Un sistema físico híbrido es aquel consistente en dos subsistemas acoplados, uno clásico y uno cuántico. La modelización matemática de los mismos requiere el tratamiento de los dos subsistemas a través de un mismo formalismo matemático. Una vía para hacerlo es el denominado formalismo de Koopman, mediante el cual se construye un espacio de Hilbert que contiene a los estados del sistema clásico, de manera análoga a la formulación usual de la mecánica cuántica, y definir, así, un espacio de Hilbert de estados híbridos. Esto permite construir una representación del álgebra de observables híbridos como operadores lineales sobre el espacio de Hilbert y de los estados como matrices densidad sobre el mismo, definiendo dinámicas sobre estos espacios. Sin embargo, mientras que el álgebra de observables está bien caracterizado, considerar que el espacio de estados se corresponde con el conjunto completo de matrices densidad no es correcto. En este trabajo se trata de dar una mejor caracterización de este espacio. Así, se demuestra que diferentes matrices densidad representan el mismo estado físico y se construye una relación de equivalencia sobre el espacio de matrices densidad que permite definir un espacio cociente de estados híbridos, verificando que las dinámicas definidas sobre el espacio de matrices densidad completo están bien definidas sobre este nuevo espacio. La complejidad de esta relación de equivalencia, que impone una condición sobre todos los observables físicos, plantea el problema de la búsqueda de una relación más sencilla que facilite el análisis de la estructura del espacio cociente. Este problema se aborda en el trabajo desde dos perspectivas alternativas. La primera de ellas consiste en buscar escribir la relación de equivalencia en términos de transformaciones de matrices densidad. La segunda se basa en el uso de las denominadas funciones de Wigner, que permiten trasladar los estados del espacio de matrices densidad a un espacio de funciones sobre un espacio de fases. Finalmente, se exponen las limitaciones de ambos formalismos, concluyendo con las líneas de trabajo futuro que estas limitaciones proporcionan.
Un sistema físico híbrido es aquel consistente en dos subsistemas acoplados, uno clásico y uno cuántico. La modelización matemática de los mismos requiere el tratamiento de los dos subsistemas a través de un mismo formalismo matemático. Una vía para hacerlo es el denominado formalismo de Koopman, mediante el cual se construye un espacio de Hilbert que contiene a los estados del sistema clásico, de manera análoga a la formulación usual de la mecánica cuántica, y definir, así, un espacio de Hilbert de estados híbridos. Esto permite construir una representación del álgebra de observables híbridos como operadores lineales sobre el espacio de Hilbert y de los estados como matrices densidad sobre el mismo, definiendo dinámicas sobre estos espacios. Sin embargo, mientras que el álgebra de observables está bien caracterizado, considerar que el espacio de estados se corresponde con el conjunto completo de matrices densidad no es correcto. En este trabajo se trata de dar una mejor caracterización de este espacio. Así, se demuestra que diferentes matrices densidad representan el mismo estado físico y se construye una relación de equivalencia sobre el espacio de matrices densidad que permite definir un espacio cociente de estados híbridos, verificando que las dinámicas definidas sobre el espacio de matrices densidad completo están bien definidas sobre este nuevo espacio. La complejidad de esta relación de equivalencia, que impone una condición sobre todos los observables físicos, plantea el problema de la búsqueda de una relación más sencilla que facilite el análisis de la estructura del espacio cociente. Este problema se aborda en el trabajo desde dos perspectivas alternativas. La primera de ellas consiste en buscar escribir la relación de equivalencia en términos de transformaciones de matrices densidad. La segunda se basa en el uso de las denominadas funciones de Wigner, que permiten trasladar los estados del espacio de matrices densidad a un espacio de funciones sobre un espacio de fases. Finalmente, se exponen las limitaciones de ambos formalismos, concluyendo con las líneas de trabajo futuro que estas limitaciones proporcionan.
