Hilbert Uzayları Üzerinden Kuantum Mekaniğini Anlamak: Kuantum Hesaplamada Uygulamalar Mehmet Keçeci ORCID: https://orcid.org/0000-0001-9937-9839 Received: 25.03.2026 Özet/Abstract: Hilbert uzayları, kuantum mekaniksel sistemlerin betimlenmesi için temel matematiksel çerçeveyi sağlar. İç çarpım ve tamlıkla karakterize edilen bu yapı, kuantum durumlarının vektörler, fiziksel gözlemlenebilirlerin ise öz-eşlenik (self-adjoint) operatörler olarak temsil edilmesine olanak tanır. Süperpozisyon ve dolanıklık (dolaşıklık) gibi temel kuantum olguları, bu formalizm içerisinde doğal bir ifade bulur. Bir kuantum sisteminin aynı anda birden çok durumda bulunabilmesi olarak tanımlanan süperpozisyon, Hilbert uzayındaki taban vektörlerinin doğrusal kombinasyonlarıyla temsil edilir. Kuantum sistemleri arasındaki klasik olmayan bir korelasyon olan dolanıklık ise Hilbert uzaylarının tensör çarpımında ayrıştırılamaz (non-separable) durum vektörleriyle betimlenir. Bu kavramlar, bilginin temel birimi olan kübitin (qubit), durumu iki boyutlu karmaşık bir Hilbert uzayında (ℂ²) bir vektör olarak tanımlanan iki seviyeli bir kuantum sistemi olduğu kuantum hesaplamada merkezi bir öneme sahiptir. Kübitler üzerinde işlemler gerçekleştiren kuantum kapıları, bu durum vektörlerine etki eden üniter operatörlerle temsil edilir. Başta Shor ve Grover algoritmaları olmak üzere kuantum hesaplamanın gücü, Hilbert uzayı çerçevesinde içkin (doğal) olarak betimlenen süperpozisyon ve dolanıklıktan yararlanma becerisinden kaynaklanmaktadır. Bu nedenle, Hilbert uzaylarının kapsamlı bir şekilde anlaşılması, kuantum mekaniğinin ilkelerini kavramak ve kuantum bilgi ile hesaplama alanını ilerletmek için vazgeçilmezdir [1, 7]. Klasik bitlerden kuantum kübitlerine ve klasik mantıksal (lojik) kapılarından kuantum üniter işlemlere geçiş, tamamen Hilbert uzaylarının sağladığı matematiksel özelliklere dayanmaktadır. Anahtar Kelimeler/Keywords: Hilbert Uzayı, Kuantum Hesaplama, Kübit, Süperpozisyon, Dolanıklık, Üniter Dinamik, Kuantum Mekaniği, Fonksiyonel Analiz, Operatör Teorisi, Dirac Gösterimi, Kuantum Durumları, Lineer Operatörler, Kuantum Algoritmaları, Kuantum Bilgi.
