Teoría Alfa–ORI–Omega: la arquitectura cuántica de una realidad que se estabiliza a sí misma — Simetría exacta, disipación y umbral del continuo hasta N=7 (Segunda Versión)
Esta Segunda Versión investiga una posibilidad radical: que la estabilidad física, la selección de los estados observables y, eventualmente, la geometría macroscópica no sean estructuras impuestas desde el exterior, sino propiedades emergentes de una red cuántica relacional capaz de conservar su organización, disipar perturbaciones y reconstruirse al aumentar de escala. La obra amplía sustancialmente la primera versión mediante una arquitectura matemática y computacional que conecta tres niveles: los espacios de Hilbert finitos, la dinámica cuántica disipativa y el límite inductivo topológico. El programa se desarrolla y contrasta numéricamente hasta N = 7, donde el sector estudiado alcanza dim(H₇) = 59 520, constituyendo el mayor nivel cerrado en esta etapa. En el régimen finito se construye una representación MPO resuelta mediante simetrías exactas y organizada por sectores de carga cuántica. El residuo máximo de simetría obtenido es 2,18 × 10⁻¹⁵, mientras que el peso entre bloques incompatibles es numéricamente nulo. La descomposición bloqueada reproduce el error óptimo de la TT-SVD ordinaria con una discrepancia máxima de 2,63 × 10⁻⁶. La estructura simétrica reduce los parámetros MPO no nulos en factores de 6,05 y 4,95, según el acoplamiento considerado, y disminuye el trabajo estimado de las matrices de Gram en aproximadamente 1,7 × 10³. Con los enlaces objetivos se obtienen errores de 1,370 % para J₀ con χ = 192 y de 0,3866 % para J₉.₇ con χ = 128, ambos por debajo del umbral operativo del 2 %. Para χ = 384, la truncación alcanza el orden de 10⁻⁹, acompañada por una separación limpia del espectro de entrelazamiento. Estos resultados convierten la reducción tensorial en algo más que una optimización computacional: identifican una ley de selección estructural que permite comprimir el problema sin mezclar sectores físicamente incompatibles. Sobre esta base se formula el núcleo de reducción ORI ⇒ RNS, estudiando las condiciones bajo las cuales el espacio relacional completo admite un cociente físico simplificado que conserva la dinámica relevante. La Segunda Versión introduce además el límite inductivo topológico: H∞ = límite inductivo de {Hₙ} = cierre de la unión de todos los espacios Hₙ. Esta construcción incorpora inclusiones isométricas que preservan los sectores de carga. Se analiza la invariancia del producto interno, la representación unitaria del grupo simétrico infinito S∞, la compatibilidad dinámica interescala y la construcción de un Hamiltoniano límite. También se desarrolla el marco necesario para estudiar su autoadjunción esencial y la existencia de una evolución unitaria exp(−itH∞), distinguiendo cuidadosamente entre resultados finitos demostrados, resultados dependientes de hipótesis analíticas y problemas todavía abiertos. Para compensar el desplazamiento dinámico producido al añadir nodos se proponen dos mecanismos complementarios: la isometría dinámica vestida Jₙ(dyn), que incorpora entrelazamiento local en la inclusión, y el contratérmino de renormalización H(ct), diseñado para absorber el defecto geométrico generado en las subdivisiones. En el sector disipativo se estudian operadores de salto de Davies, canales de Kraus, conservación de la traza, estabilidad KMS, einselection y la posible construcción de un generador de Lindblad límite. El análisis no oculta los resultados negativos. El defecto de compatibilidad de los saltos locales permanece en 0,7043, mientras que el residuo interescala de Gram alcanza 0,524443. Estos valores indican un efecto de frontera real y no un simple error de precisión. Asimismo, la reconstrucción métrica mediante el promedio simétrico elemental conduce a una geometría de símplex de dimensión N − 1, no a un espacio-tiempo clásico de 3 + 1 dimensiones. Este resultado funciona como un teorema de exclusión: demuestra que la geometría física no puede emerger mediante la receta simétrica más ingenua y delimita con precisión qué caminos deben abandonarse. En este contexto, un resultado negativo riguroso no constituye un fracaso, sino un mapa matemático que impide repetir rutas incompatibles y orienta la investigación hacia mecanismos dinámicos más profundos. La utilidad del trabajo trasciende su interpretación cosmológica. La arquitectura desarrollada puede funcionar como banco de pruebas para sistemas cuánticos abiertos, diseño de disipación controlada, estabilización de estados térmicos, simulación de materiales cuánticos, corrección local de efectos de borde y compresión de redes tensoriales mediante cargas exactas. También proporciona un detector computacional de incompatibilidades: permite someter hipótesis sobre gravedad emergente, simetrías, localidad y renormalización a pruebas finitas reproducibles antes de extrapolarlas al continuo. Desde una perspectiva aplicada, el núcleo computacional puede interpretarse como un motor de estabilización y diagnóstico para sistemas