Ce mémoire étudie un système quantique isolé constitué de deux corps lourds et d’un corps léger, interagissant par des potentiels inversement proportionnels à leurs distances. L’ion moléculaire H₂⁺ en fournit un exemple concret. L’analyse repose sur la grande différence de masse entre le corps léger et les deux corps lourds.La première partie considère les deux corps lourds comme des centres fixes. En mécanique classique, la séparation de l’équation de Hamilton-Jacobi en coordonnées elliptiques fait apparaître une intégrale première supplémentaire, distincte de l’énergie et de la composante du moment cinétique suivant l’axe des centres. En mécanique quantique, un opérateur hermitien correspondant est construit et sa commutation avec l’hamiltonien est établie. La séparation de l’équation de Schrödinger conduit à deux problèmes différentiels aux valeurs propres, liés par l’énergie et une constante de séparation. Le mémoire examine également la limite du champ central et l’impossibilité de la simplification proposée par un changement de coordonnées.La seconde partie prend en compte le mouvement des corps lourds. L’introduction de coordonnées relatives et de masses réduites permet de construire des approximations successives à partir de la solution à centres fixes, pour des états non dégénérés du corps léger. Une équation effective décrit le mouvement des corps lourds, tandis que des corrections à l’énergie et à la fonction d’onde expriment le couplage entre les trois corps. Lorsque les masses lourdes tendent vers l’infini, le mélange entre les états du corps léger disparaît : ses nombres quantiques prennent alors le caractère d’invariants adiabatiques.Enfin, un modèle quadratique local autour d’une séparation de référence est étudié pour préciser, dans un cas particulier, la localisation envisagée dans cette méthode d’approximation.
Ce mémoire étudie un système quantique isolé constitué de deux corps lourds et d’un corps léger, interagissant par des potentiels inversement proportionnels à leurs distances. L’ion moléculaire H₂⁺ en fournit un exemple concret. L’analyse repose sur la grande différence de masse entre le corps léger et les deux corps lourds.La première partie considère les deux corps lourds comme des centres fixes. En mécanique classique, la séparation de l’équation de Hamilton-Jacobi en coordonnées elliptiques fait apparaître une intégrale première supplémentaire, distincte de l’énergie et de la composante du moment cinétique suivant l’axe des centres. En mécanique quantique, un opérateur hermitien correspondant est construit et sa commutation avec l’hamiltonien est établie. La séparation de l’équation de Schrödinger conduit à deux problèmes différentiels aux valeurs propres, liés par l’énergie et une constante de séparation. Le mémoire examine également la limite du champ central et l’impossibilité de la simplification proposée par un changement de coordonnées.La seconde partie prend en compte le mouvement des corps lourds. L’introduction de coordonnées relatives et de masses réduites permet de construire des approximations successives à partir de la solution à centres fixes, pour des états non dégénérés du corps léger. Une équation effective décrit le mouvement des corps lourds, tandis que des corrections à l’énergie et à la fonction d’onde expriment le couplage entre les trois corps. Lorsque les masses lourdes tendent vers l’infini, le mélange entre les états du corps léger disparaît : ses nombres quantiques prennent alors le caractère d’invariants adiabatiques.Enfin, un modèle quadratique local autour d’une séparation de référence est étudié pour préciser, dans un cas particulier, la localisation envisagée dans cette méthode d’approximation.