Hilbert Uzayları Üzerinden Kuantum Mekaniğini Anlamak: Kuantum Hesaplamada Uygulamalar Mehmet Keçeci ORCID: https://orcid.org/0000-0001-9937-9839 Received: 25.03.2026 Özet/Abstract: Hilbert uzayları, kuantum mekaniksel sistemlerin betimlenmesi için temel matematiksel çerçeveyi sağlar. İç çarpım ve tamlıkla karakterize edilen bu yapı, kuantum durumlarının vektörler, fiziksel gözlemlenebilirlerin ise öz-eşlenik (self-adjoint) operatörler olarak temsil edilmesine olanak tanır. Süperpozisyon ve dolanıklık (dolaşıklık) gibi temel kuantum olguları, bu formalizm içerisinde doğal bir ifade bulur. Bir kuantum sisteminin aynı anda birden çok durumda bulunabilmesi olarak tanımlanan süperpozisyon, Hilbert uzayındaki taban vektörlerinin doğrusal kombinasyonlarıyla temsil edilir. Kuantum sistemleri arasındaki klasik olmayan bir korelasyon olan dolanıklık ise Hilbert uzaylarının tensör çarpımında ayrıştırılamaz (non-separable) durum vektörleriyle betimlenir. Bu kavramlar, bilginin temel birimi olan kübitin (qubit), durumu iki boyutlu karmaşık bir Hilbert uzayında (ℂ²) bir vektör olarak tanımlanan iki seviyeli bir kuantum sistemi olduğu kuantum hesaplamada merkezi bir öneme sahiptir. Kübitler üzerinde işlemler gerçekleştiren kuantum kapıları, bu durum vektörlerine etki eden üniter operatörlerle temsil edilir. Başta Shor ve Grover algoritmaları olmak üzere kuantum hesaplamanın gücü, Hilbert uzayı çerçevesinde içkin (doğal) olarak betimlenen süperpozisyon ve dolanıklıktan yararlanma becerisinden kaynaklanmaktadır. Bu nedenle, Hilbert uzaylarının kapsamlı bir şekilde anlaşılması, kuantum mekaniğinin ilkelerini kavramak ve kuantum bilgi ile hesaplama alanını ilerletmek için vazgeçilmezdir [1, 7]. Klasik bitlerden kuantum kübitlerine ve klasik mantıksal (lojik) kapılarından kuantum üniter işlemlere geçiş, tamamen Hilbert uzaylarının sağladığı matematiksel özelliklere dayanmaktadır. Anahtar Kelimeler/Keywords: Hilbert Uzayı, Kuantum Hesaplama, Kübit, Süperpozisyon, Dolanıklık, Üniter Dinamik, Kuantum Mekaniği, Fonksiyonel Analiz, Operatör Teorisi, Dirac Gösterimi, Kuantum Durumları, Lineer Operatörler, Kuantum Algoritmaları, Kuantum Bilgi.
Kuantum Hesaplamada Uzay Dolduran Eğriler: Moleküler Simülasyonlardan Hata Düzeltmeye Mehmet Keçeci ORCID: https://orcid.org/0000-0001-9937-9839 Received: 20.03.2026 Özet/Abstract: Bu çalışma, uzay dolduran eğrilerin (UDE: Space-Filling Curves - SFC) kuantum hesaplama alanındaki çok yönlü uygulamalarını kapsamlı bir şekilde incelemektedir. Kuantum bilgisayarların artan karmaşıklığı, yüksek boyutlu durum uzaylarında etkin veri yapılarına olan ihtiyacı artırmaktadır. SFC'ler, yüksek boyutlu uzayları tek boyutlu bir eğri ile doldurarak mekansal lokaliteyi koruyan bir dönüşüm sağlar. Bu özellik, kuantum sistemlerinde benzer durumların birbirine yakın indekslenmesini mümkün kılarak arama, optimizasyon ve simülasyon problemlerinde önemli avantajlar sunmaktadır. Araştırmamız beş ana uygulama alanını kapsamaktadır: (i) kuantum ağ yönlendirme, (ii) kuantum rastgele yürüyüş, (iii) Hamiltoniyen simülasyonu, (iv) kuantum hata azaltma ve (v) kuantum veri sıkıştırma. İlk uygulamada, Morton eğrisi tabanlı yönlendirme protokolü