Inspiriert von den integrablen Strukturen der schwach gekoppelten planaren N=4 Super-Yang-Mills-Theorie studieren wir Q-Operatoren und Yangsche Invarianten. Wir geben eine Übersicht der Quanten-Inverse-Streumethode zusammen mit der Yang-Baxter Gleichung welche zentral für diesen systematischen Zugang zu integrablen Modellen ist. Den Fokus richten wir auf rationale integrable Spinketten und Vertexmodelle. Wir besprechen einige ihrer bekannten Gemeinsamkeiten und wie sie durch Bethe-Ansatz-Methoden mit Hilfe sogenannter Q-Funktionen gelöst werden können. Der Hauptteil basiert auf den ursprünglichen Publikationen des Autors. Zuerst konstruieren wir Q-Operatoren, deren Eigenwerte zu den Q-Funktionen rationaler homogener Spinketten führen. Die Q-Operatoren werden als Spuren gewisser Monodromien von R-Operatoren eingeführt. Unsere Konstruktion erlaubt es uns die Hierarchie der kommutierenden Q-Operatoren und ihre funktionalen Beziehungen herzuleiten. Wir studieren wie der nächste-Nachbarn Hamiltonoperator, sowie höhere lokale Ladungen direkt aus den Q-Operatoren extrahiert werden können. Danach widmen wir uns der Formulierung der Yangschen Invarianzbedingung, wie sie auch im Zusammenhang mit Baumgraphen die bei der Berechnung von Streuamplituden in der N=4 Super-Yang-Mills-Theorie auftreten, innerhalb der RTT-Realisierung. Dies erlaubt es uns den algebraischen Bethe-Ansatz anzuwenden und die dazugehörigen Bethe Gleichungen herzuleiten, welche für die Konstruktion der Eigenzustände die Yangsche Invarianz aufweisen, relevant sind. Die Komponenten dieser Eigenzustände der von uns betrachteten Spinketten können außerdem als Zustandssummen gewisser zweidimensionaler Vertexmodelle angesehen werden. Zudem analysieren wir die Verbindung zwischen den Eigenzuständen und den oben genannten Baumgraphen. Schlussendlich diskutieren wir die von uns vorgelegten Ergebnisse und deren Folgen im Hinblick auf die Erforschung der planaren N=4 Super-Yang-Mills-Theorie.
Inspiriert von den integrablen Strukturen der schwach gekoppelten planaren N=4 Super-Yang-Mills-Theorie studieren wir Q-Operatoren und Yangsche Invarianten. Wir geben eine Übersicht der Quanten-Inverse-Streumethode zusammen mit der Yang-Baxter Gleichung welche zentral für diesen systematischen Zugang zu integrablen Modellen ist. Den Fokus richten wir auf rationale integrable Spinketten und Vertexmodelle. Wir besprechen einige ihrer bekannten Gemeinsamkeiten und wie sie durch Bethe-Ansatz-Methoden mit Hilfe sogenannter Q-Funktionen gelöst werden können. Der Hauptteil basiert auf den ursprünglichen Publikationen des Autors. Zuerst konstruieren wir Q-Operatoren, deren Eigenwerte zu den Q-Funktionen rationaler homogener Spinketten führen. Die Q-Operatoren werden als Spuren gewisser Monodromien von R-Operatoren eingeführt. Unsere Konstruktion erlaubt es uns die Hierarchie der kommutierenden Q-Operatoren und ihre funktionalen Beziehungen herzuleiten. Wir studieren wie der nächste-Nachbarn Hamiltonoperator, sowie höhere lokale Ladungen direkt aus den Q-Operatoren extrahiert werden können. Danach widmen wir uns der Formulierung der Yangschen Invarianzbedingung, wie sie auch im Zusammenhang mit Baumgraphen die bei der Berechnung von Streuamplituden in der N=4 Super-Yang-Mills-Theorie auftreten, innerhalb der RTT-Realisierung. Dies erlaubt es uns den algebraischen Bethe-Ansatz anzuwenden und die dazugehörigen Bethe Gleichungen herzuleiten, welche für die Konstruktion der Eigenzustände die Yangsche Invarianz aufweisen, relevant sind. Die Komponenten dieser Eigenzustände der von uns betrachteten Spinketten können außerdem als Zustandssummen gewisser zweidimensionaler Vertexmodelle angesehen werden. Zudem analysieren wir die Verbindung zwischen den Eigenzuständen und den oben genannten Baumgraphen. Schlussendlich diskutieren wir die von uns vorgelegten Ergebnisse und deren Folgen im Hinblick auf die Erforschung der planaren N=4 Super-Yang-Mills-Theorie.
