Auf einem halboffenen Gitter der Länge N wird wird die exakte Zeit-Raum-Korrelationsfunktion des eindimensionalen Glauber-Ising-Modells ermittelt, das auf die Temperatur T = 0 abgeschreckt wurde. Dies ermöglicht es auch, die exakte Wahrscheinlichkeit für leere Intervalle des dualen 1D-Koagulations-Diffusions-Prozesses auf einem periodischen endlichen Ring abzuleiten und den bekannten Langzeitabfall der Teilchenkonzentration zu reproduzieren. Diese Ergebnisse stimmen mit den allgemeinen Erwartungen der dynamischen Skalentheorie für endliche Systeme überein.
Auf einem halboffenen Gitter der Länge N wird wird die exakte Zeit-Raum-Korrelationsfunktion des eindimensionalen Glauber-Ising-Modells ermittelt, das auf die Temperatur T = 0 abgeschreckt wurde. Dies ermöglicht es auch, die exakte Wahrscheinlichkeit für leere Intervalle des dualen 1D-Koagulations-Diffusions-Prozesses auf einem periodischen endlichen Ring abzuleiten und den bekannten Langzeitabfall der Teilchenkonzentration zu reproduzieren. Diese Ergebnisse stimmen mit den allgemeinen Erwartungen der dynamischen Skalentheorie für endliche Systeme überein.
Vom Ising-Modell, das man als eine gewisse Spezialisierung des allgemeinen Heisenberg-Modells auffassen kann, wird zunächst eine Ubersicht über den recht weiten Anwendungsbereich dieses Modells und über seine Lösungsmöglichkeiten gegeben. Das große Interesse, das diesem Modell entgegengebracht wird, beruht letztlich darauf, daß es das einzige realistische Vielteilchenmodell ist, das einen Phasenübergang zeigt und mit mathematischer Strenge gelöst werden kann. Wir berechnen die Zustandssumme des eindimensionalen Ising-Modells ohne äußeres Feld und zeigen, daß die spontane Magnetisierung nur für T = 0 von Null verschieden ist. Die Zustandssumme für den Fall, daß sich das System in einem äußeren Magnetfeld befindet, wird nach der Transfer-Matrix-Methode berechnet. Aus ihr werden einige wichtige thermodynamische Größen wie die freie Enthalpie, die temperaturund feldabhängige Magnetisierung, die isotherme magnetische Suszeptibilität, die Entropie und die spezifische Wärme abgeleitet und diskutiert. Im Gegensatz zum eindimensionalen vollzieht das zweidimensionale Ising-Modell einen Phasenübergang zwischen paramagnetischer und ferromagnetischer Spinordnung bei einer endlichen Temperatur Tc. Die Existenz einer spontanen Mag-netisierung wird zunächst mit Hilfe des sog. „Peierls-Arguments“ bewiesen. Der Beweis gelingt auf der Basis von Abschätzungen mit einem Minimalaufwand an Mathematik. Die exakte Berechnung der freien Energie (ohne Feld) führt zu einem konkreten Resultat für die Übergangstemperatur Tc. Der Phasenübergang manifestiert sich in einer logarithmischen Singularität der spezifischen Wärme.
In dieser Arbeit werden zwei Arten von Systemen und deren Verbindung untersucht: Zum einen das zweidimensionale Isingmodell auf dem Zylinder mit unterschiedlichen Randbedingungen, insbesondere die Abhängigkeit des Skalenverhaltens unter Variation des Seitenverhältnisses und der Temperatur, zum anderen kolloidale Suspensionen, welche mittels kritischen Casimir-Kräften wechselwirken. Die am kritischen Punkt gültige konforme Invarianz des Isingmodells wird im ersten Teil diskutiert. Da diese genutzt werden kann, um den kritischen Zylinder auf ein System von zwei Teilchen in einem unendlichen Medium abzubilden, werden Methoden diskutiert, den Zylinder auch auf andere Geometrien abzubilden, die mathematisch zweifach-zusammenhängende Gebiete bilden. Darauf aufbauend wird eine Approximation für Dreiteilchen-Wechselwirkungen entwickelt und diese mit Monte-Carlo-Simulationen verglichen. Um endliche Systeme mit unterschiedlichen Randbedingungen zu untersuchen, wird im zweiten Teil die von Kasteleyn und Fisher entwickelte Abbildung zwischen einem System von dicht-gepackten Dimeren und der Hochtemperaturreihe des zweidimensionalen Isingmodells diskutiert. Diese wird auf beliebige Kopplungsverteilungen erweitert, sodass Oberflächen in das System eingebracht werden können. Anschlie- ßend werden zwei Möglichkeiten präsentiert, die Anzahl an Freiheitsgraden systematisch und sukzessiv zu verringern. Bei der ersten Methode wird die aus der Kasteleyn-Fisher-Abbildung stammende Matrix mithil- fe von zwei direkt aufeinander folgenden Schur-Reduktionen in eine schiefsymmetrische und tridiagonale Blockform gebracht. Die Determinante der resultierenden Matrix wird mit der Transfermatrixmethode von Molinari berechnet, wofür im letzten Schritt die Eigenwerte und -vektoren dieser Transfermatrix bestimmt werden müssen. Die zweite Methode führt unter der Annahme von Translationsinvarianz eine Blockdiagonalisierung zur Berechnung der auftretenden Determinanten durch, wodurch sich das restliche Problem mithilfe einer 2 × 2-Transfermatrix lösen lässt. Um die temperaturabhängigen Skalenfunktionen für endliche Seitenverhältnisse zu bestimmen, wird eine anisotrope Skalentheorie für das zweidimensionale Isingmodell entwickelt. Die auftretenden divergenten Summen werden über komplexe Kurvenintegrale und mithilfe einer hyperbolischen Parametrisierung, sowie weiteren Methoden, die hauptsächlich auf der komplexen Funktionentheorie beruhen, regularisiert. Die Skalenfunktionen für den Torus mit allen vier Kombinationen von periodischen und antiperiodischen Randbedingungen bilden den Anfang der Berechnungen, und auf ihnen aufbauend werden anschließend die Skalenfunktionen für den offenen Zylinder mit sowohl periodischen als auch antiperiodischen Rändern, sowie die zugehörigen Oberflächenspannungen bestimmt. Abgeschlossen wird dieser letzte Teil mit der Einführung von Oberflächenfeldern, mit deren Hilfe die Skalenfunktionen für (++)-, (+−)-, und Brascamp-Kunz-Randbedingungen bestimmt werden.
