Resumo O chamado paradoxo de Gibbs é frequentemente apresentado em livros de Mecânica Estatística como uma dificuldade conceitual da formulação clássica da entropia, cuja resolução exigiria argumentos quânticos. É comum atribuir à Mecânica Quântica a responsabilidade exclusiva pela presença do fator 1 / N ! na entropia de um gás ideal. Neste trabalho discutimos o paradoxo de Gibbs a partir de uma perspectiva clássica e didática, adequada a cursos de graduação e pós-graduação. Mostramos que a questão decisiva não é se o sistema é clássico ou quântico, mas se a enumeração adotada considera permutações de partículas semelhantes como microestados distintos. Sob hipóteses estatísticas usuais, como a equiprobabilidade dos microestados acessíveis e a aditividade da entropia, o fator 1 / N ! pode ser justificado sem apelo exclusivo à indistinguibilidade quântica. Analisamos um sistema de partículas quânticas mutuamente distinguíveis (isotopólogos de fulereno), que obedece à estatística de Maxwell–Boltzmann, e discutimos um modelo clássico de urnas, no espírito do modelo de Ehrenfest. Argumentamos que, embora em muitos modelos dividir Ω por N ! admita interpretações equivalentes, essa equivalência se rompe quando muitas partículas podem ocupar o mesmo estado de uma partícula.
Resumo O chamado paradoxo de Gibbs é frequentemente apresentado em livros de Mecânica Estatística como uma dificuldade conceitual da formulação clássica da entropia, cuja resolução exigiria argumentos quânticos. É comum atribuir à Mecânica Quântica a responsabilidade exclusiva pela presença do fator 1 / N ! na entropia de um gás ideal. Neste trabalho discutimos o paradoxo de Gibbs a partir de uma perspectiva clássica e didática, adequada a cursos de graduação e pós-graduação. Mostramos que a questão decisiva não é se o sistema é clássico ou quântico, mas se a enumeração adotada considera permutações de partículas semelhantes como microestados distintos. Sob hipóteses estatísticas usuais, como a equiprobabilidade dos microestados acessíveis e a aditividade da entropia, o fator 1 / N ! pode ser justificado sem apelo exclusivo à indistinguibilidade quântica. Analisamos um sistema de partículas quânticas mutuamente distinguíveis (isotopólogos de fulereno), que obedece à estatística de Maxwell–Boltzmann, e discutimos um modelo clássico de urnas, no espírito do modelo de Ehrenfest. Argumentamos que, embora em muitos modelos dividir Ω por N ! admita interpretações equivalentes, essa equivalência se rompe quando muitas partículas podem ocupar o mesmo estado de uma partícula.
A Mecânica Quântica trata-se de uma teoria não muito intuitiva. Seus conceitos dão novas interpretações sobre a matéria e seu comportamento, tornando mais difícil sua compreensão do que a Mecânica Clássica. Esta dissertação foi feita procurando ajudar na compreensão da Mecânica Quântica e sua intercessão com a Estatística. A dissertação visa alcançar uma formulação da Mecânica Quântica a partir dos postulados da Estatística acrescidos de postulados que são necessários para completar a descrição. Com isso pretende-se alcançar uma outra forma de visualização da Mecânica Quântica, assim como existe a abordagem pela Mecânica Ondulatória e pela Mecânica das Matrizes. Formulada a Mecânica Quântica conforme o formalismo convencional na Estatística, apresenta-se dois sistemas físicos com a finalidade de exemplificar alguns dos conceitos estudados: o oscilador harmônico simples formulado na Mecânica Quântica e um paralelo com o mesmo sistema formulado na Mecânica Clássica com aleatorização da variável tempo, e o átomo de hidrogênio.
