RESUMEN: La esencia de este trabajo es examinar los fundamentos de la física a través del concepto de simetría. ¿Qué define una simetría en física? Esa es la pregunta inicial. El Cap. 1 está dedicado a desarrollar esta pregunta en el contexto de la mecánica clásica, y la respuesta se logra a través del teorema de Noether: las simetrías se representan en mecánica clásica por medio de transformaciones canónicas. Se establece pues la profunda relación entre el concepto de simetría y las leyes de conservación. El Cap. 2 está dedicado a desarrollar esta misma pregunta, pero esta vez en el contexto de la teoría cuántica, y además, bajo el influjo de las ideas de Asher Peres. «Los fenómenos cuánticos no suceden en un espacio de Hilbert, suceden en un laboratorio», dice en el prefacio de su libro. Tal como se propone allí, en el Cap. 2 se desarrolla la pregunta en teoría cuántica con un enfoque pragmático y estrictamente instrumentalista. Con la ayuda de experimentos conceptuales se intenta adivinar la respuesta, y al fin, a través del teorema de Wigner, se logra una en que se acentúa el valor de la observación: las simetrías se representan en teoría cuántica por medio de transformaciones unitarias y antiunitarias, i.e., aquellas que preservan las probabilidades de transición. Sin embargo, en particular, ¿por qué la evolución temporal tiene que ser unitaria? Esta será una pregunta recurrente. En el Cap. 3 se relaja la severidad de aquel enfoque instrumentalista y se procura plantear la primera pregunta en el contexto de los sistemas abiertos y en relación con los conceptos de información y entropía. Como sabemos, el concepto de entropía surgió originalmente en la termodinámica clásica y luego fue introducido en la teoría de la información por Shannon. Sin embargo, debido a su estrecha relación, es interesante que la asimetría entre pasado y futuro, intrínseca en el procesamiento de información, es equivalente a la flecha de tiempo que surge en los fenómenos termodinámicos irreversibles [8]. En este contexto, se propone un teorema que sugiere que un sistema es informacionalmente aislado si y solo si da lo mismo si el tiempo fluye en un sentido o en otro: un “mundo sin fricción” en que la entropía es constante, la de los sistemas y la del universo. Pero faltan ingredientes, la evolución temporal generalizada para sistemas abiertos y el análisis del proceso de medición. ¿Por qué se asume unitaria la evolución temporal en teoría cuántica? ¿Qué es una medición? ¿Es la medición un proceso irreversible? Estas son preguntas esenciales. La parte final del Cap. 3 se dedica justamente a sazonar aquel teorema y a examinar estas preguntas a través de la reinterpretación del teorema de Kraus y del teorema de Neumark. Así que la discusión final es sobre asimetría temporal.
RESUMEN: La esencia de este trabajo es examinar los fundamentos de la física a través del concepto de simetría. ¿Qué define una simetría en física? Esa es la pregunta inicial. El Cap. 1 está dedicado a desarrollar esta pregunta en el contexto de la mecánica clásica, y la respuesta se logra a través del teorema de Noether: las simetrías se representan en mecánica clásica por medio de transformaciones canónicas. Se establece pues la profunda relación entre el concepto de simetría y las leyes de conservación. El Cap. 2 está dedicado a desarrollar esta misma pregunta, pero esta vez en el contexto de la teoría cuántica, y además, bajo el influjo de las ideas de Asher Peres. «Los fenómenos cuánticos no suceden en un espacio de Hilbert, suceden en un laboratorio», dice en el prefacio de su libro. Tal como se propone allí, en el Cap. 2 se desarrolla la pregunta en teoría cuántica con un enfoque pragmático y estrictamente instrumentalista. Con la ayuda de experimentos conceptuales se intenta adivinar la respuesta, y