Symmetrien --- eine zentrales Konzept in der modernen Physik --- spielen eine wichtige Rolle in der Formulierung vieler wichtiger physikalischen Theorien, wie z.B. der speziellen und allgemeinen Relativätstheorie, der Quantenmechanik und diverser Feldtheorien bis hin zum Standardmodell der Teilchenphysik. Topologische Invarianz im Speziellen ist eine sehr starke Symmetrie, die dem tiefgreifenden Verständnis von kooperativen Phänomenen in kondensierter Materie (wie z.B. dem Quanten-Hall-Effekt), welche sich als erstaunlich robust gegenüber Störungen und Verunreinigungen erweisen, zugrunde liegt. In dieser Doktorarbeit wird ein theoretisches Grundgerüst entwickelt, das in der Lage ist, sowohl globale als auch topologische Symmetrien von sogenannten Tensornetzwerkzuständen zu beschreiben, und das Zugang zu universalen physikalischen Kenngrößen für die Klassifizierung von verschiedenen Phasen kondensierter Materie gewährt. Zu Beginn wird ein allgemeiner Formalismus für die Beschreibung physikalischer und virtueller Symmetrien von Projected Entangled Pair State (PEPS)-Tensornetzwerken in zwei räumlichen Dimensionen entwickelt, welche aus der Kontraktion vieler Kopien ein und desselben elementaren, lokalen Tensors konstruiert werden. Dieser elementare Tensor verbindet physikalische, ortslokale Symmetrien mit virtuellen Matrixproduktoperator (MPO)-Symmetrien, welche auf die virtuellen Verschränkungsfreiheitsgrade wirken und die Grundbausteine des neuen Formalismus darstellen. Insbesondere werden jene Systeme untersucht welche nur topologisch triviale Anregungen beinhalten um daraus die Klassifikation von symmetrie-geschützten topologischen Phasen herzuleiten. Ein Eichverfahren wird dann genau auf diese Zustände angewandt wobei gleichsam die globale Symmetrie auf eine Menge von lokalen Eichbedingungen transformiert wird. Weiters wird die daraus resultierende MPO-Symmetrietransformation dargelegt und die hieraus entstehende topologische Phase der Eichsysteme hergeleitet. Im nächsten Schritt wird die Relevanz dieser MPO-Symmetrien für eindimensionale Oberflächenphysik untersucht. Es stellt sich heraus, dass die MPO’s als Dualitätsabbildung zwischen gegapten Phasen, welche an kritischen Punkten zu Symmetrien werden, verstanden werden können. Solch ein Phasenübergang ist durch eine resultierende konforme Feldtheorie (CFT) beschrieben. Unter Verwendung der MPO Symmetrien werden topologische Sektoren, welche nichtlokale scaling Felder beinhalten können, von dieser CFT konstruiert und deren physikalische Eigenschaften studiert. Wir entwickeln dann die allgemeine Theorie von MPO Synnetrien, welche wir mit den graduierten unitären Fusions-Kategorien identifizieren. Eine Methode zur Konstruktion von Tensor-Netzwerk-Darstellungen der Superauswahl-Sektoren, einschließlich der für extrinsische Symmetrie -Defekte, wird gegeben. Die universellen physikalischen Daten der emergenten Symmetrie-angereicherten topologischen Ordnung wird aus diesen Darsellungen abgeleitet. Der Effekt der Eichung der globalen Symmetrie wird berechnet und stellt sich als dual zum Prozess der Anyon-Kondensation, welcher von der Brechung der virtuellen MPO Symmetrie herrührt. Ein Tensor-Netzwerk-Ansatz wird verwendet zur Konstruktion von Hamiltonians welche neue Phasen der Materie in drei räumlichen Dimensionen realisieren. Dies stellt ein Beispiel des allgemeinen Rahmens der Tensor-Netzwerk-Darstellungen von Zustandssummen, Hamiltonians, Grundzuständen, und deren Symmetrien der topologischen Quantenfeldtheorien (TQFT). Eine große Klasse von Beispielen wird abgeleitet aus einer TQFT welche kürzlich mit Hilfe der definierenden Daten einer Symmetrie-angereicherten topologischen Ordnung konstruiert wurde. Zuletzt wird eine Verallgemeinerung der Eich-Prozedur gegeben für Symmetrien die auf Unterräumen des Gitters wirken, möglicherweise von fraktaler Dimension, welche diese auf lokale Eich-Constraints abbildet. Dies wirft neues Licht auf exotisch fracton topologische Phasen, einschließlich Haah's cubic code, welche in Termen von Symmetrien und Eichung verstanden werden können.
