El presente trabajo desarrolla un análisis geométrico y algebraico del espacio de estados cuánticos de sistemas de dos niveles, enfatizando la estructura profunda que subyace en la esfera de Bloch. A partir de la formulación en términos de espacios de Hilbert complejos y su correspondiente reducción proyectiva, se establece la identificación del espacio físico de estados con la variedad riemanniana $\mathbb{CP}^1$, difeomorfa a la esfera $S^2$. En este marco, se demuestra que la descomposición de operadores en la base de las matrices de Pauli induce de manera natural la representación del estado cuántico mediante el vector de Bloch, estableciendo una correspondencia biunívoca entre operadores hermíticos y puntos en el espacio tridimensional. Asimismo, se analiza la acción del grupo $SU(2)$ sobre el espacio de estados, mostrando su equivalencia con rotaciones en $SO(3)$ y proporcionando una interpretación geométrica de la dinámica cuántica como trayectorias sobre variedades diferenciables. Adicionalmente, se incorporan consideraciones sobre sistemas abiertos, donde la evolución se describe mediante transformaciones afines que modelan procesos de decoherencia, así como extensiones hacia sistemas de mayor dimensión. En conjunto, se evidencia que la esfera de Bloch constituye una manifestación concreta de la unidad entre álgebra, geometría diferencial y teoría cuántica.
El presente trabajo desarrolla un análisis geométrico y algebraico del espacio de estados cuánticos de sistemas de dos niveles, enfatizando la estructura profunda que subyace en la esfera de Bloch. A partir de la formulación en términos de espacios de Hilbert complejos y su correspondiente reducción proyectiva, se establece la identificación del espacio físico de estados con la variedad riemanniana CP1, difeomorfa a la esfera S2. En este marco, se demuestra que la descomposición de operadores en la base de las matrices de Pauli induce de manera natural la representación del estado cuántico mediante el vector de Bloch, estableciendo una correspondencia biunívoca entre operadores hermíticos y puntos en el espacio tridimensional. Asimismo, se analiza la acción del grupo SU(2) sobre el espacio de estados, mostrando su equivalencia con rotaciones en SO(3) y proporcionando una interpretación geométrica de la dinámica cuántica como trayectorias sobre variedades diferenciables. Adicionalmente, se incorporan consideraciones sobre sistemas abiertos, donde la evolución se describe mediante transformaciones afines que modelan procesos de decoherencia, así como extensiones hacia sistemas de mayor dimensión. En conjunto, se evidencia que la esfera de Bloch constituye una manifestación concreta de la unidad entre álgebra, geometría diferencial y teoría cuántica.
El objetivo primario de esta memoria es el estudio de la trigonometria
del espacio cuantico de estados, dentro de un marco matematico bien formulado
en el que ideas como la de fases geometricas aparecen como manifestaciones
elementales de la geometria del espacio de estados, El camino escogido,
supone un nuevo metodo trigonometrico que es aplicable a cualquier espacio
homogeneo simetrico de rango uno.
Desde un punto de vista matematico, el espacio de estados cuanticos
se identifica con el espacio hermitico eliptico, que es el nombre convencional
dado al espacio proyectivo complejo dotado de la estructura Hermitica derivada
del producto hermitico en el espacio de Hilbert, que reune una estructura
compleja, una metrica riemanniana llamda de Fubini-Study, y una estructura
simplectica.
El trabajo que se describe en esta Memoria se ha realizado dentro del
formalismo conocido como de Cayley-Klein, cuya idea basica es considerar
un esquema en el que varios espacios homogeneos, los grupos de movimientos
correspondientes y sus algebras de Lie se agrupan en familias, dependientes
de varios parametros reales que tienen varios significados en relacion
con cada nivel del esquema.
