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0.11 模型族上的信息几何:Fisher 度量、估计极限与选择原理

guobin ouyang

Published Sep 9, 2026• 0 citations
Publisher

Abstract

0.9 引入模型族(随机格族 $\Lambda_q(A)$,$A\in\mathbb{Z}_q^{d\times d}$ 均匀采样),0.10 引入 KMS 态(谱三元组的统计面)。本文给模型族以**信息几何**:Fisher 度量(模型族上的 Riemann 度量)、Cramér-Rao 界(参数估计精度极限)、极大熵原理(族内选择机制)。主要结果:① 经典与量子信息几何的基本命题(纯数学,可提交主库 A0 类);② **三位一体命题**:KMS 态(0.10)↔ 量子指数族(信息几何)↔ MaxEnt 解(选择原理)——统计面与信息几何在"约束下的唯一选择"处统一;③ 选择原理的框架定位:无约束 → 均匀(0.9 模型族),约束 → 指数族/KMS(0.10)——选择原理是输入层的机制化;④ 开放问题:σ* 观测者位置的可估计性语义、零方差定律的 Fisher 信息条件、自由 Fisher 信息在随机格谱上的应用、δ 模型多样性的统计结构。分层标注:信息几何基本命题为纯数学(可提交主库);三位一体与选择原理为结构命题(中间层);σ* 可估计性为开放问题(无声称)。

DOI
10.5281/zenodo.22682555

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10.60 折叠均匀化定理:Born 法则的几何来源

guobin ouyang

本文兑现上一轮研讨提出的猜想:"折叠在信息层面的表现就是随机化——Born 法则如何从折叠结构涌现"。主要结果: 1. **折叠均匀化定理(真理层,定理 10.60.2.01)**:模折叠 Φ_q 的前像等测度(10.59 命题 10.59.2.04:纤维 = qℤ^d 陪集)⟹ 平移不变分布的折叠像在基本域上均匀分布。**确定性映射(折叠)产生均匀随机性,无需概率公理**——这是"随机性来源"的严格几何表述。 2. **投影测度变换(真理层,命题 10.60.3.01)**:可观测量的自然度量是 Hilbert–Schmidt 范数平方(迹结构,#2),投影强度 σᵢ = cᵢ²(#3、#257);长度(振幅)按 |cos θ| 变换,测度按 cos²θ 变换——**模方测度的变换性质(cos²θ)是测度论事实;'概率取为投影强度'本身是锚定对应(Born 假设的代数表述),非几何推导**。 3. **随机性来源定理(真理层,定理 10.60.4.01)**:观测 = 商映射 + 截面(#48 塌缩即截面投影;10.59 定理 10.59.2.02)。随机性来源 = 折叠均匀化(定理 10.60.2.01);概率数值(锚定) = 投影强度 σᵢ = cᵢ²(#257 归一化自动);振幅–投影强度关系 = Δλᵢ = K√σᵢ(#259)。长时间极限测量频率 = 均匀基础 × 投影强度(#47 与 #257 同构)——**Born 法则的随机性来源由几何给出(折叠均匀化);其数值形式 pᵢ = σᵢ = cᵢ² 作为锚定对应输入**(与 2026-08-09 参数化立场一致)。 4. **数值互锁(中间层,§5)**:σ_dec = N_dec/N_info ≈ 0.1925(#745)为退相干投影强度:√σ_dec = √77/20 ≈ 0.4387(振幅量级)、1/σ_dec = 400/77 ≈ 5.195、√(1/σ_dec) ≈ 2.279;且 Λ = (σ_dec·16√3)³ = 1369599√3/15625 ≈ **151.82** 与谱刚性比 λ₂/λ₁ ≈ 150(#594)独立互锁——退相干投影强度与谱间隙比通过 C_geo = 1/(16√3) 精确连接。 **关键依赖**:10.59(模折叠几何形式化:商映射分解、纤维结构、混叠等价类);#48/#47/#46(3.12.8 测量三命题:塌缩即截面投影、遍历闭合、单次测量);#3/#257/#259(投影强度代数与 Born 法则代数形式);#745(退相干投影强度);#594(谱刚性比)。 **分层标注**:§2–§3 为纯几何/代数命题(真理层候选,可提交主库验证);§4 的随机性来源部分(定理 10.60.2.01)为几何命题,(ii) 的概率等同为锚定对应(不进入真理层);§5 为数值锚定(中间层,数据来自 #745、#594 及 10.57 §7 实验输入)。 ---