cuánticos abiertos. Su capacidad para identificar sectores invariantes, controlar fugas, corregir distorsiones de frontera y estudiar atractores térmicos ofrece aplicaciones potenciales en ingeniería de disipación, preparación de estados de Gibbs, simulación de materia condensada, redes tensoriales y análisis de sistemas cuánticos de muchos cuerpos. La teoría no afirma todavía haber derivado nuestro universo ni haber demostrado la emergencia de 3 + 1 dimensiones. Su contribución actual es más precisa: construye un motor matemático y computacional capaz de determinar qué estructuras sobreviven, cuáles fracasan y qué condiciones faltan para que una red cuántica disipativa pueda adquirir una interpretación geométrica. La futura Tercera Versión estará dedicada a los sectores abiertos y al cierre matemático pendiente. Entre sus objetivos se encuentran: — Demostrar la convergencia interescala de los operadores de Davies y del generador de Lindblad completo. — Establecer una ley uniforme para el gap KMS cuando N → ∞. — Eliminar los defectos 0,7043 y 0,524443 mediante ponderaciones variacionales, contratérminos de frontera y simetrías duales ocultas. — Completar el teorema ORI ⇒ RNS en el límite infinito. — Deducir una regla de correspondencia entre entrelazamiento, disipación y un tensor métrico efectivo gμν con firma y dimensionalidad 3 + 1. — Demostrar que la selección inducida por el entorno elimina las superposiciones macroscópicas incompatibles con una geometría clásica. — Establecer la persistencia del gap sectorial en el límite termodinámico. — Determinar si una simetría discreta o un invariante de gauge oculto puede explicar la obstrucción observada en los saltos locales. Esta Segunda Versión no presenta el final del camino, sino la primera cartografía precisa de su último territorio. Ha transformado una intuición filosófica en una estructura falsable, ha convertido los obstáculos en teoremas de exclusión y ha situado la pregunta decisiva en términos matemáticos concretos: no solo si el espacio-tiempo puede emerger de la información cuántica, sino qué mecanismo puede hacer que esa información se estabilice, adquiera geometría y llegue a reconocerse como realidad. DOI primera versión: https://doi.org/10.5281/zenodo.21357983
Esta Segunda Versión investiga una posibilidad radical: que la estabilidad física, la selección de los estados observables y, eventualmente, la geometría macroscópica no sean estructuras impuestas desde el exterior, sino propiedades emergentes de una red cuántica relacional capaz de conservar su organización, disipar perturbaciones y reconstruirse al aumentar de escala. La obra amplía sustancialmente la primera versión mediante una arquitectura matemática y computacional que conecta tres niveles: los espacios de Hilbert finitos, la dinámica cuántica disipativa y el límite inductivo topológico. El programa se desarrolla y contrasta numéricamente hasta N = 7, donde el sector estudiado alcanza dim(H₇) = 59 520, constituyendo el mayor nivel cerrado en esta etapa. En el régimen finito se construye una representación MPO resuelta mediante simetrías exactas y organizada por sectores de carga cuántica. El residuo máximo de simetría obtenido es 2,18 × 10⁻¹⁵, mientras que el peso entre bloques incompatibles es numéricamente nulo. La descomposición bloqueada reproduce el error óptimo de la TT-SVD ordinaria con una discrepancia máxima de 2,63 × 10⁻⁶. La estructura simétrica reduce los parámetros MPO no nulos en factores de 6,05 y 4,95, según el acoplamiento considerado, y disminuye el trabajo estimado de las matrices de Gram en aproximadamente 1,7 × 10³. Con los enlaces objetivos se obtienen errores de 1,370 % para J₀ con χ = 192 y de 0,3866 % para J₉.₇ con χ = 128, ambos por debajo del umbral operativo del 2 %. Para χ = 384, la truncación alcanza el orden de 10⁻⁹, acompañada por una separación limpia del espectro de entrelazamiento. Estos resultados convierten la reducción tensorial en algo más que una optimización computacional: identifican una ley de selección estructural que permite comprimir el problema sin mezclar sectores físicamente incompatibles. Sobre esta base se formula el núcleo de reducción ORI ⇒ RNS, estudiando las condiciones bajo las cuales el espacio relacional completo admite un cociente físico simplificado que conserva la dinámica relevante. La Segunda Versión introduce además el límite inductivo topológico: H∞ = límite inductivo de {Hₙ} = cierre de la unión de todos los espacios Hₙ. Esta construcción incorpora inclusiones isométricas que preservan los sectores de carga. Se analiza la invariancia del producto interno, la representación unitaria del grupo simétrico infinito S∞, la compatibilidad dinámica interescala y la construcción de un Hamiltoniano límite. También se desarrolla el marco necesario para estudiar su autoadjunción esencial y la existencia de una evolución unitaria exp(−itH∞), distinguiendo cuidadosamente entre resultados finitos demostrados, resultados dependientes de hipótesis analíticas y problemas todavía abiertos. Para compensar el