Uma das propriedades mais marcantes de partículas que obedecem a dinâmica quântica é o fato de partículas do mesmo tipo (como dois elétrons, por exemplo) serem indistinguíveis. Em três dimensões, essas partículas podem ser separadas em dois grupo distintos - férmions ou bósons - não havendo uma terceira opção. A razão para isso é topológica, ou seja, depende exclusivamente da topologia do espaço. Em duas dimensões, entretanto, existem partículas que obedecem a regras estatísticas fracionárias, ou estatísticas ainda mais bizarras ditas não-abelianas, em que uma simples troca de dois anyons idênticos representa uma transformação unitária na função de onda do sistema ao invés de uma simples fase. Partículas que obedecem essas regras estatística não-usuais recebem o nome de anyons. Da mesma forma como a topologia do espaço em três dimensões dita as possíveis regras estatísticas que as partículas podem obedecer, a estatística aniônica está fortemente relacionando à topologia do espaço e, portanto, sistemas aniônicas são muitas vezes usados para descrever fases topológicas presentes em alguns sistemas bidimensionais. Neste trabalho apresentaremos alguns aspectos gerais de sistemas aniônicos - livres de modelo - e analisaremos alguns modelos de muitos corpos na rede que permitem descrever anyons como excitação de quasi-partícula. A principal classe de modelo que iremos analisar é a classe do modelo duplo quântico (MDQ) - que é um modelo quântico em (2+1)D cujos graus de liberdade são elementos de um grupo G (finito) vivendo nas arestas de uma rede e cuja dinâmica é descrita por uma hamiltoniana de muitos corpos. O MDQ é um modelo já bem estudado e conhecido na literatura; neste trabalho, porém, será apresentada uma formulação alternativa para o mesmo, a qual desempenha dois papeis importantes nesta tese. O primeiro deles é de mostrar que o MDQ pode ser obtido a partir da deformação de um invariante topológico; o que, por sua vez, ajuda a reconhecer a ordem topológica presente no modelo. O segundo papel importante é mostrar que essa formulação leva também a uma hamiltoniana de muitos corpos que representa uma generalização da hamiltoniana do MDQ. Alguns desses novos modelos permitem descrever sistemas aniônicos que não podem ser descritos pelo modelo duplo quântico usual. Em outras palavras, o modelo generalizado que será apresentado neste trabalho permite descrever diferentes fases topológicas partindo da deformação de um mesmo invariante topológico.
Uma das propriedades mais marcantes de partículas que obedecem a dinâmica quântica é o fato de partículas do mesmo tipo (como dois elétrons, por exemplo) serem indistinguíveis. Em três dimensões, essas partículas podem ser separadas em dois grupo distintos - férmions ou bósons - não havendo uma terceira opção. A razão para isso é topológica, ou seja, depende exclusivamente da topologia do espaço. Em duas dimensões, entretanto, existem partículas que obedecem a regras estatísticas fracionárias, ou estatísticas ainda mais bizarras ditas não-abelianas, em que uma simples troca de dois anyons idênticos representa uma transformação unitária na função de onda do sistema ao invés de uma simples fase. Partículas que obedecem essas regras estatística não-usuais recebem o nome de anyons. Da mesma forma como a topologia do espaço em três dimensões dita as possíveis regras estatísticas que as partículas podem obedecer, a estatística aniônica está fortemente relacionando à topologia do espaço e, portanto, sistemas aniônicas são muitas vezes usados para descrever fases topológicas presentes em alguns sistemas bidimensionais. Neste trabalho apresentaremos alguns aspectos gerais de sistemas aniônicos - livres de modelo - e analisaremos alguns modelos de muitos corpos na rede que permitem descrever anyons como excitação de quasi-partícula. A principal classe de modelo que iremos analisar é a classe do modelo duplo quântico (MDQ) - que é um modelo quântico em (2+1)D cujos graus de liberdade são elementos de um grupo G (finito) vivendo nas arestas de uma rede e cuja dinâmica é descrita por uma hamiltoniana de muitos corpos. O MDQ é um modelo já bem estudado e conhecido na literatura; neste trabalho, porém, será apresentada uma formulação alternativa para o mesmo, a qual desempenha dois papeis importantes nesta tese. O primeiro deles é de mostrar que o MDQ pode ser obtido a partir da deformação de um invariante topológico; o que, por sua vez, ajuda a reconhecer a ordem topológica presente no modelo. O segundo papel importante é mostrar que essa formulação leva também a uma hamiltoniana de muitos corpos que representa uma generalização da hamiltoniana do MDQ. Alguns desses novos modelos permitem descrever sistemas aniônicos que não podem ser descritos pelo modelo duplo quântico usual. Em outras palavras, o modelo generalizado que será apresentado neste trabalho permite descrever diferentes fases topológicas partindo da deformação de um mesmo invariante topológico.