al fin, a través del teorema de Wigner, se logra una en que se acentúa el valor de la observación: las simetrías se representan en teoría cuántica por medio de transformaciones unitarias y antiunitarias, i.e., aquellas que preservan las probabilidades de transición. Sin embargo, en particular, ¿por qué la evolución temporal tiene que ser unitaria? Esta será una pregunta recurrente. En el Cap. 3 se relaja la severidad de aquel enfoque instrumentalista y se procura plantear la primera pregunta en el contexto de los sistemas abiertos y en relación con los conceptos de información y entropía. Como sabemos, el concepto de entropía surgió originalmente en la termodinámica clásica y luego fue introducido en la teoría de la información por Shannon. Sin embargo, debido a su estrecha relación, es interesante que la asimetría entre pasado y futuro, intrínseca en el procesamiento de información, es equivalente a la flecha de tiempo que surge en los fenómenos termodinámicos irreversibles [8]. En este contexto, se propone un teorema que sugiere que un sistema es informacionalmente aislado si y solo si da lo mismo si el tiempo fluye en un sentido o en otro: un “mundo sin fricción” en que la entropía es constante, la de los sistemas y la del universo. Pero faltan ingredientes, la evolución temporal generalizada para sistemas abiertos y el análisis del proceso de medición. ¿Por qué se asume unitaria la evolución temporal en teoría cuántica? ¿Qué es una medición? ¿Es la medición un proceso irreversible? Estas son preguntas esenciales. La parte final del Cap. 3 se dedica justamente a sazonar aquel teorema y a examinar estas preguntas a través de la reinterpretación del teorema de Kraus y del teorema de Neumark. Así que la discusión final es sobre asimetría temporal.
Es pensado que la Mecánica Cuántica es una de las teorías fundamentales en la física. Esta teoría no solo ha permitido el estudio detenido de las propiedades de la naturaleza a una escala atómica, sino que también ha logrado una asombrosa convergencia con gran parte de las teorías clásicas. Un rasgo distintivo de la Mecánica Cuántica es su naturaleza probabilística, lo que implica que no puede prever con absoluta certeza el resultado de un experimento, sino tan solo asignar una probabilidad específica a su ocurrencia. En virtud de esta característica, la Mecánica Cuántica introduce un contexto donde llevar a cabo una medición se convierte en un proceso intrínseco. A pesar de ello, ninguno de sus fundamentos aborda explícitamente la definición de lo que constituye una medición cuántica. Aunque este procedimiento evidencia tanto la naturaleza probabilística a pequeña escala como el carácter determinista del ámbito macroscópico, surge de manera pertinente la pregunta: ¿qué se entiende por medición? O, al menos, ¿cómo llevar a cabo una medición? Diversos esfuerzos han sido realizados con el fin de construir un marco conceptual riguroso que describa el proceso de medición cuántica. En este estudio, se examinará detenidamente el esquema de medición propuesto por von Neumann interpretado a partir de la interacción entre el sistema principal y su entorno, así como los posibles tipos de mediciones que pueden surgir en estos sistemas. Sin embargo, al adentrarnos en el ámbito de la Teoría Cuántica de Campos y buscar realizar mediciones en este contexto, es imperativo ampliar la noción de medición de acuerdo con los principios de localidad y causalidad. Por ende, al establecer un marco claramente definido para las mediciones, también se delinean ciertas operaciones que son físicamente permitidas. Este trabajo se propone examinar los protocolos de medición en campos relativistas con el objetivo de comprender el protocolo propuesto por Fewster y Verch como una generalización de la teoría de medición cuántica no relativista.