desplazamiento dinámico producido al añadir nodos se proponen dos mecanismos complementarios: la isometría dinámica vestida Jₙ(dyn), que incorpora entrelazamiento local en la inclusión, y el contratérmino de renormalización H(ct), diseñado para absorber el defecto geométrico generado en las subdivisiones. En el sector disipativo se estudian operadores de salto de Davies, canales de Kraus, conservación de la traza, estabilidad KMS, einselection y la posible construcción de un generador de Lindblad límite. El análisis no oculta los resultados negativos. El defecto de compatibilidad de los saltos locales permanece en 0,7043, mientras que el residuo interescala de Gram alcanza 0,524443. Estos valores indican un efecto de frontera real y no un simple error de precisión. Asimismo, la reconstrucción métrica mediante el promedio simétrico elemental conduce a una geometría de símplex de dimensión N − 1, no a un espacio-tiempo clásico de 3 + 1 dimensiones. Este resultado funciona como un teorema de exclusión: demuestra que la geometría física no puede emerger mediante la receta simétrica más ingenua y delimita con precisión qué caminos deben abandonarse. En este contexto, un resultado negativo riguroso no constituye un fracaso, sino un mapa matemático que impide repetir rutas incompatibles y orienta la investigación hacia mecanismos dinámicos más profundos. La utilidad del trabajo trasciende su interpretación cosmológica. La arquitectura desarrollada puede funcionar como banco de pruebas para sistemas cuánticos abiertos, diseño de disipación controlada, estabilización de estados térmicos, simulación de materiales cuánticos, corrección local de efectos de borde y compresión de redes tensoriales mediante cargas exactas. También proporciona un detector computacional de incompatibilidades: permite someter hipótesis sobre gravedad emergente, simetrías, localidad y renormalización a pruebas finitas reproducibles antes de extrapolarlas al continuo. Desde una perspectiva aplicada, el núcleo computacional puede interpretarse como un motor de estabilización y diagnóstico para sistemas cuánticos abiertos. Su capacidad para identificar sectores invariantes, controlar fugas, corregir distorsiones de frontera y estudiar atractores térmicos ofrece aplicaciones potenciales en ingeniería de disipación, preparación de estados de Gibbs, simulación de materia condensada, redes tensoriales y análisis de sistemas cuánticos de muchos cuerpos. La teoría no afirma todavía haber derivado nuestro universo ni haber demostrado la emergencia de 3 + 1 dimensiones. Su contribución actual es más precisa: construye un motor matemático y computacional capaz de determinar qué estructuras sobreviven, cuáles fracasan y qué condiciones faltan para que una red cuántica disipativa pueda adquirir una interpretación geométrica. La futura Tercera Versión estará dedicada a los sectores abiertos y al cierre matemático pendiente. Entre sus objetivos se encuentran: — Demostrar la convergencia interescala de los operadores de Davies y del generador de Lindblad completo. — Establecer una ley uniforme para el gap KMS cuando N → ∞. — Eliminar los defectos 0,7043 y 0,524443 mediante ponderaciones variacionales, contratérminos de frontera y simetrías duales ocultas. — Completar el teorema ORI ⇒ RNS en el límite infinito. — Deducir una regla de correspondencia entre entrelazamiento, disipación y un tensor métrico efectivo gμν con firma y dimensionalidad 3 + 1. — Demostrar que la selección inducida por el entorno elimina las superposiciones macroscópicas incompatibles con una geometría clásica. — Establecer la persistencia del gap sectorial en el límite termodinámico. — Determinar si una simetría discreta o un invariante de gauge oculto puede explicar la obstrucción observada en los saltos locales. Esta Segunda Versión no presenta el final del camino, sino la primera cartografía precisa de su último territorio. Ha transformado una intuición filosófica en una estructura falsable, ha convertido los obstáculos en teoremas de exclusión y ha situado la pregunta decisiva en términos matemáticos concretos: no solo si el espacio-tiempo puede emerger de la información cuántica, sino qué mecanismo puede hacer que esa información se estabilice, adquiera geometría y llegue a reconocerse como realidad. DOI primera versión: https://doi.org/10.5281/zenodo.21357983