Wir betrachten ein quantenmechanisches System, welches durch einen Hamiltonoperator auf einem Hilbertraum beschrieben wird, wobei der Hamiltonoperator als Weyl-Quantisierung eines operatorwertigen Symbols gegeben ist. Mit einem isolierten, nicht-entarteten Eigenwert des Weyl-Symbols des Hamilton Operators und dem entsprechenden Eigenbündel assoziieren wir einen fast-invarianten Unterraum sowie ein neuartiges ε-abhängiges klassisch Hamiltonsches System, welches, bis auf Quantenkorrekturen, Erwartungswerte im thermodynamischen Gleichgewicht sowie die quantenmechanische Evolution von Observablen eingeschränkt auf den fast-invarianten Unterraum bis auf Fehler der dritten Ordnung in ε approximiert. Die symplektische Form des Hamiltonschen Systems ist durch die Krümmungsform eines neuartigen Zusammenhangs gegeben, welcher eine Modifikation der Ordnung ε des bekannten Berry-Zusammenhangs ist. Des Weiteren ist die Krümmungsform dieses modifizierten Berry-Zusammenhangs der Imaginärteil des modifizierten quantengeometrischen Tensors, dessen Realteil eine Fubini-Study-Metrik auf dem Phasenraum definiert, welche wiederum eine wichtige Rolle bei der Approximation von Gleichgewichtserwartungswerten spielt. Außerdem leiten wir erstmals semiklassische Approximationen von Gleichgewichtserwartungswerten im fast-invarianten Unterraum zu beliebiger Ordnung in ε her und können erstmals ein Egorov-Theorem zu beliebiger Ordnung für nicht-trivialisierbare Eigenbündel zeigen. Unsere Ergebnisse wenden wir auf Quantensysteme vom Born-Oppenheimer-Typ und magnetische Blochbänder im Hofstadter-Modell an, leiten semiklassische Approximationen zweiter Ordnung der freien Energie und die magnetische Suszeptibilität für magnetische Blochbänder her, konstruieren einen numerischen Algorithmus zur Approximation der Zeitevolution von quantenmechanischen Erwartungswerten und validieren diesen Algorithmus am Beispiel eines Hamiltonoperators vom Born-Oppenheimer-Typ mit matrixwertigem Symbol.
Die Entdeckung des Quanten-Hall (QH) Effekts stellt die erste Beobachtung von topologischen Phasen in Quantensystemen dar: Physikalische (Transport-) Eigenschaften eines Festkörpers nehmen exakt ganzzahlige Werte an, unabhängig von mikroskopischen Details des Materials. Symmetriegeschützte topologische Zustände wurden mittlerweile vollständig klassifiziert und weitere topologische Ordnungen im Experiment beobachtet. Fragen bezüglich des Zusammenspiels von topologischen Eigenschaften und starker Teilchen-Wechselwirkung bleiben jedoch unbeantwortet: Interaktionen liegen dem fraktionalen QH-Effekt zugrunde und es wird vermutet, dass sie anyonische Anregungen hervorrufen können. Ultrakalte Atome in optischen Gittern bieten vielversprechende Möglichkeiten, um diese Theorien zu überprüfen. Die Realisierung topologischer Bandstrukturen und starker Wechselwirkung in diesen Experimenten stellt jedoch nach wie vor Schwierigkeiten dar. In dieser Arbeit untersuchen wir alternative Wege, um topologische Eigenschaften in Vielteilchensystemen zu realisieren und zu messen. Unserem Ansatz liegt die Analogie von 2D QH-Modellen, wie dem Hofstadter-Modell, und Familien von 1D Systemen, also topologischen Pumpen, zugrunde. Mittels numerischer Methoden untersuchen wir, ob es ähnliche Zusammenhänge in stark interagierenden Systemen gibt. Wir verwenden den DMRG Algorithmus, um Grundzustände wechselwirkender Gittermodelle zu finden. Dadurch beobachten wir Quantenphasenübergänge von einzelnen, endlichen Modellen, sowie topologische Phasenübergänge der Familien von Grundzuständen. Der erste Teil beschäftigt sich mit Familien von 1D Modellen. Wir stellen fest, dass das Hinzufügen von Wechselwirkungen zu Mott-isolierenden Phasen für halbgefüllte Bänder führt, welche nicht triviale topologische Eigenschaften haben können. Außerdem beobachten wir, dass Teilchen-Interaktion bereits existierende topologische