東京 工業大学 大学院理工学研 究科 岡本 清美1 九州大学 理学部 北揮 充弘2 最近,量子ス ピン鎖における磁化 曲線の量子化プラ ト ーが盛んに研究 されている [ 1 -1 2 ] ･量子化 プラ ト ーが現れ る必要条件は Os h i k a wa -Ya ma n a k a -A用e c k[ 6 ]によって得 られていて,状態の周期 を r 2 , ,ス ピンの大きさを S,1スピンあた りの平均磁化 を m とす るとき n ( S-( m , ) ) -i n t e g e r I = である.これ は必要条件 であるので,実際にプラ ト ーが出現す るか どうかはハ ミル トアンに含 まれ るパ ラメー ターに依存 し,個々に調べなけれ ばな らない.プラ トー の出現消失の間の転移 は,Ok a mo t o[ 2 ] によって指摘 されたように Be r e z i n s k i i -Ko s t e r l i t z -Th o u l e s s( BKT) 型 に なっていて,転移点を数値計算データか ら検 出す るのはなかなか難 しい.本研究では,数 値的対角化デー タから転移点を精密に決定す る方法を確 立 し,具体的に 5 -1 / 2t r i me r -
東京 工業大学 大学院理工学研 究科 岡本 清美1 九州大学 理学部 北揮 充弘2 最近,量子ス ピン鎖における磁化 曲線の量子化プラ ト ーが盛んに研究 されている [ 1 -1 2 ] ･量子化 プラ ト ーが現れ る必要条件は Os h i k a wa -Ya ma n a k a -A用e c k[ 6 ]によって得 られていて,状態の周期 を r 2 , ,ス ピンの大きさを S,1スピンあた りの平均磁化 を m とす るとき n ( S-( m , ) ) -i n t e g e r I = である.これ は必要条件 であるので,実際にプラ ト ーが出現す るか どうかはハ ミル トアンに含 まれ るパ ラメー ターに依存 し,個々に調べなけれ ばな らない.プラ トー の出現消失の間の転移 は,Ok a mo t o[ 2 ] によって指摘 されたように Be r e z i n s k i i -Ko s t e r l i t z -Th o u l e s s( BKT) 型 に なっていて,転移点を数値計算データか ら検 出す るのはなかなか難 しい.本研究では,数 値的対角化デー タから転移点を精密に決定す る方法を確 立 し,具体的に 5 -1 / 2t r i me r -
1 】 二個 の S-1 / 2ス ピンと二個 の S-1ス ピンが交互 に並 んだ量子ス ピン鎖の基底状態 【 共同 研究者: 引原俊哉 ( 神戸大 自然科学) , 鏑木誠 ( 神戸大 国際文化) , 西野友年 ( 神戸大理) , 宮下精 二 ( 東大工) , H. -∫ .Mi k e s k a( I T P , U山Ⅴ .Ha n n o v e r ) ] 1 9 8 3年 におけ るハ ルデ ン仮説1 ) の提唱及 びそれ に関連 したその後 の多 くの数値 的, 解析 的, 実験的研究 を契機 として, 近年, 低次元量子 ス ピン系 の量子非磁性基底状態 におけ る相転移 の 問題が盛 んに研究 されている.このような量子非磁性基底状態 における相転移 を理解す る上で, Aae c k -Ke n n e d y -L i e b -T a s a k i 2 ) によって導入 された V a l e n c e -Bo n d -S o l i d( VBS )措像, 即 ち, 量 子非磁性状態 にある各相が シンダ レットペア ( ス ピン一重項)の敷 き詰め方' の違い3 ) によって 理解で きる とい う考 え方 は, 非常 に重要である.この措像 に対す る, 格子が作 り出す ミクロな空 間的構造の果たす役割は大 きく, 実際, 各種のフラス トレー ト系, ボ ンド交代系, 梯子格子系, デ イ ブ リー ト系等 で起 こる興味 ある相転移が数多 く議論 されている.例 えば, 一般 の大 きさ S をも つ量子 ス ピンか らなるボ ンド交代鎖 において, ボ ンド交代パ ラメータ 6の値 ( f 6 r ≦1 )を変化 さ せ るとき, 2