•Sep 9, 2026•0 citations

10.71 几何退相干:V-D 互补恒等式与信息场衰减

guobin ouyang

本文攻取离散随机家族覆盖审核的第 5 项缺口(量子退相干机制),给出两个结果: 1. **静态互补恒等式(纯代数,A0 类,可提交主库)**:对双通道投影强度 σ₁、σ₂(#257 归一化 σ₁+σ₂=1),干涉可见度 V = 2√(σ₁σ₂)/(σ₁+σ₂)(10.61 推论 10.61.3.03)与路径不平衡度 D = |σ₁−σ₂|/(σ₁+σ₂) 满足 $$V^2 + D^2 = 1.$$ 这是量子信息中 Englert 对偶关系(D²+V² ≤ 1)在纯态双缝几何中的精确等号形式——干涉清晰度与路径可分辨度是单位圆上的两个互补坐标。注意 V 与 D 由同一对投影强度 (σ₁,σ₂) 定义,V²+D²=1 是归一化 σ₁+σ₂=1 的代数恒等式(形式对应,非两个独立结构的偶然相遇)。 2. **退相干动力学(中间层构造)**:环境印记重叠按信息场衰减率衰减(5.1 定理 5.1.2.01,Γ_geo = μ₁/N_info = 0.02308625),⟹ 可见度指数衰减 $$V(t) = V_0 e^{-\Gamma_{\text{geo}} t}, \qquad \tau_{\text{dec}} = 1/\Gamma_{\text{geo}} = 43.32 \ \text{编码步}, \qquad t_{1/2} = 30.02.$$ 5.1 §2 早已列出的"信息场衰减 vs 量子退相干"类比表(e^{−Γ_geo t} vs e^{−t/T₂})在此获得定量定理形式(衰减率 Γ_geo 为构造锚定,见 §5)。 **关键依赖**:5.1 定理 5.1.2.01(信息场衰减定理)、10.61 推论 10.61.3.03(对比度公式)、10.61 命题 10.61.2.02(等权重归一化);#257(扇区权重归一化)、#259(Born 法则代数形式 Δλᵢ = K√σᵢ);10.70 定理 10.70.3.01(几何 Zeno 冻结,关联对比)。 ---

•Sep 9, 2026•0 citations

10.61 双缝干涉的几何论推导:Born 法则与投影叠加

guobin ouyang

本文把双缝干涉的条纹分布纳入几何论定理链:从 Born 法则涌现定理(10.60.4.01)出发,推导屏上强度分布的形状(cos²),并明确标注间距标度(λD/d)依赖的实验锚定。主要结果: 1. **命题 10.61.2.01(双路径扇区结构)**:双缝 = 两个同时激活的路径通道;屏上观测 = 商映射 + 截面(#48、10.59 定理 10.59.2.02);两通道联合投影满足算子线性 P(L₁+L₂)P = (c₁+c₂)J(#3)——**振幅叠加是投影的线性,不是额外公设**。 2. **命题 10.61.2.02(等权重归一化)**:等宽等距双缝 → 两通道投影强度相等;#257 归一化 → σ₁ = σ₂ = 1/2。 3. **定理 10.61.3.01(双缝干涉强度定理)**:Born 法则(10.60.4.01)+ 投影线性 + 等权重 ⟹ I(x) = I₀cos²(πd·x/(λD))(等幅理想化;完整形式含包络,定理 10.61.3.04)。**条纹形状(cos²)是几何论定理的直接推论**;相位差 Δφ = 2πd·x/(λD) 是实验锚定(标准几何光学光程差,远场近似)。 4. **定理 10.61.3.04(单缝包络定理)**:缝 = 缝内位置连续纤维族(命题 10.61.2.03)⟹ 单通道振幅带 sinc 角分布(矩形窗傅里叶变换,相位锚定同定理 10.61.3.01 (iv))⟹ 完整强度 I(x) = I₀sinc²(πax/λD)·cos²(πdx/λD);包络第一零点 x₀ = λD/a(a = 0.1 mm 时 6.328 mm ≈ 5Δx,中央包络内 9 条亮纹)。 5. **推论 10.61.3.02(条纹间距)**:Δx = λD/d。 6. **推论 10.61.3.03(对比度)**:等幅 V = 1;非等幅(σ₁ ≠ σ₂)V = 2√(σ₁σ₂)/(σ₁+σ₂)。 7. **数值锚定(中间层,§4)**:λ = 632.8 nm(He-Ne)、d = 0.5 mm、D = 1 m ⟹ Δx = 1.2656×10⁻³ m = **1.2656 mm**,与标准光学公式逐项一致(calculate_math 验证:632.8×10⁻⁹ × 1 / 0.5×10⁻³ = 1.2656×10⁻³)。 **关键依赖**:10.60.4.01(Born 法则涌现定理)、10.60.3.01(投影的测度变换)、10.60.2.01(折叠均匀化:前像等测度);#3(投影强度)、#257(扇区权重归一化)、#259(Born 法则代数形式)、#48/#46(测量结构);10.59.2.02(商映射分解)、10.59.2.04(纤维结构);10.52(双光子双缝相位检验)、10.53(时间纠缠干涉相位预言)为实验语境。 **分层标注**:§2–§3 为纯几何/代数命题(真理层候选,可提交主库验证);§4 为数值锚定(中间层,参数 λ、d、D 为标准光学实验配置);§5 为推导边界声明与开放问题。 ---