En este trabajo, se analiza una teoría que es en cierto modo una extensión natural del campo de las telecomunicaciones clásicas a la mecánica cuántica. Dicha teoría se llama tomografía cuántica y es de hecho una imagen de la mecánica cuántica equivalente a las más habituales que son la imagen de Schrödinger o la de Heisenberg. Esta nueva imagen, difiere de las precedentes en que está muy ligada a la capacidad tecnológica a la hora de medir observables (momento, energía, etc.) en el campo de la óptica cuántica, ya que su objetivo primordial es el de conseguir reconstruir el estado de un sistema cuántico a partir de mediciones en el laboratorio, y dado al avance tecnológico del instrumental de laboratorio disponible como láseres y fotodetectores, cada vez está suscitando mayor interés. En el primer capítulo, veremos cómo nace esta idea de reconstruir estados cuánticos discutiendo brevemente la técnica clásica conocida como Tomografía Axial Computerizada (TAC). Esta técnica está basada en los trabajos de Johann Karl August Radon aplicando la transformada que lleva su nombre. Introduciremos la transformada de Radon de una función de probabilidad definida en el espacio de fases para ver cómo se aplica en el caso del TAC. Para aplicar esta idea para la reconstrucción de estados cuánticos, veremos, en primer lugar, que existe una extensión natural de las técnicas de demodulación de señales moduladas en amplitud (AM) en el campo de la óptica cuántica mostrando que el papel que cumple un mezclador puede ser reemplazado por una combinación de divisores de haz y fotodetectores y mostraremos explícitamente cómo reconstruir el operador densidad que describe un estado cuántico a través de un proceso reminiscente de la transformada de Radon clásica. El segundo capítulo será el corazón de este trabajo. En él, introduciremos de manera formal la descripción tomográfica de la mecánica cuántica. Presentaremos una teoría general, para ello, trataremos a los observables como elementos de un álgebra C_ y los estados serán funcionales lineales positivos que actúen en dicha algebra. Veremos que esta descripción de la mecánica cuántica puede dividirse en dos partes, una primera con el objetivo de obtener una fórmula para reconstruir el estado de un sistema cuántico a partir de una función definida sobre un conjunto llamado conjunto tomográfico, que será un conjunto de observables que tendrá que cumplir una serie de condiciones que expondremos debidamente. A esta primera parte de la teoría, la bautizaremos como Teoría de muestreo generalizada en sistemas cuánticos. La segunda parte estará relacionada con la parte puramente experimental. Lo que hace necesario tener que añadir esta segunda parte es el hecho de que la función definida anteriormente sobre el conjunto tomográfico, que llamaremos función de muestreo, en general, no puede ser medida por medio de los dispositivos con los que contamos en un laboratorio de óptica cuántica, sin embargo, a partir de las mediciones hechas con un fotodetector, podemos obtener distribuciones de probabilidad de cantidades relacionadas con los observables. Entonces, tomando esto último como motivación, esta segunda parte de la teoría consistirá en relacionar esa función de muestreo con una distribución de probabilidad que llamaremos tomograma, que será el resultado directo de un proceso de medida en el laboratorio, y la llamaremos Transformada generalizada positiva por motivos que se expondrán convenientemente. Uno de los problemas más sutiles de esta teoría consiste en hallar un conjunto tomográfico que cumpla las condiciones necesarias para permitir reconstruir el estado a partir de él. Sin embargo, veremos que de manera natural, las representaciones unitarias irreducibles de un grupo finito o de Lie compacto proporcionan conjuntos tomográficos que cumplen las condiciones requeridas, por eso, nos centraremos en el estudio de la reconstrucción de estados a partir de grupos relacionados con el sistema físico dado. Aunque también destacaremos que existen otras representaciones unitarias que nos permiten reconstruir el estado cuántico a partir de ellas, como lo es la representación unitaria irreducible del grupo de Heisenberg Weyl dada por el álgebra de Lie que forman los operadores momento y posición cuánticos que es el ejemplo con el que nace la tomografía cuántica introducido en el primer capítulo. En el tercer capítulo presentaremos un algoritmo numérico que se deriva a partir de unos estados que llamaremos estados adaptados que habremos definido en el capítulo anterior. Este algoritmo nace como un problema inverso, ya que hasta entonces nos habremos centrado en reconstruir estados a partir de un conjunto tomográfico, en especial, cuando el conjunto tomográfico está definido a partir de una representación unitaria de un grupo. Este problema inverso consiste en determinar qué información es posible obtener de una representación unitaria de un grupo si se tiene una familia de estados que describe un sistema físico relacionado con un grupo de simetría. La respuesta a esta pregunta es muy satisfactoria ya que es posible conocer la matriz de transformación de base que nos permita transformar la base, en la que está descrita la representación unitaria, en una base adaptada a los subespacios invariantes bajo la acción de todos los elementos de la representación. Este problema se conoce como descomposición de Clebsh Gordan, ya que dicha transformación aplicada a la representación unitaria la convierte en una matriz diagonal por bloques en la que cada bloque corresponde a una representación unitaria irreducible. La manera en la que resolveremos este problema es con un algoritmo numérico que sólo requiere dos estados adaptados como argumentos de entrada, que pueden ser obtenidos de manera directa