A possibilidade de sistemas físicos distintos permanecerem dinamicamente compatíveis ao longo do tempo é frequentemente assumida de forma implícita em diversas áreas da física, desde descrições interferenciais até a comparação de relógios e a análise de sistemas compostos. Neste trabalho mostramos que tal compatibilidade contínua não é uma propriedade genérica, mas encontra uma limitação estrutural que decorre diretamente da formulação variacional da dinâmica. Partindo apenas de hipóteses mínimas — existência de uma ação acumulativa, parametrizações próprias monotônicas e dependência operacional de diferenças de ação através de fatores eiS/ℏ — demonstramos que sistemas dinamicamente independentes não podem manter coincidência funcional de suas ações em intervalos abertos, exceto sob ajuste fino. Como consequência, instantes de compatibilidade formam um conjunto necessariamente discreto, e qualquer acoplamento coerente é efetivo apenas dentro de uma escala temporal determinada pela diferença entre as taxas de acumulação de ação. O resultado não depende de um modelo microscópico específico, nem de mecanismos dissipativos, estatísticos ou ambientais, sendo consistente com a mecânica clássica, a relatividade e a teoria quântica de campos. Mostra-se, em particular, que efeitos como a perda de visibilidade interferométrica associada à dilatação temporal podem ser compreendidos como realizações físicas de uma restrição mais geral: a incompatibilidade estrutural entre evoluções parametrizadas por ações distintas. Assim, a chamada ``janela de compatibilidade'' não constitui um novo princípio dinâmico, mas uma consequência inevitável da arquitetura variacional comum às teorias físicas estabelecidas.
Este é um artigo de caráter expositivo, no qual discutimos uma variedade de tópicos relacionados aos fundamentos da física quântica, com destaque para os conceitos de identidade e de individualidade das entidades básicas tratadas por essa teoria (ou grupo de teorias). Consideramos que, se se deseja fundamentar a contraparte formal de uma possível visão das entidades quânticas como objetos destituídos de individualidade, há basicamente duas alternativas possíveis: (a) manter-nos no escopo da lógica e da matemática tradicionais, digamos em uma teoria de conjuntos como Zermelo-Fraenkel, e, nesse caso, podemos ou assumir certas condições de simetria que de certo modo nos permitem falar da não individualidade, ou restringir-nos a certas classes nas quais apenas uma relação mais fraca de indistinguibilidade está definida; (b) elaborar uma teoria matemática nova, na qual certa forma de não individualidade está ab initio incorporada para algumas das entidades. Discutimos a primeira hipótese apresentando "modelos internos" de ZFU e ZFC, onde a identidade é restrita de alguma forma, e comentamos vantagens e desvantagens dessa abordagem. Motivada pela segunda hipótese, é então desenvolvida, em seus traços principais, o que poderia ser uma mecânica quântica fundamentada em uma das possíveis teorias de conjuntos distintas das clássicas, a teoria de quase conjuntos. Como a lógica subjacente à teoria de quase conjuntos é uma lógica não reflexiva, a mecânica correspondente é denominada de mecânica quântica não reflexiva.
Sistemas quânticos abertos, ou nao isolados, podem ser caracterizados a partir de uma entropia estatistica. A entropia e um conceito fundamental na fisica e usualmente e interpretada como falta de informacao a respeito do estado do sistema.
O programa usual da fisica estatistica para sistemas nao isolados e propor um Hamiltoniano
para o Universo, descrito por uma distribuicao de Gibbs e aplicando uma abordagem do tipo Sistema + Reservatorio, de onde podemos avaliar o operador densidade reduzido do sistema atraves de um processo de traco parcial. Outra maneira de obter o operador densidade seria obter a entropia de Von Neumann do sistema completo e a partir dela o operador densidade total pelo principio de maxima entropia para entao tomar o traco parcial com respeito as coordenadas do reservatorio.
Por outro lado, podemos tentar obter esse operador densidade e as propriedades termodinâmicas do sistema diretamente do principio de maxima entropia Tal tarefa pode exigir o uso de outras formas de entropia nao necessariamente extensivas.
