En este trabajo se realizó un estudio de una cadena de Kitaev finita mediante circuitos cuánticos en un computador cuántico real. Inicialmente, se estudia analíticamente el proceso conocido de diagonalización de este modelo. Luego, se da un breve resumen de la teoría matemática de la computación cuántica y, después, se presenta la plataforma de IBM, dónde se corren los circuitos cuánticos implementados. Posteriormente, se presenta la metodología para diseñar los circuitos cuánticos que, basados en el ya conocido método analítico, diagonaliza el hamiltoniano de la cadena de Kitaev finita. Explícitamente presentamos el circuito para cadenas de 4 y 8 sitios fermiónicos. Así mismo, se muestra el procedimiento para realizar una evolución temporal del sistema para un estado inicial particular. Se corrieron los circuitos en un computador cuántico real y en un simulador, para diferentes valores de la relación entre el potencial químico y el parámetro de interacción del modelo, y se midió la evolución temporal de la ocupación fermiónica promedio...
En este trabajo se realizó un estudio de una cadena de Kitaev finita mediante circuitos cuánticos en un computador cuántico real. Inicialmente, se estudia analíticamente el proceso conocido de diagonalización de este modelo. Luego, se da un breve resumen de la teoría matemática de la computación cuántica y, después, se presenta la plataforma de IBM, dónde se corren los circuitos cuánticos implementados. Posteriormente, se presenta la metodología para diseñar los circuitos cuánticos que, basados en el ya conocido método analítico, diagonaliza el hamiltoniano de la cadena de Kitaev finita. Explícitamente presentamos el circuito para cadenas de 4 y 8 sitios fermiónicos. Así mismo, se muestra el procedimiento para realizar una evolución temporal del sistema para un estado inicial particular. Se corrieron los circuitos en un computador cuántico real y en un simulador, para diferentes valores de la relación entre el potencial químico y el parámetro de interacción del modelo, y se midió la evolución temporal de la ocupación fermiónica promedio...
El objetivo de este trabajo es realizar un estudio sobre las transiciones de fase cuánticas que se presentan en el modelo de Rabi, un modelo de interacción radiación-materia entre un átomo de dos niveles y un campo bosónico. Presentaremos y analizaremos su hamiltoniano para, a partir del mismo, caracterizar las transiciones de fase cuánticas que afectan tanto al estado fundamental como a los estados excitados del sistema. Primero analizaremos la transición en el estado fundamental, realizando el estudio cuántico mediante cálculos numéricos y luego haciendo un estudio analítico dentro de una aproximación semiclásica. Ello nos permitirá comparar los resultados y comprobar la validez de esta aproximación. Después, analizaremos la transición en los estados excitados, comparando de nuevo el estudio analítico con los cálculos numéricos, exactos. Veremos que la transición de fase en el estado fundamental se debe al cambio del potencial que observa el sistema, causando la rotura de la simetría de dicho estado. Por otro lado, comprobaremos que la transición en los estados excitados solo puede ocurrir cuando ya se ha dado la transición en el estado fundamental, y veremos que se caracteriza por la degeneración en niveles de energía inferiores a cierto valor crítico. En todos los casos, comprobaremos que los cálculos semiclásicos y los exactos coinciden cuando el cociente entre las energías que caracterizan al átomo y al campo bosónico tiene un valor grande comparado con 1. Para conseguirlo, hemos desarrollado desde cero diversos códigos MATLAB con el objetivo de poder realizar los cálculos necesarios para caracterizar las transiciones. En concreto, para estudiar la transición de fase en el estado fundamental, hemos desarrollado un código que permite obtener la energía del estado fundamental del sistema y otro que permite calcular, para dicho estado, el valor esperado del número de fotones y de σz, observables que se discutirán en el texto. También hemos creado un código que muestra la forma del potencial que afecta al sistema en su estado fundamental. Del mismo modo, al estudiar la transición en los estados excitados, hemos creado un código que obtiene todos los niveles de energía del sistema, con el objetivo de calcular numéricamente la densidad de estados. Otro código permite comparar este cálculo con la expresión analítica que obtendremos de la densidad de estados, y otro último calcula el valor de σz en todos los estados del sistema. Por último, dos códigos nos permitirán crear imágenes que sirvan para ilustrar lo que sucede en las transiciones; el primero de ellos representa la forma del potencial que afecta al sistema en diversas situaciones; el segundo estudia la variación de los diez primeros niveles energéticos del sistema. Todo esto se desarrolla en el trabajo. Los códigos pueden consultarse en el apéndice.
