Tento text přispívá k teorii kvantových logik (algebraické teorii ortomodulárních uspořádaných množin). Kapitola 1 představuje základní pojmy kvantových teorií a jejich vztah s kvantovými logikami. Kapitola 2 formálně zavádí základní pojmy teorie kvantových logik. Kapitola 3 se zabývá algebraickým generováním ve svazových kvantových logikách. Jedním z výsledků je zjištění, že vlastnost lokální konečnosti umožňuje rozšiřování stavů. Poté je zkoumán kartézský součin lokálně konečných svazových kvantových logik. V kapitole 4 zkoumáme kvantové logiky dovolující zavedení pojmu symetrické diference. Hlavními dosaženými výsledky jsou nalezení příkladu neregulární kompatibility v těchto strukturách, důkaz rozšiřování ℤ2-stavů a konstrukce příkladu s malým stavovým prostorem a vysokým stupněm nekompatibility. V kapitole 5 opatříme Abbottovy algebry symetrickou diferencí (lze ji chápat jako operaci XOR). Ukazujeme, že Abbottovy algebry s operací XOR jsou kategoriálně ekvivalentní se svazovými kvantovými logikami se symetrickou diferencí. Dalším výsledkem je popis kompatibility a zavedení pojmu ∆-stav. Dále je podána zajímavá charakterizace Booleovy algebry v řeči symetrické diference. V kapitole 6 se ptáme, zda lze každou množinově reprezentovatelnou kvantovou logiku učinit isomorfní s množinově reprezentovatelnou kvantovou logikou, která dovoluje oddělování bodů. Na tuto otázku odpovídáme kladně pomocí zavedení vhodné ekvivalence a spojení s technikou Stoneovy reprezentace. V kapitole 7 shrhujeme hlavní výsledky práce.
Tento text přispívá k teorii kvantových logik (algebraické teorii ortomodulárních uspořádaných množin). Kapitola 1 představuje základní pojmy kvantových teorií a jejich vztah s kvantovými logikami. Kapitola 2 formálně zavádí základní pojmy teorie kvantových logik. Kapitola 3 se zabývá algebraickým generováním ve svazových kvantových logikách. Jedním z výsledků je zjištění, že vlastnost lokální konečnosti umožňuje rozšiřování stavů. Poté je zkoumán kartézský součin lokálně konečných svazových kvantových logik. V kapitole 4 zkoumáme kvantové logiky dovolující zavedení pojmu symetrické diference. Hlavními dosaženými výsledky jsou nalezení příkladu neregulární kompatibility v těchto strukturách, důkaz rozšiřování ℤ2-stavů a konstrukce příkladu s malým stavovým prostorem a vysokým stupněm nekompatibility. V kapitole 5 opatříme Abbottovy algebry symetrickou diferencí (lze ji chápat jako operaci XOR). Ukazujeme, že Abbottovy algebry s operací XOR jsou kategoriálně ekvivalentní se svazovými kvantovými logikami se symetrickou diferencí. Dalším výsledkem je popis kompatibility a zavedení pojmu ∆-stav. Dále je podána zajímavá charakterizace Booleovy algebry v řeči symetrické diference. V kapitole 6 se ptáme, zda lze každou množinově reprezentovatelnou kvantovou logiku učinit isomorfní s množinově reprezentovatelnou kvantovou logikou, která dovoluje oddělování bodů. Na tuto otázku odpovídáme kladně pomocí zavedení vhodné ekvivalence a spojení s technikou Stoneovy reprezentace. V kapitole 7 shrhujeme hlavní výsledky práce.