ile kuantum ağlarda EPR (Einstein-Podolsky-Rosen) pair fidelity'si geleneksel yöntemlere göre %35 oranında iyileştirilmiştir. İkinci uygulamada, SFC sıralı durum uzayında gerçekleştirilen kuantum rastgele yürüyüş, klasik rastgele yürüyüşe kıyasla karesel hızlanma (quadratic speedup) göstermiştir. Hamiltoniyen simülasyonlarında, sıkı bağ modeli (tight-binding model) kullanılarak SFC tabanlı bant yapısı hesaplamaları geleneksel yöntemlere göre O(N²)'den O(N log N)'e düşürülmüştür. Hata azaltma uygulamasında, SFC desen tanıma ile gürültülü kuantum durumlarının fidelity'si %50'den %85'e yükseltilmiştir. Son olarak, kuantum durum sıkıştırmada SFC tabanlı dönüşüm ile %70 sıkıştırma oranına ulaşılırken fidelity kaybı %0.1'in altında tutulmuştur. Bu çalışmanın temel katkıları şunlardır: (1) SFC'lerin kuantum algoritmalarına entegrasyonu için teorik çerçeve, (2) beş farklı uygulama alanında deneysel doğrulama, (3) klasik ve kuantum yöntemler arasında kapsamlı performans karşılaştırması, (4) hibrit klasik-kuantum sistemler için optimizasyon stratejileri. Sonuçlar, SFC tabanlı yaklaşımların kuantum hesaplamada hesaplama karmaşıklığını azalttığını, bellek verimliliğini artırdığını ve hata dayanıklılığını iyileştirdiğini göstermektedir. Gelecek çalışmalar, SFC'lerin kuantum donanım düzeyinde uygulanması ve makine öğrenmesi ile entegrasyonuna odaklanacaktır. Anahtar Kelimeler/Keywords: Uzay dolduran eğriler, UDE, SFC, kuantum hesaplama, Hilbert eğrisi, Morton eğrisi, gray, kuantum hata düzeltme, VQE optimizasyonu, Moleküler simülasyon, Kuantum ağ yönlendirme, Hamiltoniyen simülasyonu, Kuantum veri sıkıştırma.
Kuantum Atımlarından Topolojik Korumaya: Hata Toleranslı Kuantum Hesaplama İçin NV Merkezleri, Weyl Arayüzleri ve Majorana Kübitlerini Bütünleştiren Stratum Tabanlı Karma Mimari Mehmet Keçeci Orcid: https://orcid.org/0000-0001-9937-9839 Özet/Abstract: Kuantum hesaplama teknolojilerinin ölçeklenebilir ve hata toleranslı sistemlere dönüşebilmesi, yalnızca yüksek koherens sürelerine sahip kübitlerin geliştirilmesini değil, aynı zamanda farklı fiziksel platformların ortak bir mimari çerçevede bütünleştirilmesini de gerektirmektedir. Bu çalışma, elmas içerisindeki azot-boşluk (Nitrogen-Vacancy, NV) merkezlerinin sağladığı hassas kuantum durum kontrolünü, Weyl yarı-metallerinin topolojik arayüz özelliklerini ve Majorana sıfır modlarının sunduğu doğal hata korumasını bir araya getiren Stratum tabanlı hibrit bir kuantum hesaplama mimarisi önermektedir. Çalışmanın temel amacı, kuantum atımlarından (quantum beats) elde edilen yüksek doğruluklu spin manipülasyon mekanizmalarının, topolojik olarak korunan bilgi işleme katmanları ile bütünleştirilerek yeni nesil hata toleranslı kuantum sistemlerinin teorik temelini ortaya koymaktır. Önerilen yaklaşımda Stratum Modeli, kuantum mimarisini oluşturan her fiziksel, işlevsel ve topolojik bileşeni bağımsız fakat etkileşimli katmanlar olarak ele almaktadır. NV merkezleri, kuantum durum hazırlama, hassas ölçüm, kuantum bellek ve kuantum ağ düğümleri gibi görevleri yerine getiren kontrol ve algılama katmanlarını temsil ederken, kuantum atımları bu katmanlarda gerçekleşen spin süperpozisyonlarının dinamik