L'hypothèse des sauts quantiques (qu'un point matériel ne peut émettre ou recevoir d'actions extérieures qu'à des intervalles d'action hamiltonienne égaux à h) impose au champ ambiant des forces électromagnétiques une propagation apparente régie par une équation d'ondes où intervient l'action hamiltonienne de l'électron-explorateur nécessaire pour déceler le champ. Cette action hamiltonienne étant d'autre part déterminée par le champ extérieur à la manière classique, l'équation définitive qui régit le champ ambiant résulte de l'élimination de l'action hamiltonienne entre l'équation d'ondes et les équations de la mécanique classique. Cette élimination, immédiate dans le cas de l'approximation de Schrodinger, ne peut se faire dans le cas de la mécanique relativiste qu'en passant des équations du second ordre (des ondes et d'Hamilton-Jacobi) à des équations du premier ordre équivalentes et donne alors le système d'équations de Dirac. Ces équations de Dirac une fois résolues, on peut calculer en fonction de leurs solutions, au moyen des équations précédentes du premier ordre, la quantité de mouvement et l'énergie d'un électron-explorateur en un point quelconque du champ ambiant. Le fait que la position initiale d'un électron vrai est indéterminée dans les données du problème ne permet alors de traiter l'étude de la trajectoire de l'électron que statistiquement, par les méthodes classiques de la mécanique statistique. On retrouve ainsi, dans le cas des trajectoires « possibles » de la mécanique classique, les interprétations statistiqnes prises en hypothèse par Dirac. Un appendice revient sur l'approximation de Schrödinger, précise la différence des électrons vrais et des électrons explorateurs, et interprète l'expérience de Davisson et Germer.
La these est subdivisee en deux grandes parties I. Methodes de paquets d'ondes pour le calcul des sections efficaces et constantes de vitesse pour les processus non adiabatiques. II. Parametrisation du probleme a N-corps en mecanique quantique non relativiste. La partie consacree a la parametrisation du probleme a N-corps traite des problemes de coordonnees generalisees et de super-symetrie en mecanique quantique non relativiste avec applications sur le systeme de coordonnees hyperspheriques d'axes principaux. Des proprietes d'operateurs dits quasimoments ont ete etudies et une generalisation de relation de commutation est etablie pour ces quasimoments. L'etude de la super-symetrie en mecanique quantique non relativiste constitue une approche de resolution d'equation aux valeurs propres et principalement celle de Schrodinger. L'ensemble de tous ces travaux a fait l'objet de trois publications: J. Math. Phys. 40 6133 (1999) ---J. Phys. B 324823 (1999) ---Mol. Phys. 98, 387 (2000). L'autre partie consacree a la dynamique moleculaire porte sur deux aspects: le premier concerne l'elaboration d'une methode de calcul basee sur des paquets d'ondes pour determiner la constante de vitesse d'echange de charge dans une collision ion-atome. Ces travaux ont donne lieu a trois publications: Phys. Rev. A, 63 42704 (2001) ---J. Chem. Phys. 114, 8741(2001) ---International Journal of Molecular Sciences, (sous presse, 2002). Le second probleme traite est le calcul de la probabilite cumulative de reaction pour un transfert d'hydrogene lors d'une isomerisation. Les conclusions de ce travail ont fait l'objet d'une publication au J. Chem. Phys. 117 (sous presse).
Les facteurs de forme et les fonctions de corrélation déterminent les quantités dynamiques mesurables associées aux modèles de théorie des champs et de mécanique statistique. Dans le cas de modèles intégrables en dimension 2, au-delà des propriétés du spectre ou de la fonction de partition, un des grands défis actuels concerne le calcul exact des facteurs de forme et des fonctions de corrélation.Le but de cette thèse est de développer une approche permettant de résoudre ce problème dans le cadre de la méthode de séparation des variables quantique de Skyanin. Cette méthode généralise au cas quantique et pour des systèmes avec un grand nombre de degrés de liberté la méthode de Hamilton-Jacobi en mécanique analytique. Le Hamiltonien est exprimé avec des opérateurs séparés, son spectre et ses états propres caractérisés par un système d'équations de Baxter résultant des structures algébriques de Yang-Baxter, caractéristiques de l'intégrabilité de ces modèles.Cette thèse a permis, pour les modèles de sine-Gordon (théorie des champs quantique) et de Potts chiral (modèle de physique statistique), le calcul des produits scalaires entre états propres du Hamiltonien, la résolution du problème inverse, i. e. l'expression des opérateurs du modèle en termes des variables séparées, ainsi que le calcul en termes de déterminants des facteurs de forme, i. e. des éléments de matrice des opérateurs locaux du modèle dans la base propre du Hamiltonien, ce qui constitue un pas important vers le calcul des fonctions de corrélation de ces modèles.
