Un sistema físico híbrido es aquel consistente en dos subsistemas acoplados, uno clásico y uno cuántico. La modelización matemática de los mismos requiere el tratamiento de los dos subsistemas a través de un mismo formalismo matemático. Una vía para hacerlo es el denominado formalismo de Koopman, mediante el cual se construye un espacio de Hilbert que contiene a los estados del sistema clásico, de manera análoga a la formulación usual de la mecánica cuántica, y definir, así, un espacio de Hilbert de estados híbridos. Esto permite construir una representación del álgebra de observables híbridos como operadores lineales sobre el espacio de Hilbert y de los estados como matrices densidad sobre el mismo, definiendo dinámicas sobre estos espacios. Sin embargo, mientras que el álgebra de observables está bien caracterizado, considerar que el espacio de estados se corresponde con el conjunto completo de matrices densidad no es correcto. En este trabajo se trata de dar una mejor caracterización de este espacio. Así, se demuestra que diferentes matrices densidad representan el mismo estado físico y se construye una relación de equivalencia sobre el espacio de matrices densidad que permite definir un espacio cociente de estados híbridos, verificando que las dinámicas definidas sobre el espacio de matrices densidad completo están bien definidas sobre este nuevo espacio. La complejidad de esta relación de equivalencia, que impone una condición sobre todos los observables físicos, plantea el problema de la búsqueda de una relación más sencilla que facilite el análisis de la estructura del espacio cociente. Este problema se aborda en el trabajo desde dos perspectivas alternativas. La primera de ellas consiste en buscar escribir la relación de equivalencia en términos de transformaciones de matrices densidad. La segunda se basa en el uso de las denominadas funciones de Wigner, que permiten trasladar los estados del espacio de matrices densidad a un espacio de funciones sobre un espacio de fases. Finalmente, se exponen las limitaciones de ambos formalismos, concluyendo con las líneas de trabajo futuro que estas limitaciones proporcionan.
El presente trabajo desarrolla un análisis geométrico y algebraico del espacio de estados cuánticos de sistemas de dos niveles, enfatizando la estructura profunda que subyace en la esfera de Bloch. A partir de la formulación en términos de espacios de Hilbert complejos y su correspondiente reducción proyectiva, se establece la identificación del espacio físico de estados con la variedad riemanniana
CP1, difeomorfa a la esfera
S2. En este marco, se demuestra que la descomposición de operadores en la base de las matrices de Pauli induce de manera natural la representación del estado cuántico mediante el vector de Bloch, estableciendo una correspondencia biunívoca entre operadores hermíticos y puntos en el espacio tridimensional. Asimismo, se analiza la acción del grupo
SU(2) sobre el espacio de estados, mostrando su equivalencia con rotaciones en
SO(3) y proporcionando una interpretación geométrica de la dinámica cuántica como trayectorias sobre variedades diferenciables. Adicionalmente, se incorporan consideraciones sobre sistemas abiertos, donde la evolución se describe mediante transformaciones afines que modelan procesos de decoherencia, así como extensiones hacia sistemas de mayor dimensión. En conjunto, se evidencia que la esfera de Bloch constituye una manifestación concreta de la unidad entre álgebra, geometría diferencial y teoría cuántica.