Diese Dissertation entwickelt eine neuartige operative Perspektive auf das Verhalten quantenmechanischer Teilchen. Der Ansatz folgt der operativen Rekonstruktion der Quantentheorie, in der empirische Szenarien durch Präparationen, Transformationen und Messungen modelliert werden. In der Praxis unterscheiden wir bislang zwei Familien quantenmechanischer Teilchen nach ihrem statistischen Verhalten: Bosonen und Fermionen. Der Weg, auf dem sich diese beiden Klassen in der Literatur herausgebildet haben, geht der modernen Quantentheorie historisch voraus und lässt sich auf Probleme der Ununterscheidbarkeit von Teilchen zurückführen, die bereits in der klassischen statistischen Mechanik auftreten. Die physikalischen Prinzipien jedoch, die allein diese beiden Typen von Teilchen im Universum auszeichnen sollen, bleiben unklar. Das Ziel dieser Dissertation ist es, zu klären, warum das so ist. Kapitel 1 bietet einen Überblick darüber, wie Ununterscheidbarkeit und Identität im Laufe eines Jahrhunderts behandelt wurden, einschließlich der Symmetrisationspostulate sowie algebraischer, topologischer und raumzeitlicher Argumente in der Quantenfeldtheorie. Kapitel 2 führt eine vollständige Charakterisierung derjenigen Teilchenstatistiken ein, die mit universellen operativen Szenarien vereinbar sind. Diese Szenarien erzwingen Symmetrieeinschränkungen auf den zugänglichen Quantenzustandsräumen, die sich aus der Wirkungsweise von Interferometern auf Einzelteilchen und der Detektion mehrerer Teilchen ergeben. Unter vollständiger Kenntnis der inneren Freiheitsgrade bleiben nur Bosonen und Fermionen konsistent. Wenn man diese Bedingung lockert, treten jedoch neue Klassen von quantenmechanischen Teilchen zutage, die wir Transtatistiken nennen. Sie sind vollständig mit der Quantentheorie vereinbar, wurden jedoch bislang in der Literatur nicht diskutiert. Kapitel 3 ordnet diese Ergebnisse dem Übergang von der ersten zur zweiten Quantisierung zu und untersucht, ob die in Kapitel 2 eingeführten alternativen Statistiken auf diesem Wege erzeugt werden können. Wir konstruieren Vielteilchenzustände als Äquivalenzklassen von Zuständen identischer, aber unterscheidbarer Konstituenten und erhalten quadratische Algebren, die transtatistische Zustandsräume reproduzieren und zugleich neue Werkzeuge für Vielteilchensysteme und letztlich auch für die Feldtheorie bereitstellen. Dieses Projekt bildete den zentralen Teil meiner Promotion unter der Betreuung von Borivoje Dakic.
Diese Dissertation entwickelt eine neuartige operative Perspektive auf das Verhalten quantenmechanischer Teilchen. Der Ansatz folgt der operativen Rekonstruktion der Quantentheorie, in der empirische Szenarien durch Präparationen, Transformationen und Messungen modelliert werden. In der Praxis unterscheiden wir bislang zwei Familien quantenmechanischer Teilchen nach ihrem statistischen Verhalten: Bosonen und Fermionen. Der Weg, auf dem sich diese beiden Klassen in der Literatur herausgebildet haben, geht der modernen Quantentheorie historisch voraus und lässt sich auf Probleme der Ununterscheidbarkeit von Teilchen zurückführen, die bereits in der klassischen statistischen Mechanik auftreten. Die physikalischen Prinzipien jedoch, die allein diese beiden Typen von Teilchen im Universum auszeichnen sollen, bleiben unklar. Das Ziel dieser Dissertation ist es, zu klären, warum das so ist. Kapitel 1 bietet einen Überblick darüber, wie Ununterscheidbarkeit und Identität im Laufe eines Jahrhunderts behandelt wurden, einschließlich der Symmetrisationspostulate sowie algebraischer, topologischer und raumzeitlicher Argumente in der Quantenfeldtheorie. Kapitel 2 führt eine vollständige Charakterisierung derjenigen Teilchenstatistiken ein, die mit universellen operativen Szenarien vereinbar sind. Diese Szenarien erzwingen Symmetrieeinschränkungen auf den zugänglichen Quantenzustandsräumen, die sich aus der Wirkungsweise von Interferometern auf Einzelteilchen und der Detektion mehrerer Teilchen ergeben. Unter vollständiger Kenntnis der inneren Freiheitsgrade bleiben nur Bosonen und Fermionen konsistent. Wenn man diese Bedingung lockert, treten jedoch neue Klassen von quantenmechanischen Teilchen zutage, die wir Transtatistiken nennen. Sie sind vollständig mit der Quantentheorie vereinbar, wurden jedoch bislang in der Literatur nicht diskutiert. Kapitel 3 ordnet diese Ergebnisse dem Übergang von der ersten zur zweiten Quantisierung zu und untersucht, ob die in Kapitel 2 eingeführten alternativen Statistiken auf diesem Wege erzeugt werden können. Wir konstruieren Vielteilchenzustände als Äquivalenzklassen von Zuständen identischer, aber unterscheidbarer Konstituenten und erhalten quadratische Algebren, die transtatistische Zustandsräume reproduzieren und zugleich neue Werkzeuge für Vielteilchensysteme und letztlich auch für die Feldtheorie bereitstellen. Dieses Projekt bildete den zentralen Teil meiner Promotion unter der Betreuung von Borivoje Dakic.