karakterizasyonunu sağlamaktadır. Buna karşılık Weyl arayüzleri, farklı topolojik fazlar arasındaki geçişleri yöneten ve kuantum bilgi taşıyıcılarının korunmuş biçimde aktarılmasına olanak veren arayüz katmanları olarak modellenmektedir. Majorana kübitleri ise sistemin üst düzey topolojik işlem katmanını oluşturarak yerel olmayan bilgi kodlaması sayesinde çevresel gürültü ve dekoherens etkilerine karşı doğal bir dayanıklılık sunmaktadır. Mimarideki katmanlar arasındaki ilişkiler yalnızca fiziksel bağlantılarla değil, aynı zamanda topolojik değişmezler, bağlanabilirlik yapıları, hata yayılım yolları ve kuantum bilgi akışları üzerinden tanımlanmaktadır. Bu bağlamda Stratum yaklaşımı, klasik uzaysal boyut tanımlarının ötesine geçerek katman çeşitliliğini, topolojik korumayı, kübit heterojenliğini ve üretim kusurlarını ortak bir analitik çerçevede değerlendirmektedir. Ayrıca model, kusurlu veya bozunmuş katmanların izole edilmesine, kritik topolojik bölgelerin korunmasına ve sistem düzeyinde hata etkilerinin azaltılmasına yönelik yeni tasarım stratejileri sunmaktadır. Çalışma sonucunda, NV merkezlerinin sağladığı hassas kuantum kontrol yetenekleri ile Majorana tabanlı topolojik korumanın bir araya getirilmesinin, kuantum hesaplama performansını artırabilecek güçlü bir sinerji oluşturduğu gösterilmektedir. Weyl arayüzlerinin ise bu iki platform arasında fiziksel ve topolojik bir köprü görevi üstlenebileceği öne sürülmektedir. Böylece Stratum tabanlı hibrit mimari, kuantum algılamadan dağıtık kuantum ağlarına, topolojik kuantum işlemcilerden hata toleranslı kuantum bilgisayarlara kadar geniş bir uygulama alanı için bütünleşik bir tasarım paradigması sunmaktadır. Anahtar Kelimeler/Keywords: Kuantum Hesaplama, Stratum Modeli, NV Merkezleri, Azot-Boşluk Merkezleri, Kuantum Atımları, Weyl Arayüzleri, Weyl Yarı-Metalleri, WSM, Majorana Kübitleri, Majorana Sıfır Modları, MZM, Topolojik Kuantum Hesaplama, Topolojik Koruma, Hibrit Kuantum Mimarileri, Topolojik Değişmezler, Non-Abelian Örgüleme, Hata Toleranslı Kuantum Sistemleri, Kuantum Bellek, Kuantum Ağları, Kuantum Bilgi İşleme, Ölçeklenebilir Kuantum Mimarileri, Heteroyapılar, Topolojik Faz Geçişleri, Kuantum Koherensi, Hata Düzeltme, Kuantum Malzeme Mühendisliği.
Kuantum hesaplama, karmaşık hesaplama problemlerini ele almak için devrim niteliğinde bir yaklaşım sunmakta ve yapı mühendisliği alanını dönüştürme potansiyeline sahiptir. Bu çalışma, kuantum algoritmalarının—özellikle Grover algoritması (Grover, 1996), Varyasyonel Kuantum Özdeğer Çözücüsü (VQE) (Peruzzo et al., 2014) ve Kuantum Yaklaşık Optimizasyon Algoritması (QAOA) (Farhi, Goldstone & Gutmann, 2014) klasik yapısal analiz ve tasarım yöntemleriyle ilişkili sınırlamaların aşılmasındaki olası rolünü ve teorik temellerini incelemektedir. Çalışmada, kuantum hesaplamanın sonlu elemanlar analizi ve optimizasyon süreçlerine entegrasyonu için kavramsal bir çerçeve sunulmakta; veri kodlama, hibrit mimariler gibi temel teknik zorluklar ele alınmakta ve gelecekteki araştırmalar için umut verici yönler ortaya konulmaktadır. Bu çalışma, kuantum destekli yapısal tasarımın gelecekteki pratik uygulamaları için bir temel oluşturmayı amaçlamaktadır.
