Bu tezde, iki parçalı kuantum sistemleri için kuantum dolanıklığının geometrik tasviri incelenmiştir. Kuantum sistemlerine matris operatörü yaklaşımı ve sistemin saf (pure) veya karışık (mixed) olmasını belirleyen basit bir kriterin varlığı üzerinde yoğunlaştık. Yoğunluk matrisinin karesinin izinin (trace) birim değerden sapması, karışık durumun saf duruma olan uzaklığını karakterize etmektedir. Bu uzaklık, doğrusal entropi (linear entropy) rolünü oynamaktadır. Karışık durumun bu özelliğinin, concurrence (uyuşum) adı verilen pozitif bir sayı ile ifade edilebileceğini gösterdik. Saf durumlar için concurrence sıfır olurken, karışık durumlar için sıfırdan farklıdır. Daha sonra, yoğunluk matrisi karesinin izinin doğal geometrik bir tasviri olarak Frobenius normunu kullanarak, saf ve karışık durumların bu norm aracılığıyla geometrik yorumunu elde ettik. Saf durumların, yoğunluk matrisinin özdeğerleri uzayındaki birim yarıçaplı Frobenius küresine ait olduğu gösterilmiştir. Karışık durumlar ise Frobenius yuvarının (ball) içinde yer almaktadır. Bu noktalar üzerinde, normalizasyon hiperdüzleminden ve karışıklığın (mixedness) maksimum değerinden kaynaklanan kısıtlamalar bulduk. Karışık durumların bu geometrik tasvirini, iki parçalı kuantum durumlarının indirgenmiş yoğunluk matrisine (reduced density matrix) uyguladık. Eğer matris karışık bir durumu tanımlıyorsa, orijinal iki parçalı durumun dolanık (entangled) durum olduğu gösterilmiştir. Bu sayede, saf iki parçalı kuantum durumlarının dolanıklığını geometrik bir tablo ile karakterize edebildik. Böylece, ayrılabilir (separable) durumlar Frobenius küresi üzerindeki noktalarla karakterize edilirken, dolanık durumlar Frobenius yuvarının içinde yer alır. Açıklayıcı örnekler olarak hesaplamalarımızı, kübit-kütrit (qubit-qutrit) gibi belirli iki parçalı durumlara uyguladık. Kübit-kübit durumu için concurrence değerinin yalnızca katsayı matrisinin 2x2 determinantına eşit olduğu; daha genel durumlar için ise katsayı matrisinden elde edilen 2x2 minörlerin kareleri toplamına eşit olduğu gösterilmiştir. Ardından, concurrence formüllerini, yüksek boyutlardaki alanlar için geçerli olan Pisagor teoremine benzer bir biçimde yeniden formüle ettik.
Bu tezde, iki parçalı kuantum sistemleri için kuantum dolanıklığının geometrik tasviri incelenmiştir. Kuantum sistemlerine matris operatörü yaklaşımı ve sistemin saf (pure) veya karışık (mixed) olmasını belirleyen basit bir kriterin varlığı üzerinde yoğunlaştık. Yoğunluk matrisinin karesinin izinin (trace) birim değerden sapması, karışık durumun saf duruma olan uzaklığını karakterize etmektedir. Bu uzaklık, doğrusal entropi (linear entropy) rolünü oynamaktadır. Karışık durumun bu özelliğinin, concurrence (uyuşum) adı verilen pozitif bir sayı ile ifade edilebileceğini gösterdik. Saf durumlar için concurrence sıfır olurken, karışık durumlar için sıfırdan farklıdır. Daha sonra, yoğunluk matrisi karesinin izinin doğal geometrik bir tasviri olarak Frobenius normunu kullanarak, saf ve karışık durumların bu norm aracılığıyla geometrik yorumunu elde ettik. Saf durumların, yoğunluk matrisinin özdeğerleri uzayındaki birim yarıçaplı Frobenius küresine ait olduğu gösterilmiştir. Karışık durumlar ise Frobenius yuvarının (ball) içinde yer almaktadır. Bu noktalar üzerinde, normalizasyon hiperdüzleminden ve karışıklığın (mixedness) maksimum değerinden kaynaklanan kısıtlamalar bulduk. Karışık durumların bu geometrik tasvirini, iki parçalı kuantum durumlarının indirgenmiş yoğunluk matrisine (reduced density matrix) uyguladık. Eğer matris karışık bir durumu tanımlıyorsa, orijinal iki parçalı durumun dolanık (entangled) durum olduğu gösterilmiştir. Bu sayede, saf iki parçalı kuantum durumlarının dolanıklığını geometrik bir tablo ile karakterize edebildik. Böylece, ayrılabilir (separable) durumlar Frobenius küresi üzerindeki noktalarla karakterize edilirken, dolanık durumlar Frobenius yuvarının içinde yer alır. Açıklayıcı örnekler olarak hesaplamalarımızı, kübit-kütrit (qubit-qutrit) gibi belirli iki parçalı durumlara uyguladık. Kübit-kübit durumu için concurrence değerinin yalnızca katsayı matrisinin 2x2 determinantına eşit olduğu; daha genel durumlar için ise katsayı matrisinden elde edilen 2x2 minörlerin kareleri toplamına eşit olduğu gösterilmiştir. Ardından, concurrence formüllerini, yüksek boyutlardaki alanlar için geçerli olan Pisagor teoremine benzer bir biçimde yeniden formüle ettik.