Eigenschaften ändern kann: Einige Systeme unserer Familie entsprechen dem AB_2 ionischen Hubbard-Modell, welches einen wechselwirkungsbedingten, zweifachen Phasenübergang zu einem stark korrelierten Isolator aufweist. Für starke Wechselwirkungen ist die transportierte Ladung auch topologisch quantisiert, jedoch ändern sich Vorzeichen und Betrag der Chern-Zahl. Wir bestimmen den topologischen Index durch numerische Integration der Vielteilchen Berry-Krümmung und zeigen, dass er auch mittels des Massenzentrums gemessen werden kann. Im zweiten Teil behandeln wir die Beziehung von interagierenden 1D Ladungspumpen und wechselwirkenden 2D QH-Modellen. Um beide Systeme numerisch zu untersuchen betrachten wir das Hofstadter-Modell auf einem Zylinder und drücken es in gemischter Real- und Impulsraumbasis aus. In dieser können wir die Verbindung der interagierenden 1D und 2D Modelle parametrisieren. Die zylindrische Geometrie erlaubt uns außerdem topologische Eigenschaften zu bestimmen, indem wir permanente Ströme als Antwort auf ein lineares Potential berechnen. Wir können den topologischen Übergang der 1D Ladungspumpen reproduzieren, aber das Hofstadter-Hubbard-Modell bleibt durch einen topologischen Phasenübergang von stark wechselwirkenden 1D Systemen getrennt. Zwischen den 1D und 2D Hubbard Modellen finden wir ferromagnetische Grundzustände, welche einige topologische Eigenschaften erklären könnten.
Symmetrien --- eine zentrales Konzept in der modernen Physik --- spielen eine wichtige Rolle in der Formulierung vieler wichtiger physikalischen Theorien, wie z.B. der speziellen und allgemeinen Relativätstheorie, der Quantenmechanik und diverser Feldtheorien bis hin zum Standardmodell der Teilchenphysik. Topologische Invarianz im Speziellen ist eine sehr starke Symmetrie, die dem tiefgreifenden Verständnis von kooperativen Phänomenen in kondensierter Materie (wie z.B. dem Quanten-Hall-Effekt), welche sich als erstaunlich robust gegenüber Störungen und Verunreinigungen erweisen, zugrunde liegt. In dieser Doktorarbeit wird ein theoretisches Grundgerüst entwickelt, das in der Lage ist, sowohl globale als auch topologische Symmetrien von sogenannten Tensornetzwerkzuständen zu beschreiben, und das Zugang zu universalen physikalischen Kenngrößen für die Klassifizierung von verschiedenen Phasen kondensierter Materie gewährt. Zu Beginn wird ein allgemeiner Formalismus für die Beschreibung physikalischer und virtueller Symmetrien von Projected Entangled Pair State (PEPS)-Tensornetzwerken in zwei räumlichen Dimensionen entwickelt, welche aus der Kontraktion vieler Kopien ein und desselben elementaren, lokalen Tensors konstruiert werden. Dieser elementare Tensor verbindet physikalische, ortslokale Symmetrien mit virtuellen Matrixproduktoperator (MPO)-Symmetrien, welche auf die virtuellen Verschränkungsfreiheitsgrade wirken und die Grundbausteine des neuen Formalismus darstellen. Insbesondere werden jene Systeme untersucht welche nur topologisch triviale Anregungen beinhalten um daraus die Klassifikation von symmetrie-geschützten topologischen Phasen herzuleiten. Ein Eichverfahren wird dann genau auf diese Zustände angewandt wobei gleichsam die globale Symmetrie auf eine Menge von lokalen Eichbedingungen transformiert wird. Weiters wird die daraus resultierende MPO-Symmetrietransformation dargelegt und die hieraus entstehende topologische Phase der Eichsysteme hergeleitet. Im nächsten Schritt wird die Relevanz dieser MPO-Symmetrien für eindimensionale Oberflächenphysik untersucht. Es stellt sich heraus, dass die MPO’s als Dualitätsabbildung zwischen gegapten Phasen, welche an kritischen Punkten zu Symmetrien werden, verstanden werden können. Solch ein Phasenübergang ist durch eine resultierende konforme Feldtheorie (CFT) beschrieben. Unter Verwendung der MPO Symmetrien werden topologische Sektoren, welche nichtlokale scaling Felder