Após a descoberta de fases que não são descritas por quebra espontânea de simetrias usuais, uma nova classificação para o conceito de ordens da matéria foi necessária para englobar um novo conjunto de estados físicos que dependem da topologia do sistema. As “ordens quânticas” configuram um frutífero campo de estudo onde é possível observar propriedades exóticas como a emergência de quasipartículas com estatística e carga fracionada (ânyons) e com restrição de mobilidade (fráctons) em modelos de rede com propriedades topológicas. Além disso, a degenerescência do estado fundamental, que outrora, em descrições clássicas, dependia exclusivamente da existência de simetrias, agora são determinadas por invariantes topológicos medidos por operadores que descrevem curvas não triviais em modelos com condições periódicas de contorno. As excitações desses sistemas, as quais são identificadas como quasipartículas, e podem ser interpretadas como defeitos topológicos na rede, exigem um custo energético para serem criadas, porém podem ser mover, desde que não criem ou aniquilem outras excitações sem energia adicional. O estudo atual de modelos com ordens quânticas está fortemente associado a avanços tecnológicos em áreas como computação quânticas e supercondutores pois descrevem, respectivamente, modelos tolerantes a erros e interações efetivas em sistemas de muitos corpos
Esta tese é uma contribuição para o campo de pesquisa de três assuntos distintos: correlações quânticas em sistemas de partículas indistinguíveis, estados topológicos da matéria, e dinâmica nao-Markoviana. Os primeiros dois assuntos são os temas pricipais desta tese, nos quais foi mantida uma dedicação exclusiva, enquanto o último assunto se encaixa mais como uma parte satélite na tese. A primeira parte desta tese diz respeito a uma compreensão adequada das correlações quânticas em sistemas de partículas indistinguíveis. Neste caso, o espaço de estados quântico é restrito ao subspaço simétrico ou antisimétrico, dependendo da natureza bosônica ou fermiônica do sistema, e as partículas não são mais acessíveis individualmente, eliminando desta forma as noções habituais de separabilidade e medições locais, tornando a análise de suas correlações muito mais sutil. Nós revisamos as distintas abordagens para o emaranhamento nestes sistemas, e com base em tais definições elaboramos diferentes métodos a fim de quantificar o emaranhamento entre as partículas indistinguíveis. Tais métodos mostram-se muito úteis e fáceis de se manusear, uma vez que adaptam ferramentas comuns da teoria usual do emaranhamento em sistemas distinguíveis para o presente caso indistinguível. Propomos também uma noção geral de correlação quântica além do emaranhamento (o quantumness of correlations) nestes sistemas, por meio de um ¿protocolo de ativação". Tal noção é muito útil no debate em curso da literatura a respeito da definição correta para o emaranhamento entre as partículas indistinguíveis, uma vez que nos permite analisar suas correlações de uma ótica distinta, e mais geral, resolvendo algumas de suas constrovérsias. Em seguida, usamos nossos quantificadores para estudar o emaranhamento de partículas indistinguíveis em um modelo específico, o modelo Hubbard estendido, com foco em seu comportamento ao atravessar suas respectivas transições de fase quânticas. A segunda parte desta tese diz respeito ao estudo de estados topológicas da matéria. Nossa análise e resultados têm como base o paradigmático modelo de Kitaev (não conserva o número de partículas), o qual fornece um ambiente mínimo apresentando todos os aspectos chave de estados topológicos em sistemas fermiônicos. Nossa análise foca-se, no entanto, em um cenário que conserve o número de partículas. Em tal cenário, apresentamos duas maneiras distintas para gerar estados topológicos completamente similares ao modelo de Kitaev: (i) em um cenário tipo Hamiltoniano, apresentamos um modelo fermiônico de dois fios, com solução exata, que conserva o número de partículas e apresenta quasipartículas exóticas tipo Majorana nas bordas (ii) por meio de uma dinâmica de dissipação adequadamente projetada, tais estados topológicos se apresentam como dark states (estados estacionários) da evolução. Na terceira parte desta tese analisamos dinâmicas não-Markovianas com o critério de divisibilidade, ou seja, a não-positividade da matriz dinâmica em algum tempo intermediário. Particularmente, estudamos um qubit interagindo com um ambiente tipo Ising.
