ZusammenfassungWir wollen jetzt die Schrödinger-Gleichung benutzen, um Energiestufen und Wellenfunktionen des Wasserstoffatoms quantenmechanisch zu berechnen. Dabei gehen wir in der gleichen Weise vor wie beim Rechteck- und Oszillator-Potential, nur daß wir diesmal das Coulomb-Potential benutzen, das ein Elektron im Feld des Protons erfährt. Im Gegensatz zu den Beispielen des letzten Abschnitts, die sich eindimensional sinnvoll behandeln ließen, müssen wir jetzt ein dreidimensionales Problem lösen. Da das Coulomb-Potential kugelsymmetrisch ist, bieten sich Polarkoordinaten r, ϑ, φ als angemessenes System zur Beschreibung an (Fig. 26). Der Koordinaten-Nullpunkt soll im Schwerpunkt des Systems liegen. Wir tragen der Beschreibung in Schwerpunktkoordinaten weiter dadurch Rechnung, daß wir die reduzierte Masse ${m_r} = \frac{{{m_1}{m_2}}}{{{m_1} + {m_2}}}$ (3.1) verwenden, die sich im Fall des Wasserstoffatoms mit m1 = m0, m2 = mP nur wenig von der Ruhemasse des Elektrons m0 unterscheidet.ZusammenfassungWir wollen jetzt die Schrödinger-Gleichung benutzen, um Energiestufen und Wellenfunktionen des Wasserstoffatoms quantenmechanisch zu berechnen. Dabei gehen wir in der gleichen Weise vor wie beim Rechteck- und Oszillator-Potential, nur daß wir diesmal das Coulomb-Potential benutzen, das ein Elektron im Feld des Protons erfährt. Im Gegensatz zu den Beispielen des letzten Abschnitts, die sich eindimensional sinnvoll behandeln ließen, müssen wir jetzt ein dreidimensionales Problem lösen. Da das Coulomb-Potential kugelsymmetrisch ist, bieten sich Polarkoordinaten r, ϑ, φ als angemessenes System zur Beschreibung an (Fig. 26). Der Koordinaten-Nullpunkt soll im Schwerpunkt des Systems liegen. Wir tragen der Beschreibung in Schwerpunktkoordinaten weiter dadurch Rechnung, daß wir die reduzierte Masse $$ {m_r} = \frac{{{m_1}{m_2}}}{{{m_1} + {m_2}}} $$ (3.1) verwenden, die sich im Fall des Wasserstoffatoms mit m1 = m0, m2 = mP nur wenig von der Ruhemasse des Elektrons m0 unterscheidet.