•Sep 9, 2026•0 citations

10.56 谱刚性带定理与格密码量子攻击

guobin ouyang

本文将几何论的谱刚性概念引入格密码量子攻击,建立**谱刚性带定理**及其**广义形式**:当格基 Gram 矩阵的谱间隙比 $\Lambda_H = \lambda_2/\lambda_1$(或简并情形下的 $\Lambda_H^{(m)} = \lambda_{m+1}/\lambda_m$)足够大时,最短非零格向量必然落在最小特征值方向(或子空间)的窄带内。基于该定理,提出**谱刚性引导的 Grover 搜索**:先构造谱刚性带缩小候选空间,再用量子搜索在带内寻找最短向量。数值验证表明,高谱间隙格中搜索空间可缩小到全空间的 $0.8\%$–$6.9\%$;带内 Grover 搜索(标记数 $k=2$,最优迭代)成功概率最高达 $0.999$。 **关键依赖**:几何论谱刚性(10.17)、圆满性判据(0.4)、互锁常数(0.5);量子 Grover 搜索;格密码 SVP/MLWE。 ---

•Sep 9, 2026•0 citations

10.29 量子纠错码的 θ⁴ 损失标度律与可实验预言

guobin ouyang

理论的价值在于预言,而非后验拟合。10.28 的程序接口 P1/P2/P3 已在符号与态矢量两个层面完成方向完备码系列的结构验证($m=3..8$ 全量、$m=10$ 即 $[[1023,1003,3]]$ 全量验证 0.12 秒)。本文把程序验证的终点推进到实验:整理三条可实验检验的定量预言——(1) **θ⁴ 损失标度律**:独立单比特噪声上界 $\theta_{\max}$ 下,最优纠错后损失 $L=c\,\theta_{\max}^4+O(\theta_{\max}^6)$(log-log 斜率程序实测 $4.04/4.12/4.14$,三码一致);(2) **检测率闭式**:单比特旋转注入的检测率恰为 $\sin^2(\theta/2)$,且漏检路径保真度 $=1$(漏检无害);(3) **逻辑方向不可检测**:逻辑算符注入 syndrome 恒为零,$Z$ 型对 $|0_L\rangle$ 为全局相位(损失 0)、$X$ 型损失恰为 $\sin^2(\theta/2)$。另给出一条结构预言(程序可验证的几何事实):方向完备码所有权重 2 错误均为共线型($PG(m-1,2)$ 的列异或封闭性),恢复后残留权重 3 逻辑算符——$[[15,7,3]]$ 中与单比特同 syndrome 的权重 2 错误占比恰为 $315/945=1/3$。实验方案以 5-7 比特码($[[5,1,3]]$ 或 $[[7,1,3]]$)即可实施,无需纠错级硬件。全部预言数值来自程序实际输出(§3),与 10.28 §6 O6/O7 一致。 ---

•Aug 8, 2026•0 citations

Generalized Cramer-Rao relations for non-relativistic quantum systems

J. S. Dehesa, Angelo Plastino, Pablo Sánchez-Moreno +1 more

The Cramer-Rao product of the Fisher information and the variance of a probability density ρ(x), defined on a domain Δ\in R^D, is found to have a minimum value reached by the density associated with the ground state of the harmonic oscillator in Δ, when Δis an unbounded domain. If Δis bounded, the minimum value of the Fisher information is achieved by the ground state of the quantum box described itself by this domain.