Lineer Kuantum Mekaniği yaklaşık olarak yüzyıllık bir teoridir. Atomik ölçekte fizik yasalarını açıklamak için oluşturulan bu teori bir yüzyıl boyunca oldukça başarılı olmuştur. Bu teori kullanılarak yeni teknolojiler keşfedilmiş, günlük hayatın birçok olanında yaygın olarak kullanılmıştır. Lineer kuantum mekaniği teorisi kendisinden önce geçerli olan klasik fizik teorisi üzerine inşa edilmiş birçok kavramın değişmesine neden olmuştur, bu nedenle felsefede, sosyal bilimlerde yeni akımların oluşmasına neden olmuştur. Bunun yanında fizikte yapılan süperiletkenlik, süperakışkanlık, Bose-Einstein yoğunlaşması gibi bazı deneylerin lineer kuantum mekaniği kullanılarak anlaşılması zordur. Bu gibi deneyleri açıklamak için son yıllarda literatürde lineer olmayan kuantum mekaniği teorisi kullanılması gerektiğini savunan çalışmalar artmaktadır. Bu tezin amacı bu çalışmaları derleyerek lineer olmayan kuantum mekaniğinin temel ilkelerini ortaya koymaktır.
Kuantum bilgisayarları atom ve atom altı parçacıkların davranışlarından yararlanılarak laboratuvar ortamında geliştirilmeye çalışılmaktadır. Bu bilgisayarlar kübit adlandırılan iki seviyeli kuantum mekaniksel sistemleri bilgi depolama ve temel işlem birimi olarak kullanmaktadır. Klasik bitlere göre mümkün olmayan aynı anda iki durumu birden sergileyebilme kübitler için mümkündür ve bu durum hesaplamalarda kullanılabilmektedir. Bu özellik kuantum bilgisayarlara üstün işlem yeteneği kazandırmaktadır. Klonlanamama kübitlerin kopyasının alınmasını engellemekte ve kuantum bilgisayarların doğasına veri güvenliğini katmaktadır. Farklı yeteneklere sahip bu bilgisayarların kullanılabilmesi için programlanması ve neler yapması gerektiği söylenmelidir. Tezimde kuantum bilgisayarların üstün işlem yeteneklerinin kullanılmasına, mevcut kuantum algoritmalarının yazılmasına imkan sağlayan yeni bir kuantum programlama dili geliştirilmiştir.
Günlük hayatta kullanılan bilgisayarlar her ne kadar kapasiteleri günden güne gelişiyor olsa da yine de bazı ihtiyaçları karşılamakta yetersiz kalmaktadır. Örneğin, bir sayıyı asal çarpanlarına ayırma problemi küçük sayılar için kolay çözülebilse de büyük sayılar (40 basamaklı sayılar gibi) için en iyi bilgisayarlar da bile aylar süren vakit almaktadır. Fakat eğer gerçekleştirilebilirse bir kuantum bilgisayarın aynı problemi sadece birkaç dakika içinde çözebileceği düşünülmektedir. Kuantum mekaniğinin temellerine göre çalışan kuantum bilgisayarlarda kuantum bilginin (kubitin) transferi sırasında oluşabilecek hataları düzeltmek amacıyla kuantum hata düzelten kodlar geliştirilmiştir. Bu tezde öncelikle kuantum kodları daha iyi anlamak için gerekli olan cebir ve klasik kodlama bilgileri verilmiştir. Üçüncü bölümde kuantum kodlamada çalışılan uzay olan Hilbert uzayı üzerinde lineer cebir bilgileri, kuantum bilgi birimi olan kubitler, kuantum mantık kapıları ve kuantum kodlar için hata farketme ve düzeltme koşullarından bahsedilmiştir. Dördüncü bölümde Calderbank-Shor-Steane kodun yapısı ve BCH kodlardan elde edilen kuantum kodların parametreleri verilmiştir. Beşinci bölümde ise stabilizer kodların yapısı ve belirli şartları sağlayan kontrol matrislerine sahip lineer kodlardan elde edilen kuantum kodların parametreleri verilmiştir.