Zamana bağlı salınım yapan manyetik alan etkisinde bir boyutlu kinetik Ising modelinin Glauber tipi dinamiği için kesin dinamik denklemleri tanımlandı. Tezin esas amacı kesin dinamik denklemler elde etmektir. Esasında bu kesin denklemler analitik iki spin korelasyon fonksiyonları kullanılarak iki farklı geçiş olasılığı koşulu kullanılarak elde edildi. Düzen parametresi veya ortalama manyetizasyon eğrileri, sistemin bazı parametreleri cinsinden elde edildi. (T, hr) faz diyagramları bazı durulma zamanları ? değerleri için elde edildi, burada T indirgenmiş sıcaklık hr ise dış manyetik alanın indirgenmiş genliğidir. Hesaplarımızda durulma zamanının artırılmasının ferromanyetik bölgeyi genişlettiğini gördük. Daha önemlisi çalışma sonucu yandaş (eşzamanlı, coexisting) ferromanyetik, paramanyetik, bölgelerin ve üçlükritik noktanın varlığını göremedik. Tabiki bu sonuç ortalama alan teorisinin öngörülerine tamamen aykırıdır. Fakat bazı Monte Carlo çalışmalarının sonucu bu tezdeki sonuçları desteklemektedir. Üçlükritik noktanın ve yandaş (eşzamanlı, coexisting) bölgelerin yanlış tahminleri, ortalama alan teorisinin önemli korelasyon terimlerini ihmal etmesinden kaynaklandığını söyleyebiliriz.
Zamana bağlı salınım yapan manyetik alan etkisinde bir boyutlu kinetik Ising modelinin Glauber tipi dinamiği için kesin dinamik denklemleri tanımlandı. Tezin esas amacı kesin dinamik denklemler elde etmektir. Esasında bu kesin denklemler analitik iki spin korelasyon fonksiyonları kullanılarak iki farklı geçiş olasılığı koşulu kullanılarak elde edildi. Düzen parametresi veya ortalama manyetizasyon eğrileri, sistemin bazı parametreleri cinsinden elde edildi. (T, hr) faz diyagramları bazı durulma zamanları ? değerleri için elde edildi, burada T indirgenmiş sıcaklık hr ise dış manyetik alanın indirgenmiş genliğidir. Hesaplarımızda durulma zamanının artırılmasının ferromanyetik bölgeyi genişlettiğini gördük. Daha önemlisi çalışma sonucu yandaş (eşzamanlı, coexisting) ferromanyetik, paramanyetik, bölgelerin ve üçlükritik noktanın varlığını göremedik. Tabiki bu sonuç ortalama alan teorisinin öngörülerine tamamen aykırıdır. Fakat bazı Monte Carlo çalışmalarının sonucu bu tezdeki sonuçları desteklemektedir. Üçlükritik noktanın ve yandaş (eşzamanlı, coexisting) bölgelerin yanlış tahminleri, ortalama alan teorisinin önemli korelasyon terimlerini ihmal etmesinden kaynaklandığını söyleyebiliriz.
Manyetizasyon fenomeni, fizikte daima ilgilenilen bir konu olmayı başarmıştır. Bu sebeple bugün bile fizikte en çok çalışılan konulardan biri olan manyetik faz geçişi konusu Ising tarafından oluşturulan bir modelle 1925 yılında bir boyutta açıklanmış ve tam olarak çözülmüştür. İki boyutta bu model genişletilerek bazı özel durumlar için çözülebilmiştir. Geri kalan durumlar için üç boyut ve daha üstü gibi, kesin çözüm olmamasından dolayı bu fenomeni açıklamak için ortalama-alan teorileri geliştirilmiştir. Bu tezde Ising modelin tanıtılmasının ardından bir boyutta çözümleri ve korelasyon fonksiyonları gösterilmiştir. Daha sonrasında ortalama-alan teorileri tanıtılarak, konfigürasyonel ortalama-alan transfer matrisi yöntemine geçilmiştir. Bu yöntemde, L. Kadanoff'un ortalama-alan yaklaşımı ve T. Kaya'nın ortalama-alan yaklaşımının birleştirilmesi hedeflenmiştir. Ortalama alan yaklaşımı, Ising Hamiltonyeninde merkez manyetik momentin yerine belirli bir konfigürasyonel ortalama manyetik momentinin koyulması varsayımı ile yapılmıştır. Bu yaklaşımda iki farklı ortalama-alan yaklaşımı kullanılmıştır. Birincisi pür ortalama-alan yaklaşımı ikincisi ise indirgenmiş transfer matrisi yöntemidir. Bu iki yaklaşımda da kritik bağlanma dayanım sabitleri hem nümerik olarak hem de analitik olarak eyer-noktası yaklaşımı kullanılarak hesaplanmıştır. Bu çalışmada topluluk ortalaması yerine konfigürasyonel ortalamanın alınması başlangıçta faz geçişi göstermemesinden dolayı öz-tutarlı ortalama-alan teorilerinden daha uygun fiziksel bir çerçeve sunduğu düşünülmektedir.