Diese Dissertation besteht aus einer Sammlung von Projekten, welche unter der Betreuung von Prof. Caslav Brukner durchgeführt wurden. Die Arbeit gliedert sich in zwei Hauptteile. Der erste Teil widmet sich dem operativen Zugang zu der Quan- tenmechanik. Die Hauptaufgabe besteht hierbei darin, die exklusiven Eigenschaften der Quantenmechanik in einer größeren Klasse probabilistischer Theorien zu identifizieren. Der zweite Teil beschäftigt sich mit der typischen Charakteristik der Quantenphysik, wie der Quantenstatistik, den Quantenkorellationen und Quantensimulationen. Man kann sicherlich sagen, dass wir derzeit noch keine der Intuition zugänglichen, und allgemein akzeptierte physikalische Prinzipien haben, welche die Grundlage der Quantemechanik darstellen. Der Mangel solcher Prinzipien ist die Hauptursache für die derzeitige Koexistenz von vielen Interpretationen der Quantenmechanik, die von Konzepten Gebrauch machen, welche sich gegenseitig ausschließen. Eine Hauptaufgabe des ersten Kapitel besteht in der Spezifizierung von Theorien mit grundsätzlich beschränkten Informationsgehalt, welche aufgrund dieser Tatsache eine probabilistische Beschreibung besitzen. Unter dem “beschränkten Informationsgehalt eines Systems”, verstehen wir eine grundsätzliche Beschränkung der Information welche durch eine Messung über die Preparation eines Zustandes gewonnen werden kann. Ein Ergebnis dieses Kapitels ist die Charakterisierung der gesamten Hierarchie der Theorien, welchen diese Eigenschaft gemein sind. Auf den unteren Stufen dieser Hierarchie sind die klassische, wie auch die quantenmechanische Wahrscheinlichkeitstheorie enthalten. Um die Quantentheorie und klassische Theorie von der ganzen Klasse der Wahrscheinlichkeitstheorien zu unterscheiden, wurden zusätzliche Annahmen getroffen. Diese Annahmen sind Lokalität und Umkehrbarkeit. Unter dem Prinzip der Lokalität verstehen wir, dass der Gesamtzustand eines Systems durch die Statistik der individuellen Untersysteme rekonstruiert werden kann. Das Prinzip der Umkehrbarkeit drückt aus, dass zwei reine Zustände immer durch eine umkehrbare Transformation auseinander hervorgehen. Darüber hinaus, wurde ein weiteres fundamentales Prinzip der Quantenmechanik, das Komplementaritätsprinzip, mittels “mutually unbiased bases” untersucht. Es wurde eine Verbindung zu dem bekannten mathematischen Problem der orthogonalen lateinischen Quadraten hergestellt. Eine plausible klassische Beschreibung der Quantenstatistik benötigt nicht eingängige Konzepte wie die quantenmechanische “Nicht-lokalität” und “Kontextualität”. Der zweite Teil dieser Dissertation widmet sich einer weiteren Frage, der Frage nach dem “Kostenaufwand” im Sinne der beschreibenden Ressourcen welche eine plausible klassische Beschreibung der Quantenstatistik zulassen. Es wurde gezeigt, dass die klassische Simulation der Quantenstatistik nur eine polynomiale Anzahl an Ressourcen, so genannte verborgene Variablen, für die Verschiedenen Messeinstellungen benötigt. Darüber hinaus bestätigt dieses Simulationsmodell auch, dass in einem vernünftigen Limes, die optimale Beschreibung der Quantenstatistik die Quantenmechanik selbst ist. Quantenkorrelationen sind für die quantenmechanische