si se conoce de forma explícita la representación unitaria que queremos reducir. Este algoritmo lo hemos bautizado con el nombre de SMILY. Hay que destacar que como este algoritmo se ha generado sólo aplicando ciertas transformaciones unitarias sobre matrices que representan un estado cuántico, tiene una extensión natural que podría implementarse en un ordenador cuántico. Para acabar esta tesis, generalizaremos la descripción tomográfica a campos clásicos y cuánticos. Para el caso clásico, primero realizaremos una descripción tomográfico para sistemas con finitos grados de libertad y obtendremos el equivalente tomográfico de la ecuación de Liouville para una densidad de probabilidad y tras esto, haremos el mismo análisis para sistemas con infinitos grados de libertad. Para obtener la descripción tomográfica para campos cuánticos, partiremos del concepto de segunda cuantización y mostraremos el equivalente tomográfico de los axiomas de Wightman Streater para una teoría cuántica de campos. Y para terminar, obtendremos un teorema de reconstrucción para campos escalares y calcularemos el tomograma de ciertos estados de un campo cuántico escalar libre. Comentemos esto último diciendo que es el inicio de una teoría que permitirá una descripción tomográfica de estados, por ejemplo ligados, para teorías con interacción. Para concluir este resumen, quisiera resaltar que el lector especializado, si lo considera conveniente, puede comenzar a leer a partir del segundo capítulo, ya que aunque el primer capítulo sirve como motivación de porqué desarrollar una descripción tomográfica de la mecánica cuántica, el texto puede comprenderse si previamente no se ha leído.
Desde su origen, la teoria de la informacion ha tenido fuertes conexiones con la mecanica estadistica. El mismo termino entropia de la informacion fue elegido por Shannon a partir del termino usado en termodinamica, bajo sugerencia de Von Neumann. La misma relacion se ha desarrollado recientemente entre las correspondientes generalizaciones cuanticas de ambas teorias, que son la informacion cuantica, que estudia el almacenamiento y la manipulacion de la informacion en sistemas cuanticos, y la fisica de muchos cuerpos. Las conexiones entre los dos campos aumentan cada dia y van en las dos direcciones. Las herramientas e ideas de la informacion cuantica ayudan a solucionar problemas abiertos en teoria de la materia condensada, y nuevos modelos de muchos cuerpos se desarrollan para aplicaciones de la informacion cuantica. Al mismo tiempo la implementacion y el control experimental de pequenos sistemas cuanticos ha mejorado de forma espectacular, aumentando la posibilidad de que estos experimentos se puedan llevar a cabo a escala mas grande, abriendo la posibilidad de aplicaciones practicas.
Es reciente el interes de la comunidad de investigadores en informacion cuantica por estos modelos, y se ha empezado a ver este tipo de evoluciones no solamente como un problema que resolver, sino como un recurso que explotar. Este fundamental cambio de perspectiva ha abierto una nueva linea de investigacion en el campo, incorporando ideas sobre como construir evoluciones artificiales en las cuales la disipacion trabaja en nuestro favor en vez de en nuestra contra, incluso protegiendo el sistema de otros ruidos incontrolados. De esta manera se han planteado nuevos problemas interesantes, como cual es el poder computacional de estos modelos y que condiciones pueden garantizar la resistencia contra el ruido externo.
Esta tesis es parte del esfuerzo para mejorar nuestro conocimiento de estos modelos.
Nos hemos centrado en el estudio de las propiedades de evoluciones disipativas de sistemas cuanticos de espines en un reticulo, bajo una hipotesis que llamamos equilibracion rapida. Consideramos evoluciones disipativas con un unico punto fijo, y que comprimen todo el espacios de estados iniciales en un entorno decreciente del punto fijo. La escala temporal a la cual se tiene esta compresion, es decir el tiempo que tenemos que esperar para que cualquier estado inicial se encuentre arbitrariamente cercano al punto fijo, se llama tiempo de equilibracion del proceso. La condicion de equilibracion rapida pide que este tiempo sea logaritmico en el tamano del sistema.
La contribucion principal de esta tesis es demostrar que la equilibracion rapida tiene importantes consecuencias en las propiedades del sistema. Este sera estable bajo perturbaciones externas y sus puntos fijos satisfaran una ley de area para la informacion mutua.
La parte mas tecnica de este trabajo se basa en las llamadas cotas de Lieb Robinson. Muy conocidas en el caso de sistemas cerrados, pero igualmente validas para sistemas abiertos, las cotas de Lieb Robinson formalizan la idea que la informacion en un sistema de muchos cuerpos solo puede moverse con una velocidad finita, dado que su propagacion esta mediada por las interacciones locales. Por lo tanto, controlar la escala temporal con la cual la evolucion converge permite a su vez controlar la escala espacial a la cual se pueden crear correlaciones.