Symmetrien --- eine zentrales Konzept in der modernen Physik --- spielen eine wichtige Rolle in der Formulierung vieler wichtiger physikalischen Theorien, wie z.B. der speziellen und allgemeinen Relativätstheorie, der Quantenmechanik und diverser Feldtheorien bis hin zum Standardmodell der Teilchenphysik. Topologische Invarianz im Speziellen ist eine sehr starke Symmetrie, die dem tiefgreifenden Verständnis von kooperativen Phänomenen in kondensierter Materie (wie z.B. dem Quanten-Hall-Effekt), welche sich als erstaunlich robust gegenüber Störungen und Verunreinigungen erweisen, zugrunde liegt. In dieser Doktorarbeit wird ein theoretisches Grundgerüst entwickelt, das in der Lage ist, sowohl globale als auch topologische Symmetrien von sogenannten Tensornetzwerkzuständen zu beschreiben, und das Zugang zu universalen physikalischen Kenngrößen für die Klassifizierung von verschiedenen Phasen kondensierter Materie gewährt. Zu Beginn wird ein allgemeiner Formalismus für die Beschreibung physikalischer und virtueller Symmetrien von Projected Entangled Pair State (PEPS)-Tensornetzwerken in zwei räumlichen Dimensionen entwickelt, welche aus der Kontraktion vieler Kopien ein und desselben elementaren, lokalen Tensors konstruiert werden. Dieser elementare Tensor verbindet physikalische, ortslokale Symmetrien mit virtuellen Matrixproduktoperator (MPO)-Symmetrien, welche auf die virtuellen Verschränkungsfreiheitsgrade wirken und die Grundbausteine des neuen Formalismus darstellen. Insbesondere werden jene Systeme untersucht welche nur topologisch triviale Anregungen beinhalten um daraus die Klassifikation von symmetrie-geschützten topologischen Phasen herzuleiten. Ein Eichverfahren wird dann genau auf diese Zustände angewandt wobei gleichsam die globale Symmetrie auf eine Menge von lokalen Eichbedingungen transformiert wird. Weiters wird die daraus resultierende MPO-Symmetrietransformation dargelegt und die hieraus entstehende topologische Phase der Eichsysteme hergeleitet. Im nächsten Schritt wird die Relevanz dieser MPO-Symmetrien für eindimensionale Oberflächenphysik untersucht. Es stellt sich heraus, dass die MPO’s als Dualitätsabbildung zwischen gegapten Phasen, welche an kritischen Punkten zu Symmetrien werden, verstanden werden können. Solch ein Phasenübergang ist durch eine resultierende konforme Feldtheorie (CFT) beschrieben. Unter Verwendung der MPO Symmetrien werden topologische Sektoren, welche nichtlokale scaling Felder beinhalten können, von dieser CFT konstruiert und deren physikalische Eigenschaften studiert. Wir entwickeln dann die allgemeine Theorie von MPO Synnetrien, welche wir mit den graduierten unitären Fusions-Kategorien identifizieren. Eine Methode zur Konstruktion von Tensor-Netzwerk-Darstellungen der Superauswahl-Sektoren, einschließlich der für extrinsische Symmetrie -Defekte, wird gegeben. Die universellen physikalischen Daten der emergenten Symmetrie-angereicherten topologischen Ordnung wird aus diesen Darsellungen abgeleitet. Der Effekt der Eichung der globalen Symmetrie wird berechnet und stellt sich als dual zum Prozess der Anyon-Kondensation, welcher von der Brechung der virtuellen MPO Symmetrie herrührt. Ein Tensor-Netzwerk-Ansatz wird verwendet zur Konstruktion von Hamiltonians welche neue Phasen der Materie in drei räumlichen Dimensionen realisieren. Dies stellt ein Beispiel des allgemeinen Rahmens der Tensor-Netzwerk-Darstellungen von Zustandssummen, Hamiltonians, Grundzuständen, und deren Symmetrien der topologischen Quantenfeldtheorien (TQFT). Eine große Klasse von Beispielen wird abgeleitet aus einer TQFT welche kürzlich mit Hilfe der definierenden Daten einer Symmetrie-angereicherten topologischen Ordnung konstruiert wurde. Zuletzt wird eine Verallgemeinerung der Eich-Prozedur gegeben für Symmetrien die auf Unterräumen des Gitters wirken, möglicherweise von fraktaler Dimension, welche diese auf lokale Eich-Constraints abbildet. Dies wirft neues Licht auf exotisch fracton topologische Phasen, einschließlich Haah's cubic code, welche in Termen von Symmetrien und Eichung verstanden werden können.