Partindo de uma abordagem do tipo sistema + reservatorio, estudamos a entropia de uma particula Browniana acoplada com um reservatorio harmonico. Usando isso como o ponto de partida para a maximizacao de entropias dependentes de um parâmetro, busca-se uma correspondencia entre as constantes emergentes do nosso modelo e os parâmetros ajustaveis de algumas bem conhecidas entropias generalizadas a fim de determinar qual ansatz e mais apropriado para nosso sistema
Abstract
Em um curso tradicional de Química Quântica, os modelos estudados para ilustrar algumas das ferramentas da Mecânica Quântica relevantes para a compreensão da estrutura da matéria no nível atômico e molecular são apresentados no que se convencionou chamar, numa apresentação mais formal, de representação da posição. Nesta representação, o estado do sistema é descrito por uma função de onda dependente das posições das partículas que o constituem. Isso leva o estudante de química a uma concepção distorcida de que na natureza os estados dos sistemas devem ser obrigatoriamente descritos em termos das posições de suas partículas. Aqui mostramos que essa não é a única forma de abordar quanticamente a descrição de um sistema físico. Uma outra forma é servir-se da representação do momento, onde a função de estado depende do momento de cada uma das partículas. Existem dois caminhos para se obter as funções de estado na representação do momento. Uma delas é fazer-se a transformada de Fourier das funções de estado na representação da posição, e a outra é buscar resolver a equação de Schrödinger diretamente na representação do momento. Neste trabalho, foram discutidas essas duas abordagens para os modelos mais comuns estudados num curso de Química Quântica, sendo eles: a partícula na caixa, o oscilador harmônico, o átomo de hidrogênio, o átomo de hélio, o íon-molécula de hidrogênio (H2 +) e a molécula de hidrogênio (H2). Buscou-se mostrar uma perspectiva diferente na descrição desses sistemas bem como uma abordagem matemática distinta da usual e, também, as dificuldades, principalmente matemáticas, de sua aplicação e ensino num curso de Química Quântica.
Nesta dissertação, investigamos a informação mútua de Shannon para um campo escalar quântico sem massa livre em d + 1 dimensões, focando nas correlações entre duas regiões espaciais complementares. Nossa abordagem central envolveu o cálculo dessa medida de informação clássica diretamente dos elementos diagonais da matriz densidade expressa na base de configuração do campo. Essa metodologia forneceu um arcabouço para quantificar as correlações clássicas que persistem ou emergem após processos de decoerência quântica ou medição, que efetivamente diagonalizam a matriz densidade do sistema. Empregamos o formalismo funcional da representação de Schrödinger para calcular as entropias de Shannon associadas às regiões complementares, a partir das quais derivamos a informação mútua. Para lidar com as integrais funcionais, utilizamos tanto a aproximação de ponto de sela quanto o truque das réplicas. Computamos a informação mútua de Shannon para dois casos: o estado de vácuo e estados de partícula-única localizados. Para o estado de vácuo, nossos resultados reproduziram aqueles encontrados na literatura existente. Para estados localizados, descritos por soluções de pacote de ondas da equação de Schrödinger relativística, a informação mútua de Shannon pode ser expressa como a informação mútua do vácuo mais termos dependentes do perfil do pacote de ondas. Como uma aplicação do formalismo desenvolvido, calculamos a informação mútua de Rényi-2 (também conhecida como entropia de colisão) em uma dimensão espacial, considerando regiões definidas como semirretas e empregando um pacote de ondas lorentziano. Encontramos que a presença de uma excitação geralmente aumenta a informação compartilhada em comparação com o caso do vácuo. Esse excesso de informação é maximizado quando a partícula está localizada próximo à fronteira e diminui à medida que a partícula se afasta, com a taxa de decaimento dependendo da largura do pacote de ondas. No geral, nossas descobertas contribuem para a compreensão das correlações clássicas em teoria quântica de campos e oferecem uma perspectiva sobre o conteúdo de informação que é diretamente relevante para cenários envolvendo decoerência e medição. Este trabalho fornece um ponto de vista complementar aos cálculos tradicionais de entropia de emaranhamento, concentrando-se na informação clássica acessível codificada nas probabilidades de configuração do campo.