that compound system may have; such as, classical correlations, quantum entanglement, quantum discord and dissonance, are subject of intense studies in the last decade. These correlations, some of which are recognized only recently, constitute the major quantum resources that can be quantified, controlled, processed, transmitted and exploited in many applications of quantum information and quantum computation theories. In this study the general structure of the state space of quantum systems is first introduced from the perspective of correlations. By the degree of measurement induced-disturbance, classification of correlations by means of mutual information as classical and quantum correlations is then taken up. The quantification of all of these correlations via relative entropy is studied as well. As application, selected characteristic pure and non-pure state examples are presented in some details and their correlation analysis are carried out with thementioned quantification methods.
Bu tezde, iki parçalı kuantum sistemleri için kuantum dolanıklığının geometrik tasviri incelenmiştir. Kuantum sistemlerine matris operatörü yaklaşımı ve sistemin saf (pure) veya karışık (mixed) olmasını belirleyen basit bir kriterin varlığı üzerinde yoğunlaştık. Yoğunluk matrisinin karesinin izinin (trace) birim değerden sapması, karışık durumun saf duruma olan uzaklığını karakterize etmektedir. Bu uzaklık, doğrusal entropi (linear entropy) rolünü oynamaktadır. Karışık durumun bu özelliğinin, concurrence (uyuşum) adı verilen pozitif bir sayı ile ifade edilebileceğini gösterdik. Saf durumlar için concurrence sıfır olurken, karışık durumlar için sıfırdan farklıdır. Daha sonra, yoğunluk matrisi karesinin izinin doğal geometrik bir tasviri olarak Frobenius normunu kullanarak, saf ve karışık durumların bu norm aracılığıyla geometrik yorumunu elde ettik. Saf durumların, yoğunluk matrisinin özdeğerleri uzayındaki birim yarıçaplı Frobenius küresine ait olduğu gösterilmiştir. Karışık durumlar ise Frobenius yuvarının (ball) içinde yer almaktadır. Bu noktalar üzerinde, normalizasyon hiperdüzleminden ve karışıklığın (mixedness) maksimum değerinden kaynaklanan kısıtlamalar bulduk. Karışık durumların bu geometrik tasvirini, iki parçalı kuantum durumlarının indirgenmiş yoğunluk matrisine (reduced density matrix) uyguladık. Eğer matris karışık bir durumu tanımlıyorsa, orijinal iki parçalı durumun dolanık (entangled) durum olduğu gösterilmiştir. Bu sayede, saf iki parçalı kuantum durumlarının dolanıklığını geometrik bir tablo ile karakterize edebildik. Böylece, ayrılabilir (separable) durumlar Frobenius küresi üzerindeki noktalarla karakterize edilirken, dolanık durumlar Frobenius yuvarının içinde yer alır. Açıklayıcı örnekler olarak hesaplamalarımızı, kübit-kütrit (qubit-qutrit) gibi belirli iki parçalı durumlara uyguladık. Kübit-kübit durumu için concurrence değerinin yalnızca katsayı matrisinin 2x2 determinantına eşit olduğu; daha genel durumlar için ise katsayı matrisinden elde edilen 2x2 minörlerin kareleri toplamına eşit olduğu gösterilmiştir. Ardından, concurrence formüllerini, yüksek boyutlardaki alanlar için geçerli olan Pisagor teoremine benzer bir biçimde yeniden formüle ettik.