Diese Arbeit behandelt die Frage nach der Struktur von Quanten-Phasen kondensierter Materie, im Speziellen die Eigenschaften am absoluten Nullpunkt, im Rahmen von Tensor-netzwerken. Diese Arbeit behandelt die Frage nach der Struktur von Quanten-Phasen kondensierter Materie, im Speziellen die Eigenschaften am absoluten Nullpunkt, im Rahmen von Tensor-netzwerken. Es wird gezeigt, dass diese Bedingungen die jeweiligen Konzepte emergierender topologischer Ordnung in Vielteilchen Tensornetzwerk-Zuständen wiedergeben: MPO (Matrixproduktoperator)-Injektivität bestimmt den korrekten lokalen Teilraum, welcher mit Hilfe der pulling-through Bedingung auf große Gebiete ausgedehnt werden kann. Diese Gebiete bestimmen wiederum den globalen Teilraum am Rand des jweiligen topologisch geordneten Tensornetzwerk-Zustands. Bei intrinsischer topologischer Ordnung, wird der korrekte lokale Teilraum durch den jeweiligen MPO bestimmt, während der MPO im symmetriegeschützten Fall die globale Symmetrie des Systems in den virtuellen Freiheitsgraden des Tensornetzwerks implementiert. Es wird gezeigt, dass bekannte Fixpunkt-Modelle aus der Literatur, wie Kitaev quantum double- und Levin-Wen string-net-Modelle, Spezialfälle des eingeführten Frameworks sind. Der neue Rahmen geht über Fixpunkte hinaus und ist geeignet, topologische Phasenübergänge im Grundzustandraum zu studieren. Vor dem Hintergrund topologischer Quantenfeldtheorien (TQFTs) wird das Framework für den zweidiminsionalen Fall auf höhere Dimensionen verallgemeinert. Zustandssummen von lattice combinatorial TQFTs werden als Tensornetzwerke formuliert und Bedinungen für topologische Invarianz werden mittels lokaler Tensoren implementiert. Die Bedinugnen für topologische Invarianz dieser TQFTs werden als Spezialfälle der TNO (Tensornetzwerk- Operator)-Injektivität und pulling-through Bedingung in höheren Dimensionen identifiziert. TQFTs, welche verschiedene globale Symmetrien aufweisen können (und damit auf natür- liche Art SPT und SET Phasen beinhalten), sind Beispiele von Renormierungs-Fixpunkten des allgemeinen Frameworks. Dieses beinhaltet Modelle, welche von den Fixpunkten entfernt sind und ist somit geeignet, Phasenübergänge zu studieren. Abschließend, werden Walker-Wang Modelle im Rahmen von Tensornetzwerken detailliert behandlet. Der lokale Tensor und der TNO werden durch lokale Eigenschaften der relevanten TQFT ausgedrückt. Es wird gezeigt, dass TNO-Injektivität und pulling-through Bedingungen topologischen Invarianzbedingungen der TQFT in diesem speziellen Modell sind.
