Kvantové sítě jsou komunikačním prostředkem nové generace. Rozmach kvantových technologií umožňuje využití neklasických jevů jako kvantová superpozice, kvantové provázání a interference v komunikačních a kryptografických protokolech. Příkladem takového protokolu je kvantová distribuce klíče, která zajišťuje vytvoření a distribuci náhodného šifrovacího klíče mezi dvěma komunikačními uzly. Samotný termín kvantová síť znamená tři různé věci. První jsou aktivní kvantové sítě používající prvky jako opakovače nebo kvantová paměť, druhá pasivní optické kvantové sítě složené z děličů paprsku a posunovačů fáze a třetí představuje abstraktní matematický model založený na Hamiltoniánu, který lze charakterizovat grafem. V této práci popíšeme všechny tři pojmy, přičemž se soustředíme zejména na třetí zmíněný význam tohoto pojmu. V rámci zmíněného Hamiltoniánového modelu detailně zkoumáme tzv. efekt uvěznění kvantové excitace v jediném módu nebo v malém počtu módů. Efekt uvěznění zkoumáme jak pro kvantovou síť charakterizovanou úplným grafem, tak i pro grafy, kde nějaká hrana může chybět. Nepřítomnost hrany zkoumáme jak ve statickém případě, kdy hrana chybí permanentně, tak i v případě stochastického chování v čase, kdy se hrana přerušuje a opět znovuobjevuje.
Kvantové sítě jsou komunikačním prostředkem nové generace. Rozmach kvantových technologií umožňuje využití neklasických jevů jako kvantová superpozice, kvantové provázání a interference v komunikačních a kryptografických protokolech. Příkladem takového protokolu je kvantová distribuce klíče, která zajišťuje vytvoření a distribuci náhodného šifrovacího klíče mezi dvěma komunikačními uzly. Samotný termín kvantová síť znamená tři různé věci. První jsou aktivní kvantové sítě používající prvky jako opakovače nebo kvantová paměť, druhá pasivní optické kvantové sítě složené z děličů paprsku a posunovačů fáze a třetí představuje abstraktní matematický model založený na Hamiltoniánu, který lze charakterizovat grafem. V této práci popíšeme všechny tři pojmy, přičemž se soustředíme zejména na třetí zmíněný význam tohoto pojmu. V rámci zmíněného Hamiltoniánového modelu detailně zkoumáme tzv. efekt uvěznění kvantové excitace v jediném módu nebo v malém počtu módů. Efekt uvěznění zkoumáme jak pro kvantovou síť charakterizovanou úplným grafem, tak i pro grafy, kde nějaká hrana může chybět. Nepřítomnost hrany zkoumáme jak ve statickém případě, kdy hrana chybí permanentně, tak i v případě stochastického chování v čase, kdy se hrana přerušuje a opět znovuobjevuje.
Pokroky v kvantovém počítání nás nutí zkoumat a implementovat nové metody ke klasické kryptografii s veřejným klíčem. Jednou z alternativ je kromě postkvantové kryptografie takzvaná kvantová distribuce klíče. Tato technika je spojena s budováním speciálních sítí schopných distribuovat sdílený klíč mezi libovolné dvě komunikující strany. Nejprve vysvětlíme bezpečnostní důsledky, které kvantové počítače představují pro dnes široce používané algoritmy asymetrické kryptografie. Jako řešení, kterým se budeme dále zabývat, jsou sítě pro kvantovou distribuci klíče. Je zmíněno několik reálných implementací a následně detailně popsána architektura s důrazem na bezpečnost. Je vysvětlena podstata informační bezpečnosti a provedena bezpečnostní analýza kvantových sítí. Její součástí je navržený bezpečnostní profil pro systém pro správu klíčů v kvantových sítích, napsaný podle specifikace Common Criteria. Dále navrhujeme techniky pro zvýšení bezpečnosti v obleastech: (i) doručení klíče k uživateli, (ii) posílení bezpečnosti klíče a (iii) propojení sítí. Nakonec vyvineme metodologii pro vývoj, implementaci a provozování kvantových sítí tak, aby mohla být aplikována na tyto nové sítě.