En este trabajo, continuando los anteriores avances del grupo, se tratará de analizar la estabilidad del llamado ensemble canónico híbrido (HCE) bajo una dinámica lindbladiana, lo que lo dotaría de un sentido termodinámico completo. Para ello, se expone el formalismo de Koopman von Neumann (KvN), que permite expresar la mecánica estadística clásica en términos de espacios de Hilbert. Se resumirá cómo esta construcción se aplica a sistemas híbridos clásico-cuánticos, generalmente aproximaciones de un sistema completamente cuántico para facilitar su estudio. Además, se presentarán los conceptos de entropía híbrida y HCE. Después, se presentarán las dinámicas unitaria y lindbladiana híbrida. Finalmente, mediante métodos numéricos, se tratará de encontrar una ecuación lindbladiana que tenga al HCE como punto estable, requisito indispensable para poder ser considerada como una dinámica híbrida termodinámicamente consistente. Adicionalmente, en los apéndices, se recoge un problema resuelto durante la elaboración del trabajo, que surge de una inconsistencia encontrada en una igualdad entre dos tipos de entropías y que ha llevado a la definición por parte del grupo de un nuevo tipo de entropía para sistemas híbridos en el formalismo KvN.
Resumen.En estas notas se exponen con detalle y de manera autocontenida las herramientas básicas de la teoría de los espacios de Hilbert complejos de dimensión infinita, que son necesarias para un primer estudio, matemáticamente riguroso, de la mecánica cuántica.En la última parte incluimos una introducción axiomática a la mecánica cuántica y una breve exposición del modelo del oscilador armónico y de la teoría de estados cuánticos Gaussianos. IntroducciónLa mecánica cuántica es la rama de la física que estudia los fenómenos físicos que ocurren en escalas de longitudes muy pequeñas.El calificativo "cuántico" surge de, en contraste con la mecánica clásica, considerar algunas cantidades que toman solamente valores discretos i.e., en "paquetes" o quantum-quanta en latín.Aún cuando hay muchas nociones de la mecánica cuántica que aún suscitan controversia, esta teoría se aplica exitosamente para describir el comportamiento de sistema físicos y sus predicciones son consistentes con los experimentos.Los sistemas físicos que estudia la mecánica cuántica, exhiben propiedades ondulatorias que se pueden describir mediante una ecuación de onda, por ejemplo, la bien conocida "ecuación de Schrödinger", que describe la evolución temporal de una partícula subatómica con masa, en el contexto no relativista.En estas notas trabajamos con el formalismo de matrices de densidad, que permite describir estados que son mezclas de estados puros.En consecuencia, este enfoque resulta ser una herramienta poderosa para describir sistemas cuánticos más generales, por ejemplo, acoplamientos (ensambles) de muchos sistemas cuánticos idénticos.El material que se presenta en este trabajo está dividido en cuatro secciones compuestas de la siguiente manera: la sección 1 contiene una selección de resultados de índole geométrico y analítico de la teoría de espacios de Hilbert: ortogonalidad y descomposición ortogonal, convexidad, operadores lineales, norma de operadores y funcionales lineales.La sección 2 se concentra en la clase de los operadores compactos, particularmente en los operadores de la clase de traza y de manera especial, en los operadores de Hilbert-Schmidt.Es relevante mencionar que los estados cuánticos se representan mediante operadores positivos de traza uno.La sección 3 se dedica al estudio de operadores no acotados que pueden no estar densamente definidos en un espacio de Hilbert.Abordamos también el estudio de operadores cerrados y cerrables, el adjunto de un operador y una introducción a la teoría espectral de operadores.Una parte esencial de esta sección son los operadores simétricos e isométricos, los cuales exhiben similitudes en sus propiedades geométricas y espectrales.Cabe señalar que las observables físicas se representan por operadores simétricos típicamente no acotados.Por último, en la sección 4 se discuten brevemente postulados de la mecánica cuántica en el marco del formalismo de matrices de densidad, se revisa el modelo del oscilador armónico cuántico y se ofrece una introducción a los estados cuánticos Gaussianos.Al final de cada sección incluimos una selección de problemas que sirven para complementar estas notas.El lector interesado puede profundizar en el estudio de resultados aquí expuestos, desde los más básicos hasta los más avanzados, en la literatura clásica de operadores lineales, por ejemplo en [1,2,3,4,13,20].