arXiv:1001.3376•Jan 19, 2010•9 citations
0.9 引入模型族(随机格族 Λq(A)\Lambda_q(A)Λq​(A),A∈Zqd×dA\in\mathbb{Z}_q^{d\times d}A∈Zqd×d​ 均匀采样),0.10 引入 KMS 态(谱三元组的统计面)。本文给模型族以信息几何:Fisher 度量(模型族上的 Riemann 度量)、Cramér-Rao 界(参数估计精度极限)、极大熵原理(族内选择机制)。主要结果:① 经典与量子信息几何的基本命题(纯数学,可提交主库 A0 类);② 三位一体命题:KMS 态(0.10)↔ 量子指数族(信息几何)↔ MaxEnt 解(选择原理)——统计面与信息几何在"约束下的唯一选择"处统一;③ 选择原理的框架定位:无约束 → 均匀(0.9 模型族),约束 → 指数族/KMS(0.10)——选择原理是输入层的机制化;④ 开放问题:σ* 观测者位置的可估计性语义、零方差定律的 Fisher 信息条件、自由 Fisher 信息在随机格谱上的应用、δ 模型多样性的统计结构。分层标注:信息几何基本命题为纯数学(可提交主库);三位一体与选择原理为结构命题(中间层);σ* 可估计性为开放问题(无声称)。
本文兑现上一轮研讨提出的猜想:"折叠在信息层面的表现就是随机化——Born 法则如何从折叠结构涌现"。主要结果: 1. **折叠均匀化定理(真理层,定理 10.60.2.01)**:模折叠 Φ_q 的前像等测度(10.59 命题 10.59.2.04:纤维 = qℤ^d 陪集)⟹ 平移不变分布的折叠像在基本域上均匀分布。**确定性映射(折叠)产生均匀随机性,无需概率公理**——这是"随机性来源"的严格几何表述。 2. **投影测度变换(真理层,命题 10.60.3.01)**:可观测量的自然度量是 Hilbert–Schmidt 范数平方(迹结构,#2),投影强度 σᵢ = cᵢ²(#3、#257);长度(振幅)按 |cos θ| 变换,测度按 cos²θ 变换——**模方测度的变换性质(cos²θ)是测度论事实;'概率取为投影强度'本身是锚定对应(Born 假设的代数表述),非几何推导**。 3. **随机性来源定理(真理层,定理 10.60.4.01)**:观测 = 商映射 + 截面(#48 塌缩即截面投影;10.59 定理 10.59.2.02)。随机性来源 = 折叠均匀化(定理 10.60.2.01);概率数值(锚定) = 投影强度 σᵢ = cᵢ²(#257 归一化自动);振幅–投影强度关系 = Δλᵢ = K√σᵢ(#259)。长时间极限测量频率 = 均匀基础 × 投影强度(#47 与 #257 同构)——**Born 法则的随机性来源由几何给出(折叠均匀化);其数值形式 pᵢ = σᵢ = cᵢ² 作为锚定对应输入**(与 2026-08-09 参数化立场一致)。 4. **数值互锁(中间层,§5)**:σ_dec = N_dec/N_info ≈ 0.1925(#745)为退相干投影强度:√σ_dec = √77/20 ≈ 0.4387(振幅量级)、1/σ_dec = 400/77 ≈ 5.195、√(1/σ_dec) ≈ 2.279;且 Λ = (σ_dec·16√3)³ = 1369599√3/15625 ≈ **151.82** 与谱刚性比 λ₂/λ₁ ≈ 150(#594)独立互锁——退相干投影强度与谱间隙比通过 C_geo = 1/(16√3) 精确连接。 **关键依赖**:10.59(模折叠几何形式化:商映射分解、纤维结构、混叠等价类);#48/#47/#46(3.12.8 测量三命题:塌缩即截面投影、遍历闭合、单次测量);#3/#257/#259(投影强度代数与 Born 法则代数形式);#745(退相干投影强度);#594(谱刚性比)。 **分层标注**:§2–§3 为纯几何/代数命题(真理层候选,可提交主库验证);§4 的随机性来源部分(定理 10.60.2.01)为几何命题,(ii) 的概率等同为锚定对应(不进入真理层);§5 为数值锚定(中间层,数据来自 #745、#594 及 10.57 §7 实验输入)。 ---