Bu calisma, parcaciklar arasindaki kuantum dolanikligi korumak amaciyla tam kuantum teorisini kullanarak, elektro-opto-mekanik veya optoelektronik donusturucu turleriyle calisan kuantum radarlarda parcaciklar arasindaki dolaniklilik halinin surdurulebilirligine odaklanmaktadir. Kuantum radar, klasik bir radarla ayni sekilde mikrodalga fotonlari kullanan bir kuantum uzaklik algilama sistemi olarak tanimlanmaktadir. Bu tezde tasarlanan kuantum radar, kuantum aydinlatma protokolu kurallarina uymaktadir. Buna gore, tasarlanan cihaz, algilamayi iyilestirmek ve tanimlamayi guclu bir sekilde gerceklestirmek amaciyla dolanik mikrodalga fotonlar kullanir. Kuantum mekanigi acisindan bakildiginda, fotonlar gibi iki kuantum parcacigi birbiriyle etkilesmek uzere uretildiginden ve ozellikleri klasik olmayan bir sekilde birbirine bagli oldugundan dolaniklik olusmaktadir. Kuantum olaniklik halindeki parcaciklar arasinda paylasilan ozellikler, aralarindaki mesafeden tamamen bagimsizdir. Ne yazik ki, parcaciklar arasindaki dolanma davranisi istikrarsizdir ve bu dogrultuda, parcaciklar arasindaki dolanma halini uretmek ve uzun sure korumak calismadaki en onemli amaclardan biridir. Ek olarak, gurultu, hizli bir bozulmaya neden olarak dolasik durumdaki yapilari kolayca etkileyebilmektedir. Bahsedilen onemli hususlarin bilgisiyle, bu calisma I. bolumde yer verildigi uzere kuantum radar operasyonlarinin her asamasinda dolaniklilik durumlarini korumayi amaclamaktadir. II. bolumde mikrodalga ve optik fotonlar arasindaki dolanikligi olusturmak icin tipik bir donusturucu kullanilmistir. Gerekli olan durumlarda dolasan mikrodalga fotonlarin yogunlastirilmasi III. bolumde anlatilmistir. Son olarak atmosfere yogunlastirilmis foton yayilimi (zayiflatma ortami) ele alinarak, hedeften foton sacilmasi olayi IV. bolumde gerceklesmektedir. Her asamada, ortam parametreleri dolasik durumlari kritik bir sekilde ortadan kaldirabilir. Bu doktora tezinde, dolasik fotonlari olusturmak icin temel bir yapi olarak iki farkli donusturucuye (elektro-opto-mekanik ve optoelektronik donusturuculer) sahip bir kuantum radar sisteminin dolaniklik davranisi ozellikle vurgulanmaktadir. Bahsedilen donusturuculer, sirasiyla L-bandinda (1.5 GHz'de mikrodalga boslugu rezonansi) ve S-bandinda (2.7 GHz'de mikrodalga boslugu rezonansi) calisacak sekilde tasarlanmis ve boylece, tutulan fotonlar ile geri donen fotonlar arasindaki dolanikligi tezin ana gorevi olarak analiz edilmistir.
Kuantum radar sisteminin tasarim asamalari su sekildedir:
I. Donusturucunun mikrodalga ve optik fotonlar arasinda dolaniklik olusturacak sekilde tasarimi; Bu tezde, ozellikle yuksek kalitede bir kuantum radar sistemi tasarlayabilmek amaciyla surdurulebilir dolasik fotonlar olusturarak uygun donusturucu tasarlamaya yogunlasilmistir. Bu adimda, donusturuculerin kritik parametreleri arasindaki denge belirlenecektir.
II. Dolanik fotonlari yukseltmek icin yogunlastirici ortamin (klasik anlamda yukseltici) tasarimi; Bu asama, genis menzil tespiti vurgulandigindan, klasik radarda birincil rol oynamaktadir.
III. Yayilma kanalinin kayipli bir ortam olarak modellenmesi ve dolanik modlar uzerindeki katkida bulunan etkilerin incelenmesi.
IV. Hedeften yansiyan dolanik fotonlarin modellenmesi ve hedef parametrelerinin dolaniklik davranislari uzerindeki etkisi.
V. Kuantum yaklasimi ile RCS'nin hesaplanmasi; bu adimda, dipol yaklasim yonteminin RCS'yi analiz etmek icin dogru ve eksiksiz bir yontem olmadigi gosterilmistir.
Dolaşıklık kavramı ilk olarak Einstein, Podolsky ve Rosen tarafından 1935'te yazılan bir makaleden ortaya çıktı. Dolaşıklık saf ve saf olmayan, iki, üç ve çoklu sistemlerden oluşabilir. Dolaşıklık, kuantum bilgi teorisinde büyük bir öneme sahiptir. Dolaşıklık dönüşümü, bir sistem arasındaki mevcut durumu tıpkı kimyasal bir reaksiyondaki katalizör gibi manipüle ederek başka bir duruma dönüştürülebilir. Bu dönüşüm için gerekli koşullar incelenmiştir.