A diferencia de lo que ocurre en la Teoria de la Relatividad, donde el tiempo representa un papel esencial, en la Teoria Cuantica, el tiempo enseguida quedo relegado a un papel secundario, como un parametro. El famoso teorema de Pauli (1933) sobre la Imposibilidad de asociar el tiempo a un operador auto-adjunto en la mayoria de los sistemas fisicos hizo que los teoricos perdieran el interes por el tiempo como observable. Sin embargo, durante todos estos anos, los experimentalistas no han cesado de observar en los laboratorios fenomenos que se manifiestan a lo largo del tiempo y que ocurren, despues de preparar el sistema, en instantes bien definidos y aleatorios. Si entendemos como observable, en un sentido amplio, cualquier magnitud medible y cuyo resultado se puede reproducir repitiendo el experimento siempre en condiciones similares, llegamos a la conclusion de que existen muchos observables de tiempo. Un ejemplo importante, y aparentemente sencillo, del que hablaremos, es el tiempo de llegada de una particula a un detector. En los laboratorios se pueden preparar particulas en condiciones similares, lanzarlas contra un detector y obtener la distribucion de las llegadas. Estas llegadas se ajustan a patrones cuanticos, ya que el perfil de la distribucion muestra interferencias y difraccion en el tiempo. Tanto el concepto tiempo de llegada como la difraccion en el tiempo se llevan estudiando durante decadas, y sin embargo, al comenzar esta Tesis quedaban todavia muchas cuestiones pendientes de resolver, en particular, como construir operadores de Tiempo de llegada, y como explicar y observar la DET. Otro operador temporal, quizas el mas importante y cotidiano es el tiempo del reloj . Los relojes cuanticos son sistemas que se desplazan periodicamente con el tiempo. Podemos decir que hora es observando la posicion de la manecilla del reloj, y en general, el tiempo que ha transcurrido desde cualquier instante, pero las observaciones son tan aleatorias como el tiempo de llegada. En la practica, la hora oficial que se produce en los Institutos de metrologia no se genera con relojes cuanticos. Lo que de verdad se intenta, es establecer cada vez con mayor precision la frecuencia de una transicion entre dos niveles del atomo de Cesio y reproducirla en osciladores de cuarzo. El segundo se define simplemente contando un numero previamente acordado de estas oscilaciones. Para definir un tiempo cada vez mas preciso se ha recurrido a atomos cada vez mas lentos, pero esta estrategia tiene limites, como veremos: los limites impuestos por la mecanica cuantica a la precision que se puede alcanzar con atomos lentos es otro de los temas centrales de la Tesis. Volviendo al teorema de Pauli, su efecto paralizante se extendio incluso a duraciones tales como el TDP de una particula en una region del espacio, cuyo operador si es auto-adjunto y que por lo tanto no esta afectado por el teorema. No obstante, aunque la definicion y medicion del TDP en sistemas clasicos esta resuelta, no podemos afirmar lo mismo del caso cuantico, por la la ausencia de trayectorias clasicas. En esta Tesis hemos propuesto un metodo operacional para construir la distribucion de probabilidad de este operador a partir de mediciones experimentales. En resumen, el objetivo principal de la Tesis es encontrar respuestas a cuestiones fundamentales que ayuden a integrar los observables temporales en la mecanica cuantica y hemos establecido vinculos con experimentos y con la tecnologia de tiempo-frecuencia
La presente tesis enfrenta la problemática de establecer si es posible construir una versión de la mecánica cuántica (MC) en espacios de Hilbert que trate al espacio y al tiempo en pie de igualdad, y considere a la simetría de Lorentz de manera explícita en teorías relativistas. La relevancia actual de este problema, intrínseco al área de fundamentos de la mecánica cuántica, radica en las potenciales implicancias para otras áreas como la información, la computación y la gravedad cuántica, y, sobre todo, para el reciente conjunto de ideas que yace en la intersección de las mismas. En la tesis se construye progresivamente un formalismo con las características deseadas, proporcionando así una respuesta afirmativa a la pregunta inicial. La construcción comienza con la generalización del formalismo de Page y Wootters