Diese Dissertation beschaftigt sich mit der Frage, inwiefern es moglich ist, Aussagen uber glo-
bale Eigenschaften eines komplexen Vielteilchensystems im thermodynamischen Limes aus der
Sicht einer lokalen Beschreibung seines aktuellen Zustandes zu treffen. Im Besonderen werden
Tensornetzwerkdarstellungen von klassischen oder Quantenzustanden verwendet, um ein- oder
zweidimensionale, stark korrelierte Vielteilchensysteme im Gleich- oder Ungleichgewicht zu
untersuchen. Dabei wird der Fokus auf Matrixproduktzustande (MPS) gelegt, einer speziell fur
eindimensionale Quantengitter geeignete Variante von Tensornetzwerken. Die lokalen Tensoren
als Bausteine solch einer Beschreibung werden verwendet, um lokale Objekte oder Grosen zu
konstruieren, anhand derer Aussagen uber generelle globale Eigenschaften des Systems getrof-
fen werden konnen.
Als gute Grundlage solcher Untersuchungen wird zunachst ein neuartiger und effizienter
Algorithmus fur die Optimierung einer MPS-Grundzustandsnaherung fur stark korrelierte ein-
dimensionale Spinketten im thermodynamischen Limes vorgestellt. Es wird gezeigt, dass dieser
Algorithmus bestehende Methoden in puncto Geschwindigkeit und Genauigkeit der Ergebnisse
bei weitem ubertrifft.
Mit dieser Methode errechnete Grundzustandsnaherungen werden nun verwendet, um die
aus den elementaren Tensoren konstruierte MPS-Transfermatrix zu untersuchen. Eine Betrach-
tung ihres Eigenspektrums zeigt verbluffende Verbindungen zwischen statischen Korrelations-
funktionen im Grundzustand und elementaren Anregungen eines Systems. Im Speziellen kon-
nen die Impulse und die Grose der Minima in der Energiedispersion der elementaren Anre-
gungen sehr genau uber die dominanten Eigenwerte der Transfermatrix bestimmt werden. Man
kann daher Informationen uber angeregte Zustande eines Systems blos aus einer lokalen Dar-
stellung des Grundzustandes gewinnen.
Des weiteren wird gezeigt, dass sich die Existenz von symmetriebrechenden Phasenuber-
gangen in einem bestimmten physikalischen System auf die Geometrie der konvexen Menge
aller moglichen reduzierten Dichtematrizen in diesem System zuruckfuhren lasst. Nichtanalyti-
zitaten auf der Oberflache solcher Mengen signalisieren das Auftreten von Symmetriebrechung
und eines zugehorigen (lokalen) Ordnungsparameters. Die Frage, ob ein System Symmetriebre-
chung zeigt, lasst sich daher uber eine Menge von lokalen Objekten (namlich den reduzierten
Dichtematrizen) beantworten.
Zu guter Letzt wird eine Variante des neu entwickelten Grundzustandsalgorithmus – ad-
aptiert fur die Berechnung reeller Zeitentwicklung – dazu verwendet, um dynamische Phasen-
ubergange in Spinketten mit langreichweitigen Wechselwirkungen im Rahmen eines globalen
Quenches zu untersuchen. Solche Phasenubergange zeigen charakteristische Nichtanalytizita-
ten in der Zeit in der Form von Zacken in der globalen Uberlagerung von zeitentwickeltem und
Ausgangszustand. Es wird gezeigt, dass diese Zacken von Kreuzungen im Spektrum der ge-
mischten Transfermatrix, welche aus den elementaren Tensoren einer MPS-Beschreibung bei-
der Zustande besteht, herruhren. Es ist also wiederholt ein Attribut eines lokalen Objektes, das
Zugang zu einer globalen Grose, namlich der Uberlappung zweier Quantenzustande, gewahrt.