Nicht-lokalität verantwortlich, wie auch für den “computational speedup” in der Quanten Informationsverarbeitung. Es gibt Beispiele von Quanteninformationsprotokollen, die mit Sicherheit kein Verschränkung nutzen aber dennoch von quantenmechanischen Korrelationen Gebrauch machen. Es ist daher nicht möglich die Korrelationen in ihrer allgemeinen Form mit der Verschränkung gleich zu setzen. Das zweite Kapitel behandelt die Frage der nicht-klassischen Eigenschaften der Quantenkorrelationen welche durch den “quantum discord” beschrieben werden. Das Hauptergebnis ist eine experimentell einfach zugängliche, hinreichend wie auch notwendige, Bedingung für nicht-verschwindenden quantum discord. Darüber hinaus stellen wir eine Analyse der Ressourcen in “mixed-state quantum computation” vor, welche zeigt, dass die Rolle des “quantum discord” in der Quanteninformationsverarbeitung weiterhin unklar ist. Schließlich widmet sich das letzte Kapitel dieses Teils der Untersuchung von Quanensimulationen, sowohl theoretisch als auch experimentell. Quantensimulatoren können verwendet werden um die Zeitenwicklung eines bestimmten quantenmechanischen system darzustellen, eine Aufgabe, die für klassische Computer sehr schwierig ist. Es wird ein kleiner photonischer Quantensimulator vorgestellt, der in der Lage ist ein frustriertes Spin Tetramer zu simulieren. Die Simulation macht von verschränkten Photonpaaren, verstellbaren Quantengattern und durch Messung induzierten Nichtlinearitäten Gebrauch.
In der vorliegenden Arbeit behandeln wir verschiedene Themen aus dem Gebiet der Quanteninformationstheorie. Die unterschiedlichen Ergebnisse sollen entweder die Anwendung theoretischer Konzepte auf reale Experimente erleichtern oder bei der weiterfuhrenden Arbeit an zentralen Fragen helfen. Im Detail werden folgende Punkte untersucht: Wir wenden uns als Erstes der Fragestellung zu, unter welchen Vorraussetzungen eine gegebene Menge an Erwartungswerten mit den ersten beiden Momenten der Spinoperatoren eines Zustandes von Gesamtspin j kompatible ist. Hierbei liegt das Hauptaugenmerk auf einer operationellen Beschreibung, so dass man direkt mit den Momenten arbeiten kann, anstatt den kompletten Dichteoperator zu verwenden. Wir zeigen, dass diese Charakterisierung physikalischer Momente zu dem Problem der Bose-symmetrischen Erweiterungen fur speziell bestimmte Zweiqubit Zustande aquivalent ist. Mittels dieser Umformulierung bestimmen wir operationelle Teil- und Ubermengen der exakten Menge, um somit auf einfache Art und Weise Momente identifizieren zu konnen, die sicher physikalisch sind, als auch andere, die eindeutig inkompatibel mit den Vorhersagen der Quantenmechanik sind. Diese approximative Losung gewinnt mit steigender Gesamtspinzahl j an Genauigkeit, und konvergiert im Limes gegen die exakte Losung. Im nachsten Abschnitt beschaftigen wir uns mit dem Konzept der Verschrankungszeugen; der gebrauchlichsten Methode zur Verschrankungsdetektion. Wir untersuchen, wie man die Qualitat eines linearen Verschrankungszeugen durch quadratische, nichtlineare Terme verbessen kann, so dass man mehr verschrankte Zustande auf einmal detektiert. Das betrachtete Verbessungsschema hat den Vorteil dass man es