Teubner-Studienbücher. PhysikJan 1, 19971 citation

Atome, Moleküle und Festkörper

Harry Pfeifer, Herbert Schmiedel

Das Wasserstoffatom (hydrogen atom) ist das einfachste Atom. Es besteht aus einem Proton als Atomkern und einem Elektron. Es stellt damit ein Zweiteilchensystem (two-particle system) dar. Die im Abschn.26.3, S.418ff., für ein Teilchen formulierten Axiome sind für Mehrteilchensysteme entsprechend zu erweitern. An Stelle von Gl.(561), S.419, gilt für ein Zweiteilchensystem 585 $\left( {\frac{1}{{2{m_1}}}{{( - i\hbar gra{d_1})}^2} + \frac{1}{{2{m_2}}}{{( - i\hbar gra{d_2})}^2} + {E_{pot}}({{\vec r}_1},{{\vec r}_2})} \right)\Psi ({\vec r_1},{\vec r_2},t) = i\hbar \frac{\partial }{{\partial t}}\Psi ({\vec r_1},{\vec r_2},t),$ wobei der Operator grad i nur auf die Koordinaten ${\vec r_i}$ ] des Teilchens i mit der Ruhemasse m i wirkt (i = 1, 2). Das ProduktΨ*Ψdτ1dτ2=∣Ψ∣2dτ1dτ2 stellt die Wahrscheinlichkeit dar, z. Zt. t das Teilchen 1 im Volumenelement dτ1 an der Stelle ${\vec r_1}$ und gleichzeitig das Teilchen 2 im Volumenelement dτ2 an der Stelle ${\vec r_2}$ zu finden. Beim Wasserstoffatom setzen wir m1=mc, ${\vec r_1} = {\vec r_e}$ und m2=mp, ${\vec r_2} = {\vec r_p}$ wobei me bzw. mp die Ruhemasse des Elektrons bzw. des Protons bezeichnet. $\vec r = {\vec r_e} - {\vec r_p}$ ist der Abstandsvektor des Elektrons vom Proton (s. Fig.232). Auf Grund des 3. Newton’schen Axioms kann man das Zweikörperproblem auf die Bewegung eines Teilchens mit der reduzierten Masse 586 $\mu = \frac{{{m_e}{m_p}}}{{{m_e} + {m_p}}} \approx 0,9995 {m_e}$ und dem Abstandsvektor $\vec r$ zurückführen.Das Wasserstoffatom (hydrogen atom) ist das einfachste Atom. Es besteht aus einem Proton als Atomkern und einem Elektron. Es stellt damit ein Zweiteilchensystem (two-particle system) dar. Die im Abschn.26.3, S.418ff., für ein Teilchen formulierten Axiome sind für Mehrteilchensysteme entsprechend zu erweitern. An Stelle von Gl.(561), S.419, gilt für ein Zweiteilchensystem 585 $$\left( {\frac{1}{{2{m_1}}}{{( - i\hbar gra{d_1})}^2} + \frac{1}{{2{m_2}}}{{( - i\hbar gra{d_2})}^2} + {E_{pot}}({{\vec r}_1},{{\vec r}_2})} \right)\Psi ({\vec r_1},{\vec r_2},t) = i\hbar \frac{\partial }{{\partial t}}\Psi ({\vec r_1},{\vec r_2},t),$$ wobei der Operator grad i nur auf die Koordinaten $${\vec r_i}$$ ] des Teilchens i mit der Ruhemasse m i wirkt (i = 1, 2). Das ProduktΨ*Ψdτ1dτ2=∣Ψ∣2dτ1dτ2 stellt die Wahrscheinlichkeit dar, z. Zt. t das Teilchen 1 im Volumenelement dτ1 an der Stelle $${\vec r_1}$$ und gleichzeitig das Teilchen 2 im Volumenelement dτ2 an der Stelle $${\vec r_2}$$ zu finden. Beim Wasserstoffatom setzen wir m1=mc, $${\vec r_1} = {\vec r_e}$$ und m2=mp, $${\vec r_2} = {\vec r_p}$$ wobei me bzw. mp die Ruhemasse des Elektrons bzw. des Protons bezeichnet. $$\vec r = {\vec r_e} - {\vec r_p}$$ ist der Abstandsvektor des Elektrons vom Proton (s. Fig.232). Auf Grund des 3. Newton’schen Axioms kann man das Zweikörperproblem auf die Bewegung eines Teilchens mit der reduzierten Masse 586 $$\mu = \frac{{{m_e}{m_p}}}{{{m_e} + {m_p}}} \approx 0,9995 {m_e}$$ und dem Abstandsvektor $$\vec r$$ zurückführen.