Anyons são partículas que vivem em duas dimensões espaciais e possuem comportamentos estatísticos intermediários entre férmions e bósons. Neste trabalho fazemos uma exposição de como anyons podem ser adequadamente descritos usando mecânica quântica básica a partir de um processo de quantização adequado. Este processo revela a conexão entre as propriedades estatísticas de anyons e as propriedades topológicas do espaço de configura- ções do sistema. Em seguida, fazemos uma introdução elementar a teoria de categorias e a usamos para construir uma descrição categorial de anyons. A descrição categorial possui utilidades para aplicação de anyons em computação quântica e, nesta linha, resolvemos um exemplo, o modelo de anyons de Fibonacci para ilustrar como esta descrição funciona e apontar suas aplicação em computação quântica com estas partículas. Por fim, seguindo a natureza ensaística deste trabalho, concluímos por levantar vários tópicos de pesquisa sobre a assunto para os quais este trabalho pode servir como um ponto de partida. Palavras-chave: Anyons. Categorias. Partículas idênticas. Anyons de Fibonacci.
Nesta tese abordamos o tema das transi c~oes de fases qu^anticas no contexto de l quidos de spins usando dois modelos e duas abordagens te oricas diferentes. A area das transi c~oes de fases qu^anticas e bastante vasta e, por esse motivo, escolhemos dois exemplos espec cos, que tem solu c~ao exata. O primeiro exemplo e descrito por excita c~oes elementares denominadas modos de majorana de energia zero que est~ao relacionadas as propriedades topol ogicas, enquanto que o segundo exemplo e descrito por spinons livres que obedecem a estat sticas fracion arias. Nos dois casos, estas excita c~oes elementares v^em da sistemas interagentes de muitos corpos, as quais s~ao fundamentalmente diferentes dos f ermions e b osons. Portanto, as regras de segunda quantiza c~ao usuais n~ao est~ao dispon veis para esses sistemas, abrindo espa co para desenvolver novas teorias e t ecnicas. Nesta tese temos a oportunidade, em termos gerais, de reunir aspectos b asicos das propriedades topol ogicas de sistemas de baixa dimensionalidade, por um lado, e colocar em opera c~ao alguns detalhes da estrutura da ^algebra Yangiana para lidar com a f sica de spinons livres, por outro lado. Primeiramente come camos por estudar o efeito da inomogeneidade espacial na cadeia de Kitaev. Este modelo unidimensional descreve um supercondutor de onda p caracterizado por fases topol ogicas/n~ao-topol ogicas. Usando o m etodo de c elula unit aria ampliada, estudamos um invariante topol ogico apropriado para descrever os efeitos das modula c~oes espaciais nos par^ametros do modelo Encontramos o surgimento de regi~oes n~ao-topol ogicas compactas, as que chamamos de bolhas, as quais s~ao descritas por estados topol ogicos protegidos no caso homog^eneo. Para caracterizar estas fases, desenvolvemos uma descri c~ao polinomial do invariante topol ogico, o que nos levou a uma explica c~ao do surgimento destas bolhas na regi~ao topol ogica, assim como a identi car uma estrutura interna do invariante topol ogico, tendo este um comportamento notoriamente semelhante a fun c~ao de correla c~ao de spins do modelo XY de spin-1=2. Ambos modelos exibem a mesma regi~ao de oscila c~oes nos seus diagramas de fase. Isto e um efeito da dualidade, j a que ambos modelos est~ao ligados por uma transforma c~ao de Jordan-Wigner. Como uma aplica c~ao do nosso m etodo, utilizamos ele para caracterizar um modelo efetivo correspondente a um modelo de ligaduras-fortes de f ermions sem spin, com uma intera c~ao de carga a primeiros vizinhos que e modulada periodicamente. Usando o formalismo de Floquet, achamos um Hamiltoniano efetivo o qual e levado a cadeia de Kitaev inomog^enea descrita por um emparelhamento a primeiros vizinhos dimerizado e um emparelhamento a segundos vizinhos. Aplicando o nosso formalismo, conseguimos descrever os efeitos da depend^encia temporal deste modelo efetivo. Na segunda parte da tese, estudamos o modelo unidimensional de Haldane- Shastry, mais uma intera c~ao quiral dada pelo componente-z do operador de rapidez O modelo de Haldane-Shastry consiste numa cadeia homog^enea com condi c~oes de borda peri odicas de spins 1=2, com uma intera c~ao de troca entre os spins