Pretendemos obter a dinâmica exata do modelo fermiônico de um único sítio auto-interagente na presença de um campo magnético em duas situações, a saber: (i) o campo magnético é constante e (ii) o campo depende harmonicamente no tempo e tem direção fixa no espaço. Para obter a dinâmica exata desse modelo inicialmente escrevemos a representação matricial da hamiltoniana, posteriormente calculamos seus autovalores (suas energias) e seus autovetores (autoestados instantâneos). Com autoestados instantâneos da hamiltoniana, podemos escrever a representação de um vetor de estado físico que ao aplicar na equação de Schrodinger obtém-se os coeficiente que representam a amplitude de probabilidade de, ao realizar uma medida de energia, encontrar o sistema com energia iguais ao seus autovalores. Neste projeto os coeficientes encontrados para os dois tipos de campo magnético foram constantes.
Pretendemos obter a dinâmica exata do modelo fermiônico de um único sítio auto-interagente na presença de um campo magnético em duas situações, a saber: (i) o campo magnético é constante e (ii) o campo depende harmonicamente no tempo e tem direção fixa no espaço. Para obter a dinâmica exata desse modelo inicialmente escrevemos a representação matricial da hamiltoniana, posteriormente calculamos seus autovalores (suas energias) e seus autovetores (autoestados instantâneos). Com autoestados instantâneos da hamiltoniana, podemos escrever a representação de um vetor de estado físico que ao aplicar na equação de Schrodinger obtém-se os coeficiente que representam a amplitude de probabilidade de, ao realizar uma medida de energia, encontrar o sistema com energia iguais ao seus autovalores. Neste projeto os coeficientes encontrados para os dois tipos de campo magnético foram constantes.
RESUMO. A dinâmica do modelo fermionico de um unico sitio auto-interagente na presenca de um campo magnetico pode ser obtida de forma exata e algebrica. Diversos sais orgânicos possuem a parte eletronica descrita por modelos fermionicos com pouquissimos graus de liberdade. Nesse trabalho, escrevemos a representacao matricial da hamiltoniana do modelo fermionico, alem de calcular seus autovalores (energia) e seus autovetores (autoestados instantâneos) para dois casos de representacao de um campo magnetico externo: (i) o campo magnetico e constante em modulo e direcao e (ii) o campo depende harmonicamente no tempo e tem direcao fixa no espaco. PALAVRAS-CHAVE: Fermions, Autovalores e Autovetores, Mecânica Quântica. DYNAMICS OF SELF-INTERACTING FERMIONIC MODEL UNDER THE INTERACTION OF A MAGNETIC FIELD
Sendo sempre possível calcular a dinâmica exata de Sistemas fermiônicos com poucos graus de liberdade para quais quer conjuntos de condições iniciais, pois obedecem ao princípio de exclusão de Pauli, o que garante a finitude da base do sistema. O objetivo deste trabalho foi calcular a dinâmica exata do modelo fermiônico de uma partícula de spin ½ para o caso em que os campos externos possuem amplitude constante e a dependência temporal é da forma harmônica com frequência angular constante w0. Inicialmente escrevemos a representação matricial da hamiltoniana na qual possui toda a informação do sistema; com a representação matricial da hamiltoniana nesta base, que é uma matriz quadrada 2 x 2, podemos calcular seus autovalores (energias) e seus respectivos autoestados. Ao obter os autoestados instantâneos da hamiltoniana, podemos escrever a representação de um vetor de estado físico na base completa desses autoestados, que deve satisfazer a equação de Schrodinger. Após os cálculos, foi possível encontrar os coeficientes que representam a amplitude de probabilidade de, ao realizar uma medida de energia, encontrar o sistema com energia igual aos autovalores.
O modelo de dois níveis, na aproximação de onda girante, é um modelo quântico simples e tem sido utilizado como um candidato para modelar gates de fase geométricas entre ionsqubits na magnético externo. Estes modelos de dois níveis podem ser obtidos experimentalmente através da interação de um campo magnético externo com uma particula de spin-1̸ 2 ou acoplando a matéria a um campo elétrico externo, na aproximação de dipolo elétrico. A hamiltoniana na aproximação de ondas girantes tem sido usada em computação quântica. Os principais objetivos desse trabalho foram obter os autoestados e autovalores do modelo de dois niveis para o caso geral, ou seja, sem a implementação da onda girante e posteriormente obter a dinâmica exata do modelo para a aproximação de onda girante aplicada ao campo eletrico. Foram obtidos os autoestados e autovalores do modelo para o caso geral. Para obter a dinâmica exata do modelo fermionico de dois níveis, usamos a representação do vetor físico escrito na base dos autoestados instantâneos da hamiltonia. A partir, daí, usamos a equação de Schrödinger para obter a evolução dinâmica, na forma das equações diferenciais acopladas para cada coeficiente do vetor físico. Os coeficientes obtidos para o caso de um campo elético uniforme demonstraram ser independentes do tempo, não gerando as fases de Aharonov-Anandan.
