Une nouvelle méthode numérique pour ressoudre l'équation de Schrödinger dépendente du temps est proposée. Méthode consiste en factorisaion des opérateurs exponentielles. On démontre que cette méthode fourni une précison de troisième ordre par rapport à l'incrément temporel. La phase de la solution est obtenue avec une précision exceptionelle. On démontre que la nouvelle méthode est plus efficace que la méthode standard de deuxième ordre pour des potentiels non-dépendants ainsi que dépendant du temps. On présente la solution numérique des deux équations de Schrödinger couplées à l'aide de cette méthode. Abstract: A new method of splitting exponential operators is proposed in exponential form for the operator solution of the time dependent Schrödinger equation. The method is shown to be third order accurate in the time increment. In particular, the phase of the weavefunction is shown to be exceptionally accurate. The new method is shown to be more efficient that the standard second order evolution operator algorithms for time independent and dependent potentials. The numerical solution of two coupled Schrödinger equations also shwon in the new method.
Une nouvelle méthode numérique pour ressoudre l'équation de Schrödinger dépendente du temps est proposée. Méthode consiste en factorisaion des opérateurs exponentielles. On démontre que cette méthode fourni une précison de troisième ordre par rapport à l'incrément temporel. La phase de la solution est obtenue avec une précision exceptionelle. On démontre que la nouvelle méthode est plus efficace que la méthode standard de deuxième ordre pour des potentiels non-dépendants ainsi que dépendant du temps. On présente la solution numérique des deux équations de Schrödinger couplées à l'aide de cette méthode. Abstract: A new method of splitting exponential operators is proposed in exponential form for the operator solution of the time dependent Schrödinger equation. The method is shown to be third order accurate in the time increment. In particular, the phase of the weavefunction is shown to be exceptionally accurate. The new method is shown to be more efficient that the standard second order evolution operator algorithms for time independent and dependent potentials. The numerical solution of two coupled Schrödinger equations also shwon in the new method.
L'équation fondamentale de la mécanique ondulatoire peut ètre résolue par une méthode d'approximations successives ; au lieu de chercher directement la fonction ψ de Schrodinger, on pose ψ = e^((2πi/h)S) et l'on obtient pour S une équation de la forme [FORMULE], où le premier membre est identique à celui de l'équation de Hamilton, tandis qu'au second membre figure une expression linéaire par rapport aux dérivées partielles du premier et second ordre de S. Cette équation peut être résolue par approximations en posant [FORMULE] et l'on a pour S0 l'équation ordinaire de Hamilton ; la série des équations qui permettent de déterminer S1, S2..., Sn... est ensuite linéaire. La fonction S, en un point donné, est multiforme, tout comme la fonction classique S0 ; sa valeur est déterminée à Σ mh Ik près, les lk étant les périodes de S ; pour que la fonction ψ n'ait qu'une seule détermination, il faut que la périodicité de l'exponentielle compense l'indétermination de S, ce qui donne les conditions Ih = nh h (nk entier). Si l'on s'en tient à la première approximation (S0), on retrouve ainsi la mécanique quantifiée de Sommerfeld, Schwarzschild, etc. Les approximations ultérieures apportent diverses corrections à ce premier calcul (quanta fractionnaires, sélection, etc.). L'auteur développe et précise cette méthode, qu'il avait déjà exposée dans une note aux compte rendus [C. R., t. 183 (5 juillet 1926), p. 24] et qui fut indiquée indépendamment par Wentzel [Zts. f. Phys., t. 38 (1926), p. 318] sous une forme d'ailleurs moins générale. Il était aussi intéressant de rechercher le type le plus général de problèmes résolubles ; c'est ce que tente l'auteur, en généralisant autant que possible les résultats obtenus précédemment. Incidemment, on constate que les équations générales ne permettent plus l'inversion du signe du temps, à moins que l'on ne change simultanément le signe de h ; ceci aura pour conséquence physique de remplacer les absorptions d'énergie par des émissions, et réciproquement D'autre part, les renseignements donnés, d'une manière très générale, sur la méthode de résolution des équations, permettent de préciser la forme des matrices et de montrer par quel mécanisme s'introduisent les règles de sélection. L'auteur indique enfin une suggestion sur le rôle du temps dans la mécanique nouvelle ; il propose une définition qui permet de retrouver sans ambiguïté les fréquences optiques, mais enlève toute existence physique aux fréquences des états stables.