Dentro de la filosofia general del esquema de Cayley-Klein se identifican
los invariantes trigonometricos asociados a tres puntos y a las tres geodesicas
que los unen, de una sola vez para toda una familia parametrizada de espacios
homogeneos simetricos de tipo hermitico y se encuentran las relaciones
existentes entre ellos (ecuaciones trigonometricas), que contienen los
parametros y que son para todos los espacios de la familia. En este sentido,
este tratamiento lleva a sus ultimas consecuencias, para la familia de
espacios hermiticos y grupos unitarios de Cayley-Klein-Dickson asociados,
la idea de la trigonometria absoluta inicialmente estudiada para los espacios
clasicos de curvatura constante de tipo real (esfera, espacio euclideo
Un sistema físico híbrido es aquel consistente en dos subsistemas acoplados, uno clásico y uno cuántico. La modelización matemática de los mismos requiere el tratamiento de los dos subsistemas a través de un mismo formalismo matemático. Una vía para hacerlo es el denominado formalismo de Koopman, mediante el cual se construye un espacio de Hilbert que contiene a los estados del sistema clásico, de manera análoga a la formulación usual de la mecánica cuántica, y definir, así, un espacio de Hilbert de estados híbridos. Esto permite construir una representación del álgebra de observables híbridos como operadores lineales sobre el espacio de Hilbert y de los estados como matrices densidad sobre el mismo, definiendo dinámicas sobre estos espacios. Sin embargo, mientras que el álgebra de observables está bien caracterizado, considerar que el espacio de estados se corresponde con el conjunto completo de matrices densidad no es correcto. En este trabajo se trata de dar una mejor caracterización de este espacio. Así, se demuestra que diferentes matrices densidad representan el mismo estado físico y se construye una relación de equivalencia sobre el espacio de matrices densidad que permite definir un espacio cociente de estados híbridos, verificando que las dinámicas definidas sobre el espacio de matrices densidad completo están bien definidas sobre este nuevo espacio. La complejidad de esta relación de equivalencia, que impone una condición sobre todos los observables físicos, plantea el problema de la búsqueda de una relación más sencilla que facilite el análisis de la estructura del espacio cociente. Este problema se aborda en el trabajo desde dos perspectivas alternativas. La primera de ellas consiste en buscar escribir la relación de equivalencia en términos de transformaciones de matrices densidad. La segunda se basa en el uso de las denominadas funciones de Wigner, que permiten trasladar los estados del espacio de matrices densidad a un espacio de funciones sobre un espacio de fases. Finalmente, se exponen las limitaciones de ambos formalismos, concluyendo con las líneas de trabajo futuro que estas limitaciones proporcionan.
Cuando un sistema cuántico evoluciona de manera coherente, su función de onda adquiere una fase (fase de Pancharatnam) compuesta por dos contribuciones: una dinámica, determinada por el Hamiltoniano de la evolución y otra de carácter geométrico, determinada por la trayectoria del estado en el espacio de Hilbert. Esta última se conoce como fase geométrica y no depende del ritmo de evolución temporal ni del Hamiltoniano específico que genera la trayectoria, sino de la forma de la trayectoria seguida. En sistemas de dos niveles como los qubits de polarización, esta fase puede visualizarse en la esfera de Poincaré como proporcional al ángulo sólido encerrado por una trayectoria cerrada del vector de estado al evolucionar. Su estudio resulta relevante no solo por su interés teórico, sino también por su potencial aplicación en el diseño de operaciones cuánticas robustas frente a ciertos tipos de errores, como los que produce la decoherencia. Con el propósito de estudiar experimentalmente fases geométricas en qubits de polarización, esta tesis presenta un interferómetro de transmisión con control de fase polarimétrico que opera con fotones individuales. Este diseño evita el uso de elementos reflectivos y resulta compatible con configuraciones ópticas requeridas para trabajar con fuentes de fotones individuales. Esta tesis contiene dos partes principales. La primera parte del trabajo se centró en la medición interferométrica de la fase de Pancharatnam adquirida por estados de polarización sometidos a transformaciones del grupo SU(2). Para ello, se desarrolló un esquema experimental que permite implementar dichas transformaciones mediante un conjunto adicional de láminas retardadoras en el interferómetro de transmisión propuesto. Se reconstruyeron patrones de interferencia para las transformaciones implementadas. La fase de Pancharatnam se determinó a partir del análisis del desplazamiento de los patrones de interferencia respecto a un patrón de referencia. En la segunda parte, se introdujo una transformación del tipo U(1) para anular la componente dinámica de la fase de Pancharatnam. Se mostraron los cálculos teóricos necesarios para seleccionar los ángulos de las láminas retardadoras que permitieran dicha anulación. Una vez implementada la configuración correspondiente, se realizó la medición interferométrica de la fase geométrica asociada a trayectorias cerradas no geodésicas en la esfera de Poincaré. Como resultado, este trabajo presenta un procedimiento experimental para la medición interferométrica de fases geométricas en el régimen de fotones individuales.
Se estudian los sistemas de dos niveles sin recurrir al espacio de Hilbert el cual es sustituido por el álgebra geométrica del espacio tridimensional (Espacio de Hilbert). En esta descripción los estados son codificados mediante elementos de un ideal izquierdo mínimo del álgebra par de G3, mientras los operadores son codificados mediante la combinación lineal de los vectores del álgebra impar de (Espacio de Hilbert). La dinámica que obedecen estos sistemas está gobernada por la ecuación de “Schrödinger real" ya que el número imaginario (i) es sustituido por el pseudoescalar de (Espacio de Hilbert). Introduciendo los idempotentes primitivos del álgebra geométrica, se generalizan las descripciones previas estando en completo acuerdo con la literatura convencional. Utilizando los axiomas del álgebra geométrica, se demuestra que las relaciones de conmutación canónica que obedecen los operadores de espín son consecuencia de la anticonmutatividad del producto geométrico.