Vieweg+Teubner eBooksJan 1, 19970 citations

Die Emission von Lichtquanten

Theo Mayer-Kuckuk

Bevor wir uns mit dem Verhalten komplizierter Atome auseinandersetzen, müssen wir uns noch mit den Eigenschaften der Lichtquanten und dem Emissionsprozeß befassen. Dann können wir die charakteristischen Auswahlregeln verstehen, die bei den Spektral-übergangen gelten. Eine tiefergehende theoretische Beschreibung der Wechselwirkung zwischen Atomen und Quanten würde wiederum die Hilfsmittel der Quantenelektrodynamik erfordern, auf die wir hier verzichten müssen. Wir wollen uns daher in diesem und dem nächsten Abschnitt vor allem an die experimentellen Befunde halten, um die wichtigsten Eigenschaften der Lichtquanten kennenzulernen. In Abschn. 6.3 folgt dann eine quantenmechanische Behandlung des Emissionsprozesses für Dipolstrahlung. Wir greifen jetzt zunächst der späteren Behandlung von Mehrelektronenatomen etwas vor und werfen einen Blick auf das Termschema des Lithiums, das wir qualitativ sofort verstehen können (Fig. 52). Im Prinzip ist es dem des Wasserstoffs sehr ähnlich. Während jedoch beim Wasserstoff, abgesehen von der sehr kleinen Feinstruktur, alle Niveaus zur gleichen Hauptquantenzahl n entartet sind (Fig. 28) — wie wir gesehen haben als Folge des reinen Coulomb-Potentials — ist dies bei Lithium nicht mehr der Fall. Wir können das Termschema folgendermaßen verstehen. Der ls-Zustand ist mit 2 Elektronen von antiparallelem Spin besetzt. Diese Konfiguration erfordert zum Aufbruch eine große Energie. Daher ist fir das Spektrum nur das dritte, äußere Elektron verantwortlich, das sich im 2s-Zustand befindet.Bevor wir uns mit dem Verhalten komplizierter Atome auseinandersetzen, müssen wir uns noch mit den Eigenschaften der Lichtquanten und dem Emissionsprozeß befassen. Dann können wir die charakteristischen Auswahlregeln verstehen, die bei den Spektral-übergangen gelten. Eine tiefergehende theoretische Beschreibung der Wechselwirkung zwischen Atomen und Quanten würde wiederum die Hilfsmittel der Quantenelektrodynamik erfordern, auf die wir hier verzichten müssen. Wir wollen uns daher in diesem und dem nächsten Abschnitt vor allem an die experimentellen Befunde halten, um die wichtigsten Eigenschaften der Lichtquanten kennenzulernen. In Abschn. 6.3 folgt dann eine quantenmechanische Behandlung des Emissionsprozesses für Dipolstrahlung. Wir greifen jetzt zunächst der späteren Behandlung von Mehrelektronenatomen etwas vor und werfen einen Blick auf das Termschema des Lithiums, das wir qualitativ sofort verstehen können (Fig. 52). Im Prinzip ist es dem des Wasserstoffs sehr ähnlich. Während jedoch beim Wasserstoff, abgesehen von der sehr kleinen Feinstruktur, alle Niveaus zur gleichen Hauptquantenzahl n entartet sind (Fig. 28) — wie wir gesehen haben als Folge des reinen Coulomb-Potentials — ist dies bei Lithium nicht mehr der Fall. Wir können das Termschema folgendermaßen verstehen. Der ls-Zustand ist mit 2 Elektronen von antiparallelem Spin besetzt. Diese Konfiguration erfordert zum Aufbruch eine große Energie. Daher ist fir das Spektrum nur das dritte, äußere Elektron verantwortlich, das sich im 2s-Zustand befindet.