Os modelos fermiônicos com dois ou três sítios espaciais, na maioria das vezes, são usados para descrever as propriedades eletrônicas e/ou ópticas de certos sais orgânicos que possuem transferência de carga elétrica. Recentemente, foram verificadas algumas propriedades condutoras, do tipo de alguns cupratos, em sais orgânicos de monômeros TCNQ (tetracyanoquinodimethane) e TTF (tetrathiafulvalene). Além dessa importância citada, os modelos fermiônicos com poucos graus de liberdade, geralmente, tem solução algébrica. Nesse projeto de IC, calculamos a dinâmica exata desse modelo que representa a parte eletrônica do sal TCNQ quando: não temos um campo magnético externo aplicado e quando temos apenas um elétron orbitando entre os sítios espaciais (N=1). A metodologia utilizada foi escrever a representação matricial da hamiltoniana na base dos estados de número de partículas bem definidos. Calculamos seus autovalores (energia) e seus autovetores (autoestados instantâneos) para o caso do campo magnético externo aplicado ser nulo, escrevemos a representação de um vetor de estado físico, que carrega toda a informação do sistema fermiônico estudado, e o aplicamos na equação de Schrodinger para o cálculo da amplitude de probabilidade. As equações diferenciais que encontramos puderam ser agrupadas em dois grupos idênticos que envolviam apenas dois coeficientes por par de equações. Por fim, calculamos o vetor de polarização média desse modelo e verificamos que o vetor polarização média desse sal é identicamente nulo e não houve, por esse fato, a aplicação da aproximação de onda girante, pois não faria sentido devido a esse resultado.
No projeto de iniciação científica desenvolvido anteriormente, estudamos um modelo de dois níveis fermiônicos sob a interação de dois campos clássicos externos, um magnético e um elétrico. Para campos gerais, encontramos os autovalores e autoenergias respectivas desse modelo. Para estudar a dinâmica adiabática desse modelo, restringimos o campo magnético a um campo, de norma constante, que precessiona em torno de uma direção fixa no espaço com freqüência constante e o campo elétrico a ter a mesma freqüência angular do campo magnético. Encontramos nesse regime, as fases geométricas quando os dois campos voltam às mesmas configurações iniciais após um período. Nesse novo projeto, obtivemos a dinâmica exata desse modelo para as mesmas configurações de campos externos do projeto anterior sem fazer a restrição ao regime adiabático e reobtivemos os resultados das fases geométricas adquiridas pelos autoestados da hamiltoniana, quando implementamos a aproximação adiabática.
O modelo fermiônico com dois ou três sítios espaciais é utilizado para descrever as propriedades ópticas de sais orgânicos que possuem transferência de carga elétrica. Quando a constante de transferência que caracteriza o deslocamento do elétron para o sítio vizinho é muito pequena esse sistema pode ser aproximado, em primeira ordem, por dois modelos fermiônicos de um sítio espacial com férmions auto-interagentes independentes. Esta aproximação justifica o interesse de estudarmos o modelo fermiônico com apenas um sítio espacial, levando em conta a auto-interação dos férmions. As fases geométricas ou de Berry estão associadas a fases que os estados quânticos adquirem (além da fase devido à dinâmica) ao evoluir no tempo num regime adiabático. Nosso objetivo foi calcular as fases geométricas adquiridas pelos autoestados instantâneos da hamiltoniana de um elétron sob ação externa de um campo magnético dependente do tempo e de um campo elétrico clássico. Calculamos e obtivemos a evolução dinâmica do modelo fermiônico com um sítio espacial de dois níveis na presença de campos elétrico e magnético externos. Encontramos as autoenergias e autoestados desse modelo para condições gerais dos campos e escrevemos um vetor físico qualquer usando a base dos autoestados instantâneos da hamiltoniana calculando alguns valores médios de quantidades.