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Soluzioni analitiche dell'equazione di Schrödinger dipendente dal tempo. Analytical solutions of the time-dependent Schrödinger equation

Micol D'Arcangelo

Published Sep 1, 2018• 0 citations
OpenAlex

Abstract

Le soluzioni analitiche esatte dell'equazione di Schrodinger dipendente dal tempo sono interessanti perche possono aiutare ad esplorare ulteriormente vari affascinanti fenomeni quantistici o a chiarire alcuni concetti sottili. Ad oggi, le soluzioni trovate si riferiscono a pochi casi, quelli piu semplici e quelli in cui il potenziale assume una forma particolare. In questo lavoro si risolve analiticamente l'equazione di Schrodinger dipendente dal tempo considerando diverse tipologie di potenziali additivi dipendenti dal tempo mediante l'utilizzo di metodi di trasformazione, come ad esempio la trasformazione di tempo-spazio e quella di Kramers-Henneberger.

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Il problema quantistico a molticorpi è affrontato ricercando soluzioni approssimate dell’equazione di Schrödinger. In questo ambito, il principio variazionale è uno dei metodi più usati. La sua applicazione più conosciuta, e semplice, è quella ad un sistema di particelle non interagenti. Questo conduce alla formulazione delle equazioni di Hartree-Fock. Il principio variazionale è utilizzato anche per descrivere sistemi di particelle in interazione tra loro. Le teorie che sono state sviluppate in questo ambito sono più elaborate e difficili da gestire, ma hanno assunto una grande rilevanza per la descrizione di liquidi quantistici
Questo lavoro esamina le applicazioni del quantum computing in data science, riformulando problemi di ottimizzazione e machine learning attraverso un formalismo ibrido quantistico-classico. Innanzitutto, vengono presentati i concetti fondamentali della meccanica quantistica, limitando lo studio all’area di interesse del quantum computing ma allo stesso tempo impostando il contesto matematico in modo rigoroso. Dopodiche, attraverso una panoramica dell’hardware presente ad oggi e di quello atteso per il futuro prossimo, e con l’esaminazione dei problemi legati al rumore e al ridotto numero di qubit disponibili nei dispositivi quantistici moderni, si motiva il bisogno di un approccio ibrido per risolvere problemi complessi, che permetta ad hardware classico e quantistico di lavorare sinergicamente. Lo scopo di questo lavoro e quello di presentare strategie per modellare problemi di ottimizzazione e supervised e reinforcement learning in modo da far lavorare una Quantum Processing Unit sulle parti degli algoritmi computazionalmente piu costose. Vengono discussi sia i benefici sia gli svantaggi: i primi sono strettamente legati alla scelta di un modello di computazione nuovo, dal quale ci si aspetta l’esecuzione di operazioni classicamente intrattabili e lo sfruttamento della velocita intrinseca dei sistemi quantistici di raggiungere il ground state; i secondi derivano principalmente dalle attuali limitazioni ingegneristiche che non permettono un controllo efficiente di sistemi quantistici a larga scala. Vengono esaminati quattro casi di studio: un problema di classificazione di immagini auto-costruite attraverso un algoritmo di Support Vector Machine, il quale sfrutta funzioni che portano i dati dallo spazio di input allo spazio degli stati quantistici, construendo cosi un kernel quantum-enhanced; un problema di reinforcement learning, formulato come Quadratic Unconstrained Binary Optimisation (QUBO), con lo scopo di trovare una strategia vincente per il gioco del Blackjack usando dati auto-simulati; il Number Partitioning Problem, formulato come QUBO, che rappresenta lo scenario piu complesso dal punto di vista della connettivita dei qubit e, per grandi istanze, e capace di raggiungere la complessita di problemi reali; infine, il problema del limited-assets Markowitz portfolio optimisation, riscritto come QUBO, al fine di implementare un’euristica quantum-inspired che possa sormontare la complessita del problema al crescere della dimensione dell’input. Nel corso di questo lavoro sono stati analizzati sia l’approccio di computazione universale gate-model, sia quello di adiabatic quantum computing, con particolare attenzione verso quest’ultimo attraverso la maggior parte dei casi di studio. Per uno di questi, il Number Partitioning Problem, e stato sfruttato l’accesso in cloud ad un quantum annealer, che ha permesso uno studio completo delle capacita di tale macchina, in grado di risolvere tra i problemi piu complessi che i quantum computer moderni possano affrontare. Infine, non solo questo lavoro valuta l’accuratezza e la qualita delle soluzioni dei problemi esaminati, ma si concentra anche sul paragone tra strategie quantistiche e classiche, evidenziando le differenze e i benefici che un approccio quantistico o ibrido quantistico-classico puo portare nella risoluzione di problemi di ottimizzazione e machine learning, specialmente con l’eventuale disponibilita, nel futuro prossimo, di dispositivi a piu larga scala.