Teubner-Studienbücher. PhysikJan 1, 19971 citation

Atome, Moleküle und Festkörper

Harry Pfeifer, Herbert Schmiedel, Ralf Stannarius

Das Wasserstoffatom (hydrogen atom) ist das einfachste Atom. Es besteht aus einem Proton als Atomkern und einem Elektron. Es stellt damit ein Zweiteilchen-system (two-particle system) dar. Die im Abschn.26.3, S.434ff., für ein Teilchen formulierten Axiome sind für Mehrteilchensysteme entsprechend zu erweitern. An Stelle von Gl. (575), S.434, gilt für ein Zweiteilchensystem 599 $\left( {\frac{1}{{2{m_1}}}{{\left( { - i\hbar gra{d_1}} \right)}^2} + \frac{1}{{2{m_2}}}{{\left( { - i\hbar gra{d_2}} \right)}^2} + {E_{pot}}\left( {{{\overrightarrow r }_1},{{\overrightarrow r }_2}} \right)} \right)\Psi \left( {{{\overrightarrow r }_1},{{\overrightarrow r }_2},t} \right) = i\hbar \frac{\partial }{{\partial t}}\Psi \left( {{{\overrightarrow r }_1},{{\overrightarrow r }_2},t} \right),$ wobei der Operator gradi nur auf die Koordinaten $\overrightarrow {{r_i}}$ des Teilchens i mit der Ruhemasse m i wirkt (i = 1, 2). Das Produkt Ψ*Ψdτ1dτ2=|Ψ|2dτ1dτ2 Sellt die Wahrscheinlichkeit dar, zur Zeit t das Teilchen $\overrightarrow {{r_1}}$ im Volumenelement dτ2 an der Stelle i und gleichzeitig das Teilchen 2 im Volumenelement dτ2 an der Stelle $\overrightarrow {{r_2}}$ zu finden. $\psi \left( {\overrightarrow {{r_1}} ,\overrightarrow {{r_2}} ,t} \right)$ heißt Zweiteilchen-Wellenfunktion (two-particle wavefunction). Beim Wasserstoffatom haben wir also m1 = me, $\overrightarrow {{r_1}} = \overrightarrow {{r_e}}$ und m2 = mp und $\overrightarrow {{r_2}} = \overrightarrow {{r_p}}$ zu setzen, wobei me bzw. mp die Ruhemasse des Elektrons bzw. des Protons be-zeichnet. $\overrightarrow {{r_{}}} = \overrightarrow {{r_e}} - \overrightarrow {{r_p}}$ ist der Abstandsvektor des Elektrons vom Proton (s.Abb.235). Auf Grund des 3. Newton’schen Axioms kann man das Zweikörperproblem auf die Bewegung eines Teilchens mit der reduzierten Masse (reduced mass) 600 $\mu = \frac{{{m_e}{m_p}}}{{{m_e} + {m_p}}} \approx 0,9995{m_e}$ und dem Abstandsvektor $\overrightarrow r$ zurückführen.Das Wasserstoffatom (hydrogen atom) ist das einfachste Atom. Es besteht aus einem Proton als Atomkern und einem Elektron. Es stellt damit ein Zweiteilchen-system (two-particle system) dar. Die im Abschn.26.3, S.434ff., für ein Teilchen formulierten Axiome sind für Mehrteilchensysteme entsprechend zu erweitern. An Stelle von Gl. (575), S.434, gilt für ein Zweiteilchensystem 599 $$\left( {\frac{1}{{2{m_1}}}{{\left( { - i\hbar gra{d_1}} \right)}^2} + \frac{1}{{2{m_2}}}{{\left( { - i\hbar gra{d_2}} \right)}^2} + {E_{pot}}\left( {{{\overrightarrow r }_1},{{\overrightarrow r }_2}} \right)} \right)\Psi \left( {{{\overrightarrow r }_1},{{\overrightarrow r }_2},t} \right) = i\hbar \frac{\partial }{{\partial t}}\Psi \left( {{{\overrightarrow r }_1},{{\overrightarrow r }_2},t} \right),$$ wobei der Operator gradi nur auf die Koordinaten $$\overrightarrow {{r_i}} $$ des Teilchens i mit der Ruhemasse m i wirkt (i = 1, 2). Das Produkt Ψ*Ψdτ1dτ2=|Ψ|2dτ1dτ2 Sellt die Wahrscheinlichkeit dar, zur Zeit t das Teilchen $$\overrightarrow {{r_1}} $$ im Volumenelement dτ2 an der Stelle i und gleichzeitig das Teilchen 2 im Volumenelement dτ2 an der Stelle $$\overrightarrow {{r_2}} $$ zu finden. $$\psi \left( {\overrightarrow {{r_1}} ,\overrightarrow {{r_2}} ,t} \right)$$ heißt Zweiteilchen-Wellenfunktion (two-particle wavefunction). Beim Wasserstoffatom haben wir also m1 = me, $$\overrightarrow {{r_1}} = \overrightarrow {{r_e}} $$ und m2 = mp und $$\overrightarrow {{r_2}} = \overrightarrow {{r_p}} $$ zu setzen, wobei me bzw. mp die Ruhemasse des Elektrons bzw. des Protons be-zeichnet. $$\overrightarrow {{r_{}}} = \overrightarrow {{r_e}} - \overrightarrow {{r_p}} $$ ist der Abstandsvektor des Elektrons vom Proton (s.Abb.235). Auf Grund des 3. Newton’schen Axioms kann man das Zweikörperproblem auf die Bewegung eines Teilchens mit der reduzierten Masse (reduced mass) 600 $$\mu = \frac{{{m_e}{m_p}}}{{{m_e} + {m_p}}} \approx 0,9995{m_e}$$ und dem Abstandsvektor $$\overrightarrow r $$ zurückführen.

