Наведені результати застосування рівняння Шрьодінгера та співвідношення невизначеностей Гайзенберга для опису проявів хвильових властивостей фотонів, як матеріальних частинок. \nΨ-функція фотона, як розв’язок рівняння Шрьодінгера, виявилася тотожною розв’язку хвильових рівнянь Максвела для електричної та магнітної складових напруженостей полів в плоскій біжучій електромагнітній хвилі, що розповсюджується вздовж напрямку руху фотона. Застосування співвідношень невизначеностей Гайзенберга для опису відхилення фотона при проходженні ним вузького отвору, також привело до виразу, що добре узгоджується з класичним. Отримані результати дозволяють “по-новому” поглянути на деякі “старі” проблеми оптики. Зокрема, такі, як дифракція поодиноких фотонів, дифракція фотонів на вхідних отворах телескопів, зростання радіусу когерентності світла, що приходить від далеких зірок.
Наведені результати застосування рівняння Шрьодінгера та співвідношення невизначеностей Гайзенберга для опису проявів хвильових властивостей фотонів, як матеріальних частинок. \nΨ-функція фотона, як розв’язок рівняння Шрьодінгера, виявилася тотожною розв’язку хвильових рівнянь Максвела для електричної та магнітної складових напруженостей полів в плоскій біжучій електромагнітній хвилі, що розповсюджується вздовж напрямку руху фотона. Застосування співвідношень невизначеностей Гайзенберга для опису відхилення фотона при проходженні ним вузького отвору, також привело до виразу, що добре узгоджується з класичним. Отримані результати дозволяють “по-новому” поглянути на деякі “старі” проблеми оптики. Зокрема, такі, як дифракція поодиноких фотонів, дифракція фотонів на вхідних отворах телескопів, зростання радіусу когерентності світла, що приходить від далеких зірок.
У даній роботі запропонована можливість застосування інтегральних рівнянь, відповідних рівнянню Шредінгера, до знаходження радіальної складової хвильової функції квантової системи двох частинок та допустимих значень головного квантового числа системи. Актуальність роботи обумовлена необхідністю доповнення методики викладення такої важливої ключової задачі квантової механіки, як квантова теорія атома водню, яке полягає в розширенні сукупності методів знаходження розв’язків рівняння Шредінгера для атома водню та їх систематизації, що буде сприяти кращому розумінню даної теми. Запропонована послідовність викладення матеріалу враховує останні тенденції розвитку методів пошуку розв’язків стаціонарного рівняння Шредінгера в аналітичному вигляді, демонструє можливість знаходження енергетичного спектру квантової системи частинок за допомогою інтегральних рівнянь. Формулювання проблеми. Квантова теорія атома водню у підручниках та навчальних посібниках з фізики найчастіше викладають, спираючись на одночастинкове рівняння Шредінгера для електрону, переходячи до системи відліку пов’язаної з ядром атому, нехтуючи рухом ядра, або частину матеріалу викладають при розгляді руху електрону в центральному силовому полі. Для узагальнення методики викладання, краще одразу розглядати квантову систему двох частинок: електрону і ядра атома водню. Матеріали і методи. Головними методами вирішення поставленої проблеми є: засоби пошуку розв’язків звичайних, лінійних, диференціальних рівнянь у частинних похідних, теорія багатовимірних інтегральних рівнянь та теорія функцій Гріна. Результати. З’ясовано, що радіальні складові хвильових функцій атома водню, що визначають енергетичний спектр, можна отримувати без переходу до сферичної системи, що спрощує викладення матеріалу теми. Запропоновано узагальнення послідовності викладення матеріалу по квантовій теорії атома водню. Висновки. Запропоноване узагальнення методики знаходження розв’язків рівняння Шредінгера для атома водню дозволяє підсилити повноту викладення матеріалу теми «Квантова механіка», підвищує ступінь доказовості викладення матеріалу та сприяє його розумінню.
Властивості матеріалів пов'язуються зі збудженням нелінійних локалізованих коливань у ґратах, які впливають на динаміку частинок у ній. У роботі поставлено та проаналізовано задачу руйнування хвильового пакету частинки. Розглянуто параболічний потенціал, який як ціле схильний до стохастичного впливу випадкового процесу дробового шуму, і динаміку хвильової функції частинки в ньому. На основі знайдених рішень нестаціонарного рівняння Шредінгера розглянуто часову еволюцію хвильової функції. Сформульовано задачу руйнування хвильового пакета частинки, що реалізується під час виконання умови досягнення дисперсії пакета заданого розміру. Подібна постановка виникає у завданнях, коли обурення є траєкторією одновимірного або двовимірного процесу, що моделює зміни потенціалу під час руху частинки, зокрема під час руху електрона вздовж кристалічної осі. У цьому разі роль часу в задачі грає функція обурення, що описує вимушені коливання кристалічних ґрат. Розглянуто часову еволюцію частинки, що перебуває в основному стані, з вихідною хвильовою функцією у потенціалі, що включає квадратично-інтегровану функцію – стохастичний процес дробового шуму з нульовим математичним очікуванням і дисперсією. На основі рішення, у якому використано дробовий шум, наведено у вигляді профілів щільності частинки. Розглянуто задачу про час життя хвильового пакета, який обурений стохастичним процесом дробового шуму та руйнується за умови, що його дисперсія досягла заданого розміру і частка вибуває з розгляду (гине). Через стохастичність процесу, що обурює, часовий інтервал до руйнування також виявиться випадковим. Отримано аналітичний вираз для густини розподілу випадкової величини – часу життя.