Geleneksel bilgisayar yapısından farklı bir mimariye sahip olan kuantum bilgisayar teknolojisi hızlı bir şekilde gelişme kaydetmektedir. Son yıllarda kuantum bilgisayarlara uygun programlar, hesaplama ortamları, gerekli algoritmaların hazırlanması noktasında oldukça ses getiren çalışmaların yapıldığı gözlenmektedir. Dünya genelinde bulunan sayılı kuantum bilgisayar araştırmacılara nasıl bir ortamla karşılaşacakları konusunda genel bilgiler sağlamaktadır. Bu kuantum bilgisayarlar ve simülasyon ortamlarından faydalanarak araştırmacılar güncel çalışmalarına yön verebilmektedir. Bu tez çalışmasında kuantum hesaplama ile yapay zekânın birleşimi olan kuantum makine öğrenmesi ve algoritmaları üzerine kapsamlı çalışmalar yapılmıştır. Bu çalışmalar genel olarak yapay zekâ alanında önemli olan boyut indirgeme ve sınıflandırma işlemlerini kapsamaktadır. Klasik sınıflandırma algoritmalarının aksine kuantım makine öğrenme algoritmalarının yürütülmesi aşamasında giriş verisinin hesaplama ortamlarına uygun olması gerekmektedir. Kuantum hesaplama ortamlarında kullanılan kübit boyutları sınırlı bir kaynak olduğundan dolayı boyut indirgeme yöntemleri bu alanda yaygın olarak kullanılmaktadır. Tez çalışmasında TBA ve LDA gibi klasik boyut indirgeme yöntemleri üzerine geniş ölçekli uygulamalar gerçekleştirilmiştir. Kuantum makine öğrenme algoritmaları için kardiyoloji, diyabet ve obezite tıbbı veri setleri kullanılmıştır. Bu verisetleri üzerinde farklı senaryolarda detaylı çalışmalar yürütülmüştür. Kullanılan veri setlerinde klasik boyut indirgeme yöntemleri kullanılarak özellik haritalarına verilmiş ve kübit kullanımına uygun veri setleri elde edilmiştir. Bu yeni veri setlerine kuantum makine öğrenmesi algoritması olan Kuantum Destek Vektör Makinesi (KDVM) uygulanmıştır. KDVM algoritmasının performansını değerlendirebilmek için klasik Destek Vektör Makinesi başta olmak üzere literatürde sıklıkla kullanılan klasik sınıflandırma algoritmaları ile analizler gerçekleştirilmiştir. Gerçekleştirilen analizlerde elde edilen sonuçlar performans ve zaman bakımından irdelenmiştir. Seçilen boyut indirgeme yöntemine göre KDVM algoritmasının performansına ait çeşitli metrikler sunulmuştur. Yapılan çalışmalar tıbbi veri setleri üzerinde klasik boyut indirgeme yöntemleri ve KDVM yaklaşımının umut verici sonuçlar elde ettiğini göstermiştir. Tez çalışması, kapsamlı uygulamalar ile kuantum makine öğrenmesi alanında önemli katkılar sunmaktadır.
Hilbert Uzayları Üzerinden Kuantum Mekaniğini Anlamak: Kuantum Hesaplamada Uygulamalar Mehmet Keçeci ORCID: https://orcid.org/0000-0001-9937-9839 Received: 25.03.2026 Özet/Abstract: Hilbert uzayları, kuantum mekaniksel sistemlerin betimlenmesi için temel matematiksel çerçeveyi sağlar. İç çarpım ve tamlıkla karakterize edilen bu yapı, kuantum durumlarının vektörler, fiziksel gözlemlenebilirlerin ise öz-eşlenik (self-adjoint) operatörler olarak temsil edilmesine olanak tanır. Süperpozisyon ve dolanıklık (dolaşıklık) gibi temel kuantum olguları, bu formalizm içerisinde doğal bir ifade bulur. Bir kuantum sisteminin aynı anda birden çok durumda bulunabilmesi olarak tanımlanan süperpozisyon, Hilbert uzayındaki taban vektörlerinin doğrusal kombinasyonlarıyla temsil edilir. Kuantum sistemleri arasındaki klasik olmayan bir korelasyon olan dolanıklık ise Hilbert uzaylarının tensör çarpımında ayrıştırılamaz (non-separable) durum vektörleriyle betimlenir. Bu kavramlar, bilginin temel