beinhalten können, von dieser CFT konstruiert und deren physikalische Eigenschaften studiert. Wir entwickeln dann die allgemeine Theorie von MPO Synnetrien, welche wir mit den graduierten unitären Fusions-Kategorien identifizieren. Eine Methode zur Konstruktion von Tensor-Netzwerk-Darstellungen der Superauswahl-Sektoren, einschließlich der für extrinsische Symmetrie -Defekte, wird gegeben. Die universellen physikalischen Daten der emergenten Symmetrie-angereicherten topologischen Ordnung wird aus diesen Darsellungen abgeleitet. Der Effekt der Eichung der globalen Symmetrie wird berechnet und stellt sich als dual zum Prozess der Anyon-Kondensation, welcher von der Brechung der virtuellen MPO Symmetrie herrührt. Ein Tensor-Netzwerk-Ansatz wird verwendet zur Konstruktion von Hamiltonians welche neue Phasen der Materie in drei räumlichen Dimensionen realisieren. Dies stellt ein Beispiel des allgemeinen Rahmens der Tensor-Netzwerk-Darstellungen von Zustandssummen, Hamiltonians, Grundzuständen, und deren Symmetrien der topologischen Quantenfeldtheorien (TQFT). Eine große Klasse von Beispielen wird abgeleitet aus einer TQFT welche kürzlich mit Hilfe der definierenden Daten einer Symmetrie-angereicherten topologischen Ordnung konstruiert wurde. Zuletzt wird eine Verallgemeinerung der Eich-Prozedur gegeben für Symmetrien die auf Unterräumen des Gitters wirken, möglicherweise von fraktaler Dimension, welche diese auf lokale Eich-Constraints abbildet. Dies wirft neues Licht auf exotisch fracton topologische Phasen, einschließlich Haah's cubic code, welche in Termen von Symmetrien und Eichung verstanden werden können.
Charakteristische quantenmechanische Phänomene wie die Verschränkung werden oft als starker Bruch mit der klassischen Physik angesehen. Viele dieser scheinbaren Besonderheiten kommen jedoch nicht durch die zugrunde liegende physikalische Theorie zustande, sondern durch die Art, wie sie mathematisch beschrieben werden. In dieser Arbeit benutzen wir den Wigner–Weyl Formalismus, um sowohl die klassische Physik in der Sprache der Quantenphysik auszudrücken, als auch der Quantenmechanik eine klassische Beschreibung zuzuschreiben. Das erlaubt es uns, Artefakte, die rein aus der gewählten Beschreibung entspringen, von den zugrundeliegenden robusten Unterschieden zu trennen. Nach einer Darstellung der Dualität zwischen Phasenraum– und Hilbertraum–Beschreibung sowie einer Einführung in gaußsche kontinuierliche Variablen Systeme untersuchen wir, wie klassische Korrelationen im Phasenraum bei der Abbildung auf Operatoren scheinbare „Verschränkung“ erzeugen können. Daraus ergibt sich dann eine Hierarchie operativer Grenzen: Die Positivität des zugeordneten Operators trennt physikalisch zulässige Quantenzustände von nicht physikalischen, rein repräsentationsbedingten Artefakten. Innerhalb dieser positiven Zustände markiert die Negativität der Wigner–Funktion eine zweite Grenze zwischen klassisch reproduzierbaren und genuin nichtklassischen Zuständen. In diesem Kontext definieren wir repräsentative Verschränkung (Nichtseparierbarkeit trotz fehlender Positivität), hybride Verschränkung (echte Quantenkorrelationen, die jedoch klassisch imitiert werden können) und genuine Verschränkung jenseits dieses Bereichs. Ein zentrales Ergebnis ist, dass kovarianzbasierte (Verschränkungs–) Zeugen außerhalb des gaußschen Regimes ohne zusätzliche Positivitätsprüfungen irreführend sein können. Abschließend werden wir dieses System auf zeitliche Entwicklung in Protokollen zur „gravitationsvermittelten Verschränkung“ anwenden und dabei klassische und quantenmechanische Dynamik vergleichen. Dabei wird sichtbar gemacht, ab welcher Ordnung der Potenzialentwicklung relevante Unterschiede auftreten, und wie das Auftreten von Negativität in der klassischen Hilbertraum–Evolution als dynamischer Ursprung repräsentativer Verschränkung interpretiert werden kann.