Limitujícím faktorem dnešního šifrování je neschopnost bezchybně detekovat odposlouchávání, a proto všechny šifrovací algoritmy s tím musí počítat. Pro distribuci šifrovacího klíče se dnes používá asymetrické šifrování založené na problému diskrétního logaritmu nebo faktorizaci prvočísel. Nové technologie, jako je nově se objevující oblast kvantových počítačů, však nabízejí algoritmy, které mohou efektivně vyřešit tyto úlohy, a tedy případně prolomit dnešní šifrování. Navíc by to mohlo ovlivnit všechna šifrovaná data, tedy nejen po vynálezu kvantového počítače schopného spouštět Shorův algoritmus, ale také všechna dříve uložená šifrovaná data. Kvantová distribuce klíčů umožňuji detekci odposlechu za pomocí zákonů kvantové mechaniky a umožňuje tak zcela bezpečně distribuovat symetrický klíč mezi dvě strany. Tato práce prezentuje simulaci, experimentální realizaci a testování systému kvantové distribuce klíče (QKD) založeného na protokolu BB84 s využitím časového a fázového kódování. Hlavním cílem bylo sestavit praktické optické zařízení schopné demonstrovat principy QKD na úrovni jednotlivých fotonů. Bylo vyvinuto plně integrované zařízení, které se skládá ze dvou asymetrických Mach-Zehnderových interferometrů rozdělených do sekcí Alice a Bob, propojených optickým vláknem, kvantovým kanálem. Mikropočítač Red Pitaya STEMlab 125-14 byl využit pro ovládání systému, generování laserových pulsů, aplikaci fázové modulace a provádění detekce fotonů. Na jednotlivých komponentách bylo provedeno testování a kalibrace pro optimalizaci systému. Klasická interference dosáhla viditelnosti 45,66\%, což se blíží teoretickému maximu 50\%. Kvantové měření na úrovni jednotlivých fotonů dosáhlo viditelnosti 32,60\%, což demonstruje úspěšnou interferenci a schopnost kódovat informace na jednotlivé fotony. Simulace pokrývá celý proces QKD, od generování kvantových stavů Alice, přenosu přes simulovaný kvantový kanál s šumem a ztrátami, měření Bobem a následnými postprocesingovými fázemi, včetně filtrování klíčů, odhadu chyb, korekce chyb, zesílení soukromí klíče a autentizace klíče. Provedeny byly rozsáhlé analýzy pro hodnocení dopadu různých zdrojů šumu a scénářů odposlechu na kvantovou chybovost bitů (QBER) a finální délku klíče.
Navrhli jsme a pomoci linearni kvantove optiky experimentalně ověřili metodu podminěne implementace kvantoveho maximalně entanglujiciho control-Z hradla, operujiciho na libovolně slabě vazaných kvantových bitech. Nase metoda je založena na obchazeni interakce slabě vazaných kvantových bitů pomoci koherentniho navazani a nasledneho vyvazani jednoho kvantoveho bitu do pomocneho modu. Po interakci je pomocný mod promitnut zpět do podprostoru původniho kvantoveho bitu. Takto je dosaženo zesileni interakce mezi slabě vazanými kvantovými bity, přestože vazba do pomocneho modu je lokalni operaci. Experiment využiva casově korelovane pary fotonů, ktere jsou generovane pomoci spontanni parametricke sestupne frekvencni konverze. Pro kodovani jednotlivých kvantových bitů se využiva prostorových a polarizacnich modů fotonů. Slaba vazba mezi fotony, ktera běžně neumožňuje vytvořeni control-Z hradla, je zprostředkovana pomoci dělice svazku. Metoda je charakterizovana svoji ucinnosti a pomoci měřeni Hofmannovy dolni meze fidelity procesu pro různe sily vazby do pomocneho modu. V optimalnim režimu, kde dosahuje fidelita procesu a pravděpodobnost uspěsne operace sveho maxima, je hradlo charakterizovano uplným tomografickým měřenim.