"En esta investigación estudiamos la cadena de Kitaev unida a dos tipos de interacciones con una cavidad óptica, esto se hizo con el objetivo de obtener señales de fermiones de Majorana en este sistema compuesto. Usando una descripción del hamiltoniano en los operadores de spin, estudiamos y describimos las fases cuánticas del modelo, integrando la teoría del campo medio y simulaciones DMRG. El análisis revela dos transiciones de fase de segundo orden para cada acoplamiento, que se pueden identificar a través de la medición del factor Fano de la cavidad, y diferentes consecuencias en las fases topológicas creadas por la inducción de potencial químico efectivo y hopping. Los fenómenos observados y el control del estado de la cadena evaluado con la cavidad, lo convierten en un candidato potencial para investigaciones experimentales que buscan la existencia de Majoranas en sistemas de estado sólido. Como consecuencia de la interacción entre los subsistemas, una fase topológica no trivial de la cadena de Kitaev induce super-radiación en el modo bosónico acoplado". -- Tomado del reesumen
Este trabajo estudia la simulación cuántica digital de modelos fundamentales de la óptica cuántica, en particular los modelos de Jaynes–Cummings y de Rabi cuántico, desde una perspectiva teórico–computacional, con el objetivo de desarrollar esquemas de codificación en registros de qubits de tamaño arbitrario y analizar cómo el número de qubits y la estructura de los circuitos cuánticos condicionan la representación del sistema y su dinámica. Para ello, se aborda la discretización del espacio de Hilbert bosónico y la codificación de los operadores de creación y aniquilación en Hamiltonianos de interacción radiación–materia, considerando un escenario idealizado sin efectos de ruido. Las simulaciones numéricas clásicas realizadas con QuTiP se emplean como referencia, mientras que PennyLane se utiliza para la construcción y simulación de circuitos cuánticos. Se analizan distintos estados iniciales del campo y se evalúa de manera sistemática la dependencia del error de simulación y del costo computacional con el número de qubits y la profundidad de los circuitos.
Este trabajo presenta una introducción a la teoría de complejidad asociada a los algoritmos cuánticos, tomando como marco principal el modelo de circuitos cuánticos. Se estudia cómo se mide la complejidad de un algoritmo cuántico, cómo se relacionan las clases de complejidad clásicas y cuánticas, y cómo ciertos problemas permiten caracterizar la dificultad computacional de una clase completa. Como punto de partida, se considera el papel del teorema de Cook–Levin en la teoría clásica de la complejidad, el cual establece que el problema SAT es completo para la clase . Este resultado proporciona un problema concreto cuya dificultad representa la de todos los problemas pertenecientes a dicha clase. De manera análoga, en el contexto cuántico se estudia el problema cuántico de solución de sistemas lineales, conocido como QLSP, y su relación con el modelo de circuitos cuánticos. En particular, se muestra cómo la ejecución de un circuito cuántico puede reducirse a una instancia de QLSP. Esta reducción permite comprender el papel central de dicho problema en la teoría de complejidad cuántica y establecer una conexión entre la simulación de circuitos cuánticos y la solución de sistemas lineales mediante algoritmos cuánticos.
A computação quântica é uma das mais promissoras tecnologias atuais, ela se baseia nos princípios da mecânica quântica para fornecer um paradigma computacional que promete um ganho expressivo de processamento. Com isso, problemas considerados intratáveis classicamente poderão ter soluções quânticas eficientes. Como até então nenhuma máquina quântica efetiva foi criada, a simulação se tornou a alternativa mais viável para o estudo e o desenvolvimento da área. Em vista disso, é necessário disponibilizar um sistema computacional que permita uma descrição em nível apropriado de um algoritmo quântico e uma “máquina” para simular esta descrição. Na literatura relacionada o estudo da computação quântica é, em geral, realizado através da linguagem de circuitos quânticos. Nesta linguagem, um algoritmo é apresentado através de sua representação visual (sintaxe) aliada à descrição e manipulação simbólica do estado do sistema (semântica). No presente trabalho é apresentado o processo de desenvolvimento de um Computer Algebra System (CAS) específico para o contexto de circuitos quânticos. O CAS foi implementado como uma extensão para o Zeno, tornando o simulador a única ferramenta do gênero a fornecer uma descrição completa da linguagem de circuitos A simulação simbólica incorporada ao Zeno permite que as descrições matemáticas do estado do sistema sejam criadas e manipuladas facilmente. Com isso, é possível simplificar ou exibir formas de representação alternativas para facilitar a compreensão e resolução do sistema investigado. O uso conjunto da abordagem numérica e gráfica com a abordagem simbólica, facilita sobremaneira o entendimento de um algoritmo e a compreensão de sua descrição matemática. As funcionalidades atualmente fornecidas pelo Zeno agilizam o desenvolvimento de algoritmos, pois permitem que os usuários trabalhem de uma forma mais rápida e eficiente do que se executarem os cálculos à mão. Além disso, o CAS possibilita a apresentação de descrições fieis àquelas exibidas na literatura.