Bu çalışmada öncelikle kuantum özdeş parçacık sistemlerinden bozonların genel \nkuantum mekaniksel özellikleri ele alındı. Özel olarak, bir-boyutlu standart bozon \nsalınıcıları sistemini tanımlayan operatör bağıntıları ve sistemin Hamiltoniyeni \nincelendi. Daha sonra Bose sistemlerinin istatistiksel dağılım fonksiyonunun nasıl elde \nedilebileceği araştırıldı. \nİkinci olarak, ideal Bose gazının genel istatistik mekaniksel özellikleri incelendi. \nÖzellikle ideal Bose gazının hal denklemi, öz ısısı, entropisi gibi fonksiyonlarının düşük \nve yüksek sıcaklıklarda değişimlerine yoğunlaşıldı. Buradan standart Bose \nsistemlerinde, Bose-Einstein yoğunlaşmasının hangi koşullarda gerçekleşebileceği \nteorik olarak araştırıldı. \nÜçüncü olarak, bu çalışmanın orijinal kısmını oluşturan ve Bose sistemlerine de \nbir örnek uygulama olabilecek genelleştirilmiş bir bozon gazı modeli ele alındı. Tamm- \nDancoff (TD) bozon gazı modeli olarak adlandırılan bu sistemi tanımlayan bazı \nkuantum mekaniksel özellikler incelenerek, modelin bazı istatistik mekaniksel yönleri \nüzerinde çalışıldı. Özel olarak, bu genelleştirilmiş bozon gazı modelinin deformasyon \nparametresinin sistemin genelleştirilmiş dağılım fonksiyonu, iç enerjisi, entropisi gibi \nfonksiyonlarına etkileri araştırıldı. Ayrıca bu yolla, sistemin genelleştirilmiş Bose- \nEinstein fonksiyonları (g (z,q)) n elde edilerek, 0 z 1 ve q 1 bölgelerinde bu \nfonksiyonların değişimleri incelendi. Bu bağlamda elde edilen önemli sonuçlardan \nbirisi, düşük sıcaklıklarda sistemin entropisinin deformasyon parametresi q arttıkça \nazalış göstermesidir. Son olarak, elde edilen diğer sonuçların yanı sıra TD-bozon gazı \nmodeline uygulama alanı teşkil edebilecek fiziksel problemlerden bazıları tartışıldı.
