10.98 电子双缝干涉的无量纲几何演化:谱流、单锚聚焦与逐点事件重建

Abstract

10.61 已从投影线性、Born 法则与等权双通道推出双缝强度形状 $$ I(x)=I_0\,\mathrm{sinc}^2\!\left(\frac{\pi ax}{\lambda D}\right) \cos^2\!\left(\frac{\pi dx}{\lambda D}\right). $$ 其中的远场条带公式是标准量子力学与标量衍射结果。本文不重复把它宣称为几何论独有预言,而是补齐此前缺少的两个层次。 第一,电子不再由实验质量和实验 Planck 常数作为输入。电子质量取几何质量算符 $$ \boxed{ m_{e,\mathrm{geo}} = K\sin^3\theta_M^e. } $$ 作用量量子取 3.12 的 Born 桥公式 $$ \boxed{ \hbar_{\mathrm{geo}} = \frac{K\chi_TN_1} {12\pi S_e^2\lambda_1^{\mathrm{eff}}}. } $$ 于是给定电子动能 $E_k$,德布罗意波长成为几何响应 $$ \boxed{ \lambda_{e,\mathrm{geo}}(E_k) = \frac{2\pi\hbar_{\mathrm{geo}}c} {\sqrt{2m_{e,\mathrm{geo}}c^2E_k}}. } $$ 取 $E_k=100\,\mathrm{eV}$,得到 $$ \lambda_{e,\mathrm{geo}} = 0.122624444\,\mathrm{nm}. $$ 与 CODATA 电子德布罗意锚 $$ \lambda_{e,\mathrm{exp}}=0.1226426\,\mathrm{nm} $$ 的相对差为 $-1.48\times10^{-4}$。该差与 3.12 中 $\hbar_{\mathrm{geo}}$ 公式的当前精度一致。因此在本文计算链中,波长来自几何质量与几何作用量量子,而不是从装置数据反推。这里的"几何输出"不等于零参数盲预测:电子质量链仍依赖 3.10 的圆满再现原型识别,作用量链还受 $\chi_T$ 当前三位有效数字限制。 第二,三界动力学不再只标出接口。本文给出从九维母态到屏概率的几何约化链 $$ \boxed{ \rho_9(0) \xrightarrow{\ U_\tau\ } \rho_9(\tau) \xrightarrow{\ Q_e^\star,\ \operatorname{Tr}_{\mathcal C\mathcal I}\ } \rho_e(\tau) \xrightarrow{\ M_B\ } p_\tau(B). } $$ 其中 $Q_e^\star$ 是 3.23 的最近不变三分解投影,$U_\tau$ 由 3.12 的几何路径核生成,环境约化是对因果界与信息界的精确偏迹,并经电子扇区权重条件归一化;屏仪器不用任意 POVM,而由 10.60 的折叠商构造为 $$ \boxed{ M_B = \mathbf{1}_{Q_\star^{-1}(B)}. } $$ 这满足正性与完备性,并由几何商映射而非探测器拟合决定。因此,3.28 中任意 $M_O$ 的缺口在本文的屏测量问题上被一个明确的几何 PVM 取代;被保留的外部信息只剩缝口制备态 $\rho_9(0)$ 与长度锚 $L_*$。约化后先得到完全正子通道;只有对具体缝口母态作条件归一化后,屏概率才成为归一化概率。 在上述约化的二维有效截面上,本文的计算顺序是 $$ \boxed{ \text{九维三界几何约化} \longrightarrow \text{二维无量纲谱流} \longrightarrow \text{Born 读出} \longrightarrow \text{单长度锚聚焦} \longrightarrow \text{逐点事件重建} } $$ 本文取缝间距作为内部长度单位,即 $d_*=1$,并在整个动力学阶段只使用无量纲坐标 $$ x_*=\frac{x}{d},\qquad q_*=\frac{q}{d},\qquad \lambda_*=\frac{\lambda}{d}. $$ 初始缝口经过正支谱流 $$ \widetilde A_*(k_*,q_*) = \exp\!\left(i\sqrt{k_{0,*}^2-k_*^2}\,q_*\right) \widetilde A_*(k_*,0), \qquad k_{0,*}=\frac{2\pi}{\lambda_*}, $$ 再用 Born 密度读出 $$ I_*(x_*,q_*) = \left| \mathcal{F}^{-1} \left[ e^{i\sqrt{k_{0,*}^2-k_*^2}q_*} \mathcal{F} A_*(x_*,0) \right] \right|^2. $$ 物理单位只在最后通过一个长度锚 $L_*$ 出现: $$ d_{\mathrm{phys}}=L_*,\qquad x_{\mathrm{phys}}=L_*x_*,\qquad \lambda_{\mathrm{phys}}=L_*\lambda_*,\qquad D_{\mathrm{phys}}=L_*D_*. $$ 主要数值结果如下: 1. 几何电子质量、几何作用量量子与几何电子波长分别为 $510998.9503\,\mathrm{eV}$、$6.581145345\times10^{-16}\,\mathrm{eV\,s}$ 与 $0.122624444\,\mathrm{nm}$。 2. 无量纲理论条纹间距为 $2.4524889$,数值拟合值为 $2.4524521$,相对误差为 $1.5000\times10^{-5}$。 3. 无量纲中央可见度为 $0.9961024$,与远场解析强度的相关系数为 $0.9824305$;固定包络的中央条纹周期拟合给出 $R^2=0.9651697$。该拟合优度受有限计算窗、离散缝口、有限传播距离和固定远场包络共同影响。 4. 取 100 eV 电子并令 $L_*=d=100\,\mathrm{nm}$,聚焦后的理论条纹间距为 $245.249\,\mathrm{nm}$,数值拟合值为 $245.2452\,\mathrm{nm}$,单缝包络第一零点为 $1.226244\,\mu\mathrm{m}$。 5. 从最终 Born 密度独立抽取 $10,100,1000,10000$ 个单电子事件,逐点直方图在统计量增加时收敛到同一屏强度。  **图 10.98.1** 电子双缝条纹的直观图。最上方是连续强度投影,中间是 12,000 个单电子随机落点,最下方是落点累积密度与 Born 强度的对照;单次落点看似无规则,累积后出现稳定的亮暗条纹。 **关键边界**:电子质量、作用量量子与电子波长已经接入几何输出链;$E_k=100\,\mathrm{eV}$、缝宽、缝距、屏距与长度锚仍是实验输入。这里的"几何输出"指框架内部的圆满再现与 Born 桥闭式链,不表示电子质量或作用量量子已经是无需本区域识别数据的零参数盲预测。九维母态到屏概率的约化链已在算符层给出,当前数值程序执行其二维有效截面,不是九维张量网络的逐点数值模拟。屏测量采用理想几何 PVM;探测器效率、暗计数和有限分辨率尚未纳入。逐点事件来自对 Born 密度的条件独立采样,用来展示测量统计闭合,不是单电子几何轨迹模拟。 ---