iterative benutzen kann. Dies liefert eine Abfolge von Verschrankungszeugen mit Nichtlinearitaten immer hoherer Ordnung, deren Starke in jedem Schritt zunimmt. Die entwickelte Iterationsmethode kann fur verschiedene Aufgaben verwendet werden und wir betrachten zwei ausgezeichnete Extremfalle: Entweder optimieren wir fur einen vorgegeben Zielzustand oder fur alle moglichen Zustande gleichmassig. Im restlichen Teil der Arbeit untersuchen wir verschiedene Moglichkeiten, wie man bereits vorhandene Ideen besser an reale Experimente anpasst. Hier sei angemerkt dass viele Anwendungen der Quanteninformationstheorie nur fur stark idealisierte Systeme vorgeschlagen und diskutiert wurden und somit nicht direkt fur das Experiment anwendbar sind. Dieser Punkt ist fur das Feld der Quantenschlusselverteilung von besonderer Bedeutung, da man die vorbehaltslose Sicherheit eines realen, durch ein Experiment generierten Schlussels zeigen mochte und nicht nur fur die einer idealisierten Version davon. Mit diesem Ziel im Hinterkopf untersuchen wir zuerst die theoretische Idee des Squash Modells. Dieses bietet einen eleganten Ausrechentrick', der es erlaubt, die Sicherheitsanalyse eines idealisierten Quantenschlusselverteilungsprotokolls direkt fur das reale Experiment zu verwenden. Wir entwickeln einen Formalismus zur Prufung dieses Squash Modells fur einen gegebenen Messaufbau und betrachten relevante Messschemen mit und ohne dieser Eigenschaft. Im Gegensatz zu diesem theoretischen Modell behandlen wir auch eine experimentelle Moglichkeit, die es uns erlaubt, die Sicherheitsanalyse des idealisierten Systems direkt fur das reale Experiment zu verwenden. Dazu benutzen wir die Idee, dass man durch die Kombination eines variablen Strahlteilers mit einem einfachen Click/No-Click' Detektor, die Statistik von photonauflosenden Detektoren erhalten kann. Durch diese Hardwareanderung ist es moglich, die sicherheitsrelevanten Parameter direkt abzuschatzen. Diese Methode bietet somit auch einen Weg, die Sicherheit eines realen Quantenschlusselverteilungsexperiments zu beweisen, fur das die theoretische Squash Modell Idee nicht funktioniert. Als Ergebnis erhalt man unter anderem einen neuen Distanzrekord fur ein reales Quantenschlusselverteilungsexperiment mit derzeitiger Technologie. Als letzten Punkt betrachten wir das Problem der experimentellen Verschrankungsverifizierung. Bei dieser Verifizierung hat man oftmals ein Praktikabilitatsproblem, weil man---ob verschiedener Grunde---meistens nur ein sehr vereinfachtes Modell fur die verwendenten Messapparate benutzt. Wir zeigen, dass man in diesem Fall der Fehlinterpretation der beobachteten Messausgange durchaus Fehler machen kann, allerdings untersuchen wir in erster Linie Bedingungen, unter denen ein falschlicher Verschrankungsnachweis ausgeschlossen werden kann. Zu diesem Zweck verwenden wir ein dem Squash Modell ahnliches, aber weniger restriktives Konzept. Eine interessante Anwendung liefern die ublicherweise mittels Tomographie durchgefuhrten Verschrankungstests, die man typischerweise fur parametrische Fluoreszenz Quellen oder fur photonische Mehrparteienexperimente verwendet. Wir zeigen, dass diese sehr einfach fehlerfrei gemacht werden konnen.