S příchodem kvantové teore klasická logika přestala být dostatečnou pro popis fyzikálních událostí, protože distributivní zákon výrokové logiky vede ke sporům v kvantové teorii. To vedlo k vytvoření kvantových logik. Ortomodulární svazy jsou algebraické struktury, které splňují vlastnosti kvantové logiky. \nl V této práci studujeme ortomodulární svazy, a také obecnější kvantové struktury bez netriviálních měr z libovolné komutativní aditivní grupy. Ukážeme, jak kvantové struktury souvisí s hypergrafy, a použijeme grafově teoretické metody pro vytvoření omezení velikostí studovaných kvantových struktur. \nl Prezentujeme nové výsledky jak z teorie grafů, kde jsme nalezli horní odhad počtu hran při daném počtu vrcholů pro určitý typ hypergrafů, tak z teorie kvantových struktur, kde jsme značně zjednodušili příklady a argumenty pro existenci kvantových struktur bez měr z libobolné komutativní aditivní grupy.
Tématem této práce jsou kvantové procházky a algoritmy na nich založené, především algoritmus pro vyhledávání a algoritmus pro přenos stavu. V první části této práce představíme kvantovou procházku v diskrétním čase s mincí, která je hlavní model používaný v této práci. Dále představíme vyhledávací algoritmus a algoritmus pro přenos stavu, které budou na těchto modelech založené. Další 3 kapitoly po teoretickém úvodu jsou tvořeny publikovanými články, které se zabývají vyhledáváním a přenosem stavu na různých typech grafů. V prvním článku se zabýváme vyhledáváním a přenosem stavu na M-partitním grafu, ve druhém článku se zabýváme vyhledáváním a přenosem na hyperkrychli, poslední vložený článek se zabývá huby u náhodné sítě. V poslední kapitole opět pracujeme s huby, tentokrát napojenými k d-regulárnímu grafu.
Tento text přispívá k teorii kvantových logik (algebraické teorii ortomodulárních uspořádaných množin). Kapitola 1 představuje základní pojmy kvantových teorií a jejich vztah s kvantovými logikami. Kapitola 2 formálně zavádí základní pojmy teorie kvantových logik. Kapitola 3 se zabývá algebraickým generováním ve svazových kvantových logikách. Jedním z výsledků je zjištění, že vlastnost lokální konečnosti umožňuje rozšiřování stavů. Poté je zkoumán kartézský součin lokálně konečných svazových kvantových logik. V kapitole 4 zkoumáme kvantové logiky dovolující zavedení pojmu symetrické diference. Hlavními dosaženými výsledky jsou nalezení příkladu neregulární kompatibility v těchto strukturách, důkaz rozšiřování ℤ2-stavů a konstrukce příkladu s malým stavovým prostorem a vysokým stupněm nekompatibility. V kapitole 5 opatříme Abbottovy algebry symetrickou diferencí (lze ji chápat jako operaci XOR). Ukazujeme, že Abbottovy algebry s operací XOR jsou kategoriálně ekvivalentní se svazovými kvantovými logikami se symetrickou diferencí. Dalším výsledkem je popis kompatibility a zavedení pojmu ∆-stav. Dále je podána zajímavá charakterizace Booleovy algebry v řeči symetrické diference. V kapitole 6 se ptáme, zda lze každou množinově reprezentovatelnou kvantovou logiku učinit isomorfní s množinově reprezentovatelnou kvantovou logikou, která dovoluje oddělování bodů. Na tuto otázku odpovídáme kladně pomocí zavedení vhodné ekvivalence a spojení s technikou Stoneovy reprezentace. V kapitole 7 shrhujeme hlavní výsledky práce.