Les calculateurs quantiques promettent de résoudre des problèmes insolvables pour les ordinateurs classiques. En particulier, manipuler des états superposés et intriqués de bits quantiques est une voie naturelle pour étudier la physique des systèmes quantiques à N particules. Avec les avancées rapides des technologies quantiques, nous avons pu voir émerger les premiers processeurs quantiques, nommés processeurs "NISQ" (de l'anglais "Noisy-Intermediate-Scale-Quantum"). Les progrès de ces machines ouvrent de nouveaux chemins aux physiciens pour simuler des systèmes quantiques. Cependant, leur taille limitée et les erreurs liées à la décohérence limitent fortement leur usage aujourd'hui. La conception d'algorithmes quantiques efficaces, résistant aux erreurs, est un défi considérable. Ce travail de thèse s'attelle à comprendre les capacités des processeurs quantiques à simuler des systèmes quantiques à N corps, avec une attention particulière aux applications pour la physique de la matière condensée. Dans un premier temps, nous abordons le sujet du calcul de l'état fondamental d'Hamiltoniens, à l'aide d'un algorithme variationnel quantique-classique (nommée l'algorithme VQE, de l'anglais « Variational Quantum Eigensolver »). Nous évaluons les performances de cette méthode sur le modèle de Hubbard, grâce à différentes métriques, comme la fidélité, l'énergie et les propriétés physiques des solutions obtenues. Nous démontrons, malgré des performances prometteuses en simulant un calculateur quantique sans bruit, que le niveau de bruit des machines contemporaines rend impossible la réalisation d'un calcul significatif. En revanche, certains états quantiques aux propriétés intéressantes peuvent avoir une forme simple. Leur préparation sur un calculateur quantique est un problème pertinent dans le but d'initialiser un calcul quantique avec ces états pour les amener vers des régimes où ils perdent leur forme simple. Pour illustrer ceci, nous prenons l'exemple du modèle Affleck-Lieb-Kennedy-Tasaki (AKLT), le premier modèle de chaîne de spin entier antiferromagnétique possédant une solution simple vérifiant la conjecture d'Haldane. Nous proposons deux schémas pour préparer les états AKLT, l'un suivant leur construction naturelle en projetant des paires de qubits sur leur sous-espace triplet, l'autre utilisant leur forme de réseaux de tenseurs. Nous analysons l'implémentation de ces méthodes en fonction de la taille du système, avec une réalisation expérimentale sur un processeur quantique. Enfin, nous explorons la synergie entre les méthodes de réseaux de tenseurs et les calculateurs quantiques bruités pour simuler la dynamique hors-équilibre de systèmes de spins. La simulation de dynamique quantique est une tâche naturelle pour les calculateurs quantiques, mais atteindre des temps longs est fortement limité par le bruit. D'autre part, les réseaux de tenseurs sont également limités aux temps courts, contraints par la quantité d'intrication qu'ils peuvent encoder. Nous proposons d'utiliser le meilleur des deux mondes : la dynamique à temps court est simulée efficacement par un réseau de tenseur, compilée vers des circuits quantiques de faible profondeur pour poursuivre l'évolution temporelle sur le calculateur quantique. Nous étudions les performances de ce schéma hybride quantique-classique en regardant la fidélité des états obtenus et la production d'intrication, avec une validation expérimentale. Finalement, nous proposons d'optimiser les circuits quantiques approximant l'opérateur évolution temporelle grâce à des réseaux de tenseurs, résultant en une simulation quantique classiquement améliorée utilisant moins de ressources quantiques.