al caso de partículas relativistas y luego al de varias partículas. Esto conlleva a introducir espacios de Hilbert ampliados a través de álgebras que tratan al tiempo y al espacio en pie de igualdad. A través del concepto de operador acción, una versión cuántica de la acción clásica, se establece la existencia de una correspondencia entre los espacios de Hilbert ampliados y la MC convencional. Se demuestra a su vez que la suma sobre historias de la formulación de Feynman adquiere un nuevo significado en estos espacios. Finalmente, se combinan todos los resultados anteriores en una discusión sobre las deficiencias del espacio de fases clásico para abarcar explícitamente simetrías del espacio-tiempo, y sobre como estas son heredadas por la MC, afectando incluso a su formulación ampliada. Se propone entonces una versión aumentada de la formulación Hamiltoniana clásica que involucra corchetes de Poisson simétricos en espacio-tiempo para campos de materia y corchetes de Poisson asociados a las posibles foliaciones del espacio-tiempo. Esta formulación clásica permite obtener ecuaciones de movimiento invariantes en el espacio de fase. Su cuantización lleva directamente a los espacios de Hilbert ampliados, dónde además la foliación es cuántica y la simetría de Lorentz explícita. Condicionando con respecto a autoestados de foliación, en analogía con el formalismo de Page y Wootters, se recupera la correspondencia con la MC convencional. Finalmente, se discuten las novedades introducidas por el formalismo, y su potencial para proporcionar nuevas intuiciones de carácter teórico, informacional y computacional, y para introducir teorías físicas que no encuentran una correspondencia con la MC usual.
Desde hace mas de tres cuartos de siglo, sabemos que la naturaleza esta regida por las leyes que determina una teoria fisica en muchos aspectos paradojica y contraintuitiva: la fisica cuantica. Sin apenas matematicas, situando aquello que se trata en un contexto historico, y utilizando unas atractivas ilustraciones que destacan las principales ideas que aparecen en el, este libro, La realidad cuantica, presenta los fundamentos de la mecanica cuantica. Su objetivo primero es explicar los desconcertantes conceptos de superposicion, colapso y entrelazamiento, que sostienen el edificio cuantico. Recurriendo a experimentos, los autores, dos destacados investigadores en esa rama de la fisica, van desvelando, de un modo intuitivo, esos conceptos, explicando, asimismo, resultados fundamentales como los producidos por John Bell, que precipitaron la caida del mundo determinista defendido por Einstein. Una vez establecida esa base teorico-experimental, y siguiendo el mismo procedimiento intuitivo, los autores presentan las modernas aplicaciones de esos conceptos cuantico: teleportacion, criptografia y ordenadores cuanticos. Todas ellas se enmarcan en la Teoria de la Informacion Cuantica, una disciplina tras la que se esconden importantes interrogantes que tambien se tratan aqui, tales como si la informacion es suficiente para interpretar correctamente la mecanica cuantica, o si el mundo se explicaria, en ultimo termino, como informacion.
En este trabajo, se analiza una teoría que es en cierto modo una extensión natural del campo de las telecomunicaciones clásicas a la mecánica cuántica. Dicha teoría se llama tomografía cuántica y es de hecho una imagen de la mecánica cuántica equivalente a las más habituales que son la imagen de Schrödinger o la de Heisenberg. Esta nueva imagen, difiere de las precedentes en que está muy ligada a la capacidad tecnológica a la hora de medir observables (momento, energía, etc.) en el campo de la óptica cuántica, ya que su objetivo primordial es el de conseguir reconstruir el estado de un sistema cuántico a partir de mediciones en el laboratorio, y dado al avance tecnológico del instrumental de laboratorio disponible como láseres y fotodetectores, cada vez está suscitando mayor interés. En el primer capítulo, veremos cómo nace esta idea de reconstruir estados cuánticos discutiendo brevemente la técnica clásica conocida como Tomografía Axial Computerizada (TAC). Esta técnica está basada en los trabajos de Johann Karl August Radon aplicando la transformada que lleva su nombre. Introduciremos la transformada de Radon de una función de probabilidad definida