Vieweg+Teubner eBooksJan 1, 20041 citation

Atome mit mehreren Elektronen

Richard T. Weidner, Robert L. Sells

Obwohl die Bohrsche Theorie des Atombaues nicht in der Lage ist, den Atombau und die Spektren in allen Einzelheiten zu beschreiben, so gelten doch einige ihrer wichtigsten Grundzüge auch für Atome mit mehreren Elektronen. Zu diesen unverändert gültigen Grundlagen gehören die Existenz stationärer Zustände, die Quantelung der Energie und die Quantelung des Drehimpulses. Eine exakte Behandlung der Atome mit mehreren Elektronen muß streng wellenmechanisch erfolgen. Sie ist mathematisch schwierig und führt auch nicht zu einem Atommodell, das sich leicht veranschaulichen läßt. In der Wellenmechanik muß man ein Elektron der Atomhülle als dreidimensionale Welle betrachten, die den Kern umgibt. Es ist daher unzutreffend, ja sogar unmöglich, dem Elektron bei seiner Bewegung eine genau definierte Bahn zuzuschreiben. Stattdessen liefert die Wellenmechanik mittels der Wellenfunktion nur die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons für einen bestimmten Ort. Nichtsdestoweniger können wir aber, falls wir diese Einschränkungen beachten, eine gewisse Einsicht in die Ergebnisse der Wellenmechanik gewinnen, wenn wir diese auf ein streng klassisches Teilchenmodell anwenden. Zunächst wollen wir den klassischen Fall eines Teilchens behandeln, das sich im Felde einer anziehenden Kraft bewegt, die umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstandes abnimmt. Anschließend führen wir ohne Beweis einige wichtige Ergebnisse der Wellenmechanik an. Diese Ergebnisse können wir dann durch die Analogie zum entsprechenden klassischen Modell deuten.Obwohl die Bohrsche Theorie des Atombaues nicht in der Lage ist, den Atombau und die Spektren in allen Einzelheiten zu beschreiben, so gelten doch einige ihrer wichtigsten Grundzüge auch für Atome mit mehreren Elektronen. Zu diesen unverändert gültigen Grundlagen gehören die Existenz stationärer Zustände, die Quantelung der Energie und die Quantelung des Drehimpulses. Eine exakte Behandlung der Atome mit mehreren Elektronen muß streng wellenmechanisch erfolgen. Sie ist mathematisch schwierig und führt auch nicht zu einem Atommodell, das sich leicht veranschaulichen läßt. In der Wellenmechanik muß man ein Elektron der Atomhülle als dreidimensionale Welle betrachten, die den Kern umgibt. Es ist daher unzutreffend, ja sogar unmöglich, dem Elektron bei seiner Bewegung eine genau definierte Bahn zuzuschreiben. Stattdessen liefert die Wellenmechanik mittels der Wellenfunktion nur die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons für einen bestimmten Ort. Nichtsdestoweniger können wir aber, falls wir diese Einschränkungen beachten, eine gewisse Einsicht in die Ergebnisse der Wellenmechanik gewinnen, wenn wir diese auf ein streng klassisches Teilchenmodell anwenden. Zunächst wollen wir den klassischen Fall eines Teilchens behandeln, das sich im Felde einer anziehenden Kraft bewegt, die umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstandes abnimmt. Anschließend führen wir ohne Beweis einige wichtige Ergebnisse der Wellenmechanik an. Diese Ergebnisse können wir dann durch die Analogie zum entsprechenden klassischen Modell deuten.

