Ruptura de simetría para hamiltonianos quasi-hermíticos y G-quasi bases generalizadas. Los objetivos del plan de trabajo están considerados dentro del marco de la formulación y la construcción de formalismo matemático con aplicación a problemas físicos actuales. Consideremos operadores H no hermíticos en un espacio de Hilbert H. Si existe un operador positivo G, tal que HG = GH† se dice que H es un operador quasi-hermítico con simetría G. Como objetivo general, se estudiarán problemas asociados a este tipo de operadores con aplicación directa en problemas de física actuales. Se analizarán las características de este tipo de operadores, su espectro, los espacios de Hilbert donde el modelo se define, las propiedades de las bases consideradas, y la caracterización de la simetría G presente. En relación al espectro se estudiarán las regiones de ruptura de simetría para familias Hδ dependientes de un parámetro δ quasi-hermíticas para cualquier simetría G. La descripción de las autofunciones de este tipo de hamiltonianos, así como la construcción de bases apropiadas para el espacio que describe el modelo, serán de interés general en el presente plan. Los objetivos específicos incluyen el estudio de hamiltonianos quasi-hermíticos que modelen sistemas físicos concretos. En particular, se construirá una familia quasi-hermítica Hδ(q) para un oscilador cuántico deformado proveniente de una deformación no estándar del álgebra de Weyl. El análisis de sus puntos excepcionales y las regiones de ruptura de simetría será una inmediata contribución. Se espera poder generalizar estos resultados a otros modelos de hamiltonianos quasihermíticos en álgebras q-deformadas. De forma paralela, analizaremos el rol de las G-quasi bases propuestas recientemente. Siendo G un subconjunto denso de un espacio de Hilbert H, dos conjuntos biortonormales se denominan G-quasi bases si verifican la resolución de la identidad débil simultáneamente. Estas bases se utilizan, bajo ciertas condiciones demostradas, para construir hamiltonianos con espectro real. Como objetivo específico se propone definir el análogo q-deformado de las G-quasi-bases, el análisis formal de sus propiedades como la resolución de la identidad, y su rol en el espacio de Hilbert actuante. En la siguiente etapa, se propone llevar esta construcción a espacios supersimétricos. Se estudiará en paralelo al planteo anterior, el oscilador armónico supersimétrico, y bajo que condiciones sus autofunciones generan hamiltonianos quasi-hermíticos sobre el espacio de Hilbert con supersimetría. Esta construcción generaliza los resultados de [9] mediante la definición de operadores quasihermíticos supersimétricos. Los objetivos propuestos, serán favorables para el fortalecimiento del trabajo interdisciplinario dentro del departamento de matemática de la facultad de Ciencias Exactas, UNLP.
Ruptura de simetría para hamiltonianos quasi-hermíticos y G-quasi bases generalizadas. Los objetivos del plan de trabajo están considerados dentro del marco de la formulación y la construcción de formalismo matemático con aplicación a problemas físicos actuales. Consideremos operadores H no hermíticos en un espacio de Hilbert H. Si existe un operador positivo G, tal que HG = GH† se dice que H es un operador quasi-hermítico con simetría G. Como objetivo general, se estudiarán problemas asociados a este tipo de operadores con aplicación directa en problemas de física actuales. Se analizarán las características de este tipo de operadores, su espectro, los espacios de Hilbert donde el modelo se define, las propiedades de las bases consideradas, y la caracterización de la simetría G presente. En relación al espectro se estudiarán las regiones de ruptura de simetría para familias Hδ dependientes de un parámetro δ quasi-hermíticas para cualquier simetría G. La descripción de las autofunciones de este tipo de hamiltonianos, así como la construcción de bases apropiadas para el espacio que describe el modelo, serán de interés general en el presente plan. Los objetivos específicos incluyen el estudio de hamiltonianos quasi-hermíticos que modelen sistemas físicos concretos. En particular, se construirá una familia quasi-hermítica Hδ(q) para un oscilador cuántico deformado proveniente de una deformación no estándar del álgebra