O Toric Code e suas generalizações são denominados de \\textit{Quantum Double Models}, uma classe de sistemas que violam a teoria da quebra espontânea de simetria de Landau de maneira que propriedades que caracterizam os diferentes estados físicos não apresentam parâmetros de ordem local. Contudo, pode-se utilizar esses modelos para expor de que forma propriedades como a degenerescência do estado fundamental têm natureza topológica. Em duas dimensões, conclui-se que modelos assim definidos representam teorias de gauge puras que podem ser reconhecidas como exemplo de ordem topológica. Tais sistemas podem ser caracterizados por várias propriedades, dentre as quais, serão analisadas a degenerescência do estado fundamental e o gap finito de energia. Nesse caso, provou-se que não somente o hamiltoniano desses quantum double models é livre de frustrações mas também que a degenerescência do subespaço fundamental é um invariante topológico. Tal fato foi demonstrado fazendo o uso do Teorema de Pachner. Apresentou-se, então, uma demonstração desse teorema no caso bidimensional.
O Toric Code e suas generalizações são denominados de \textit{Quantum Double Models}, uma classe de sistemas que violam a teoria da quebra espontânea de simetria de Landau de maneira que propriedades que caracterizam os diferentes estados físicos não apresentam parâmetros de ordem local. Contudo, pode-se utilizar esses modelos para expor de que forma propriedades como a degenerescência do estado fundamental têm natureza topológica. Em duas dimensões, conclui-se que modelos assim definidos representam teorias de gauge puras que podem ser reconhecidas como exemplo de ordem topológica. Tais sistemas podem ser caracterizados por várias propriedades, dentre as quais, serão analisadas a degenerescência do estado fundamental e o gap finito de energia. Nesse caso, provou-se que não somente o hamiltoniano desses quantum double models é livre de frustrações mas também que a degenerescência do subespaço fundamental é um invariante topológico. Tal fato foi demonstrado fazendo o uso do Teorema de Pachner. Apresentou-se, então, uma demonstração desse teorema no caso bidimensional.
Fases topológicas da matéria são caracterizadas por terem uma degenerescên- cia do estado fundamental que depende da topologia da variedade em que o sistema físico é definido, além disso apresentam estados excitados no interior do sistema que são interpretados como sendo quase-partículas com estatística de tipo anyonica. Estes sistemas apresentam também excitações sem gap de energia em sua borda. Fases topologicamente ordenadas distintas não podem ser distinguidas pelo esquema usual de quebra de simetria de Ginzburg-Landau. Nesta dissertação apresentamos como exemplo o modelo mais simples de um sistema com Ordem Topológica, a saber, o Toric Code (TC), introduzido originalmente por A. Kitaev em [1]. O estado fundamental deste modelo ap- resenta degenerescência igual a 4 quando incorporado à superfície de um toro. As excitações elementares são interpretadas como sendo quase-partículas com estatística do tipo anyonica. O TC é um caso especial de uma classe mais geral de models chamados de Quantum Double Models (QDMs), estes modelos podem ser entendidos como sendo uma implementação de Teorias de gauge na rede em (2 + 1) dimensões na formulação Hamiltoniana, em que os graus de liberdade vivem nas arestas da rede e são elementos do grupo de gauge G. Nós generalizamos estes modelos com a inclusão de campos de matéria nos vértices da rede. Também apresentamos uma construção detalhada de tais modelos e mostramos que eles são exatamente solúveis. Em particular, exploramos o modelo que corresponde à escolher o grupo de gauge como sendo o grupo cíclico Z2 e os graus de liberdade de matéria como sendo elementos de um espaço vetorial bidimensional V2. Além disso, mostramos que a degenerescência do estado fundamental não depende da topologia da variedade e obtemos os estados excitados mais elementares deste modelo.
Ordem topológica descreve fases da matéria que não são caracterizadas apenas pelo esquema de quebra de simetria de Landau. Em 2-dimensões ordem topológica é caracterizada, entre outras propriedades, pela existência de uma degenerescência do estado fundamental que é robusta sobre perturbações locais arbitrarias. Com o proposito de entender o que caracteriza e classifica ordem topológica 3-dimensional o presente trabalho apresenta um modelo quântico exatamente solúvel em 3-dimensões que generaliza os modelos em 2-dimensões baseados em teorias de gauge. No modelo proposto o grupo de gauge é substituído por um 2-grupo. A Hamiltonia, que é dada por uma soma de operadores locais, é livre de frustrações. Provamos que a degenerescência do estado fundamental nesse modelo é dado pelo invariante de Yetter da variedade 4-dimensional Sigma × S¹, onde Sigma é a variedade 3-dimensional onde o modelo está definido.