In der Mitte der 1920er Jahre stand an der Wende von der frühen zur modernen Quantentheorie die Erkenntnis, dass die Physik quantisierter Zustände eine besondere Form der Statistik erfordert. Diese “Quantenstatistik” musste die Unterscheidbarkeit für atomare Teilchen aufgeben, - und damit die Vorstellung von “individuellen” Teilchen, die der klassischen Maxwell-Boltzmann Statistik zugrunde gelegen hatte. Die Auswirkung dieses Bruches zeigte sich zunächst in der Änderung der klassischen Abzählmethoden für die möglichen Besetzungen der Zustände mit Teilchen. Aus methodischen Gründen stellt man die möglichen Zustände als Besetzung einer Gesamtheit von Zellen im “Phasenraum” dar. Der Phasenraum wird aus den Orts- und Impulskoordinaten aller Teilchen des betrachteten Systems gebildet, und er gestattet die vollständige Beschreibung seines Zustandes. Bei der Abzählung ununterscheidbarer Teilchen zeigte es sich, dass es nur zwei Klassen von Elementarteilchen geben kann: Eine Klasse, die solche Teilchen enthält, die eine Zelle in beliebiger Anzahl besetzen können, - und eine solche Klasse von Teilchen, die nur einzeln eine Zelle besetzen können. Zur erstgenannten Klasse gehören die Photonen, die a- Teilchen (Heliumkerne) und die Cooper-Paare, - letztere sind die in den 1950er Jahren entdeckten Träger der Supraleitung. (Die Teilchen dieser Klasse haben verschwindenden oder ganzzahligen Spin; sie werden zusammengefasst heute als “Bosonen” bezeichnet.) Hauptvertreter der zweitgenannten Klasse sind die Elektronen und Nukleonen. (Die Teilchen dieser Klasse haben einen halbzahligen Spin und werden heute zusammengefasst als “Fermionen” bezeichnet.) Die Statistiken dieser beiden Klassen von Teilchen wurden im Jahr 1924 in Form der Bose-Einstein Statistik (für Bosonen) und zwei Jahre später als Fermi-Dirac Statistik (für Fermionen) theoretisch manifest. - Damit war die (in der klassischen Physik uneingeschränkt geltende) Vorstellung von im Einzelnen unterscheidbaren Teilchen an dem Charakter derjenigen Abzählmethoden gescheitert, die dem Teilchenbegriff der Quantenphysik angemessen sind.
Die Analyse der Quantendynamik von Mehrteilchenzuständen in Quantenfeldtheorien ist, über ihre allgemeine Relevanz hinaus, grundlegend für bestimmte Systemklassen wie schwarze Löcher und andere saturierte Zustände. Die Erforschung der Physik schwarzer Löcher hat jüngst zur Identifizierung einer neuen Klasse von Zuständen in nicht-gravitativen Quantenfeldtheorien geführt, der sogenannten Saturonen. Diese sind durch die Sättigung der Grenze für eine maximale quantenfeldtheoretische Mikrozustandsentropie gekennzeichnet. Zahlreiche Beispiele zeigen, dass Saturonen Eigenschaften besitzen, die schwarzen Löchern vollständig analog sind. Im ersten Teil dieser Arbeit untersuchen wir ein 1+1-dimensionales Beispiel eines Saturons in einer renormierbaren Quantenfeldtheorie mit großer SU(N)-Symmetriegruppe. In diesem Rahmen erscheint das Saturon als Vakuumblase einer spontan gebrochenen SU(N)-Symmetrie im Symmetriegrundzustand. Die Blase ist klassisch stabil, zerfällt jedoch quantenmechanisch bei Kopplung an masselose Fermionen. Dank der Einfachheit des modells analysieren wir den Evaporationsprozess detailliert und reproduzieren eine Hawking-artige Zerfallsrate, die umgekehrt proportional zur Blasengröße ist. Das Evaporationsspektrum bestimmen wir semiklassisch über die Analyse der Bogoliubov-Koeffizienten des fermionischen Feldes sowie quantenmechanisch, indem wir die Blase als hochbesetzten Zustand von Goldstone-Bosonen der gebrochenen Symmetrie behandeln. Damit folgt der Prozess aus der quantenmechanischen Zerfallsrate der konstituierenden Goldstones und reproduziert im geeigneten Grenzfall das semiklassische Resultat. Im zweiten Teil analysieren wir die Quantendynamik eines homogenen Superfluids in einer relativistischen U(1)-Theorie. Klassische Zustände erscheinen quantenmechanisch als eingekleidete kohärente Zustände mit großer mittlerer Besetzungszahl. Üblicherweise treiben Quanteneffekte Mehrteilchensysteme durch Rückstreuungen von der Klassizität weg. Hier zeigen wir, dass geladene Superfluide – im Gegensatz zu ihren ladungslosen Gegenstücken – ihre interne Kohärenz in der Quantentheorie dauerhaft bewahren. Die Stabilität belegen wir, indem wir den passenden Zustand als Vakuum des modifizierten Hamiltonoperators H-μ Q konstruieren und seine Dynamik untersuchen; μ wirkt als quantenmechanisches chemisches Potential, Q als U(1)-Ladung. Wir erklären die Rolle der nicht-gaußschen Einkleidung, um Stabilität jenseits des Baum-Niveaus zu gewährleisten. Schließlich bestimmen wir das Fluktuationsspektrum von dem Superfluid und prüfen explizit die Existenz einer masselosen Goldstone-Mode bis zur ersten Loop-Ordnung.