El objetivo primario de esta memoria es el estudio de la trigonometria
del espacio cuantico de estados, dentro de un marco matematico bien formulado
en el que ideas como la de fases geometricas aparecen como manifestaciones
elementales de la geometria del espacio de estados, El camino escogido,
supone un nuevo metodo trigonometrico que es aplicable a cualquier espacio
homogeneo simetrico de rango uno.
Desde un punto de vista matematico, el espacio de estados cuanticos
se identifica con el espacio hermitico eliptico, que es el nombre convencional
dado al espacio proyectivo complejo dotado de la estructura Hermitica derivada
del producto hermitico en el espacio de Hilbert, que reune una estructura
compleja, una metrica riemanniana llamda de Fubini-Study, y una estructura
simplectica.
El trabajo que se describe en esta Memoria se ha realizado dentro del
formalismo conocido como de Cayley-Klein, cuya idea basica es considerar
un esquema en el que varios espacios homogeneos, los grupos de movimientos
correspondientes y sus algebras de Lie se agrupan en familias, dependientes
de varios parametros reales que tienen varios significados en relacion
con cada nivel del esquema.
Dentro de la filosofia general del esquema de Cayley-Klein se identifican
los invariantes trigonometricos asociados a tres puntos y a las tres geodesicas
que los unen, de una sola vez para toda una familia parametrizada de espacios
homogeneos simetricos de tipo hermitico y se encuentran las relaciones
existentes entre ellos (ecuaciones trigonometricas), que contienen los
parametros y que son para todos los espacios de la familia. En este sentido,
este tratamiento lleva a sus ultimas consecuencias, para la familia de
espacios hermiticos y grupos unitarios de Cayley-Klein-Dickson asociados,
la idea de la trigonometria absoluta inicialmente estudiada para los espacios
clasicos de curvatura constante de tipo real (esfera, espacio euclideo
La presente tesis enfrenta la problemática de establecer si es posible construir una versión de la mecánica cuántica (MC) en espacios de Hilbert que trate al espacio y al tiempo en pie de igualdad, y considere a la simetría de Lorentz de manera explícita en teorías relativistas. La relevancia actual de este problema, intrínseco al área de fundamentos de la mecánica cuántica, radica en las potenciales implicancias para otras áreas como la información, la computación y la gravedad cuántica, y, sobre todo, para el reciente conjunto de ideas que yace en la intersección de las mismas. En la tesis se construye progresivamente un formalismo con las características deseadas, proporcionando así una respuesta afirmativa a la pregunta inicial. La construcción comienza con la generalización del formalismo de Page y Wootters al caso de partículas relativistas y luego al de varias partículas. Esto conlleva a introducir espacios de Hilbert ampliados a través de álgebras que tratan al tiempo y al espacio en pie de igualdad. A través del concepto de operador acción, una versión cuántica de la acción clásica, se establece la existencia de una correspondencia entre los espacios de Hilbert ampliados y la MC convencional. Se demuestra a su vez que la suma sobre historias de la formulación de Feynman adquiere un nuevo significado en estos espacios. Finalmente, se combinan todos los resultados anteriores en una discusión sobre las deficiencias del espacio de fases clásico para abarcar explícitamente simetrías del espacio-tiempo, y sobre como estas son heredadas por la MC, afectando incluso a su formulación ampliada. Se propone entonces una versión aumentada de la formulación Hamiltoniana clásica que involucra corchetes de Poisson simétricos en espacio-tiempo para campos de materia y corchetes de Poisson asociados a las posibles foliaciones del espacio-tiempo. Esta formulación clásica permite obtener ecuaciones de movimiento invariantes en el espacio de fase. Su cuantización lleva directamente a los espacios de Hilbert ampliados, dónde además la foliación es cuántica y la simetría de Lorentz explícita. Condicionando con respecto a autoestados de foliación, en analogía con el formalismo de Page y Wootters, se recupera la correspondencia con la MC convencional. Finalmente, se discuten las novedades introducidas por el formalismo, y su potencial para proporcionar nuevas intuiciones de carácter teórico, informacional y computacional, y para introducir teorías físicas que no encuentran una correspondencia con la MC usual.