Resumen.En estas notas se exponen con detalle y de manera autocontenida las herramientas básicas de la teoría de los espacios de Hilbert complejos de dimensión infinita, que son necesarias para un primer estudio, matemáticamente riguroso, de la mecánica cuántica.En la última parte incluimos una introducción axiomática a la mecánica cuántica y una breve exposición del modelo del oscilador armónico y de la teoría de estados cuánticos Gaussianos. IntroducciónLa mecánica cuántica es la rama de la física que estudia los fenómenos físicos que ocurren en escalas de longitudes muy pequeñas.El calificativo "cuántico" surge de, en contraste con la mecánica clásica, considerar algunas cantidades que toman solamente valores discretos i.e., en "paquetes" o quantum-quanta en latín.Aún cuando hay muchas nociones de la mecánica cuántica que aún suscitan controversia, esta teoría se aplica exitosamente para describir el comportamiento de sistema físicos y sus predicciones son consistentes con los experimentos.Los sistemas físicos que estudia la mecánica cuántica, exhiben propiedades ondulatorias que se pueden describir mediante una ecuación de onda, por ejemplo, la bien conocida "ecuación de Schrödinger", que describe la evolución temporal de una partícula subatómica con masa, en el contexto no relativista.En estas notas trabajamos con el formalismo de matrices de densidad, que permite describir estados que son mezclas de estados puros.En consecuencia, este enfoque resulta ser una herramienta poderosa para describir sistemas cuánticos más generales, por ejemplo, acoplamientos (ensambles) de muchos sistemas cuánticos idénticos.El material que se presenta en este trabajo está dividido en cuatro secciones compuestas de la siguiente manera: la sección 1 contiene una selección de resultados de índole geométrico y analítico de la teoría de espacios de Hilbert: ortogonalidad y descomposición ortogonal, convexidad, operadores lineales, norma de operadores y funcionales lineales.La sección 2 se concentra en la clase de los operadores compactos, particularmente en los operadores de la clase de traza y de manera especial, en los operadores de Hilbert-Schmidt.Es relevante mencionar que los estados cuánticos se representan mediante operadores positivos de traza uno.La sección 3 se dedica al estudio de operadores no acotados que pueden no estar densamente definidos en un espacio de Hilbert.Abordamos también el estudio de operadores cerrados y cerrables, el adjunto de un operador y una introducción a la teoría espectral de operadores.Una parte esencial de esta sección son los operadores simétricos e isométricos, los cuales exhiben similitudes en sus propiedades geométricas y espectrales.Cabe señalar que las observables físicas se representan por operadores simétricos típicamente no acotados.Por último, en la sección 4 se discuten brevemente postulados de la mecánica cuántica en el marco del formalismo de matrices de densidad, se revisa el modelo del oscilador armónico cuántico y se ofrece una introducción a los estados cuánticos Gaussianos.Al final de cada sección incluimos una selección de problemas que sirven para complementar estas notas.El lector interesado puede profundizar en el estudio de resultados aquí expuestos, desde los más básicos hasta los más avanzados, en la literatura clásica de operadores lineales, por ejemplo en [1,2,3,4,13,20].
El trabajo se estructura en 6 capitulos. El capitulo 1 posee fundamentalmente un caracter de introduccion teorica a las herramientas de campo medio que se usan en los diferentes modelos que se presentan, ademas de introducirse otros conceptos que apareceran a lo largo del trabajo. El capitulo 2 tambien constituye una introduccion teorica en la que se realiza un breve analisis del concepto de la decoherencia y sus implicaciones en la Mecanica Cuantica, poniendo especial enfasis en el problema de la medida y como la introduccion del ambiente permite una posible solucion a dicho problema. En este capitulo se presentara la matriz densidad como herramienta basica de trabajo para estudiar el factor de decoherencia.El capitulo 3 se puede dividir en dos bloques. Un primer bloque dedicado la modelo vibronico U(4) y un segundo bloque dedicado a su limite 2D, el modelo U(3). En ambos bloques se expondran las propiedades algebraicas de los dos modelos asi como las diferentes cadenas de simetria que se obtienen. Estos modelos presentan una QPT y usando el formalismo de estados intrinsecos se estudiara la transicion de fase entre la fase simetrica y la fase no simetrica. Sin embargo, se sabe que este metodo es correcto unicamente en el orden mas alto en el desarrollo en potencias de N, donde N es el numero de bosones. Nosotros nos basaremos en el metodo desarrollado en [15] para ir mas alla de este orden y calcular correcciones de tamano finito a varios observables espectroscopicos. Para ello, se introducira la transformacion de