Ziel dieser Forschungsarbeit ist die Untersuchung von Phasen der Quantenmaterie, die dynamischer Natur sind, d.h. Phasen, welche durch das Treiben eines Quanten-Vielteilchensystems aus dem Gleichgewicht erzeugt werden. Die untersuchten Systeme sind offene Quanten-Vielteilchensysteme, die mit den Freiheitsgraden ihrer Umgebung gekoppelt sind. Im Gegensatz zu Quantenphasenübergängen von isolierter Quantenmaterie, welche in der Regel eng mit den Eigenschaften des Grundzustands und den entsprechenden statischen Ordnungsparametern verbunden sind, wie z. B. Transporteigenschaften, Korrelationslänge oder topologische Phänomene, kann in offenen Quantensystemen, welche effektiv durch nicht-hermitsche Dynamik beschrieben werden, kein Grundzustand definiert werden, und die Charakterisierung der dynamisch induzierten Phasen ist weniger offensichtlich. In unserer Forschung untersuchen wir zwei Fälle von dynamischen Phasen in Quanten-Vielteilchensystemen. Zunächst betrachten wir ``quantum quenches'' in getrieben-dissipativen quadratischen fermionischen Systemen. Ein quantum quench bezieht sich hier auf die abrupte Änderung eines Systemparameters und die Entwicklung eines Anfangszustandes gemäß diesen neuen Bedingungen, wodurch eine Dynamik außerhalb des Gleichgewichts entsteht. Im Gegensatz zu isolierten Quantensystemen, in denen solche Protokolle gut untersucht sind, sind quantum quenches in offenen Quantensystemen kaum erforscht. In diesem Zusammenhang finden wir eine neue Art von dynamischer Phase, die eng mit einer bestimmten verallgemeinerten Form von Thermalisierung verbunden ist. Diese Form der Thermalisierung wird durch eine kombinierte Paritäts-Zeit-Symmetrie der getrieben-dissipativen fermionischen Systeme garantiert. Ähnlich wie bei integrablen isolierten Quantensystemen, die lokal zu einem verallgemeinerten Gibbs-Ensemble relaxieren nachdem sie aus dem Gleichgewicht gebracht wurden, zeigen wir, dass paritätszeitsymmetrische quadratische fermionische Systeme zu einem statistischen Ensemble relaxieren, das wir das paritätszeitsymmetrische verallgemeinerte Gibbs-Ensemble (PTGGE) nennen. Darüber hinaus stellen wir fest, dass Nullmoden des PTGGE die Oszillationsperioden der topologischen (Un-)Ordnungsparameter bestimmen, die an dynamischen Phasengrenzen mit kritischen Skalierungsexponenten divergieren. Weiters deutet die Modifikation der langwelligen effektiven Beschreibung durch ein langreichweitig gekoppeltes Modell und die dadurch veränderten kritischen Exponenten stark auf ein universelles Verhalten hin. Messungsinduzierte Phasen und Übergänge sind ein weiteres Beispiel im Bereich der dynamisch erzeugten Phasen. In diesem Fall erzeugt das Zusammenspiel von unitärer Evolution und häufigen Messungen in einem Quanten-Vielteilchensystem eine stochastische Dynamik mit einem Übergang in der Skalierung der Verschränkung des stationären Zustands. Insbesondere in einem System, das bei rein unitärer Evolution eine volumensabhängige Skalierung der Verschränkungsentropie aufweist, unterdrücken häufige Messungen die Erzeugung von Verschränkung im Durchschnitt über viele Realisationen der stochastischen Entwicklung, was zu einer flächenabhängigen Skalierung führt. Eine gängige Erklärung für dieses Phänomen ist das Einfrieren der Dynamik aufgrund häufiger projektiver Messungen, die einen Quanten-Zeno-Effekt hervorrufen. Wir zeigen, dass die Unterdrückung der Verschränkungserzeugung nicht nur bei projektiven Messungen auftritt, sondern dass vielmehr ein verallgemeinerter Zeno-Effekt aufgrund verallgemeinerter Messungen ausreicht, um die kohärente Dynamik zu unterdrücken, was analoge Signaturen in den stationären Observablen für projektive und verallgemeinerte Messungen verursacht. Des Weiteren gehen wir auf eine aktuelle Kontroverse ein, in der die Existenz einer dynamischen Phase mit kritischer Verschränkungsskalierung für freie Fermionen unter kontinuierlicher Messung lokaler Besetzungszahlen diskutiert wird. Durch eine präzise numerische Analyse in Verbindung mit analytischen Vorhersagen, die aus einer replizierten Keldysh-Feldtheorie für verallgemeinerte Messungen abgeleitet wurden, sind wir in der Lage, starke Hinweise für das Fehlen einer ausgedehnten kritischen Phase vorzulegen und das theoretische Verständnis weiterzuentwickeln, indem wir zeigen, dass die Kritikalität auf einen gut definierten kritischen Bereich endlicher Längenskalen beschränkt ist.