Vieweg+Teubner eBooksJan 1, 19822 citations

Das wellenmechanische Bild des Atoms

Helmut Lindner

ZusammenfassungDas Bohr-Sommerfeldsche Atommodell — mag es in seinem durchsichtigen Aufbau noch so sinnfällig erscheinen — ist aber nur ein Kompromiß. Es stellt den Versuch dar, die Bewegungsgesetze der klassischen Mechanik mit den Forderungen der Quantentheorie zu verbinden. So gut der Versuch auch gelungen ist, so hält er angesichts modernerer Erkenntnisse einer ernsthaften Kritik nicht mehr stand. In welche Schwierigkeiten man dabei geraten kann, zeigt z.B. die Heisenbergsche Unschärfebeziehung (vgl. 3.3.). Nach Gl. (28) berechnet sich die Geschwindigkeit des im Wasserstoffatom kreisenden Elektrons zu υ = rω = 2,2 · 106 m/s. Selbstverständlich müssen wir dabei annehmen, daß sich das Elektron wenigstens innerhalb des Atoms aufhält. Sein Aufenthaltsort ist daher mit einer Genauigkeit von wenigstens Δx = 10−10 m (Atomdurchmesser) bekannt. Die Unschärfe-beziehung (23) fordert dann eine Ungenauigkeit der Geschwindigkeit von $\Delta v = \frac{h} {{m\Delta x}} = \frac{{6,626 \cdot 10^{ - 34} {\text{Ws}}^{\text{2}} }} {{9,1 \cdot 10^{ - 31} {\text{kg}} \cdot {\text{10}}^{{\text{ - 10}}} {\text{m}}}} = 7,3 \cdot 10^6 {\text{m/s}}$ .ZusammenfassungDas Bohr-Sommerfeldsche Atommodell — mag es in seinem durchsichtigen Aufbau noch so sinnfällig erscheinen — ist aber nur ein Kompromiß. Es stellt den Versuch dar, die Bewegungsgesetze der klassischen Mechanik mit den Forderungen der Quantentheorie zu verbinden. So gut der Versuch auch gelungen ist, so hält er angesichts modernerer Erkenntnisse einer ernsthaften Kritik nicht mehr stand. In welche Schwierigkeiten man dabei geraten kann, zeigt z.B. die Heisenbergsche Unschärfebeziehung (vgl. 3.3.). Nach Gl. (28) berechnet sich die Geschwindigkeit des im Wasserstoffatom kreisenden Elektrons zu υ = rω = 2,2 · 106 m/s. Selbstverständlich müssen wir dabei annehmen, daß sich das Elektron wenigstens innerhalb des Atoms aufhält. Sein Aufenthaltsort ist daher mit einer Genauigkeit von wenigstens Δx = 10−10 m (Atomdurchmesser) bekannt. Die Unschärfe-beziehung (23) fordert dann eine Ungenauigkeit der Geschwindigkeit von $$\Delta v = \frac{h} {{m\Delta x}} = \frac{{6,626 \cdot 10^{ - 34} {\text{Ws}}^{\text{2}} }} {{9,1 \cdot 10^{ - 31} {\text{kg}} \cdot {\text{10}}^{{\text{ - 10}}} {\text{m}}}} = 7,3 \cdot 10^6 {\text{m/s}}$$.

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{m_r} = \frac{{{m_1}{m_2}}}{{{m_1} + {m_2}}}

(3.1) verwenden, die sich im Fall des Wasserstoffatoms mit m1 = m0, m2 = mp nur wenig von der Ruhemasse des Elektrons m0 unterscheidet.

{m_r} = \frac{{{m_1}{m_2}}}{{{m_1} + {m_2}}}

(3.1) verwenden, die sich im Fall des Wasserstoffatoms mit m1 = m0, m2 = mP nur wenig von der Ruhemasse des Elektrons m0 unterscheidet.