Téma této disertační práce je studium konečně aditivních měr na strukturách blízkých Booleovým algebrám. Ve formulaci přijaté v teoretické fyzice jde o vyšetřování stavů na kvantových logikách. Přínos této disertační práce je obsažen v pěti přiložených článcích. V prvním z těchto článků se autor zabývá stavy s hodnotami v obecném tělese charakteristiky nula. Cílem je zobecnit klasickou Hornovu-Tarského větu o rozšiřování stavů (HT). Autor částečně uspěl v některých speciálních případech, ale obecně se ukázalo, že přirozená reformulace věty HT pro tělesa neplatí (kromě znaménkové formulace HT, kde se podařilo původní reálně hodnotovou HT zobecnit na tělesovou formulaci). V druhém článku autor vyšetřuje ortomodulární svazy, které dovolují zavedení symetrické diference. Tyto struktury, které jsou v současné době intenzivně studovány, byly v tomtu článku obohaceny o vhodný pojem stavu. Vznikla pak otázka, kdy se dá daný stav rozšířit na větší logiku (případně i takovou, která není množinově reprezentovatelná). Autor ukázal, že stavová rozšíření jsou možná pokud je stav definován na Booleově algebře. V obecnosti ani logiky velice blízké Booleovským stavová rozšíření nedovolují. Ve třetím článku autor dále analyzoval množinově reprezentovatelné logiky. Jako hlavní výsledky lze jmenovat kritérium pro rozšiřování stavů na Gudderových logikách a příspěvek k jistým fyzikálně motivovaným otázkám pro klasickou hustotní logiku (určitý nový pohled na Banachovy limity). Ve čtvrtém článku se autor zabývá pravděpodobnostně motivovaným pojmem Jauchova-Pironova stavu. Autor nalezl nutnou a postačující podmínku pro rozšiřování stavů definovaných na Booleově algebře a zachovávající při rozšíření Jauchovu-Pironovu vlastnost. Aplikací tohoto výsledku je dokázána věta o rozšiřování Jauchových-Pironových stavů na projektorovou logiku L(H). V pátém článku je zavedeno jisté nekonečné rozšíření Gudderovy logiky. V poněkud překvapivém kontrastu s konečnou Gudderovou logikou je dokázáno, že tyto zobecněné logiky dovolují rozšiřování stavů na potenční množinu.
Název práce: Kvantové výpočty v mnohočásticové fyzice Autor: Jan Brandejs Katedra: Ústav částicové a jaderné fyziky Vedoucí bakalářské práce: prof. RNDr. Pavel Cejnar, Dr., DSc., Ústav částicové a jaderné fyziky Abstrakt: Při simulaci mnohočásticových kvantových systém· obvykle dochází k exponenciální explozi výpočetní složitosti. Kvantové počítače umožňují ten- to problém principiálně vyřešit. Díky práci R. Feynmanna je známo, že axiomy teorie složitosti vychází z fyzikálních zákon·. Situace se změní, zavedeme-li do výpočetního procesu mimo klasické fyziky i kvantovou teorii. Ukazuje se, že pro efektivní simulaci kvantového systému je vhodné použít jiný, lépe kontrolovatelný kvantový systém. Realizace výpočtu s využitím q-bit· a kvantového paralelismu pak ve vybraných případech vede k zásadní redukci složitosti. Kvantové počítače potenciálně umožňují realizaci výpočt· a simulací, které jsou s klasickými počíta- či prakticky neproveditelné. Zejména na poli kvantové chemie vyvstává možnost přímočaré aplikace. Tato práce je zaměřena na použití kvantových počítač· pro mnohočásticové problémy a obsahuje analýzu složitosti kvantové simulace atomo- vých jader. Klíčová slova: kvantový počítač, kvantová simulace, mnohočásticová fyzika
S příchodem kvantové teore klasická logika přestala být dostatečnou pro popis fyzikálních událostí, protože distributivní zákon výrokové logiky vede ke sporům v kvantové teorii. To vedlo k vytvoření kvantových logik. Ortomodulární svazy jsou algebraické struktury, které splňují vlastnosti kvantové logiky. \nl V této práci studujeme ortomodulární svazy, a také obecnější kvantové struktury bez netriviálních měr z libovolné komutativní aditivní grupy. Ukážeme, jak kvantové struktury souvisí s hypergrafy, a použijeme grafově teoretické metody pro vytvoření omezení velikostí studovaných kvantových struktur. \nl Prezentujeme nové výsledky jak z teorie grafů, kde jsme nalezli horní odhad počtu hran při daném počtu vrcholů pro určitý typ hypergrafů, tak z teorie kvantových struktur, kde jsme značně zjednodušili příklady a argumenty pro existenci kvantových struktur bez měr z libobolné komutativní aditivní grupy.