Neste trabalho foram resolvidos, através da Equação de Schrödinger Independente do tempo, o potencial biestável para um sistema de dois níveis do Poço Duplo Quadrado Unidimensional Simétrico, de forma exata e por métodos aproximativos. Também é apresentada a solução da equação radial para o potencial coulombiano usando um formalismo de operadores escada, através dos conceitos de supersimetria em mecânica quântica e shape invariance. O tunelamento em um potencial biestável é proporcional à diferença entre os dois níveis de energia mais baixos. O presente estudo mostra os resultados dessa diferença obtida para três abordagens distintas para o poço quadrado biestável analisado. Os primeiros resultados são obtidos por uma solução analítica para a Equação de Schrödinger Independente do tempo. Uma combinação linear das autofunções do estado fundamental dos poços individuais é usada também é usada, juntamente com o método variacional em uma segunda abordagem. Outra abordagem usada é a aproximação WKB. A solução radial do problema coulombiano quântico é determinada de forma exata/analítica através dos operadores de criação e destruição.
G. Martinelli, M. Panella, A. Rizzi Dipartimento INFOCOM Universita di Roma “La Sapienza” Via Eudossiana 18, 00184 Roma La ricerca iniziata recentemente sul ‘quantum processing’ e stata indirizzata verso due tematiche: • l’esistenza di un’analogia tra le procedure per l’ottimizzazione, basate sull’imitazione di fenomeni naturali sia fisici sia biologici, e quelle che possono essere sviluppate sulla base della teoria quantistica. La differenza tra i due casi sta nel livello dei fenomeni presi in considerazione e cioe un livello macroscopico nel primo caso ed un livello microscopico nel secondo caso. In ambedue i casi si imita la natura con lo scopo di avvantaggiarsene per il raggiungimento di procedure efficaci di ottimizzazione. • sviluppo di procedure di ottimizzazione basate sulle proprieta piu caratteristiche del livello microscopico. Le suddette procedure si diversificano in base all’applicazione presa in considerazione. La prima tematica e stata approfondita mettendo in evidenza la possibilita di sviluppare un procedimento di ottimizzazione capace d’individuare la soluzione ottimale di un problema in modo esaustivo. Risultati parziali nell’ambito di questa tematica sono stati riportati in [1]. La possibilita di effettuare una ricerca esaustiva e basate sulle proprieta tipiche della realta microscopica e cioe: • sovrapposizione delle soluzioni, ovvero tutte le soluzioni del problema esistono simultaneamente anche se in un numero enorme; • ‘entanglement’, cioe la possibilita di marcare nella sovrapposizione quelle ottimali con una semplice trasformazione di una opportuna funzione booleana nel dominio quantistico; • operatori quantistici lineari e non lineari, i quali permettono di estrarre la soluzione ottimale dalla sovrapposizione. In particolare, nel caso degli operatori non lineari tale estrazione puo avvenire con un costo computazionale molto ridotto e tale da poter giustificare procedure esaustive anche nel caso di problemi di difficile soluzione. Per quanto riguarda la seconda tematica, i problemi considerati hanno riguardato l’intelligenza artificiale e cioe le reti neurofuzzy, le reti neurali e le memorie associative. In tutti i casi la procedura da seguire e stata quella di rappresentare l’oggetto d’interesse con una stringa di bit. Tale stringa riportata nel dominio quantistico diviene una stringa di qubit ed e in grado di rappresentare simultaneamente tutte le versioni possibili dell’oggetto d’interesse. Tale sovrapposizione non puo essere utilizzata direttamente in quanto i qubit possono essere conosciuti solo attraverso misurazione. Inconvenienti relativi a questa operazione sono: • risultato stocastico della misura, nel senso che non si puo stabilire a priori quale componente della sovrapposizione si ottiene con la misura. Nella sovrapposizione ciascuna componente e associata ad un coefficiente che ne caratterizza la probabilita con cui puo essere estratto. La componente estratta dipende dal suddetto coefficiente e dal meccanismo di misura. Percio dalla misura e possibile ottenere un risultato efficace solo se il coefficiente associato alla soluzione ottimale e molto elevato.