La thèse porte sur le développement de méthodes numériques pour résoudre l'équation de Schrödinger dépendante du temps. Nous nous sommes d'abord intéressés à la collision électron-hydrogène. L'originalité de la méthode repose sur l'utilisation d'une grille radiale à pas variable, définie par interpolation de Schwartz à l'aide d'une fonction de référence coulombienne. Cette grille permet de reproduire un grand nombre d'états liés de l'atome d'hydrogène ainsi que les éléments de matrice de divers opérateurs à la précision numérique de l'ordinateur. La propagation temporelle est effectuée par un algorithme Split-Operator. L'efficacité de la méthode permet de propager la fonction d'onde sur de très grandes distances et les calculs sont réalisés pour toutes les ondes partielles. Les sections efficaces d'excitation et d'ionisation obtenues sont en excellent accord avec les meilleurs résultats expérimentaux et théoriques. Nous avons ensuite adapté la méthode et la chaîne de programmes associée à l'étude des collisions réactives atome-dihydrogène. Le paquet d'ondes est décrit en coordonnées de Jacobi des produits, à l'aide d'une grille régulière pour les coordonnées radiales et d'un développement sur des polynômes de Legendre pour la partie angulaire (onde partielle S). L'analyse est réalisée par transformation de Fourier temps-énergie et fournit, en un seul calcul, les résultats sur toute la gamme d'énergie couverte par le paquet d'ondes initial. La méthode a d'abord été testée sur la réaction quasi-directe (F,H2) et ensuite appliquée à la réaction indirecte (C(1D),H2). Les probabilités de réaction d'état à état sont en très bon accord avec celles obtenues par une approche indépendante du temps. En particulier, pour la collision (C(1D),H2), la structure extrêmement résonante de ces probabilités est bien reproduite.
Algorithmes quantiques pour les équations aux dérivées partielles : circuits quantiques et applications physiques Les simulations classiques actuelles des phénomènes physiques présentent de nombreuses limitations, en particulier lorsqu'il s'agit de systèmes complexes tels que les fluides turbulents, les plasmas ou les matériaux quantiques fortement corrélés. Ces simulations rencontrent souvent des difficultés liées à des coûts de calculs élevés, une mise à l'échelle limitée à travers plusieurs dimensions ou échelles temporelles, ainsi qu'à la complexité de capturer des dynamiques intrinsèquement non-linéaires ou chaotiques. Même avec l'accès à des ressources de calcul haute performance (HPC), la résolution précise des dynamiques à fine échelle ou des évolutions sur de longues périodes reste un défi majeur. Le développement de nouvelles méthodes numériques est donc essentiel, tant pour la recherche académique que pour les applications industrielles. Les ordinateurs quantiques émergent comme de nouveaux outils numériques pour l'étude de tels systèmes et la résolution des équations aux dérivées partielles qui les modélisent. Grâce aux propriétés de superposition et d'intrication des qubits, les calculs numériques peuvent être réalisés de manière inédite, offrant des avantages théoriques prometteurs pour certains problèmes. Dans ce contexte, cette thèse contribue au développement et à la compréhension des algorithmes quantiques, allant de la conception de circuits quantiques à la résolution numérique d'équations différentielles partielles et ordinaires. Dans une première partie, des circuits quantiques efficaces sont présentés pour l'implémentation de routines couramment utilisées dans les algorithmes quantiques (opérations multi-contrôlées, préparation d'états quantiques, opérations diagonales), ainsi que pour une nouvelle routine : la transformée de Laplace quantique. Ces routines limitaient l'efficacité des algorithmes quantiques en raison d'implémentations génériques dont la complexité croissait de manière exponentielle avec le nombre de qubits. Désormais, ces tâches peuvent être réalisées à l'aide de circuits quantiques adaptés qui exploitent la structure des problèmes physiques. Dans une seconde partie, des schémas numériques quantiques sont introduits pour résoudre des équations de transport anisotropes et des équations différentielles ordinaires hamiltoniennes non linéaires. Ces schémas se composent de trois étapes (initialisation, évolution et mesure) et reposent sur des approximations en différences finies d'ordre élevé et des formules de Trotterisation. Des protocoles efficaces pour mesurer des grandeurs d'intérêt sont présentés, et une nouvelle analyse numérique, basée sur la norme vectorielle plutôt que sur la norme d'opérateur générique, est introduite. Cette approche permet d'atteindre une précision donnée tout en réduisant le nombre de pas de temps par un facteur qui croît de manière exponentielle avec le nombre de qubits. De plus, une étude de différentes transformations de Madelung non linéaires est présentée afin de résoudre certaines équations fluides sur ordinateur quantique. Les différents résultats de cette thèse sont illustrés par des simulations classiques des algorithmes quantiques ainsi que par des simulations sur des processeurs quantiques actuels. Ce travail pose les bases de la simulation pratique de systèmes physiques classiques, aussi bien sur les dispositifs quantiques actuels de type NISQ (noisy intermediate-scale quantum) que sur les futurs ordinateurs quantiques tolérants aux erreurs.