Kvantové sítě jsou komunikačním prostředkem nové generace. Rozmach kvantových technologií umožňuje využití neklasických jevů jako kvantová superpozice, kvantové provázání a interference v komunikačních a kryptografických protokolech. Příkladem takového protokolu je kvantová distribuce klíče, která zajišťuje vytvoření a distribuci náhodného šifrovacího klíče mezi dvěma komunikačními uzly. Samotný termín kvantová síť znamená tři různé věci. První jsou aktivní kvantové sítě používající prvky jako opakovače nebo kvantová paměť, druhá pasivní optické kvantové sítě složené z děličů paprsku a posunovačů fáze a třetí představuje abstraktní matematický model založený na Hamiltoniánu, který lze charakterizovat grafem. V této práci popíšeme všechny tři pojmy, přičemž se soustředíme zejména na třetí zmíněný význam tohoto pojmu. V rámci zmíněného Hamiltoniánového modelu detailně zkoumáme tzv. efekt uvěznění kvantové excitace v jediném módu nebo v malém počtu módů. Efekt uvěznění zkoumáme jak pro kvantovou síť charakterizovanou úplným grafem, tak i pro grafy, kde nějaká hrana může chybět. Nepřítomnost hrany zkoumáme jak ve statickém případě, kdy hrana chybí permanentně, tak i v případě stochastického chování v čase, kdy se hrana přerušuje a opět znovuobjevuje.
Diskrétní časové kvantové procházky se ukázaly jako užitečný nástroj v oblasti kvantového počítání. Je známo, že DTQW (kvantové procházky s diskreditovaným časem) mohou vykazovat řadu topologických fází, které lze využít při navrhování využití, které jsou odolné vůči různým typům šumu a poruch. Schopnost určit topologickou fázi, ve které se DTQW nachází, je jedním z klíčových úkolů pro jakoukoli aplikaci. Tato práce se zaměřuje na prozkoumání možnosti využití kvantových klasifikačních metod pro určení topologické fáze kvantových procházek. Text práce pokrývat vývoj metod a jejich implementaci na kvantových počítačích.
2PRÁVY.Nová epocha v teorii kvant.-Od posledního přehledu*) časo* pisecké literatury o nové kvantové teorii učiněny další důležité po kroky v této nové teorii.Ke konci minulého přehledu vyslovena byla naděje, že teorie Schródingerova a Heisenberg-B o r n-J o r d a n-D i r a c o v a si nebudou odporovati, lato do mněnka se plně potvrdila, ba dokonce podařilo se samotnému Schródinger-ovi ukázati, že se stanoviska formálně matema tického jsou obě teorie identické; důkaz tohoto fakta jest obsažen v práci: E. Schródinger (Zurich) »0ber das Verháltnis der Heisenb e rg-B orn-Jorda nschen Qu#ntenmechanik zu der meiuen« (18.2, 1926), 'Ann.d.Phys.79, 734-756, 1926.-Jest opravdu na podiv, že obě teorie na pohled tak rozdílné jsou formálně identické; vždyť východisko, představy, metoda a celý matematický aparát se zdají zcela odlišné.U Heisenberga klasické spojité pro měnné jsou nahrazeny maticemi, t. j. systémy nespojitých veličin, které závisejí na dvou celých číslech (jakožto indexech) a jsou určeny systémem nekonečně mnoha algebraických rovnic; je to pravá teorie »diskontinuitní«.Naproti tomu Schrodinge řova »undulační« čili »fysikálhí« mechanika se vyznačuje pře chodem od klasické mechaniky ke »kontinuitní« teorii.Souhrn po hybových rovnic klasické mechaniky (jichž jest v problémech kvan tové teorie konečný počet) a kvantových podmínpk Schródin ger nahrazuje jedinou parciální rovnicí diferenciální, která plyne jako důsledek z jistého »účinnostního prinpipu*.Popudem k teorii Schrodingerově posloužila duchaplná doktorská di sertace L. de Brogiie, Ann. de Physique (10), 3, 22, 1925 (Thěses, Paris 1924) a krátké sice poznámky A. Einsteinovy v Berl.Ber., 1925, p. 9, za to však velmi důležité.Genetické souvislosti s teorií Heisenbergovou si Schródinger nebyl původně vědom, třeba že práci Heisenbergovu znal; odstrašovaly jej totiž s počátku metody transcendentní algebry, jež se mu zdály příliš obtížné a* kromě toho nedostatek názornosti teorie Heisenbergovy.V dalších pracích: £.Schródinger (Zurich) »Quantisierung als Eigenwertproblein« III.Mítteiíung (10. 5. 1926), Ann.d.Phys.80, 437-490 (1926), IV.Mitteilung (21. 6. 1926), Aiin.d.Phys.81, HO-139 (1926), rozšiřuje autor svoji teorii na ty problémy, které v dosavadní teorii se ne daly řešiti »direktně«, nýbrž pomocí t. zv.teorie perturbací.Dále *) Viz Časopis pro pěst jnat.a fys.55, 423-424 (1926)..---Srovm též předcházející přehled v témž ročníku *Casopisii« na str.2$7*