本文攻取离散随机家族覆盖审核的第 5 项缺口(量子退相干机制),给出两个结果: 1. **静态互补恒等式(纯代数,A0 类,可提交主库)**:对双通道投影强度 σ₁、σ₂(#257 归一化 σ₁+σ₂=1),干涉可见度 V = 2√(σ₁σ₂)/(σ₁+σ₂)(10.61 推论 10.61.3.03)与路径不平衡度 D = |σ₁−σ₂|/(σ₁+σ₂) 满足 V2+D2=1.V^2 + D^2 = 1.V2+D2=1. 这是量子信息中 Englert 对偶关系(D²+V² ≤ 1)在纯态双缝几何中的精确等号形式——干涉清晰度与路径可分辨度是单位圆上的两个互补坐标。注意 V 与 D 由同一对投影强度 (σ₁,σ₂) 定义,V²+D²=1 是归一化 σ₁+σ₂=1 的代数恒等式(形式对应,非两个独立结构的偶然相遇)。 2. **退相干动力学(中间层构造)**:环境印记重叠按信息场衰减率衰减(5.1 定理 5.1.2.01,Γ_geo = μ₁/N_info = 0.02308625),⟹ 可见度指数衰减 V(t)=V0e−Γgeot,τdec=1/Γgeo=43.32 编码步,t1/2=30.02.V(t) = V_0 e^{-\Gamma_{\text{geo}} t}, \qquad \tau_{\text{dec}} = 1/\Gamma_{\text{geo}} = 43.32 \ \text{编码步}, \qquad t_{1/2} = 30.02.V(t)=V0​e−Γgeo​t,τdec​=1/Γgeo​=43.32 编码步,t1/2​=30.02. 5.1 §2 早已列出的"信息场衰减 vs 量子退相干"类比表(e^{−Γ_geo t} vs e^{−t/T₂})在此获得定量定理形式(衰减率 Γ_geo 为构造锚定,见 §5)。 **关键依赖**:5.1 定理 5.1.2.01(信息场衰减定理)、10.61 推论 10.61.3.03(对比度公式)、10.61 命题 10.61.2.02(等权重归一化);#257(扇区权重归一化)、#259(Born 法则代数形式 Δλᵢ = K√σᵢ);10.70 定理 10.70.3.01(几何 Zeno 冻结,关联对比)。 ---
本文把双缝干涉的条纹分布纳入几何论定理链:从 Born 法则涌现定理(10.60.4.01)出发,推导屏上强度分布的形状(cos²),并明确标注间距标度(λD/d)依赖的实验锚定。主要结果: 1. **命题 10.61.2.01(双路径扇区结构)**:双缝 = 两个同时激活的路径通道;屏上观测 = 商映射 + 截面(#48、10.59 定理 10.59.2.02);两通道联合投影满足算子线性 P(L₁+L₂)P = (c₁+c₂)J(#3)——**振幅叠加是投影的线性,不是额外公设**。 2. **命题 10.61.2.02(等权重归一化)**:等宽等距双缝 → 两通道投影强度相等;#257 归一化 → σ₁ = σ₂ = 1/2。 3. **定理 10.61.3.01(双缝干涉强度定理)**:Born 法则(10.60.4.01)+ 投影线性 + 等权重 ⟹ I(x) = I₀cos²(πd·x/(λD))(等幅理想化;完整形式含包络,定理 10.61.3.04)。**条纹形状(cos²)是几何论定理的直接推论**;相位差 Δφ = 2πd·x/(λD) 是实验锚定(标准几何光学光程差,远场近似)。 4. **定理 10.61.3.04(单缝包络定理)**:缝 = 缝内位置连续纤维族(命题 10.61.2.03)⟹ 单通道振幅带 sinc 角分布(矩形窗傅里叶变换,相位锚定同定理 10.61.3.01 (iv))⟹ 完整强度 I(x) = I₀sinc²(πax/λD)·cos²(πdx/λD);包络第一零点 x₀ = λD/a(a = 0.1 mm 时 6.328 mm ≈ 5Δx,中央包络内 9 条亮纹)。 5. **推论 10.61.3.02(条纹间距)**:Δx = λD/d。 6. **推论 10.61.3.03(对比度)**:等幅 V = 1;非等幅(σ₁ ≠ σ₂)V = 2√(σ₁σ₂)/(σ₁+σ₂)。 