Quantenverschränkung hat sich als eine wertvolle Ressource für viele Aufgaben der Quanteninformationstheorie etabliert. Eine zunehmende Zahl von miteinander verschränkten Systemen sowie eine größere Anzahl verfügbarer Dimensionen bewirkt in diesem Zusammenhang eine Steigerung des Leistungsvermögens und der Effizienz. Um diese Ressource erfolgreich zu nutzen, ist es zuvorderst notwendig, einen konsistenten theoretischen Formalismus zu ent-wickeln, der die verschiedenen Arten von Verschränkung korrekt beschreibt und zwischen ihnen differenziert.\nDie vorliegende Arbeit widmet sich der Klassifikation von Verschränkung in speziellen Familien hochdimensionaler Vielteilchensysteme sowie der Detektion von Verschränkung innerhalb dieser.\nDiese Dissertation stellt die Forschungsergebnisse aus drei Projekten vor. Der erste Teil handelt von der Konstruktion eines Operators, eines sogenannten Verschränkungszeugen, der es ermöglicht Verschränkung innerhalb von Vielteilchensystemen zu detektieren. Der Hauptaspekt besteht hierbei in der Entwicklung einer Eins-zu-eins-Korrespondenz zwischen SLOCC-Zeugen und Verschränkungszeugen innerhalb eines erweiterten Hilbertraums. Die Form dieses Zeugen ist derart, dass er mit Hilfe eines Zustandes innerhalb der zu detektierenden SLOCC-Klasse und dem maximalen Überlapp dessen mit Zuständen einer inäquivalenten SLOCC-Klasse konstruiert werden kann.\nDas zweite Projekt basiert auf der Erweiterung einer speziellen Familie von Vielteilchenzuständen, den Qubit-Hypergraphzuständen. Sie werden auf beliebige Dimensionen verallgemeinert und als Qudit-Hypergraphen definiert. Diese Zustände werden hinsichtlich SLOCC- und LU-Äquivalenzklassen untersucht und Methoden entwickelt um zwischen diesen zu unterscheiden. Interessanterweise konnte hier eine enge Verbindung zum Feld der Zahlentheorie festgestellt werden. Für tripartite Systeme in den Dimensionen drei und vier wird eine vollständige Klassifizierung unter SLOCC und LU angegeben. In den folgenden Abschnitten werden Regeln für die lokale Komplementation für Graphenzustände in nicht notwendigerweise Primzahl-Dimensionen entwickelt. Den Abschluss dieses Themas bildet eine Erweiterung der Qudit Hypergraphenzustände hin zu sogenannten gewichteten Hypergraphzuständen. Für spezielle Fälle davon werden SLOCC- und LU-Äquivalenzklassen determiniert. \nDer dritte und letzte Teil dieser Arbeit beschäftigt sich mit der Frage, auf welche Art Mehr-levelverschränkung sinnvoll definiert werden kann. Die Motivation dazu resultiert aus der Tatsache, dass es Zustände gibt, die als maximal verschränkt hinsichtlich ihrer Dimension gelten, aber trotzdem durch Systeme niedrigerer Dimension generiert werden können. Basierend darauf werden drei inäquivalente Klassen von Mehrlevelverschränkung definiert: 1) Zerlegbare Zustände (DEC), deren Korrelationen vollständig durch niedriger-dimensionale Systeme reproduziert werden können, 2) Echt mehrlevel-, mehrteilchenverschränkte Zustände (GMME), für deren Produktion man Kontrolle über Systeme der entsprechenden Dimension haben muss, 3) Mehrlevel-, mehrteilchenverschränkte Zustände (MME), die zerlegbar bezüglich einer bestimmten Bipartition sind.\nNach den grundlegenden Definitionen werden Beispiele für jede der drei Klassen diskutiert und Methoden entwickelt, die zwischen den Klassen unterscheiden können. Im bipartiten Fall, sowie für die Unterscheidung zwischen GMME und MME, kann die Frage der Klassenzugehörigkeit analytisch beantwortet werden. Die Differenzierung hinsichtlich MME und DEC basiert weitgehend auf numerischen Methoden, wobei auch ein analytisches Kriterium existiert, das notwendig, aber nicht hinreichend ist.