Resumen.En estas notas se exponen con detalle y de manera autocontenida las herramientas básicas de la teoría de los espacios de Hilbert complejos de dimensión infinita, que son necesarias para un primer estudio, matemáticamente riguroso, de la mecánica cuántica.En la última parte incluimos una introducción axiomática a la mecánica cuántica y una breve exposición del modelo del oscilador armónico y de la teoría de estados cuánticos Gaussianos. IntroducciónLa mecánica cuántica es la rama de la física que estudia los fenómenos físicos que ocurren en escalas de longitudes muy pequeñas.El calificativo "cuántico" surge de, en contraste con la mecánica clásica, considerar algunas cantidades que toman solamente valores discretos i.e., en "paquetes" o quantum-quanta en latín.Aún cuando hay muchas nociones de la mecánica cuántica que aún suscitan controversia, esta teoría se aplica exitosamente para describir el comportamiento de sistema físicos y sus predicciones son consistentes con los experimentos.Los sistemas físicos que estudia la mecánica cuántica, exhiben propiedades ondulatorias que se pueden describir mediante una ecuación de onda, por ejemplo, la bien conocida "ecuación de Schrödinger", que describe la evolución temporal de una partícula subatómica con masa, en el contexto no relativista.En estas notas trabajamos con el formalismo de matrices de densidad, que permite describir estados que son mezclas de estados puros.En consecuencia, este enfoque resulta ser una herramienta poderosa para describir sistemas cuánticos más generales, por ejemplo, acoplamientos (ensambles) de muchos sistemas cuánticos idénticos.El material que se presenta en este trabajo está dividido en cuatro secciones compuestas de la siguiente manera: la sección 1 contiene una selección de resultados de índole geométrico y analítico de la teoría de espacios de Hilbert: ortogonalidad y descomposición ortogonal, convexidad, operadores lineales, norma de operadores y funcionales lineales.La sección 2 se concentra en la clase de los operadores compactos, particularmente en los operadores de la clase de traza y de manera especial, en los operadores de Hilbert-Schmidt.Es relevante mencionar que los estados cuánticos se representan mediante operadores positivos de traza uno.La sección 3 se dedica al estudio de operadores no acotados que pueden no estar densamente definidos en un espacio de Hilbert.Abordamos también el estudio de operadores cerrados y cerrables, el adjunto de un operador y una introducción a la teoría espectral de operadores.Una parte esencial de esta sección son los operadores simétricos e isométricos, los cuales exhiben similitudes en sus propiedades geométricas y espectrales.Cabe señalar que las observables físicas se representan por operadores simétricos típicamente no acotados.Por último, en la sección 4 se discuten brevemente postulados de la mecánica cuántica en el marco del formalismo de matrices de densidad, se revisa el modelo del oscilador armónico cuántico y se ofrece una introducción a los estados cuánticos Gaussianos.Al final de cada sección incluimos una selección de problemas que sirven para complementar estas notas.El lector interesado puede profundizar en el estudio de resultados aquí expuestos, desde los más básicos hasta los más avanzados, en la literatura clásica de operadores lineales, por ejemplo en [1,2,3,4,13,20].
La teoría de Hartree-Fock-Bogoliubov consiste en un método de aproximación en mecánica cuántica para sistemas fermiónicos que presentan un número de partí́culas variable. Si bien la teorí́a era bien conocida y utilizada en el marco de la fí́sica cuántica, fue recién tratada desde el punto de vista matemático en el trabajo pionero de Lieb, Bach y Solovej a principios de los años ‘90, donde se analizan las transformaciones de Bogoliubov, los estados cuasilibres y las matrices de densidad generalizadas. Este tipo de matrices de densidad son en realidad operadores acotados con cierta condición de traza en espacios de Hilbert infinito dimensionales. La teorí́a de Hartree-Fock-Bogoliubov se ha abordado desde diversas áreas de la matemática como ecuaciones diferenciales, cálculo variacional, teorí́a de operadores y análisis numérico, y ha generado problemas que continuán abiertos en la actualidad. En esta tesis doctoral investigamos la teorí́a de Hartree-Fock-Bogoliubov desde el punto de vista de los espacios homogéneos en geometrí́a infinito dimensional, estudiando principalmente la acción de las transformaciones de Bogoliubov en las matrices de densidad generalizadas. Demostramos que las órbitas de esta acción admiten la estructura de espacios homogéneos reductivos, y damos diversas caracterizaciones de cuándo éstas órbitas son también subvariedades de un espacio ambiente natural. Mediante argumentos basados en álgebras de Lie en dimensión infinita, probamos que las órbitas poseen una estructura de espacios homogéneo simpléctico. En el caso de órbitas de matrices de densidad generalizadas con espectro finito, probamos que además estas órbitas son variedades de Kähler homogéneas.