que decai com o inverso da dist^ancia ao quadrado. Este modelo e integr avel, exatamente sol uvel atrav es da ^algebra Yangiana, e as suas simetrias descrevem as excita c~oes elementares, dadas por spinons livres que satisfazem estat sticas fracion arias. Uma vez que a intera c~ao quiral e tomada como o operador de rapidez, da Yangiana, a simetria do novo modelo n~ao muda, o que nos permite utilizar o formalismo das Tabelas de Young Modi cadas para descrever seus autoestados. Descobrimos que o espectro do modelo original e separado quando a intera c~ao quiral e ligada. A ^algebra Yangiana e respons avel por esta separa c~ao, resultando em regras de quantiza c~ao n~aotriviais que foram estudadas pela teoria de representa c~ao da ^algebra. Ap os nossa descri c~ao num erica para sistemas nitos, ampliamos nossos resultados para o limite termodin^amico, achando uma descri c~ao geral das transi c~oes do estado fundamental para baixas energias, que e v alida at e para a cadeia in nita. Para nalizar, e como uma aplica c~ao, utilizamos o modelo de Haldane-Shastry com intera c~ao quiral para introduzir uma fam lia de modelos de spins com intera c~oes a mais vizinhos, cujas constantes de acoplamento s~ao extra das deste modelo. Descrevemos como a solu c~ao desses modelos pode ser achada por meio da nossa abordagem, o que nos permite formular a quest~ao sobre o v nculo que t^em entre eles.
A dinâmica de sistemas quânticos fechados (ideais), i.e., sistemas em que não consideramos interações com um meio externo (ambiente), é governada por uma evolução unitária, que pode ser geralmente descrita pela equação de Schrödinger - ou, na linguagem de operadores densidade, a equação de von-Neumann. No entanto, sistemas reais, ou seja, sistemas que podem ser medidos no laboratório, nunca estão completamente fechados e inevitavelmente irão interagir com os diversos graus de liberdade de seus ambientes. Nesse cenário, a equação de Schrödinger é apenas uma descrição válida da evolução do sistema por pequenos períodos de tempo, e uma nova descrição se torna necessária. Uma das formas de fazer isso é através do uso de equações mestras, que são equações de movimento que consideram os efeitos dissipativos no sistema devido às interações com o ambiente. Entre as possiveis formas das equações mestras, a equação de Lindblad é uma das mais extensivamente estudadas. Ela descreve evoluções markovianas, que geralmente são válidas no regime de interações fracas entre sistema e ambiente. Nessa perspectiva, ela tem sido aplicada com sucesso em muitos contextos, como medição contínua e ótica quântica. No contexto de problemas de sistemas quânticos abertos de muitos corpos, nem sempre é possível descrever a dinâmica dos sistemas através de uma equação mestra na forma de Lindblad. No entanto, essa aproximação pode ser usada em uma classe especial de sistemas atômicos, moleculares e ópticos (AMO). O objetivo desta dissertação é estudar a dinâmica de sistemas quânticos abertos de muitos corpos AMO, que são aproximadamente descritos pelo modelo de Hubbard, através do uso de métodos numéricos. Para isso, vamos focar nossa atenção em uma técnica de simulação particular conhecida como trajetórias quânticas, que em muitos contextos se mostra muito eficiente - o que pode ser melhorado se integrarmos esse método com outros, como Tensor Networks, t-DMRG e diagonalização exata.
Ordem topológica descreve fases da matéria que não são caracterizadas apenas pelo esquema de quebra de simetria de Landau. Em 2-dimensões ordem topológica é caracterizada, entre outras propriedades, pela existência de uma degenerescência do estado fundamental que é robusta sobre perturbações locais arbitrarias. Com o proposito de entender o que caracteriza e classifica ordem topológica 3-dimensional o presente trabalho apresenta um modelo quântico exatamente solúvel em 3-dimensões que generaliza os modelos em 2-dimensões baseados em teorias de gauge. No modelo proposto o grupo de gauge é substituído por um 2-grupo. A Hamiltonia, que é dada por uma soma de operadores locais, é livre de frustrações. Provamos que a degenerescência do estado fundamental nesse modelo é dado pelo invariante de Yetter da variedade 4-dimensional Sigma × S¹, onde Sigma é a variedade 3-dimensional onde o modelo está definido.