Les systèmes quantiques ouverts décrivent l'évolution d'un système de référence S en interaction avec un ou plusieurs autres systèmes appelés environnements. Pour les étudier on rencontre deux approches dans la littérature: l'approche hamiltonienne, où on décrit complètement les systèmes et leurs interactions, et l'approche markovienne, où on abandonne l'idée de décrire l'environnement et on considère une dynamique, dite effective, du système S seul mais prenant en compte les effets de l'interaction avec l'environnement.Nous nous intéresserons dans cette thèse à une classe particulière de tels systèmes: les système quantiques avec interactions répétées. Le système S interagit successivement avec une suite de sous-systèmes indépendants. L'approche de ces systèmes est à la fois hamiltonienne et markovienne. Leur étude joue un rôle fondamental dans la compréhension pratique et théorique des processus d'interaction matière-lumière ainsi qu'en optique quantique (expérience du maser à un atome).Cette thèse porte sur l'étude d'un système de type maser à un atome. Le modèle considéré décrit un champ électromagnétique dans une cavité et traversé par un faisceau d'atomes mais auquel on ajoute un réservoir supplémentaire interagissant de façon continue avec le champ électromagnétique. L'idée est que la cavité n'est pas parfaitement isolée et le réservoir permet de modéliser les fuites dans la cavité. Ainsi l'interaction entre le champ électromagnétique et les atomes est décrit par un système quantique avec interactions répétées et l'interaction entre le champ électromagnétique et le réservoir est décrit par une approche hamiltonienne des systèmes quantiques ouverts.Le système "cavité+réservoir" à été étudié par Könenberg en se basant sur des travaux de Arai. Via une diagonalisation du Hamiltonien du système couplé il montre des propriétés de retour à l'équilibre. Dans une première partie nous donnerons une nouvelle approche de ces travaux en utilisant des résultats récents de Nam, Napiórkowki et Solovej sur la diagonalisation des hamiltoniens bosoniques quadratiques.Dans un premier temps, nous étudierons l'auto-adjonction des Hamiltoniens du système et on s'intéressera notamment à la diagonalisation de l'un d'eux. Dans un second temps, nous étudierons le comportement en temps long du système, nous obtenons entre-autres des formules explicites pour l'évolution à un temps donné des observables de Weyl. Ces résultats nous permettent d'étudier la variation d'énergie totale ainsi que les échanges d'énergies dans le système. Enfin on terminera en étudiant la production d'entropie dans le système que l'on reliera aux formules de variation d'énergie. Pour cela on généralisera au préalable la formule dite de production d'entropie de Jaksic et Pillet.
Dans ce travail on se concentre sur une methode alternative de quantification a travers des etats coherents. La methode canonique associe un pair de variables conjuguees classiques et identifie leur crochet de Poisson au commutateur quantique de ses observables quantiques correspondantes. Les observables sont definies comme des operateurs auto-adjoints agissant sur un espace de Hilbert particulier. Leurs valeurs physiques se trouvent dans leur resolution spectrale, et pourtant sont lies a une mesure a valeur projection (PV). Neanmoins, il existe un empechement lorsqu’on impose des bornes sur les ces spectres. Cette restriction sur la definition des operateurs est decrite par un theoreme de W. Pauli et ouvre la voie vers la definition de methodes alternatives de quantification. La quantification par etats coherents propose une definition d’observable quantique qui prend des valeurs a travers la valeur moyenne sur une famille « coherente » non-orthogonale et surcomplete de vecteurs dans l’espace de Hilbert. Les etats coherents definis a cet effet partagent avec ceux de oscillateur harmonique la propriete d’etre des resolutions de l’identite et d’etre parametrises par un indice discret et une variable complexe. Ceci les rend particulierement utiles pour « traduire » des variables classiques en operateurs quantiques bien definis. On a etudie trois cas particuliers ou la definition d’operateurs auto-adjoints est compromise. En premier on propose une definition de l’operateur de phase, correspondant a l’angle conjugue a l’action classique. En deuxieme place on etudie la quantification du mouvement dans un puits infini de potentiel, notamment, l’operateur d’impulsion problematique est defini proprement. Finalement ont propose un operateur temps, conjugue au Hamiltonien, pour une particule libre en utilisant des etats coherents de type SU(1,1) sur des demi plans de Poincare