In der vorliegenden Arbeit erforschen wir Netzwerke von Vielteilchen-Quantensystemen, um neue, durch die Wechselwirkung der individuellen Knoten entstehende Quanten- und topologische Phasen zu beschreiben. Alle betrachteten Netzwerke beruhen auf dem semi-klassischen Lipkin–Meshkov–Glick-Model, und die Kopplungen zwischen den Netzwerk-Knoten werden mit entweder einer oder zwei Kopplungskonstanten beschrieben. Es wurde gezeigt, dass die uniforme anisotropische y–y Kopplung vier Quantenphasen ergibt (wenn sowie positive, als auch negative Werte für Kopplungskonstanten berücksichtigt werden), die sich in den Mean-Fields und der Entartung der Grundzustände unterscheiden. Für schwache Kopplungen befindet sich das Netzwerk in der paramagnetischen Phase. Wird es jedoch von der Selbstwechselwirkung dominiert, so wird der Grundzustand exponentiell entartet. Für starke Kopplungen ist der Grundzustand zweifach entartet und weist eine Fernordnung auf. Über die Mean-Field-Approximation hinausgehend, erhielten wir analytische Ausdrücke für die Dispersionsrelationen der Energie für ein eindimensionales Netz mit periodischen Randbedingungen. Für relativ kleine Netzwerke rechneten wir die Grundzustandsenergie durch direkte Diagonalisierung des Hamiltonians aus. Das Effekt der Einführung einer zweiten Kopplungskonstante wurde auf dem Beispiel der eindimensionale Kette (eine Erweiterung des SSH-Models auf Vielteilchensysteme) betrachtet, und die grundsätzliche Frage war die Untersuchung vom Wechselspiel zwischen den topologischen und Quantenphasen. Es wurde gezeigt, dass die Sprungkopplung zwischen Knoten fünf Quantenphasen ergibt, wenn sowie positive, als auch negative Werte für Kopplungskonstanten berücksichtigt werden. Die Analyse von der Quantenfluktuationen um die Mean-Field-Lösungen zeigte, dass es für dieses Model topologisch triviale und nicht-triviale Phasen gibt, die durch den Wert der symplectischen Polarisation voneinander abweichen. Die Bulk--Grenzen-Beziehung wurde auf dem Beispiel einer endlichen Kette mit offenen Randbedingungen getestet, und es wurde bestätigt, dass die Anzahl der lokalisierten Randzustände proportional zum Wert der symplectische Polarisation ist. Weitere Analyse zeigte, dass ein zusätzliches Paar von Randzuständen in der selbstwechselwirkungdominierten Quantenphase erscheint, das keinen Zusammenhang mit der Topologie hat. Außerdem, wenn eine von den Kopplungen stark wird, werden topologische Randzustände von Bulk-Bänden abgefangen und dadurch seine Lokalisation verlieren.
Die Quantenmechanik und ihre Phänomene, wie zum Beispiel Verschränkung oder Nichtlokalität, sind bis heute nicht vollständig erschlossen. Das Ziel dieser Arbeit ist es, eine Einführung in den Begriff der Verschränkung und seine Auswirkungen zu geben. Insbesondere Kriterien zur Detektion und Maße zur Quantifizierung von Verschränkung werden vorgestellt. Desweiteren wird der Begriff der Nichtlokalität näher untersucht und eine Möglichkeit, die Bell Ungleichung, vorgestellt nichtlokale Quantenzustände zu detektieren. Ein weiterer Teil dieser Arbeit ist der Frage gewidmet, wie sich Quantenzustände unter LOCC Transformationen und global unitären Transformationen verändern. Hierfür werden mehrere Beispiele behandelt. Unter anderem GHZ-, Werner-, Gisin Zustände werden genauer beleuchtet und deren Veränderung der Verschränkung und Nichtlokalität untersucht. Ein weiterer wichtiger Teil dieser Arbeit widmet sich der Frage der Visualisierung von Quantenzuständen um ein besseres Verständnis für deren Verhalten zu erlangen. Explizit werden reine zwei qubit Systeme untersucht. Die Verknüpfung solcher Zustände mit dem komplex projektiven Raum ermöglicht eine vollständige geometrische Darstellung. Im Fall von gemischten Zuständen ist die Dimensionszahl zu hoch um eine vernünftige Darstellung aller Zustände zu ermöglichen. Allerdings zeigt sich, dass eine Superposition von Bell Zuständen nur drei Freiheitsgrade besitzt und dadurch darstellbar ist. Doch auch Zustände mit mehr als drei Freiheitsgraden können, durch eine in dieser Arbeit vorgestellte Methode, visualisiert werden, indem der Bereich der physikalischen Zustände innerhalb der darstellung angepasst wird.