Dolaşıklık kavramı ilk olarak Einstein, Podolsky ve Rosen tarafından 1935'te yazılan bir makaleden ortaya çıktı. Dolaşıklık saf ve saf olmayan, iki, üç ve çoklu sistemlerden oluşabilir. Dolaşıklık, kuantum bilgi teorisinde büyük bir öneme sahiptir. Dolaşıklık dönüşümü, bir sistem arasındaki mevcut durumu tıpkı kimyasal bir reaksiyondaki katalizör gibi manipüle ederek başka bir duruma dönüştürülebilir. Bu dönüşüm için gerekli koşullar incelenmiştir.
Bu çalışmada, dolaşıklık takası ve süper yoğun kodlama kullanılarak çok katılımcı için yüksek boyutlu bir kuantum dijital imza (QDS) ¸seması önerilmiştir. Gürültü problemlerinin üstesinden gelmek ve daha fazla bilgi aktarımı sağlamak gibi avantajları olan yüksek boyutun kullanılması, önerilen yüksek boyutlu kuantum dijital imzanın daha güvenli bilgi paylaşımı sunmasına olanak sağlamaktadır. Ayrıca, anahtar paylaşımı için süper yoğun kodlama kullanmak ve mesajları yeni bir temele dönüştürmek, önerilen protokolü daha güvenli hale getirmektedir. N boyutta, bir veriyi kodlamak için log2N klasik bit (veya kübit) gerekir. Yani boyut arttıkça bilgi kapasitesi de artmaktadır. N → ∞ olduğunda, bilgi dizisinin uzunluğu da artacaktır. Bu nedenle, n→∞'a yaklaşır. n→∞ için 1/4^n → 0'a yaklaşır. Bu nedenle, dinleyicinin herhangi bir katılımcı tarafından paylaşılan genel anahtarı elde etme olasılığı sıfıra yaklaşır.
Bu tezde simetri kavramı vurgulanmış ve grup teorisi metodu yardımıyla bazı özel Lie grupları ile bağlantılı kuantum sistemler incelenmiştir. Tezin ilk bölümünde, simetri kavramı, Lie grupları ve bu gruplar ile ilişkili bazı kuantum sistemler hakkında ön bilgi verilmiştir. İkinci bölümde, SL(2, R) Lie grubunun homojen uzayında Gram ve genelleştirilmiş Cartan ayrışımları kullanılarak Laplace-Beltrami operatörleri elde edilmiştir. Bu Laplace-Beltrami operatörleri yardımıyla elde edilen kuantum sistemler verilmiş ve bu sistemlerin bağlı ve saçılma durumları elde edilmiştir. Bağlı durumlara karşılık gelen analitik çözümlerin grafikleri verilmiştir. Üçüncü bölümde, SO(3, 2) Lie grubunun SO(3, 2)/SO(3, 1) simetrik uzayının küresel ve horiküresel koordinatlardaki parametrizasyonları kullanılarak Casimir operatörleri elde edilmiştir. Bu Casimir operatörler yardımıyla elde edilen kuantum sistemler verilmiş ve sistemlerin analitik çözümleri elde edilmiştir. Dördüncü bölümde, SU(3) Lie grubu ile ilişkili bir kuantum kontrol problemi ele alınmıştır. Bir simetri indirgeme tekniği geliştirilerek G = S grubu yardımıyla ilgili problem, boyutu or?inal durum uzayının boyutunun yarısı olan bir reel uzayda tanımlı bir probleme indirgenmiştir. Çözümün nümerik olarak hesaplanması için bir yöntem sunulmuş ve yöntem bir örnekle desteklenmiştir.
Kuantum dolaşıklığı uzun zamandır klasik nedenselliğe meydan okuyan yerel olmayan bağlantıların kanıtı olarak yorumlanıyor. Bununla birlikte, Dinamik Evren Matrisi (DEM) çerçevesinde, bu fenomen bağlamsal eşzamanlılık olarak yeniden tanımlanır - evrensel bilgi alanı içinde ilişkili varlıkların eşzamanlı olarak yeniden yaratılması. Bağlamsal özdeşliği iki ardışık bilgi durumu arasındaki logaritmik oran olarak tanımlayarak, ΔQ=ln (X2X1)(1) çalışma, dolaşık sistemlerin uzamsal ayrımdan bağımsız olarak aynı ΔQ değerlerini paylaştığını göstermektedir. Korelasyonları sinyal alışverişinden değil, bağlamsal sapma (ΔQ) ve bilgi entropisi (σQ) arasındaki denge tarafından yönetilen her Planck ölçeği aralığında sürekli yeniden yaratımdan kaynaklanır. Bağlamsal bir korelasyon katsayısı şu şekilde tanıtılır: CΔQσQ=cos(ΔQ1−ΔQ2)(2) olasılıksal çöküşe veya gizli değişkenlere başvurmadan dolaşıklığı ölçen. Böylece dolanıklık, kuantum, kozmolojik ve bilişsel alanları birleştiren elastik bilgi sürekliliği içindeki bağlamsal simetrinin bir tezahürü olarak yeniden çerçevelenir.