de Weyl. El análisis de sus puntos excepcionales y las regiones de ruptura de simetría será una inmediata contribución. Se espera poder generalizar estos resultados a otros modelos de hamiltonianos quasihermíticos en álgebras q-deformadas. De forma paralela, analizaremos el rol de las G-quasi bases propuestas recientemente. Siendo G un subconjunto denso de un espacio de Hilbert H, dos conjuntos biortonormales se denominan G-quasi bases si verifican la resolución de la identidad débil simultáneamente. Estas bases se utilizan, bajo ciertas condiciones demostradas, para construir hamiltonianos con espectro real. Como objetivo específico se propone definir el análogo q-deformado de las G-quasi-bases, el análisis formal de sus propiedades como la resolución de la identidad, y su rol en el espacio de Hilbert actuante. En la siguiente etapa, se propone llevar esta construcción a espacios supersimétricos. Se estudiará en paralelo al planteo anterior, el oscilador armónico supersimétrico, y bajo que condiciones sus autofunciones generan hamiltonianos quasi-hermíticos sobre el espacio de Hilbert con supersimetría. Esta construcción generaliza los resultados de [9] mediante la definición de operadores quasihermíticos supersimétricos. Los objetivos propuestos, serán favorables para el fortalecimiento del trabajo interdisciplinario dentro del departamento de matemática de la facultad de Ciencias Exactas, UNLP.
La hipótesis de termalización de autoestados (ETH, por sus siglas en inglés) es una teoría clave para comprender cómo los sistemas cuánticos aislados alcanzan el equilibrio termodinámico. Constituye el núcleo teórico de este trabajo, que se estructura en una parte teórica y una parte de experimentos numéricos realizados en un sistema físico. En la primera parte, se analizan las dificultades a las que se enfrenta la física estadística a la hora de definir la ergodicidad, la termalización o el caos en sistemas cuánticos, conceptos fáciles de definir mediante la mecánica clásica. Se introduce la teoría de matrices aleatorias, el teorema ergódico cuántico y la ETH, que se aplican a este tipo de sistemas. Las hipótesis de la ETH, sin embargo, no son compatibles con el fenómeno de la ruptura de simetría, por lo cual se trabajaría con una generalización adecuada para estudiar este fenómeno. La ruptura de simetría, que es un caso especial de degeneración, nos lleva a estudiar las transiciones de fase cuánticas, un fenómeno que ocurre exclusivamente en presencia de comportamiento cuántico. La segunda parte del trabajo trata la aplicación directa de estos conceptos y teorías al modelo de Bose-Hubbard de dos pozos con condiciones de contorno periódicas, que tiene una simetría discreta de reflexión. Se estudia el espectro del hamiltoniano y la evolución temporal de un estado inicial con simetría rota, mediante un parámetro de orden. Se comprueba que en este sistema ocurre una ruptura espontánea de simetría, que lleva al incumplimiento de la ETH generalizada. Esta ruptura de simetría es causa de una transición de fase cuántica, de la que se ha determinado el punto crítico.
El objetivo primario de esta memoria es el estudio de la trigonometria
del espacio cuantico de estados, dentro de un marco matematico bien formulado
en el que ideas como la de fases geometricas aparecen como manifestaciones
elementales de la geometria del espacio de estados, El camino escogido,
supone un nuevo metodo trigonometrico que es aplicable a cualquier espacio
homogeneo simetrico de rango uno.
Desde un punto de vista matematico, el espacio de estados cuanticos
se identifica con el espacio hermitico eliptico, que es el nombre convencional
dado al espacio proyectivo complejo dotado de la estructura Hermitica derivada
del producto hermitico en el espacio de Hilbert, que reune una estructura
compleja, una metrica riemanniana llamda de Fubini-Study, y una estructura
simplectica.
El trabajo que se describe en esta Memoria se ha realizado dentro del
formalismo conocido como de Cayley-Klein, cuya idea basica es considerar
un esquema en el que varios espacios homogeneos, los grupos de movimientos
correspondientes y sus algebras de Lie se agrupan en familias, dependientes
de varios parametros reales que tienen varios significados en relacion
con cada nivel del esquema.