Se estudian los sistemas de dos niveles sin recurrir al espacio de Hilbert el cual es sustituido por el álgebra geométrica del espacio tridimensional (Espacio de Hilbert). En esta descripción los estados son codificados mediante elementos de un ideal izquierdo mínimo del álgebra par de G3, mientras los operadores son codificados mediante la combinación lineal de los vectores del álgebra impar de (Espacio de Hilbert). La dinámica que obedecen estos sistemas está gobernada por la ecuación de “Schrödinger real" ya que el número imaginario (i) es sustituido por el pseudoescalar de (Espacio de Hilbert). Introduciendo los idempotentes primitivos del álgebra geométrica, se generalizan las descripciones previas estando en completo acuerdo con la literatura convencional. Utilizando los axiomas del álgebra geométrica, se demuestra que las relaciones de conmutación canónica que obedecen los operadores de espín son consecuencia de la anticonmutatividad del producto geométrico.
En este trabajo, se analiza una teoría que es en cierto modo una extensión natural del campo de las telecomunicaciones clásicas a la mecánica cuántica. Dicha teoría se llama tomografía cuántica y es de hecho una imagen de la mecánica cuántica equivalente a las más habituales que son la imagen de Schrödinger o la de Heisenberg. Esta nueva imagen, difiere de las precedentes en que está muy ligada a la capacidad tecnológica a la hora de medir observables (momento, energía, etc.) en el campo de la óptica cuántica, ya que su objetivo primordial es el de conseguir reconstruir el estado de un sistema cuántico a partir de mediciones en el laboratorio, y dado al avance tecnológico del instrumental de laboratorio disponible como láseres y fotodetectores, cada vez está suscitando mayor interés. En el primer capítulo, veremos cómo nace esta idea de reconstruir estados cuánticos discutiendo brevemente la técnica clásica conocida como Tomografía Axial Computerizada (TAC). Esta técnica está basada en los trabajos de Johann Karl August Radon aplicando la transformada que lleva su nombre. Introduciremos la transformada de Radon de una función de probabilidad definida en el espacio de fases para ver cómo se aplica en el caso del TAC. Para aplicar esta idea para la reconstrucción de estados cuánticos, veremos, en primer lugar, que existe una extensión natural de las técnicas de demodulación de señales moduladas en amplitud (AM) en el campo de la óptica cuántica mostrando que el papel que cumple un mezclador puede ser reemplazado por una combinación de divisores de haz y fotodetectores y mostraremos explícitamente cómo reconstruir el operador densidad que describe un estado cuántico a través de un proceso reminiscente de la transformada de Radon clásica. El segundo capítulo será el corazón de este trabajo. En él, introduciremos de manera formal la descripción tomográfica de la mecánica cuántica. Presentaremos una teoría general, para ello, trataremos a los observables como elementos de un álgebra C_ y los estados serán funcionales lineales positivos que actúen en dicha algebra. Veremos que esta descripción de la mecánica cuántica puede dividirse en dos partes, una primera con el objetivo de obtener una fórmula para reconstruir el estado de un sistema cuántico a partir de una función definida sobre un conjunto llamado conjunto tomográfico, que será un conjunto de observables que tendrá que cumplir una serie de condiciones que expondremos debidamente. A esta primera parte de la teoría, la bautizaremos como Teoría de muestreo generalizada en sistemas cuánticos. La segunda parte estará relacionada con la parte puramente experimental. Lo que hace necesario tener que añadir esta segunda parte es el hecho de que la función definida anteriormente sobre el conjunto tomográfico, que llamaremos función de muestreo, en general, no puede ser medida por medio de los dispositivos con los que contamos en un laboratorio de óptica cuántica, sin embargo, a partir de las mediciones hechas con un fotodetector, podemos obtener distribuciones de probabilidad de cantidades relacionadas con los observables. Entonces, tomando esto último como motivación, esta segunda parte de la teoría consistirá en relacionar esa función de muestreo con