Após a descoberta de fases que não são descritas por quebra espontânea de simetrias usuais, uma nova classificação para o conceito de ordens da matéria foi necessária para englobar um novo conjunto de estados físicos que dependem da topologia do sistema. As “ordens quânticas” configuram um frutífero campo de estudo onde é possível observar propriedades exóticas como a emergência de quasipartículas com estatística e carga fracionada (ânyons) e com restrição de mobilidade (fráctons) em modelos de rede com propriedades topológicas. Além disso, a degenerescência do estado fundamental, que outrora, em descrições clássicas, dependia exclusivamente da existência de simetrias, agora são determinadas por invariantes topológicos medidos por operadores que descrevem curvas não triviais em modelos com condições periódicas de contorno. As excitações desses sistemas, as quais são identificadas como quasipartículas, e podem ser interpretadas como defeitos topológicos na rede, exigem um custo energético para serem criadas, porém podem ser mover, desde que não criem ou aniquilem outras excitações sem energia adicional. O estudo atual de modelos com ordens quânticas está fortemente associado a avanços tecnológicos em áreas como computação quânticas e supercondutores pois descrevem, respectivamente, modelos tolerantes a erros e interações efetivas em sistemas de muitos corpos
Uma das propriedades mais marcantes de partículas que obedecem a dinâmica quântica é o fato de partículas do mesmo tipo (como dois elétrons, por exemplo) serem indistinguíveis. Em três dimensões, essas partículas podem ser separadas em dois grupo distintos - férmions ou bósons - não havendo uma terceira opção. A razão para isso é topológica, ou seja, depende exclusivamente da topologia do espaço. Em duas dimensões, entretanto, existem partículas que obedecem a regras estatísticas fracionárias, ou estatísticas ainda mais bizarras ditas não-abelianas, em que uma simples troca de dois anyons idênticos representa uma transformação unitária na função de onda do sistema ao invés de uma simples fase. Partículas que obedecem essas regras estatística não-usuais recebem o nome de anyons. Da mesma forma como a topologia do espaço em três dimensões dita as possíveis regras estatísticas que as partículas podem obedecer, a estatística aniônica está fortemente relacionando à topologia do espaço e, portanto, sistemas aniônicas são muitas vezes usados para descrever fases topológicas presentes em alguns sistemas bidimensionais. Neste trabalho apresentaremos alguns aspectos gerais de sistemas aniônicos - livres de modelo - e analisaremos alguns modelos de muitos corpos na rede que permitem descrever anyons como excitação de quasi-partícula. A principal classe de modelo que iremos analisar é a classe do modelo duplo quântico (MDQ) - que é um modelo quântico em (2+1)D cujos graus de liberdade são elementos de um grupo G (finito) vivendo nas arestas de uma rede e cuja dinâmica é descrita por uma hamiltoniana de muitos corpos. O MDQ é um modelo já bem estudado e conhecido na literatura; neste trabalho, porém, será apresentada uma formulação alternativa para o mesmo, a qual desempenha dois papeis importantes nesta tese. O primeiro deles é de mostrar que o MDQ pode ser obtido a partir da deformação de um invariante topológico; o que, por sua vez, ajuda a reconhecer a ordem topológica presente no modelo. O segundo papel importante é mostrar que essa formulação leva também a uma hamiltoniana de muitos corpos que representa uma generalização da hamiltoniana do MDQ. Alguns desses novos modelos permitem descrever sistemas aniônicos que não podem ser descritos pelo modelo duplo quântico usual. Em outras palavras, o modelo generalizado que será apresentado neste trabalho permite descrever diferentes fases topológicas partindo da deformação de um mesmo invariante topológico.
Ordem topológica descreve fases da matéria que não são caracterizadas apenas pelo esquema de quebra de simetria de Landau. Em 2-dimensões ordem topológica é caracterizada, entre outras propriedades, pela existência de uma degenerescência do estado fundamental que é robusta sobre perturbações locais arbitrarias. Com o proposito de entender o que caracteriza e classifica ordem topológica 3-dimensional o presente trabalho apresenta um modelo quântico exatamente solúvel em 3-dimensões que generaliza os modelos em 2-dimensões baseados em teorias de gauge. No modelo proposto o grupo de gauge é substituído por um 2-grupo. A Hamiltonia, que é dada por uma soma de operadores locais, é livre de frustrações. Provamos que a degenerescência do estado fundamental nesse modelo é dado pelo invariante de Yetter da variedade 4-dimensional Sigma × S¹, onde Sigma é a variedade 3-dimensional onde o modelo está definido.
Neste trabalho, construímos duas generalizações de uma classe de modelos discretos bidimensionais, assim chamados \"Quantum Double Models\", definidos em variedades orientáveis, compactas e sem fronteiras. Na primeira generalização, introduzimos campos de matéria aos vértices e, na segunda, às faces. Além das propriedades básicas dos modelos, estudamos como se comporta a sua ordem topológica sob a hipótese de que os estados de base são indexados por grupos Abelianos. Na primeira generalização, surge um novo fenômeno de confinamento. Como consequência, a degenerescência do estado fundamental se torna independente do grupo fundamental sobre o qual o modelo está definido, dependendo da ação do grupo de calibre e do segundo grupo de homologia. A segunda generalização pode ser vista como o dual algébrico da primeira. Nela, as mesmas propriedades de confinamento de quasipartículas está presente, mas a degenerescência do estado fundamental continua dependendo do grupo fundamental. Além disso, degenerescências adicionais aparecem, relacionadas ao homomorfismo de coação entre os grupos de matéria e de calibre.