Dentro de la filosofia general del esquema de Cayley-Klein se identifican
los invariantes trigonometricos asociados a tres puntos y a las tres geodesicas
que los unen, de una sola vez para toda una familia parametrizada de espacios
homogeneos simetricos de tipo hermitico y se encuentran las relaciones
existentes entre ellos (ecuaciones trigonometricas), que contienen los
parametros y que son para todos los espacios de la familia. En este sentido,
este tratamiento lleva a sus ultimas consecuencias, para la familia de
espacios hermiticos y grupos unitarios de Cayley-Klein-Dickson asociados,
la idea de la trigonometria absoluta inicialmente estudiada para los espacios
clasicos de curvatura constante de tipo real (esfera, espacio euclideo
Un sistema físico híbrido es aquel consistente en dos subsistemas acoplados, uno clásico y uno cuántico. La modelización matemática de los mismos requiere el tratamiento de los dos subsistemas a través de un mismo formalismo matemático. Una vía para hacerlo es el denominado formalismo de Koopman, mediante el cual se construye un espacio de Hilbert que contiene a los estados del sistema clásico, de manera análoga a la formulación usual de la mecánica cuántica, y definir, así, un espacio de Hilbert de estados híbridos. Esto permite construir una representación del álgebra de observables híbridos como operadores lineales sobre el espacio de Hilbert y de los estados como matrices densidad sobre el mismo, definiendo dinámicas sobre estos espacios. Sin embargo, mientras que el álgebra de observables está bien caracterizado, considerar que el espacio de estados se corresponde con el conjunto completo de matrices densidad no es correcto. En este trabajo se trata de dar una mejor caracterización de este espacio. Así, se demuestra que diferentes matrices densidad representan el mismo estado físico y se construye una relación de equivalencia sobre el espacio de matrices densidad que permite definir un espacio cociente de estados híbridos, verificando que las dinámicas definidas sobre el espacio de matrices densidad completo están bien definidas sobre este nuevo espacio. La complejidad de esta relación de equivalencia, que impone una condición sobre todos los observables físicos, plantea el problema de la búsqueda de una relación más sencilla que facilite el análisis de la estructura del espacio cociente. Este problema se aborda en el trabajo desde dos perspectivas alternativas. La primera de ellas consiste en buscar escribir la relación de equivalencia en términos de transformaciones de matrices densidad. La segunda se basa en el uso de las denominadas funciones de Wigner, que permiten trasladar los estados del espacio de matrices densidad a un espacio de funciones sobre un espacio de fases. Finalmente, se exponen las limitaciones de ambos formalismos, concluyendo con las líneas de trabajo futuro que estas limitaciones proporcionan.
En esta tesis se desarrollan y aplican métodos no perturbativos en modelos microscópicos de las interacciones entre nucleones. En las aproximaciones usuales, y en relación a Hamiltonianos nucleares, se consideran las expansiones armónicas alrededor de un mínimo, los movimientos de pequeña amplitud (método de linealización de Tamm-Dankoff (TDA) y aproximación de fases al azar (RPA) [RJNG80]) y las llamadas expansiones bosónicas [KLEIN-MARSH91]. En el caso de las expansiones bosónicas se parte de una cierta representación y se establecen correspondencias entre las estructuras microscópicas y los grados de libertad colectivos. Este tipo de esquemas se basa en la identificación de términos dominantes del Hamiltoniano. Los desarrollos perturbativos, por su parte, están referidos a la solución de campo medio. Obviamente, al considerar este esquema (campo medio correcciones perturbativas) se introducen de hecho rupturas de simetrías (relacionadas con la adopción de una solución de campo medio) y problemas de convergencia. En esta tesis se estudia el comportamiento de los métodos de linealización y de las expansiones bosónicas en presencia de rupturas variadas de simetrías y en relación con la introducción de operadores colectivos. El objetivo del trabajo desarrollado consistió específicamente en los siguientes puntos: 1) el estudio de la convergencia de las expansiones perturbativas cuando se trata con transformaciones bosónicas, y, 2) la validez de las bosonizaciones en presencia de rupturas de simetría.