Запропоновано єдиний хвильово-фазовий опис фотона та руху матеріального тіла. Побудова ґрунтується на описі хвильових процесів і збереженні їхнього фазового стану як вихідному принципі та приводить до перетворень Лоренца і структури простору-часу Мінковського без їхнього попереднього введення. Показано, що фізично значущою характеристикою хвильового процесу є його фазовий стан, який зберігається під час еволюції та набуває фізичного змісту лише при порівнянні різних процесів. Хвильовий інваріант руху матеріального тіла факторизується через дві протилежно спрямовані світлоподібні компоненти Q± = Ω ± cK = 2Ω_{l,±}, добуток яких після природного перемасштабування набуває нормованої форми Q₊Q₋ = 1. У цьому поданні параметри (Ω, K) не є незалежними величинами, а визначаються двома світлоподібними компонентами. У межах запропонованого підходу доплерівський зсув інтерпретується як фазове співвідношення між хвильовими процесами, тоді як відносна швидкість у спеціальній теорії відносності відповідає доплерівській асиметрії між двома світлоподібними компонентами хвильового процесу руху. Отримана побудова відтворює кінематичну структуру спеціальної теорії відносності та забезпечує єдиний хвильово-фазовий опис фотона і руху матеріального тіла.
Розглянуто проблему строгого опису процесу поширення кореляцій початкових станів квантових систем багатьох частинок, які взаємодіють через обмежений потенціал взаємодії та задовольняють статистику Максвелла-Больцмана, в скейлінговій границі самоузгодженого поля на основі асимптотичної поведінки непертурбативного розв'язку задачі Коші для ієрархії квантових рівнянь ББҐКІ (Боголюбов – Борн - Ґрiн - Кiрквуд - Iвон). А саме, досліджено розв'язок задачі Коші для ієрархії квантових рівнянь Власова для послідовністі граничних маргінальних операторів густини, у випадку початкових станів, які описуються одночастинковим оператором густини з простору ядерних операторів та обмеженими операторами, якими характеризуються кореляції станів. Побудовано явний вигляд послідовності граничних маргінальних операторів густини, якою описується стан системи в такому наближенні, а саме, встановлено, що стан системи описується за допомогою граничного одночастинкового оператора густини, який є розв’язком задачі Коші для квантового кінетичного рівняння Власова з початковими кореляціями немарковського типу. Для чистих станів сформульоване кінетичне рівняння еквівалентно кінетичному рівнянню Хартрі з початковими кореляціями, зокрема, якими характеризуються конденсовані стани квантових систем багатьох частинок. Для початкових станів системи статистично незалежних квантових частинок кінетичне рівняння Власова з початковими кореляціями є квантовим кінетичним рівнянням Власова, а послідовність граничних маргінальних операторів густини в цьому випадку описує процес поширення початкового хаосу.
У доповіді проаналізовано сучасний стан проблеми, пов’язаної зі створенням квантового комп’ютера як реально працюючого приладу, яку світова наукова спільнота визначає як одне з найважливіших фундаментальних завдань фізики у XXI ст. Наголошено, що в основі роботи квантового комп’ютера лежать результати фундаментальних досліджень у галузі квантової фізики. Сьогодні у світі активно розробляють квантові технології, які, як очікується, будуть впроваджені вже в найближчому майбутньому і забезпечать проривні результати в багатьох сферах суспільного життя: від криптографії до моделювання масштабних систем, опису та передбачення перебігу надскладних процесів тощо. Розглянуто внесок українських учених у вивчення квантових систем, розвиток квантових технологій та вирішення фізичних проблем, що виникають при реалізаціях елементів квантового комп’ютера.
Розв’язується квантово-механічна задача про рух електрона в зовнішніх однорідних схрещених електричному та магнітному полях. Шляхом розв’язання рівняння Шредінгера знайдено вираз для хвильової функції електрона, що рухається в такій суперпозиції електромагнітних полів. Частина хвильової функції електрона, що описує його рух у площині, перпендикулярній до напрямку магнітного поля, виражається через відомі функції Ерміта. У напрямку магнітного поля електрон здійснює вільний рух. Крім того, в схрещених електричному та магнітному полях виникає дрейфовий рух електрона вздовж осі, нормальній до площини, утвореної векторами електричного та магнітного полів. Знайдено спектр можливих значень енергії електрона, який складається з чотирьох частин: квантованого спектра енергій у площині, перпендикулярній до магнітного поля, неперервного спектра енергій вздовж магнітного поля, енергії дрейфового руху, що визначається напруженостями електричного та магнітного полів, та потенціальної енергії електрона в зовнішньому електричному полі.