In dieser Masterarbeit wird die Äquivalenz von Transtatistik und R-Parastatistik untersucht, zwei Theorien generalisierter Quantenteilchenstatistik. Während erstere einer operationalen Rekonstruktion der Quantenmechanik entstammt, wird letztere durch Vertauschungsrelationen von Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren postuliert, welche durch Lösungen der Yang-Baxter-Gleichung parametrisiert sind. Wir formalisieren den transtatistischen Fockraum und zeigen wie er als quadratische Algebra beschrieben werden kann, nämlich als Quotientenraum der Tensoralgebra des Hilbertraums eines einzelnen Teilchens modulo der Vertauschungsrelationen. Zudem können allgemeine Transformationen im Fockraum mithilfe von Gelfand-Tsetlin-Mustern beschrieben werden. Wir implementieren dies als einen numerischen Algorithmus, um Berechnungen auch für große Systeme durchzuführen. Mit diesem Algorithmus zeigen wir, dass der ursprüngliche Begriff der Lokalität zu Wahrscheinlichkeitsverteilungen führen kann, bei denen sich getrennte Subsysteme nicht unabhängig verhalten, was wir als unphysikalisch erachten. Durch das Einführen eines stärkeren Lokalitätsbegriffs in der Transtatistik kann dies verhindert werden und man erhält Lösungen der Yang-Baxter-Gleichung als Darstellungen des Vertauschens zweier Moden. Andererseits beweisen wir, dass R-Parastatistik dieser Bedingung genügt. Schließlich führen wir ein verallgemeinertes Symmetrisierungspostulat ein, nämlich dass der Fockraum eine quadratische Algebra erzeugt durch durch das Vertauschen zweier Moden ist. Wir motivieren dieses Axiom, indem wir es dem Begriff ununterscheidbarer Teilchen gleichstellen. Mit dieser zusätzlichen Annahme wird die Äquivalenz von Transtatistik und R-Parastatistik gezeigt.
Die vorliegende Diplomarbeit beschaftigt sich uberwiegend mit Quanten-Systemen, die zwei (auch qubit genannt) oder im allgemeinsten Fall d Freiheitsgrade (auch qudit genannt) aufweisen. Insbesondere werden die Eigenschaften zusammengesetzter Quanten-Systeme bezuglich Separabilitat beziehungsweise Verschrankung auf geometrische Weise dargestellt. Beruhend auf ahnlichen, bereits bekannten
Uberlegungen fur zwei Qubit oder zwei Qudit Systeme, werden mogliche Verallgemeinerungen dieser Ergebnisse fur Vielteilchensysteme prasentiert. Des Weiteren wird das Verhalten dieser Vielteilchensysteme bezuglich der gangigsten Separabilit
atskriterien, wie z.B. des Peres-Horodecki Kriteriums, des Realignment Kriteriums, der Destillation von Verschrankung und Verschrankungsmasen, sowohl numerisch als auch analytisch betrachtet.
Es wird im Einzelnen gezeigt wie, in Anlehnung an den zwei Qubit Simplex, ein n-Teilchen Simplex bestehend aus Qubit Zustanden konstruiert werden kann und warum alle Zustande in diesem Simplex 'bound-entangled' sind. Dieses Ergebnis
wurde bereits in Physical Review A 78, 042327 (2008) publiziert.
Auserdem werden zwei verschiedene Konstruktionen eines n-Teilchen Wk-Simplex
vorgestellt, die beide fur den n = 2 Fall mit dem bekannten 'Magic Tetrahedron' ubereinstimmen. Fur den speziellen Fall des drei Teilchen Wk-Simplex (W-Zustand Simplex) werden bestimmte Symmetrien der jeweiligen Quanten Systeme bezuglich
der oben erwahnten Separabilitatskriterien aufgezeigt und dementsprechend verschiedene Subklassen von Zustande eingefuhrt. Zusatzlich zu diesen Symmetrien
konnen durch diese geometrische Veranschaulichung der Zustande, d.h. durch verschiedene Schnitte dieser Simplices, die verschiedenen Kriterien prazise und leicht auf optischem Wege verglichen werden. Aus diesem Grund werden die in
dieser Arbeit beschriebenen Ergebnisse dazu beitragen sowohl zusammengesetzte Quanten-Systeme als auch das damit verbundene faszinierende Phanomen der Verschr
ankung, welches die Grundlage fur zukunftige Technologien, wie etwa Quantenkryptography, Quantenkommunikation oder moglicherweise Quantencomputer, bilden wird, besser zu verstehen.