Bu çalışmada, doğadaki titreşim hareketini incelemek için fizikte ve uygulamalı bilimlerde önemli bir model olan klasik ve kuantum osilatörler üzerine araştırma yapıldı. Klasik osilatörleri daha detaylı ele almak için sönümlü harmonik osilatör, zorlanmış harmonik osilatör, zorlanmış sönümlü harmonik osilatör, rastgele frekanslı osilatör ve rastgele sönümlemeli harmonik osilatör tek tek incelendi. Daha sonra, son yıllarda tekrar önem kazanan Brown hareketleri konusu ele alındı. Önce, Brown hareketleri konusunda son 20 yılda yapılan çalışmalar Web of Science veri tabanı kullanılarak bibliyografik olarak incelendi. Brown Hareketleri hakkında yapılan çalışmaların yıllara göre dağılımı, çalışmaların yapıldığı ülkelerin sıralaması, hangi alanlarda daha çok çalışma yapıldığı, çalışmaların hangi dergilerde yayınlandığı, konu hakkında yayınlanan yayınların Web of Science indeksi içinde hangi indeksler tarafından tarandığı ve atıf sayıları bakımından ayrıntılı olarak tablolar halinde incelendi. Bu taramalar sonucunda konunun yıl geçtikçe daha önem kazandığı farkedildi. Daha sonra, Brown hareketinde Langevin denklemi ile Brown parçacıklarının ortalamadan sapma miktarı, hareketteki parçacık sayısının çok olması sebebi ile istatistiksel olarak hesaplandı. Sonraki aşamada ise harmonik osilatör modeli ile sapma miktarı hesaplandı ve daha önce bulunan sonuçla karşılaştırıldı. Bulunan sonuç grafik olarak da incelendi. İnceleme sonucunda ortalamadan sapma miktarının sabit bir değere yaklaştığı görüldü. Dalgalanma Sönümlenme eşitliği ile konu ele alındı. Dalgalanmaya sebep olan kuvvet ile sönümlenmeye sebep olan etken arasındaki ilişki incelendi. Dalgalanma ve sönümleme arasındaki denge ilişkisi üzerinde duruldu. En son olarak kütlesi zamanla değişen osilatör modeli Brown hareketlerine uygulandı. Zamanla üstel olarak artan ve en fazla kütle değerinin iki katına kadar sınırlı bir kütle osilatör modeli yardımı ile incelenerek kare hız ortalamasının zamanla nasıl değiştiği incelendi ve sonuçlar grafik olarak ifade edildi. Zamanla kare hız ortalamasının artarak sabit bir değere yaklaştığı görüldü. Elde edilen sonuçlar literatürdeki sonuçlarla karşılaştırıldı.
Bu calismada dogrusal yapilandirilmis kuvantum sistemlerin eniyilemeli denetimi uzerine odaklanilmistir. Hareket denklemlerinin olusturumu ve sonra da cozumu uzerinde calismalarda bulunulmustur. Potansiyel taniminda konuma bagimlilikta, bagimsiz degiskenlerin en cok ikinci dereceden olan kuvvetlerinin ya da onlarin ikili carpimlarinin dogrusal birlesimi alinmaktadir. Bu yapilar, sonunda birinci basamaktan siradan turevli bir denklem takimiyla tanimlanabilen duruma getirilebilmektedir. Bu denklem takiminda bagimsiz degisken zaman parametresi olmakta ve degeri 0 ile etkilesme suresini gosteren T degeri arasinda degisebilmektedir. Denklem takimina eslik eden kosullarin yarisi etkilesimin basinda diger yarisi ise sonunda verildiginden “Zamanda Sinir Deger Problemi” nitelikli matematiksel bir yapiyla karsilasilmaktadir. Calisma dalga fonksiyonu ile esduzey fonksiyonunu degil, ozellikle, dis alan genligi ile sapma parametresinin belirlenmesini amaclamaktadir. Denklemlerin yapilarinin elvermesinden yararlanarak, sadece zamana bagimli olan ve aslinda herbiri ya bir beklenen deger ya da dalga fonksiyonunun tanimladigi duzey ile esduzey fonksiyonunun tanimladigi duzey arasinda gecis degeri olan bilinmeyenler uzerinde siradan turevli denklem takimlari olusturmak amaclanmis ve basarilmistir. Denklem takiminin olusturulmasi butunuyle ozgun olarak uretilmis bulunmaktadir. Incelenen durumlardaki dogrusal yapilandirim, elde edilen siradan turevli denklemlerin de dogrusal yapili olmasina olanak saglamistir. Sinir degerli bu denklemlerin, agirliklarin analitik olmasi durumunda kesin olarak cozumu saglanmis diger durumlar icin onerilen bir saptirim acilimininsa tum parametre degerleri icin yakinsak olacagi gosterilmistir. Eniyilemeli denetimde denetim suresinin cozumun gercekte uygulanabilirligini cok onemli bicimde etkiledigi gosterilmistir. Sayilari sonsuz olabilen kritik denetleme sureleri icin dis alan genliginin ve sapmanin sonsuza gidebildigi bazi denetim surelerinin ise sapmayi sifirlama olanagi verebildigi de gosterilmistir. Anahtar Kelimeler: Kuvantum mekanigi, optimal kontrol, dalga fonksiyonu, harmonik salinici.