en el espacio de fases para ver cómo se aplica en el caso del TAC. Para aplicar esta idea para la reconstrucción de estados cuánticos, veremos, en primer lugar, que existe una extensión natural de las técnicas de demodulación de señales moduladas en amplitud (AM) en el campo de la óptica cuántica mostrando que el papel que cumple un mezclador puede ser reemplazado por una combinación de divisores de haz y fotodetectores y mostraremos explícitamente cómo reconstruir el operador densidad que describe un estado cuántico a través de un proceso reminiscente de la transformada de Radon clásica. El segundo capítulo será el corazón de este trabajo. En él, introduciremos de manera formal la descripción tomográfica de la mecánica cuántica. Presentaremos una teoría general, para ello, trataremos a los observables como elementos de un álgebra C_ y los estados serán funcionales lineales positivos que actúen en dicha algebra. Veremos que esta descripción de la mecánica cuántica puede dividirse en dos partes, una primera con el objetivo de obtener una fórmula para reconstruir el estado de un sistema cuántico a partir de una función definida sobre un conjunto llamado conjunto tomográfico, que será un conjunto de observables que tendrá que cumplir una serie de condiciones que expondremos debidamente. A esta primera parte de la teoría, la bautizaremos como Teoría de muestreo generalizada en sistemas cuánticos. La segunda parte estará relacionada con la parte puramente experimental. Lo que hace necesario tener que añadir esta segunda parte es el hecho de que la función definida anteriormente sobre el conjunto tomográfico, que llamaremos función de muestreo, en general, no puede ser medida por medio de los dispositivos con los que contamos en un laboratorio de óptica cuántica, sin embargo, a partir de las mediciones hechas con un fotodetector, podemos obtener distribuciones de probabilidad de cantidades relacionadas con los observables. Entonces, tomando esto último como motivación, esta segunda parte de la teoría consistirá en relacionar esa función de muestreo con una distribución de probabilidad que llamaremos tomograma, que será el resultado directo de un proceso de medida en el laboratorio, y la llamaremos Transformada generalizada positiva por motivos que se expondrán convenientemente. Uno de los problemas más sutiles de esta teoría consiste en hallar un conjunto tomográfico que cumpla las condiciones necesarias para permitir reconstruir el estado a partir de él. Sin embargo, veremos que de manera natural, las representaciones unitarias irreducibles de un grupo finito o de Lie compacto proporcionan conjuntos tomográficos que cumplen las condiciones requeridas, por eso, nos centraremos en el estudio de la reconstrucción de estados a partir de grupos relacionados con el sistema físico dado. Aunque también destacaremos que existen otras representaciones unitarias que nos permiten reconstruir el estado cuántico a partir de ellas, como lo es la representación unitaria irreducible del grupo de Heisenberg Weyl dada por el álgebra de Lie que forman los operadores momento y posición cuánticos que es el ejemplo con el que nace la tomografía cuántica introducido en el primer capítulo. En el tercer capítulo presentaremos un algoritmo numérico que se deriva a partir de unos estados que llamaremos estados adaptados que habremos definido en el capítulo anterior. Este algoritmo nace como un problema inverso, ya que hasta entonces nos habremos centrado en reconstruir estados a partir de un conjunto tomográfico, en especial, cuando el conjunto tomográfico está definido a partir de una representación unitaria de un grupo. Este problema inverso consiste en determinar qué información es posible obtener de una representación unitaria de un grupo si se tiene una familia de estados que describe un sistema físico relacionado con un grupo de simetría. La respuesta a esta pregunta es muy satisfactoria ya que es posible conocer la matriz de transformación de base que nos permita transformar la base, en la que está descrita la representación unitaria, en una base adaptada a los subespacios invariantes bajo la acción de todos los elementos de la representación. Este problema se conoce como descomposición de Clebsh Gordan, ya que dicha transformación aplicada a la representación unitaria la convierte