じめに 量子逆散 乱法 の発展 に伴 い, 1 +1次元の場の量子論, 2次元の統計力学, 1次元量子 ス ピ ン系, における解 けるモデルの共通性 が明 らかになって きた.1)量子逆散 乱法 には,連続 型 の 理論 ( T h a c k e re ta l .)2)と離散型の理論 ( F a d e e ve ta l .) 3)が あ る.特 に, 離 散 型 の理 論 は, Ya n g ･ B a x t e r 関係式 を軸 と して,転送行列 の方法, B e t h e仮説法, S行列の因子化理論,等 の量 子完全可積分系の解法 の統一的理解 を与 える.ここでは,従 来 の B e t h e 仮説 法 ( c o o r d i n a t e B e t h ea n s a t z )4)の一般的 な形 を,離散型 の量子逆散乱法から導 く.これは同時 に B e t h e仮 説 の証 明 を与えることになる.以下では,特に任意ス ピンのHe i s e n b e r g モデル 5 ,6)を例 に挙 げて説 明 す る.§2 Ya n g -B a x t e r 関係式 量子逆散乱法の基礎 となるのは,次のYa n g ･ B a x t e r 関係式 ( YBR ) 5 ) であ る.a t ev e r t e x mo d e l 7) ぉ よび,それ と等価 なHe i s e n b e r gXXX 5 ) ,ⅩⅩZ6) mo de l , 8) l a t t i c en o n li n e a rS c h r 6 d i n g e rmo d e l 8) , l a t t i c eS i n e ･ Go r d o n mo d e l8)等 が含 まれ る. 例 )He i s e n b e r gXXX mo d e l( 任意 ス ピン) 5 ) o s RO n ( i)-王二払 z o ㊥In+ 7 0 ㊥ ?n 2 亡± f i s ( 玉 ㊨ 柔 ト -i j = Ok =11 + kl Z 書写 x , ･ x ∠ -3 2-2 ∫ ノ s s RO n( i)--Z : 〈ロ ( 2 ,2) ( 2 ,3)
Q s ( a , i)-Tm e x p(4i q2t+ 主 oo)s e c h(2甲 ∬) が出て くる.但 し4 万 -l K l (n+1)とおいた.さらに, ￠をは さむ状 態 を ガ リレイ変換 す れ ば, mo v i n gソリ トンも得 られ る.即 ち,量子論 で束縛状 態 をっ くる粒子数 nを無限大にす ると そ の状 態 に関す る ￠( α)の形状 因子 が古典 ソリ トン解 にな る. これ は Go l d s t o n eとJ a c k i w の予 憩 l o ) の一端 と思 われ る. nが有 限 の時の波形 をグラフにす る と, n-5-6く らい です で に s e c hに近 く, n一 大 につれ,古典的波形 に近づ く様子 がわ か る. 参考文献 1 ) M. Wa d a t ie ta l .,J o u r n a lo rP h y s ･S o c .J p nt oa p p e a r ･ 2 ) V. E .Z a k h a r o ve ta l .,S o v .P h y s .J E T P3 4( 1 9 7 2 )6 2 .3 ) V. E .Z a k h a r o ve ta l .,S o v .P h y s .J E T P 3 7( 1 9 7 3 )8 2 3 ･ 4 ) Ⅰ .B .Mc G u l i e ,∫ .Ma t h .P h y s .6( 1 9 6 5 )4 3 2 .E .H. L i e fa n dW.L i n i g e r ,P h y s .Re v .1 3 0( 1 9 6 3 )1 6 0 5 .5 ) H. B .T h a c k e r ,Re v .Mo d .P h y s .5 3( 1 9 8 1 )2 5 3 .