Topologische Invarianten sind von zentraler Bedeutung für die Interpretation vieler Phänomene kondensierter Materie. In dieser Arbeit wird die erste Messung einer solchen Invarianten vorgestellt. Dazu wird ein neu entwickeltes Messprotokoll mit ultrakalten bosonischen Atomen in einem eindimensionalen optischen Gitter verwendet. Außerdem wird die Messung chiraler Meissner-Ströme in einer Leitergeometrie in einem künstlichen Magnetfeld sowie die Präparation sogenannter "Resonating Valence Bond"-Zustände (RVB) in vier Gitterplätze umfassenden Plaketten präsentiert. Das Hauptmerkmal des experimentellen Aufbaus ist ein Paar orthogonaler Übergitter-Potentiale, die es ermöglichen eine Vielzahl verschiedener Systeme zu simulieren. Die Modulation des Übergitters mit einem weiteren Paar interferierender Strahlen ermöglicht zu dem die Realisierung eines künstlichen Magnetfelds. Die Zak-Phase ist eine Invariante, welche die topologischen Eigenschaften eines Energiebandes charakterisiert. Sie ist definiert als die Berry-Phase eines Teilchens bei adiabatischem Durchlaufen eines Pfades im Quasiimpulsraum durch die Brillouinzone. Ein einfaches Beispiel für ein System mit zwei verschiedenen topologischen Klassen ist eine eindimensionale Kette mit alternierender Tunnelkopplungsstärke. Im Experiment können diese Klassen durch Messung der Differenz zwischen ihren Zak-Phasen $\Deta\Phi_\text{Zak}\approx\pi$ unter Verwendung von Bloch-Oszillationen und Ramsey-Interferometrie in Übergittern unterschieden werden. Der zweite Teil dieser Arbeit befasst sich mit der Messung chiraler Meissner-Ströme von Bosonen in einer Leitergeometrie mit magnetischem Fluss, welche eines der einfachsten Modelle zur Beobachtung von Orbitaleffekten ist. Obwohl die Atome ladungsneutral sind und daher keine Lorentzkraft auf sie wirkt, kann durch eine externe Modulation im Übergitter ein künstliches Magnetfeld erzeugt werden. Die dadurch hervorgerufenen Wahrscheinlichkeitsströme auf beiden Seiten der Leiter wurden separat mit einer Projektionsmethode gemessen. Beim Ändern der Tunnelkopplung entlang der Leitersprossen wurde, in Analogie zu einem Typ-II Supraleiter, ein Übergang zwischen einer Meissner-artigen Phase mit gesättigtem maximalen chiralen Strom und einer Vortex-Phase mit abnehmendem Strom beobachtet. Dieses System mit ultrakalten Atomen kann auch als Analogon zur Spin-Bahn-Kopplung betrachtet werden. RVB-Zustände gelten als fundamental für das Verständnis von Hochtemperatursupraleitern. Der dritte Teil der Arbeit widmet sich mit der Realisierung eines Minimalbeispiels solcher Zustände auf einer Plakette bei halber Füllung. In diesem System wurden die zwei RVB-Zustände mit s- und d-Wellen-Symmetrie sowie Superpositionen der beiden Zustände präpariert. Die in dieser Arbeit vorgestellten Experimente stellen einen neuen Ansatz dar, die topologischen Eigenschaften von Bloch-Bändern in optischen Gittern zu untersuchen; sie öffnen die Türen zur Erforschung von wechselwirkenden Teilchen in niedrigdimensionalen Systemen in einem homogenen Magnetfeld sowie der Eigenschaften des Grundzustandes des Heisenberg-Modells.