en una matriz diagonal por bloques en la que cada bloque corresponde a una representación unitaria irreducible. La manera en la que resolveremos este problema es con un algoritmo numérico que sólo requiere dos estados adaptados como argumentos de entrada, que pueden ser obtenidos de manera directa si se conoce de forma explícita la representación unitaria que queremos reducir. Este algoritmo lo hemos bautizado con el nombre de SMILY. Hay que destacar que como este algoritmo se ha generado sólo aplicando ciertas transformaciones unitarias sobre matrices que representan un estado cuántico, tiene una extensión natural que podría implementarse en un ordenador cuántico. Para acabar esta tesis, generalizaremos la descripción tomográfica a campos clásicos y cuánticos. Para el caso clásico, primero realizaremos una descripción tomográfico para sistemas con finitos grados de libertad y obtendremos el equivalente tomográfico de la ecuación de Liouville para una densidad de probabilidad y tras esto, haremos el mismo análisis para sistemas con infinitos grados de libertad. Para obtener la descripción tomográfica para campos cuánticos, partiremos del concepto de segunda cuantización y mostraremos el equivalente tomográfico de los axiomas de Wightman Streater para una teoría cuántica de campos. Y para terminar, obtendremos un teorema de reconstrucción para campos escalares y calcularemos el tomograma de ciertos estados de un campo cuántico escalar libre. Comentemos esto último diciendo que es el inicio de una teoría que permitirá una descripción tomográfica de estados, por ejemplo ligados, para teorías con interacción. Para concluir este resumen, quisiera resaltar que el lector especializado, si lo considera conveniente, puede comenzar a leer a partir del segundo capítulo, ya que aunque el primer capítulo sirve como motivación de porqué desarrollar una descripción tomográfica de la mecánica cuántica, el texto puede comprenderse si previamente no se ha leído.
La interpretación modal Hamiltoniana de la mecánica cuántica sostiene que los sistemas, en el ámbito de la realidad cuántica, son haces de propiedades posibles, sin sustancia subyacente. Las propiedades que se hacen actuales, es decir aquéllas que adquieren valor definido instante a instante, no pueden ser todas, ya que esto llevaría a inconsistencias, como lo muestra el Teorema de Kochen-Specker. Esto implica que debemos elegir un contexto de actualización, esto es, un subconjunto de todo el conjunto de propiedades posibles, cuyas propiedades adquieren valores definidos. En este sentido, la interpretación modal-Hamiltoniana elige como contexto de actualización la descomposición átomica del espacio de Hilbert en autosubespacios del Hamiltoniano y todas las composiciones de éstos. Esto permite explicar satifactoriamente varios problemas interpretativos de la mecánica cuántica: el problema de la medición, el problema de la contex- tualidad, el problema de la indistinguibilidad y el problema de la no-localidad, como también permite describir adecuadamente un conjunto de ejemplos físicos típicos de la práctica de la física. Durante el trabajo de esta tesis doctoral, se desarrolló una reformulación de la interpretación modal-Hamiltoniana de la mecánica cuántica. Para ello se aplicaron ideas de la teoría de grupos, con el fin de asegurar la invariancia del contexto de actualización ante el cambio de sistema de referencia. De modo natural, entonces, se definió el contexto de actualización como aquel identificado por los operadores de Casimir del grupo de simetría de la mecánica cuántica: el grupo de Galileo extendido centralmente. Posteriormente se estudió la posibilidad de extender estas ideas al ámbito de la teoría cuántica relativista, donde el grupo de simetría es el de Poincaré y algún otro grupo de simetría interna compacto. Finalmente, con el fin de asegurar que los observables con valores actuales en las teorías relativistas y no relativistas estuviesen correctamente relacionados a través de un límite adecuado, se empleó una contracción de Inönü-Wigner del grupo de Poincaré extendido trivialmente al grupo de Galileo extendido centralmente. De este modo, los operadores de Casimir de ambos grupos quedaron correctamente relacionados y se pudo definir la regla de actualización correspondiente al ámbito relativista