\left( {\frac{1}{{2{m_1}}}{{( - i\hbar gra{d_1})}^2} + \frac{1}{{2{m_2}}}{{( - i\hbar gra{d_2})}^2} + {E_{pot}}({{\vec r}_1},{{\vec r}_2})} \right)\Psi ({\vec r_1},{\vec r_2},t) = i\hbar \frac{\partial }{{\partial t}}\Psi ({\vec r_1},{\vec r_2},t),

wobei der Operator grad i nur auf die Koordinaten

{\vec r_i}

] des Teilchens i mit der Ruhemasse m i wirkt (i = 1, 2). Das ProduktΨ*Ψdτ1dτ2=∣Ψ∣2dτ1dτ2 stellt die Wahrscheinlichkeit dar, z. Zt. t das Teilchen 1 im Volumenelement dτ1 an der Stelle

{\vec r_1}

und gleichzeitig das Teilchen 2 im Volumenelement dτ2 an der Stelle

{\vec r_2}

zu finden. Beim Wasserstoffatom setzen wir m1=mc,

{\vec r_1} = {\vec r_e}

und m2=mp,

{\vec r_2} = {\vec r_p}

wobei me bzw. mp die Ruhemasse des Elektrons bzw. des Protons bezeichnet.

\vec r = {\vec r_e} - {\vec r_p}

ist der Abstandsvektor des Elektrons vom Proton (s. Fig.232). Auf Grund des 3. Newton’schen Axioms kann man das Zweikörperproblem auf die Bewegung eines Teilchens mit der reduzierten Masse 586

\mu = \frac{{{m_e}{m_p}}}{{{m_e} + {m_p}}} \approx 0,9995 {m_e}

und dem Abstandsvektor

\vec r

zurückführen.

\left( {\frac{1}{{2{m_1}}}{{\left( { - i\hbar gra{d_1}} \right)}^2} + \frac{1}{{2{m_2}}}{{\left( { - i\hbar gra{d_2}} \right)}^2} + {E_{pot}}\left( {{{\overrightarrow r }_1},{{\overrightarrow r }_2}} \right)} \right)\Psi \left( {{{\overrightarrow r }_1},{{\overrightarrow r }_2},t} \right) = i\hbar \frac{\partial }{{\partial t}}\Psi \left( {{{\overrightarrow r }_1},{{\overrightarrow r }_2},t} \right),

wobei der Operator gradi nur auf die Koordinaten

\overrightarrow {{r_i}}

des Teilchens i mit der Ruhemasse m i wirkt (i = 1, 2). Das Produkt Ψ*Ψdτ1dτ2=|Ψ|2dτ1dτ2 Sellt die Wahrscheinlichkeit dar, zur Zeit t das Teilchen

\overrightarrow {{r_1}}

im Volumenelement dτ2 an der Stelle i und gleichzeitig das Teilchen 2 im Volumenelement dτ2 an der Stelle

\overrightarrow {{r_2}}

zu finden.

\psi \left( {\overrightarrow {{r_1}} ,\overrightarrow {{r_2}} ,t} \right)

heißt Zweiteilchen-Wellenfunktion (two-particle wavefunction). Beim Wasserstoffatom haben wir also m1 = me,

\overrightarrow {{r_1}} = \overrightarrow {{r_e}}

und m2 = mp und

\overrightarrow {{r_2}} = \overrightarrow {{r_p}}

zu setzen, wobei me bzw. mp die Ruhemasse des Elektrons bzw. des Protons be-zeichnet.

\overrightarrow {{r_{}}} = \overrightarrow {{r_e}} - \overrightarrow {{r_p}}

ist der Abstandsvektor des Elektrons vom Proton (s.Abb.235). Auf Grund des 3. Newton’schen Axioms kann man das Zweikörperproblem auf die Bewegung eines Teilchens mit der reduzierten Masse (reduced mass) 600

\mu = \frac{{{m_e}{m_p}}}{{{m_e} + {m_p}}} \approx 0,9995{m_e}

und dem Abstandsvektor

\overrightarrow r

zurückführen.

\Delta v = \frac{h} {{m\Delta x}} = \frac{{6,626 \cdot 10^{ - 34} {\text{Ws}}^{\text{2}} }} {{9,1 \cdot 10^{ - 31} {\text{kg}} \cdot {\text{10}}^{{\text{ - 10}}} {\text{m}}}} = 7,3 \cdot 10^6 {\text{m/s}}