birimi olan kübitin (qubit), durumu iki boyutlu karmaşık bir Hilbert uzayında (ℂ²) bir vektör olarak tanımlanan iki seviyeli bir kuantum sistemi olduğu kuantum hesaplamada merkezi bir öneme sahiptir. Kübitler üzerinde işlemler gerçekleştiren kuantum kapıları, bu durum vektörlerine etki eden üniter operatörlerle temsil edilir. Başta Shor ve Grover algoritmaları olmak üzere kuantum hesaplamanın gücü, Hilbert uzayı çerçevesinde içkin (doğal) olarak betimlenen süperpozisyon ve dolanıklıktan yararlanma becerisinden kaynaklanmaktadır. Bu nedenle, Hilbert uzaylarının kapsamlı bir şekilde anlaşılması, kuantum mekaniğinin ilkelerini kavramak ve kuantum bilgi ile hesaplama alanını ilerletmek için vazgeçilmezdir [1, 7]. Klasik bitlerden kuantum kübitlerine ve klasik mantıksal (lojik) kapılarından kuantum üniter işlemlere geçiş, tamamen Hilbert uzaylarının sağladığı matematiksel özelliklere dayanmaktadır. Anahtar Kelimeler/Keywords: Hilbert Uzayı, Kuantum Hesaplama, Kübit, Süperpozisyon, Dolanıklık, Üniter Dinamik, Kuantum Mekaniği, Fonksiyonel Analiz, Operatör Teorisi, Dirac Gösterimi, Kuantum Durumları, Lineer Operatörler, Kuantum Algoritmaları, Kuantum Bilgi.
Kuantum hesaplama günümüzde etkinliği kanıtlanmış, klasik hesaplamaya göre çok zorlu problemleri çözme potansiyeline sahip, kuantum mekaniğini temel alan bir hesaplama paradigmasıdır. Yapay zeka insan kabiliyetlerine sahip sistemlerin geliştirilmesini amaçlamaktadır. Yapay zeka sistemlerinin iyileştirilmesinin önündeki engellerden biri ihtiyaç duydukları yüksek hesaplama gücüdür. Tez çalışmasında, kuantum hesaplamanın sağladığı avantajların yapay zeka yöntemlerinde kullanılması araştırılmıştır. Yapılan araştırmalar sonucu elde edilen temel bilimsel katkılar; kuantum uyarlamalı optimizasyon algoritmalarının iyileştirilmesi, kuantum verilerin optimize bir şekilde kodlanması, görüntülerin kuantum ortamda paralel şekilde işlenmesi ve derin öğrenme için kuantum konvolüsyon/havuzlama yöntemlerinin geliştirilmesi alanlarında sağlanmıştır. Kuantum uyarlamalı genetik algoritmalar için önerilen yaklaşımın orijinal yönteme göre yaklaşık %12 oranında daha iyi çözüm elde ettiği gözlemlenmiştir. Görüntü gibi büyük verilerin optimize bir şekilde kodlanması için önerilen kuantum veri kodlama yöntemi 4-bit çözünürlüğe sahip 4x4 boyutundaki örnek görüntü üzerinde test edilmiştir. Önerilen yöntemin ESOP yöntemine göre cost115 maliyeti açısından yaklaşık %57 daha iyi sonuç ürettiği görülmüştür. Derin öğrenme uygulamaları için geliştirilen değer tabanlı kuantum konvolüsyon ve havuzlama yöntemleri, önerilen kuantum paralel görüntü işleme çerçevesi yardımı ile tüm görüntü üzerinde klasik bilgisayarlara ihtiyaç duymadan çalıştırılabilmiştir. Yöntemin, klasik konvolüsyon işlemi ile birebir aynı sonuçları ürettiği gözlemlenmiştir. Ardından analog olarak kodlanan girişler kullanılarak klasik konvolüsyon işleminin modellenmesi için varyasyonel kuantum konvolüsyon yöntemi önerilmiştir. Oluşturulan Ansatz devrenin parametreleri diferansiyel gelişim algoritması ile optimize edilerek, klasik konvolüsyon işlemi 0.001 ortalama kare hata dahilinde başarı ile modellenmiştir. Sonuç olarak yapılan çalışmalarla kuantum hesaplamanın çeşitli yapay zeka algoritmalarında kullanılabilmesi adına optimize edilmiş yöntem önerilerinde bulunulmuştur. Klasik bilgisayarlara ihtiyaç duymadan kuantum bilgisayarların avantajlarının yapay zeka yöntemlerinde kullanılabildiği görülmüştür.