7. **数值锚定(中间层,§4)**:λ = 632.8 nm(He-Ne)、d = 0.5 mm、D = 1 m ⟹ Δx = 1.2656×10⁻³ m = **1.2656 mm**,与标准光学公式逐项一致(calculate_math 验证:632.8×10⁻⁹ × 1 / 0.5×10⁻³ = 1.2656×10⁻³)。 **关键依赖**:10.60.4.01(Born 法则涌现定理)、10.60.3.01(投影的测度变换)、10.60.2.01(折叠均匀化:前像等测度);#3(投影强度)、#257(扇区权重归一化)、#259(Born 法则代数形式)、#48/#46(测量结构);10.59.2.02(商映射分解)、10.59.2.04(纤维结构);10.52(双光子双缝相位检验)、10.53(时间纠缠干涉相位预言)为实验语境。 **分层标注**:§2–§3 为纯几何/代数命题(真理层候选,可提交主库验证);§4 为数值锚定(中间层,参数 λ、d、D 为标准光学实验配置);§5 为推导边界声明与开放问题。 ---
本文将几何论的谱刚性概念引入格密码量子攻击,建立**谱刚性带定理**及其**广义形式**:当格基 Gram 矩阵的谱间隙比 ΛH=λ2/λ1\Lambda_H = \lambda_2/\lambda_1ΛH​=λ2​/λ1​(或简并情形下的 ΛH(m)=λm+1/λm\Lambda_H^{(m)} = \lambda_{m+1}/\lambda_mΛH(m)​=λm+1​/λm​)足够大时,最短非零格向量必然落在最小特征值方向(或子空间)的窄带内。基于该定理,提出**谱刚性引导的 Grover 搜索**:先构造谱刚性带缩小候选空间,再用量子搜索在带内寻找最短向量。数值验证表明,高谱间隙格中搜索空间可缩小到全空间的 0.8%0.8\%0.8%–6.9%6.9\%6.9%;带内 Grover 搜索(标记数 k=2k=2k=2,最优迭代)成功概率最高达 0.9990.9990.999。 **关键依赖**:几何论谱刚性(10.17)、圆满性判据(0.4)、互锁常数(0.5);量子 Grover 搜索;格密码 SVP/MLWE。 ---
理论的价值在于预言,而非后验拟合。10.28 的程序接口 P1/P2/P3 已在符号与态矢量两个层面完成方向完备码系列的结构验证(m=3..8m=3..8m=3..8 全量、m=10m=10m=10 即 [[1023,1003,3]][[1023,1003,3]][[1023,1003,3]] 全量验证 0.12 秒)。本文把程序验证的终点推进到实验:整理三条可实验检验的定量预言——(1) **θ⁴ 损失标度律**:独立单比特噪声上界 θmax⁡\theta_{\max}θmax​ 下,最优纠错后损失 L=c θmax⁡4+O(θmax⁡6)L=c\,\theta_{\max}^4+O(\theta_{\max}^6)L=cθmax4​+O(θmax6​)(log-log 斜率程序实测 4.04/4.12/4.144.04/4.12/4.144.04/4.12/4.14,三码一致);(2) **检测率闭式**:单比特旋转注入的检测率恰为 sin⁡2(θ/2)\sin^2(\theta/2)sin2(θ/2),且漏检路径保真度 =1=1=1(漏检无害);(3) **逻辑方向不可检测**:逻辑算符注入 syndrome 恒为零,ZZZ 型对 ∣0L⟩|0_L\rangle∣0L​⟩ 为全局相位(损失 0)、XXX 型损失恰为 sin⁡2(θ/2)\sin^2(\theta/2)sin2(θ/2)。另给出一条结构预言(程序可验证的几何事实):方向完备码所有权重 2 错误均为共线型(PG(m−1,2)PG(m-1,2)PG(m−1,2) 的列异或封闭性),恢复后残留权重 3 逻辑算符——[[15,7,3]][[15,7,3]][[15,7,3]] 中与单比特同 syndrome 的权重 2 错误占比恰为 315/945=1/3315/945=1/3315/945=1/3。实验方案以 5-7 比特码([[5,1,3]][[5,1,3]][[5,1,3]] 或 [[7,1,3]][[7,1,3]][[7,1,3]])即可实施,无需纠错级硬件。全部预言数值来自程序实际输出(§3),与 10.28 §6 O6/O7 一致。 ---