重 俊 (1 9 8 2年 7月 1 3日受理 ) 講義 ノー ト は じ め に 1 9 71 年 にBa x t e r は 2次元 の 8 -v e r t e xモデルの自由エネルギーを転送行列 の方法で求 めた｡ このモデルは特殊 な場合 として I s i n gモデル,d i me rモデル,i c eモデ/ レ ,KDPモデル,Fモ デル等 を含 む一般的 なモデルである｡また Ba x t e rはこの転送行列 の固有ベ ク トルが He i s e n b e r g モデルの一般化である 1次元 ⅩYZモデルのハ ミル トニア ンの固有 ベ ク トルになっていること を示 し, これか らその基底 エネルギー を求 めた｡ Ba x t e rの論文 は " ama s t e r p i e c eo f1 9 t h -c e n t u r yma t h e ma t i c a la ゎ a l y s i s〝とも言われ ているが,む しろ " ama s t e r p i e c eo f2 0 t h -c e n t u r yma t h e ma t i c a lp h y s i c s〝と言 うべ きで あろ う｡P h y s .Re v .L e t t .の論文 3 , 4 ) は勿論, An n .P h y s .の論文 1 , 2 ) も省略 されている部分が多 く, 孤峰 として奪 えたまま登山をす る人は少なかった｡ しか し最近量子逆散乱法 が脚光 をあびるに 至 って, 8 -v e r t e xモデルあるいは 1次元 ⅩYZ モデルがその例題 として しば しば誌面 を賑 わ す よ うになった｡ Ta k h a d z h a n -F a d d e e vの解説 5 ) を参照に しながら,1 0年前読 もうと思 って途 中でやめた論文 をもう 一度読 もうと思いたった所以 である｡今度東京工業大学 において ｢ スピン系 の統計力学｣ と題す る集 中講義 を行 なったが, 8 -v e r t e xモデルの話 も加 えることとし, これ を機会 にその ノー トをまとめた｡ 本稿 を草するに当ってE.Ba r o u c h ,和達三樹,および同研究室の方々,広池和夫, 守田徹,鈴 木増雄,宮下精二,小 口武彦 の諸氏6 ･ 7 ) から多 くの御教示を頂いたことを記 して厚 く謝意 を表する｡ §1 . 1 6v e r t e x ･ モデル, 8v e r t e xモデル, 6v e r t e xモデル 2次元の正方格子 を考 えて各格子点間 を結ぶ b o n dに上向,下向, または左向,右向,のい づれかの矢 をっ ける｡各格子点 とこれに入 る 4本 の b o n dを見 るとこの格子 点 には 1 6個 の状 態がある｡ この各状態に el, e2 -･61 6 のエネルギーを割付 けたモデルが 1 6 -v e r t e x モ デ ル である｡ この 1 6個の配置 の うち 1つの格子点 に奇数本 の b o n dが入 る状 態 が禁止 され るとす *KATS UR A, S h i g e t o s i 軽 重殴 る と ( e 9 ,e l ° ･ -e 1 6 --) 可能 な状 態 として 8個 の状 態が許 され る｡ これが広義 の 8 -v e r t e x モデルである｡一つの格子点 に対 して 4つ の b o n dを反転 した もの と, もとの ものの e n e r g y が等 しい とす る｡ ( e l -C 2 ,E 3 -e 4 ,e 5 -e 6 ,e 7 -e 8 ) (これ は z e r o f i e l dの条件 である. ) これ が狭義 の 8 -v e r t e xモデル ( Ba x t e rモデル)である｡ この内 4本 ともv e r t e x に向 った も の, 4 本 ともv e r t e xか ら出 るものを除 くと ( e 7 -e 8-∞ ) 可態 な状 態 は 6個 となるO これ が 6 -v e r t e xモデルであるoその うちK D Pモデル といわれ るものは T a k a h a s i ,L i e bに よ る強 誘電体 のモデルである* .本稿では狭義 の 8v e r t e xモデル を単 に 8 -V ｡ r t ｡ Ⅹモデル とい う0 8 -v e r t e xモデルの一つの配置 が与 え られ た とき各格子点 は e l ,e 8 の何れかの状態 をと るo系全体 で e･ のエネル ギー を もつ v e r t e xの数 をNj とすれば系 の状 態和 は ノ 8 zI V m = ∑ e x pト P j S .