Symétries et structures de rang faible des matrices et tenseurs pour des problèmes en chimie quantique Cette thèse présente de nouveaux algorithmes numériques et effectue une étude approfondie de certaines méthodes numériques existantes pour relever les défis de haute dimension résultant de la résolution de l'équation de Schrödinger électronique en chimie quantique. En se concentrant sur deux problèmes spécifiques, notre approche implique l'identification et l'exploitation des symétries et des structures de rang faible au sein de matrices et de tenseurs. Le premier problème abordé dans cette thèse concerne l'évaluation numérique efficace de la composante à longue portée du potentiel de Coulomb à séparation de portée et des intégrales à deux électrons à longue portée, un tenseur du quatrième ordre qui intervient dans de nombreuses méthodes de chimie quantique. Nous présentons deux nouvelles méthodes d'approximation. Cela est réalisé en s'appuyant sur l'interpolation Chebyshev, des règles de quadrature Gaussienne combinées à des approximations de rang faible ainsi que des méthodes rapides multipolaires (FMM). Ce travail offre une explication détaillée de ces approches et algorithmes introduits, accompagnée d'une comparaison approfondie entre les méthodes nouvellement proposées. Le deuxième problème abordé concerne l'exploitation des symétries et des structures de rang faible pour dériver des représentations efficaces en train de tenseurs des opérateurs impliqués dans l'algorithme DMRG. Cet algorithme est une méthode d'optimisation itérative précise utilisée pour résoudre numériquement l'équation de Schrödinger indépendante du temps. Ce travail vise à comprendre et interpréter les résultats obtenus par les communautés de physique et de chimie, et cherche à offrir des perspectives théoriques nouvelles qui, selon nos connaissances, n'ont pas reçu une attention significative auparavant. Nous menons une étude approfondie et fournissons des démonstrations, si nécessaire, pour explorer l'existence d'une représentation particulière en train de tenseurs, creuse par blocs, de l'opérateur Hamiltonien et de sa fonction d'onde associée. Cela est réalisé tout en maintenant les lois de conservation physiques, manifestées sous forme de symétries de groupe dans les tenseurs, telles que la conservation du nombre de particules. La troisième partie de ce travail est dédiée à la réalisation d'une bibliothèque prototype en Julia, pour l'implémentation de DMRG qui est conçue pour le modèle d'opérateur Hamiltonien de la chimie quantique. Nous exploitons ici la représentation en train de tenseurs, creuse par blocs, de l'opérateur et de la fonction d'onde (fonction propre). Avec ces structures, notre objectif est d'accélérer les étapes les plus coûteuses de la DMRG, y compris les contractions de tenseurs, les opérations matrice-vecteur, et la compression de matrices par décomposition en valeurs singulières tronquée. De plus, nous fournissons des résultats issus de diverses simulations moléculaires, tout en comparant les performances de notre bibliothèque avec la bibliothèque ITensors de pointe, où nous démontrons avoir atteint une performance similaire.