Bilesik sistemlerin sahip olabilecegi; klasik korelasyonlar, kuantum dolaniklik, kuantum diskort ve dissonans gibi korelasyonlarin nicelendirilmesi ve siniflandirilmasi son on yilda yogun calismalarin konusudur. Bir kismi ancak son yillarda fark edilmis olan bu korelasyonlar, kuantum bilisim ve kuantum bilgisayim kuramlarindaki uygulamalar icin; nicelendirilebilir, kontrol edilebilir, islenebilir, iletilebilir ve tuketilebilir baslica kuantum kaynaklaridir. Bu calismada ilk olarak korelasyonlar acisindan kuantum sistemlerin durumlar uzayinin genel yapisi tanitilmistir. Sistemlerin olcum sureclerinden etkilenme derecelerine gore korelasyonlarin klasik ve kuantum korelasyonlar olarak karsilikli bilisim araciligiyla siniflandirilmasi ele alinmistir. Tum bu korelasyonlarin bagil entropi yoluyla nicelendirilmeleri de incelenmistir. Saf ve saf olmayan durumlardan secilen karakteristik ornekler belli ayrintilarla tanitilmis ve sozu edilen nicelendirme yontemleriyle korelasyon analizleri yapilmistir.Abstract The quantification and classification of the correlations that compound system may have; such as, classical correlations, quantum entanglement, quantum discord and dissonance, are subject of intense studies in the last decade. These correlations, some of which are recognized only recently, constitute the major quantum resources that can be quantified, controlled, processed, transmitted and exploited in many applications of quantum information and quantum computation theories. In this study the general structure of the state space of quantum systems is first introduced from the perspective of correlations. By the degree of measurement induced-disturbance, classification of correlations by means of mutual information as classical and quantum correlations is then taken up. The quantification of all of these correlations via relative entropy is studied as well. As application, selected characteristic pure and non-pure state examples are presented in some details and their correlation analysis are carried out with thementioned quantification methods.
Bu tez, modern ve kuantum şifreleme yaklaşımlarını matematiksel temeller üzerinden ortak bir çerçevede birleştirerek, iki alanın güvenlik anlayışlarını karşılaştırmalı biçimde tartışmaktadır. Klasik bölümde, Sezar ve yerine koyma gibi tarihsel şemalar yalnızca giriş örnekleri olarak değil; modüler aritmetik ve grup eylemleri bağlamında incelenmiştir. Bu temel yaklaşımlardan hareketle Feistel mimarisi, sözde-rastgele permütasyon ve işlev kavramları ile indirgeme temelli ispat mantığı ele alınmış; ayrıca doğrusal olmayanlık, difüzyon ve karışıklık gibi tasarım ilkelerinin ölçülebilirliği tartışılmıştır. Veri Şifreleme Standardı özelinde S-kutuları cebirsel normal form ve diferansiyel olasılık gibi nicel ölçütlerle değerlendirilmiştir. Kuantum bölümünde, güvenliğin fiziksel yasalara dayalı çerçevesi sunulmuştur. BB84 ve E91 protokolleri yan yana ele alınmış; BB84’te taban seçimi ve ölçüm istatistikleri, E91’de ise Bell türü korelasyonlar güvenlik temeli olarak değerlendirilmiştir. Doğruluk ve gizlilik hatalarının birlikte küçük tutulması gerektiği vurgulanmış; olası sızma senaryoları, gözlenen hata oranları ve E91 için uygun Bell testleri üzerinden üstten sınırlandırılmıştır. Sonlu örneklem koşullarında ise düzgünleştirilmiş eşitsizlikler kullanılarak elde edilebilecek gizli anahtar uzunluğunun nasıl kısaltılacağı belirlenmiştir. Uygulamalı kısımda Python tabanlı bir BB84 simülasyonu geliştirilmiştir. Model; kanal kaybı, depolarizasyon, dedektör verimi, karanlık sayım, baz uyumsuzluğu ve kes-yeniden gönderme gibi dinleyici saldırılarını kapsamaktadır. Parametre tahmini, hata düzeltme sızıntısı ve gizlilik yükseltme adımlarını izleyen uçtan uca iş akışı sayesinde süzülmüş anahtar oranı ve etkin sızıntı büyüklükleri hesaplanmıştır. Yapılan hassasiyet analizleri, hata oranındaki küçük artışların anahtar üretimini orantısız şekilde azalttığını ve güvenli çalışma bölgesinin mesafe–gürültü–dedektör parametreleri arasında hızla daralan bir “işletim penceresi” oluşturduğunu göstermiştir. Sonuçlar, düşük gürültü ve orta mesafe koşullarında pozitif anahtar üretiminin sürdürülebilir olduğunu; gürültü veya mesafenin artması halinde güvenliğin hızlı bir biçimde zayıfladığını ortaya koymaktadır.