El trabajo se estructura en 6 capitulos. El capitulo 1 posee fundamentalmente un caracter de introduccion teorica a las herramientas de campo medio que se usan en los diferentes modelos que se presentan, ademas de introducirse otros conceptos que apareceran a lo largo del trabajo. El capitulo 2 tambien constituye una introduccion teorica en la que se realiza un breve analisis del concepto de la decoherencia y sus implicaciones en la Mecanica Cuantica, poniendo especial enfasis en el problema de la medida y como la introduccion del ambiente permite una posible solucion a dicho problema. En este capitulo se presentara la matriz densidad como herramienta basica de trabajo para estudiar el factor de decoherencia.El capitulo 3 se puede dividir en dos bloques. Un primer bloque dedicado la modelo vibronico U(4) y un segundo bloque dedicado a su limite 2D, el modelo U(3). En ambos bloques se expondran las propiedades algebraicas de los dos modelos asi como las diferentes cadenas de simetria que se obtienen. Estos modelos presentan una QPT y usando el formalismo de estados intrinsecos se estudiara la transicion de fase entre la fase simetrica y la fase no simetrica. Sin embargo, se sabe que este metodo es correcto unicamente en el orden mas alto en el desarrollo en potencias de N, donde N es el numero de bosones. Nosotros nos basaremos en el metodo desarrollado en [15] para ir mas alla de este orden y calcular correcciones de tamano finito a varios observables espectroscopicos. Para ello, se introducira la transformacion de Holstein-Primako_ que proporcionara un hamiltoniano en serie de potencias de N donde unicamente se consideraran los terminos en orden mas alto: N, N1/2 y N0. Despues, mediante el uso de una transformacion de Bogoliubov se conseguira la diagonalizacion del hamiltoniano, con lo que se obtendran expresiones analiticas para el estudio del sistema tanto en la fase simetrica como en la no simetrica. Dichas expresiones analiticas se compararan posteriormente con los calculos numericos obtenidos de resolver el problema exactamente en una base adecuada. Ademas, se llevara a cabo un estudio de escalado del sistema por tamano finito que nos permitira extraer los exponentes criticos de los observables espectroscopicos analizados.El capitulo 4 esta dedicado a otro sistema de dos niveles, el modelo de Lipkin. Este modelo guarda una estrecha relacion con el modelo vibronico tal y como se vera en el capitulo 3. Dicha relacion quedara mas patente con la eleccion que se realizara del estado intrinseco para estudiar el diagrama de fases del modelo vibronico. De hecho podemos afirmar que un modelo vibronico con simetria axial se comporta como un modelo de Lipkin. Por este motivo, todo el estudio que se realice en campo medio para el modelo vibronico sera aplicable al modelo de Lipkin, ya que las expresiones que se obtendran son formalmente analogas. Asi pues, en este capitulo nos centraremos en la influencia que tiene una transicion de fase cuantica sobre el fenomeno de la decoherencia. Ahora bien, se sabe que el citado modelo presenta tanto una QPT como una ESQPT, y dependiendo del valor de los parametros concretos del sistema, la ESQPT puede ser de primer o segundo orden. De modo que el analisis se realizara para ambos tipos de transicion. Para tal proposito, se presenta un sistema constituido por un qubit interactuando con un bano bosonico que vendra descrito por el modelo de Lipkin. El estudio de la decoherencia se realizara tanto empleando las tecnicas mas alla de campo medio desarrolladas en el modelo vibronico, como usando la aproximacion de Tamm-Dancoff (TDA) [28] y TDA a segundo orden. Todos los resultados se compararan una vez mas con la solucion exacta del problema y se analizara la relacion entre la transicion de fase que experimenta dicho sistema con la decoherencia. Ademas se incluira un estudio de escalado por tamano finito del factor de decoherencia.En el capitulo 5 se estudiaran tres modelos que describen un campo bosonico de un unico modo interactuando con un subsistema algebraico basado o bien en el algebra SU(1; 1) o en el SU(2). El modelo SU(1; 1) es un modelo de juguete util para la descripcion de la formacion y disociacion de moleculas diatomicas y atomos independientes [16]. El hamiltoniano SU(2) representa al modelo de Dicke [27] o al modelo de Jaynes-Cummings (JC) [17] (tambien conocido como modelo de Tavis-Cummings [29]). Estos dos ultimos modelos poseen interes en Optica Cuantica y describen a un sistema de atomos susceptibles a ocupar dos niveles interactuando con un campo de radiacion. Mientras que el modelo SU(1; 1) y el modelo de Jaynes-Cummings son integrables, el modelo de Dicke no lo es. Todos ellos son sistemas de dos niveles que presentan tanto una QPT como una ESQPT. Asi pues, en primer lugar se analizaran las transiciones de fase con una aproximacion semiclasica, en particular las relacionadas con las transiciones de fase de estados excitados. Despues se introducira el concepto de quantum quench, analizandose la influencia que tiene una ESQPT sobre este. Por ultimo, relacionaremos la presencia de caos cuantico en el modelo no integrable de Dicke con los precursores de la ESQPT en el mismo.En el ultimo capitulo se presentara un resumen y las conclusiones de los principales resultados de este trabajo.