Bu tez çalışmasında ilk olarak, kuantum özdeş parçacık sistemlerinden olan fermiyonların genel kuantum mekaniksel özellikleri ele alınmıştır. Daha sonra, ideal Fermi gazının iki ve üç-boyutlu uzaylarda genel termodinamik ve istatistiksel özellikleri incelenmiştir. \nİkinci olarak, özel bir deforme Fermi sistemini oluşturan VPJC-tipli q-deforme fermiyon gaz modelinin kuantum cebirsel özelliklerinin yanı sıra, modele ait fermiyonik Jackson türev operatörünün bazı matematiksel fonksiyonlara etkileri de çalışılmıştır. \nTez çalışmasının ilk özgün kısmı olarak; üç-boyutlu uzayda, VPJC-tipli q-deforme fermiyon gaz modelinin düşük sıcaklıklardaki istatistiksel mekanik davranışı üzerine yoğunlaşılmıştır. Özel olarak, modelin deforme kimyasal potansiyeli ve deforme ısı kapasitesinin hem sıcaklık ile hem de 0 < q < 1 aralığında tanımlı deformasyon parametresi q ile değişimleri incelenmiştir. VPJC-fermiyon gaz modelinin fiziksel bir uygulaması olarak deforme ısı kapasitesi fonksiyonu; Niobyum, Demir ve Kurşun metallerinin elektronik ısı kapasitelerinin sıcaklıkla değişimlerinin incelenmesine uygulanmıştır. \nTez çalışmasının diğer bir özgün kısmında ise, VPJC-fermiyon gaz modelinin iki-boyutlu uzayda termodinamik ve istatistiksel özellikleri incelenmiştir. Yine iki-boyutta, modelin hal denkleminin virial açılımı yapılarak, ilk beş deforme virial katsayısı bulunmuştur. \nSonuç olarak, VPJC-fermiyon gaz modelinin deformasyon parametresi q’nun termodinamik ve istatistiksel fonksiyonlara etkileri araştırılmıştır. Bulunan sonuçların, ideal Fermi gazının istatistiksel mekanik sonuçlarıyla kıyaslamaları yapılmıştır. Özellikle düşük sıcaklıklarda, VPJC-tipli q-deforme fermiyon gaz modelinden elde edilen ısı kapasitesi faktörü olan q-deforme Sommerfeld parametresinin incelenen metaller için deneysel sonuçlarla, serbest-elektron teorisi sonuçlarından daha uyumlu olduğu gösterilmiştir. Son olarak, VPJC-fermiyon gaz modelinin diğer muhtemel uygulama alanlarının neler olabileceği tartışılmıştır.
Bu çalışma; modern kuantum mekaniğinin en büyük açmazlarından biri olan dalga-parçacık ikililiğini ve "gözlemci etkisini", mistik veya soyut matematiksel kabullerden (dalga fonksiyonunun çökmesi) arındırarak, İki Öz Teorisi kapsamında tamamen mekanik ve lokal bir madde-alan etkileşimiyle çözüme kavuşturmaktadır. Teoriye göre, evrensel uzay homojen bir boşluk değil; santimetreküpte trilyonlarca alt parçacıktan oluşan, dinamik bir kuantum alanıdır (İlk Öz / Karanlık Madde). İlk Öz’ün temel doğası, baryonik (normal) madde varlığına göre refleks değiştirmesidir: Madde yokken durağan/geçirgen, madde varken tutucu/kavrayıcıdır. Bu tez; çift yarık deneylerinde (foton, elektron veya makro-moleküller fark etmeksizin) ölçüm cihazının varlığının veya zayıf ölçüm modlarındaki kademeli geçişlerin, parçacığın kendisinde hiçbir yapısal değişim yaratmadığını; değişimin tamamen parçacığın içinde ilerlediği İlk Öz Alanı'nın akışkanlık/direnç katsayısında meydana geldiğini empirik verilerle ortaya koymaktadır