Holstein-Primako_ que proporcionara un hamiltoniano en serie de potencias de N donde unicamente se consideraran los terminos en orden mas alto: N, N1/2 y N0. Despues, mediante el uso de una transformacion de Bogoliubov se conseguira la diagonalizacion del hamiltoniano, con lo que se obtendran expresiones analiticas para el estudio del sistema tanto en la fase simetrica como en la no simetrica. Dichas expresiones analiticas se compararan posteriormente con los calculos numericos obtenidos de resolver el problema exactamente en una base adecuada. Ademas, se llevara a cabo un estudio de escalado del sistema por tamano finito que nos permitira extraer los exponentes criticos de los observables espectroscopicos analizados.El capitulo 4 esta dedicado a otro sistema de dos niveles, el modelo de Lipkin. Este modelo guarda una estrecha relacion con el modelo vibronico tal y como se vera en el capitulo 3. Dicha relacion quedara mas patente con la eleccion que se realizara del estado intrinseco para estudiar el diagrama de fases del modelo vibronico. De hecho podemos afirmar que un modelo vibronico con simetria axial se comporta como un modelo de Lipkin. Por este motivo, todo el estudio que se realice en campo medio para el modelo vibronico sera aplicable al modelo de Lipkin, ya que las expresiones que se obtendran son formalmente analogas. Asi pues, en este capitulo nos centraremos en la influencia que tiene una transicion de fase cuantica sobre el fenomeno de la decoherencia. Ahora bien, se sabe que el citado modelo presenta tanto una QPT como una ESQPT, y dependiendo del valor de los parametros concretos del sistema, la ESQPT puede ser de primer o segundo orden. De modo que el analisis se realizara para ambos tipos de transicion. Para tal proposito, se presenta un sistema constituido por un qubit interactuando con un bano bosonico que vendra descrito por el modelo de Lipkin. El estudio de la decoherencia se realizara tanto empleando las tecnicas mas alla de campo medio desarrolladas en el modelo vibronico, como usando la aproximacion de Tamm-Dancoff (TDA) [28] y TDA a segundo orden. Todos los resultados se compararan una vez mas con la solucion exacta del problema y se analizara la relacion entre la transicion de fase que experimenta dicho sistema con la decoherencia. Ademas se incluira un estudio de escalado por tamano finito del factor de decoherencia.En el capitulo 5 se estudiaran tres modelos que describen un campo bosonico de un unico modo interactuando con un subsistema algebraico basado o bien en el algebra SU(1; 1) o en el SU(2). El modelo SU(1; 1) es un modelo de juguete util para la descripcion de la formacion y disociacion de moleculas diatomicas y atomos independientes [16]. El hamiltoniano SU(2) representa al modelo de Dicke [27] o al modelo de Jaynes-Cummings (JC) [17] (tambien conocido como modelo de Tavis-Cummings [29]). Estos dos ultimos modelos poseen interes en Optica Cuantica y describen a un sistema de atomos susceptibles a ocupar dos niveles interactuando con un campo de radiacion. Mientras que el modelo SU(1; 1) y el modelo de Jaynes-Cummings son integrables, el modelo de Dicke no lo es. Todos ellos son sistemas de dos niveles que presentan tanto una QPT como una ESQPT. Asi pues, en primer lugar se analizaran las transiciones de fase con una aproximacion semiclasica, en particular las relacionadas con las transiciones de fase de estados excitados. Despues se introducira el concepto de quantum quench, analizandose la influencia que tiene una ESQPT sobre este. Por ultimo, relacionaremos la presencia de caos cuantico en el modelo no integrable de Dicke con los precursores de la ESQPT en el mismo.En el ultimo capitulo se presentara un resumen y las conclusiones de los principales resultados de este trabajo.
El incipiente campo de los ordenes topologicos ha sido ampliamente estudiado tanto por las comunidad de fisica de la materia condensada como por la de simulacion cuantica. Sin embargo, es poco lo que se conoce sobre el comportamiento de estos ordenes topologicos en presencia de ruido externo o efectos disipativos.
En la primera parte de esta tesis, hemos estudiado como los estados de borde de un aislante topologico se vuelven intestables cuando se ponen en interaccion con banos termicos. Motivados por estos resultados, hemos generalizado la nocion de aislante topologico de tipo Chern para el caso de dinamicas Liouvillianas. Estas dinamicas caracterizan sistemas en presencia de disipacion que no puede ser descritos por un Hamiltoniano. Para alcanzar este objetivo de generalizacion hemos definido un nuevo indicador topologico que esta relacionado con la conductividad Hall cuantica a temperatura finita. Este formalismo describe tambien el caracter mixto de los estados de borde del aislante topologico. A modo de ejemplo, hemos estudiado modelos explicitos de aislantes topologicos acoplados a distintos canales de disipacion.