Diese Arbeit beschäftigt sich mit der Schätzung von Parametern und Zuständen in der Quantentheorie. Die Theorie verallgemeinerter Quantenmessungen, vorgestellt in Kapitel 2, bildet hierzu den begrifflichen Rahmen. Der erste Teil der Arbeit, Kapitel 3 und 4 umfassend, untersucht die Balance zwischen der durch Messung gewonnenen Information und der hierdurch am System verursachten Störung. Für Einzelmessungen an einem einzigen System wird dieser qualitative Kompromiß quantitativ in Form der Fidelities F und G untersucht, insbesondere für Qubits und Messung selbiger vermittels der Klasse unscharfer Messungen. Sie bestehen aus kommutierenden Effekten und können als 'verschmierte' Versionen gewöhnlicher hermitescher Observablen, wie z.B. Energie oder Spin, interpretiert werden. Es wird gezeigt, daß die optimale Balance zwischen Informationsgewinn und Störung eine einfache Nebenbedingung an die Parameter liefert, die diese unscharfen Qubit-Messungen charakterisieren. Die FG-Ebene liefert eine anschauliche Darstellung der Fidelity-Balance. Für Qubits kann sie ausgedrückt werden durch jene Parameter, die die unscharfe Qubit-Messung repräsentieren. Diese Parametrisierung enthüllt eine einfache Struktur, die minimale von nicht-minimalen Messungen trennt (Kraus Operatoren nicht-minimaler Messungen enthalten einen nicht-trivialen unitären Anteil in ihrer polaren Zerlegung). Es zeigt sich, daß nicht-minimale Messungen die optimale Fidelity-Balance deutlich verschlechtern. Ist vor einer Messung nichts über den zu schätzenden reinen Qubit-Zustand bekannt, kann eine unitäre 'back-action', d.h. eine nicht-minimale Messung, die Fidelity F nicht erhöhen. Existiert nun aber Vorinformation über den Zustand, dann verbessert - wie in Kapitel 4 gezeigt wird - diese Information zusammen mit einer passend gewählten 'back-action' die Fidelity, welche für minimale Messungen mit Vorinformation berechnet wurde. Letztere kann ihrerseits größer oder kleiner sein als die Fidelity, berechnet für den Fall daß keine Vorinformation über das Qubit existiert; Information bedeutet nicht unbedingt eine höhere Fidelity. Interessanterweise kann die Fidelity unter Einbeziehung von Vorinformation und diesen speziellen nicht-minimalen Messungen höher ausfallen als die Fidelity ohne Vorinformation. Im zweiten Teil der Arbeit, bestehend aus den Kapiteln 5 und 6, verschiebt sich der Schwerpunkt auf die Schätzung von Parametern, die die Dynamik eines Qubits charakterisieren. Aufbauend auf füheren Arbeiten [Aud01,Aud02c] zur Echtzeit-Visualisierung von Rabi-Oszillationen mittels Sequenzen unscharfer Messungen (N-Serien), werden verschiedene Schätzverfahren für den Parameter ∣c1∣2 entwickelt und verglichen. Die ursprünglich vorgeschlagene Schätzung [Aud01] wurde im Hinblick auf Erwartungstreue konstruiert, ein Kriterium aus der klassischen Schätztheorie. Ein zweites Verfahren wird mit Hilfe der 'maximum likelihood'-Methode abgeleitet. Diese Schätzung macht jedoch keinerlei Gebrauch von eventuell vorhandener Vorinformation über den Qubit-Zustand. Das dritte Schätzverfahren ('Bayesian estimator') bezieht solche Informationen über den Satz von Bayes mit ein. Um alle Schätzungen vergleichen zu können, wird ein mittleres Fehlerquadrat konstruiert um ein Gütemaß zu erhalten. Mit Hilfe dieses Maßes kann gezeigt werden, daß für eine N-Serie das Schätzverfahren von Bayes sowohl dem 'maximum likelihood'- als auch dem ursprünglichen Verfahren überlegen ist. Letzteres ist seinerseits dem 'maximum likelihood'-Verfahren unterlegen, d.h. die ursprüngliche Schätzung hat ein größeres mittleres Fehlerquadrat.