En esta Tesis se analizan diversos modelos de interes en optica cuantica, demostrando que sus simetrias dinamicas pueden expresarse en terminos de deformaciones polinomicas de algebras de Lie. Los generadores de estas algebras se interpretan como variables invariantes colectivas en terminos de las cuales se describe completamente la dinamica. Estas algebras no resuelven de forma inmediata el problema dinamico, pero permiten clasificar los subespacios invariantes bajo la evolucion de una manera similar a como se hace en la construccion de las representaciones irreducibles de su(2).
Es posible entonces definir operadores para la fase relative entre subsistemas debido a que en estos subespacios los operadores que representan las transiciones aparecen como un algebra de escalera de dimension finita y su descomposicion polar siempre admite soluciones unitarias.
La dimension finita de los subespacios invariantes lleva a que el espectro de la fase relativa es discreto, lo que no deja de ser sorprendente desde un punto de vista fisico. A partir de los autoestados correspondientes se obtiene la distribucion de probabilidad parala fase relativa de los modelos considerados y se analiza su evolucion temporal. Tambien se construyen las medidas positivas sobre algebras de operadores (POMs) generadas por estos autoestados.
Inspirados por el comportamiento de modelos lineales con simetria su(2), se analiza la ley de transformacion de los modelos considerados en esta Tesis bajo rotaciones generadas por las deformaciones polinomicas. Cuando la desintontia es grandes, el metodo permite describir el modelo original en terminos de un hamiltoniano efectivo diagonal. Esto nos lleva a estudiar el limite dispersivo de estos modelos, deduciendo algunas consecuencias dinamicas no triviales. Asimismo, se utiliza este metodo de pequenas rotaciones para el analisis sistematico de los efectos de relajacion en estos hamiltonianos
La interpretación modal Hamiltoniana de la mecánica cuántica sostiene que los sistemas, en el ámbito de la realidad cuántica, son haces de propiedades posibles, sin sustancia subyacente. Las propiedades que se hacen actuales, es decir aquéllas que adquieren valor definido instante a instante, no pueden ser todas, ya que esto llevaría a inconsistencias, como lo muestra el Teorema de Kochen-Specker. Esto implica que debemos elegir un contexto de actualización, esto es, un subconjunto de todo el conjunto de propiedades posibles, cuyas propiedades adquieren valores definidos. En este sentido, la interpretación modal-Hamiltoniana elige como contexto de actualización la descomposición átomica del espacio de Hilbert en autosubespacios del Hamiltoniano y todas las composiciones de éstos. Esto permite explicar satifactoriamente varios problemas interpretativos de la mecánica cuántica: el problema de la medición, el problema de la contex- tualidad, el problema de la indistinguibilidad y el problema de la no-localidad, como también permite describir adecuadamente un conjunto de ejemplos físicos típicos de la práctica de la física. Durante el trabajo de esta tesis doctoral, se desarrolló una reformulación de la interpretación modal-Hamiltoniana de la mecánica cuántica. Para ello se aplicaron ideas de la teoría de grupos, con el fin de asegurar la invariancia del contexto de actualización ante el cambio de sistema de referencia. De modo natural, entonces, se definió el contexto de actualización como aquel identificado por los operadores de Casimir del grupo de simetría de la mecánica cuántica: el grupo de Galileo extendido centralmente. Posteriormente se estudió la posibilidad de extender estas ideas al ámbito de la teoría cuántica relativista, donde el grupo de simetría es el de Poincaré y algún otro grupo de simetría interna compacto. Finalmente, con el fin de asegurar que los observables con valores actuales en las teorías relativistas y no relativistas estuviesen correctamente relacionados a través de un límite adecuado, se empleó una contracción de Inönü-Wigner del grupo de Poincaré extendido trivialmente al grupo de Galileo extendido centralmente. De este modo, los operadores de Casimir de ambos grupos quedaron correctamente relacionados y se pudo definir la regla de actualización correspondiente al ámbito relativista