Por otra lado, hemos encontrado nuevas fases cuanticas y topologicas que permanecen cuantizadas a temperatura finita. La construccion de las mismas esta basada en la fase de Uhlman, que es una fase geometrica cuantica definida para matrices densidad; utilizadas estas ultimas para describir estados cuanticos con ruido. Empleando esta nueva herramienta, hemos sido capaces de caracterizar aislantes y superconductores topologicos a temperatura finita tanto en una como en dos dimensiones espaciales. Desde el punto de vista experimental, hemos propuesto un protocolo (independiente del estado del sistema) para medir la fase de Uhlmann topologica en un contexto de simulacion cuantica.
En la segunda parte de la tesis hemos centrado nuestros esfuerzos en el estudio de sistemas topologicos que presentan efectos de largo alcance. Los ordenes topologicos de tipo symmetry-protected han emergido tradicionalmente a partir de interacciones de corto alcance. Sin embargo, se desconoce en gran medida el rol que juegan las interacciones de largo alcance en la fisica de estos sistemas topologicos.
En esta parte de la tesis hemos analizado como las fases topologicas superconductoras se ven afectadas por la inclusion de acoplos de largo alcance. De manera muy resenable, hemos encontrado nuevas quasi-particulas topologicas debido a las interacciones de largo alcance, que no estaban presentes en modelos de corto alcance. Se trata de fermiones de Dirac no-locales protegidos por la topologia del propio sistema. Ademas, hemos estudiado como los invariantes topologicos se ven modificados por la presencia de efectos de largo alcance.
Por ultimo, en la seccion de apendices de esta tesis, hemos utilizados diversos metodos numericos para estudiar transiciones de fase cuanticas inducidas por disipacion. De esta manera, hemos considerado sistemas cuanticos con un termino disipativo que conduce el sistema a un estado estacionario de no equilibrio. En particular, hemos demostrado que la inclusion de flucturaciones de corto alcance en los sistemas fuera del equilibrio, modifica significativamente la topologia del diagrama de fases. Este es un hecho que por el contrario no se observa en la termodinamica de equilibrio.
RESUMEN: La esencia de este trabajo es examinar los fundamentos de la física a través del concepto de simetría. ¿Qué define una simetría en física? Esa es la pregunta inicial. El Cap. 1 está dedicado a desarrollar esta pregunta en el contexto de la mecánica clásica, y la respuesta se logra a través del teorema de Noether: las simetrías se representan en mecánica clásica por medio de transformaciones canónicas. Se establece pues la profunda relación entre el concepto de simetría y las leyes de conservación. El Cap. 2 está dedicado a desarrollar esta misma pregunta, pero esta vez en el contexto de la teoría cuántica, y además, bajo el influjo de las ideas de Asher Peres. «Los fenómenos cuánticos no suceden en un espacio de Hilbert, suceden en un laboratorio», dice en el prefacio de su libro. Tal como se propone allí, en el Cap. 2 se desarrolla la pregunta en teoría cuántica con un enfoque pragmático y estrictamente instrumentalista. Con la ayuda de experimentos conceptuales se intenta adivinar la respuesta, y al fin, a través del teorema de Wigner, se logra una en que se acentúa el valor de la observación: las simetrías se representan en teoría cuántica por medio de transformaciones unitarias y antiunitarias, i.e., aquellas que preservan las probabilidades de transición. Sin embargo, en particular, ¿por qué la evolución temporal tiene que ser unitaria? Esta será una pregunta recurrente. En el Cap. 3 se relaja la severidad de aquel enfoque instrumentalista y se procura plantear la primera pregunta en el contexto de los sistemas abiertos y en relación con los conceptos de información y entropía. Como sabemos, el concepto de entropía surgió originalmente en la termodinámica clásica y luego fue introducido en la teoría de la información por Shannon. Sin embargo, debido a su estrecha relación, es interesante que la asimetría entre pasado y futuro, intrínseca en el procesamiento de información, es equivalente a la flecha de tiempo que surge en los fenómenos termodinámicos irreversibles [8]. En este contexto, se propone un teorema que sugiere que un sistema es informacionalmente aislado si y solo si da lo mismo si el tiempo fluye en un sentido o en otro: un “mundo sin fricción” en que la entropía es constante, la de los sistemas y la del universo. Pero faltan ingredientes, la evolución temporal generalizada para sistemas abiertos y el análisis del proceso de medición. ¿Por qué se asume unitaria la evolución temporal en teoría cuántica? ¿Qué es una medición? ¿Es la medición un proceso irreversible? Estas son preguntas esenciales. La parte final del Cap. 3 se dedica justamente a sazonar aquel teorema y a examinar estas preguntas a través de la reinterpretación del teorema de Kraus y del teorema de Neumark. Así que la discusión final es sobre asimetría temporal.