una distribución de probabilidad que llamaremos tomograma, que será el resultado directo de un proceso de medida en el laboratorio, y la llamaremos Transformada generalizada positiva por motivos que se expondrán convenientemente. Uno de los problemas más sutiles de esta teoría consiste en hallar un conjunto tomográfico que cumpla las condiciones necesarias para permitir reconstruir el estado a partir de él. Sin embargo, veremos que de manera natural, las representaciones unitarias irreducibles de un grupo finito o de Lie compacto proporcionan conjuntos tomográficos que cumplen las condiciones requeridas, por eso, nos centraremos en el estudio de la reconstrucción de estados a partir de grupos relacionados con el sistema físico dado. Aunque también destacaremos que existen otras representaciones unitarias que nos permiten reconstruir el estado cuántico a partir de ellas, como lo es la representación unitaria irreducible del grupo de Heisenberg Weyl dada por el álgebra de Lie que forman los operadores momento y posición cuánticos que es el ejemplo con el que nace la tomografía cuántica introducido en el primer capítulo. En el tercer capítulo presentaremos un algoritmo numérico que se deriva a partir de unos estados que llamaremos estados adaptados que habremos definido en el capítulo anterior. Este algoritmo nace como un problema inverso, ya que hasta entonces nos habremos centrado en reconstruir estados a partir de un conjunto tomográfico, en especial, cuando el conjunto tomográfico está definido a partir de una representación unitaria de un grupo. Este problema inverso consiste en determinar qué información es posible obtener de una representación unitaria de un grupo si se tiene una familia de estados que describe un sistema físico relacionado con un grupo de simetría. La respuesta a esta pregunta es muy satisfactoria ya que es posible conocer la matriz de transformación de base que nos permita transformar la base, en la que está descrita la representación unitaria, en una base adaptada a los subespacios invariantes bajo la acción de todos los elementos de la representación. Este problema se conoce como descomposición de Clebsh Gordan, ya que dicha transformación aplicada a la representación unitaria la convierte en una matriz diagonal por bloques en la que cada bloque corresponde a una representación unitaria irreducible. La manera en la que resolveremos este problema es con un algoritmo numérico que sólo requiere dos estados adaptados como argumentos de entrada, que pueden ser obtenidos de manera directa si se conoce de forma explícita la representación unitaria que queremos reducir. Este algoritmo lo hemos bautizado con el nombre de SMILY. Hay que destacar que como este algoritmo se ha generado sólo aplicando ciertas transformaciones unitarias sobre matrices que representan un estado cuántico, tiene una extensión natural que podría implementarse en un ordenador cuántico. Para acabar esta tesis, generalizaremos la descripción tomográfica a campos clásicos y cuánticos. Para el caso clásico, primero realizaremos una descripción tomográfico para sistemas con finitos grados de libertad y obtendremos el equivalente tomográfico de la ecuación de Liouville para una densidad de probabilidad y tras esto, haremos el mismo análisis para sistemas con infinitos grados de libertad. Para obtener la descripción tomográfica para campos cuánticos, partiremos del concepto de segunda cuantización y mostraremos el equivalente tomográfico de los axiomas de Wightman Streater para una teoría cuántica de campos. Y para terminar, obtendremos un teorema de reconstrucción para campos escalares y calcularemos el tomograma de ciertos estados de un campo cuántico escalar libre. Comentemos esto último diciendo que es el inicio de una teoría que permitirá una descripción tomográfica de estados, por ejemplo ligados, para teorías con interacción. Para concluir este resumen, quisiera resaltar que el lector especializado, si lo considera conveniente, puede comenzar a leer a partir del segundo capítulo, ya que aunque el primer capítulo sirve como motivación de porqué desarrollar una descripción tomográfica de la mecánica cuántica, el texto puede comprenderse si previamente no se ha leído.