Die vorliegende Arbeit beschaftigt sich mit der Berechnung der Thermodynamik integrabler Quantenketten vom Uimin-Sutherland-Typ mit Hilfe nichtlinearer Integralgleichungen (NLIEs). Es gibt verschiedene Typen derartiger Gleichungen, jedoch erlaubt nur ein Typ die effiziente und hochprazise numerische Losung bei beliebiger Temperatur und allgemeinen chemischen Potentialen.
Die Herleitung basiert auf dem Quanten-Transfermatrix-Zugang, wobei die sich ergebenden Bethe-Ansatz-Gleichungen in einen geschlossenen Satz von lediglich endlich vielen NLIEs transformiert werden. Um dies zu erreichen, mussen geeignete Hilfsfunktionen mit bestimmten Analytizitatseigenschaften gefunden werden.
Die notwendigen Hilfsfunktionen waren zuvor lediglich fur Uimin-Sutherland-Modelle mit zwei bzw. drei Komponenten bekannt. In der vorliegenden Arbeit wird der Zugang auf alle moglichen Falle mit vier Komponenten erweitert, fur die viele weitere Anwendungen, wie z.B. das SU(4) Spin-Orbital-Modell, eine Spin-1/2 Doppelleiter und das Essler-Korepin-Schoutens Modell, bekannt sind.
Verschiedene Grenzfalle der neuen Satze von NLIEs werden betrachtet. Weiterhin wird gezeigt, wie die Hilfsfunktionen zu modifizieren sind, um den exakten Abschlus der NLIEs des TBA-Zugangs auf beliebiger Ebene zu erreichen.
Obwohl kein allgemeines Konstruktionsschema fur die Hilfsfunktionen bekannt ist, kann ein Grosteil der Struktur der endgultigen NLIEs fur die sl(n)- und sl(n|1)-symmetrischen Falle des Uimin-Sutherland-Modells auf Basis der bekannten Ergebnisse abgeleitet werden. Fur den sl(5)- und den sl(4|1)-symmetrischen Fall ist es sogar moglich, fur den kompletten Satz von NLIEs eine fundierte Vermutung abzugeben. Letzterer Fall findet bei der Behandlung des SU(4|1) Spin-Orbital-Modells mit beweglichen Lochern Anwendung.
Abschliesend werden numerische Ergebnisse fur alle betrachteten Modelle geliefert.
Der aktuelle experimentelle Fortschritt bei der Manipulation ultrakalter Atome mit Licht löst gegenwärtig ein großes Interesse an der Physik entarteter Quantengase und der niederenergetischen Streuung weniger Teilchen aus. Insbesondere ist es möglich, nahezu perfekte periodische Potenziale sogenannte optische Gitter, zu generieren. Die Untersuchung des Verhaltens weniger Quantenteilchen in einem eindimensionalen Gitter ist Thema dieser Arbeit. Der Großteil der Ergebnisse ist im Rahmen der tight-binding-Näherung erhalten worden, welche eine exakt numerische oder analytische Behandlung ermöglicht. Für das Zwei-Körper Problem werden theoretische Methoden entwickelt, um stationäre Streuzustände und gebundene Zustände zu berechnen, und diese werden verallgemeinert, um exakte Ergebnisse für beliebige Wechselwirkungen and Teilchenstatistiken zu erhalten. Der Quantentransport von einem und zwei Teilchen wird auch berücksichtigt. Das Problem der Bindung und Streuung dreier identischer Bosonen wird eingehend betrachtet, wobei neuartige Typen von gebundenen Zuständen entdeckt wurden. Schließlich werden andere Gittersysteme studiert, indem Methoden vorgestellt werden, die mit den für das Zwei-Körper Problem entwickelten Methoden eng verwandt sind.
In der vorliegenden Arbeit werden thermodynamische Eigenschaften
und statische Korrelationsfunktionen eindimensionaler Quantensysteme,
die in Beziehung zum Sechs-Vertex-Modell der Statistischen Mechanik
stehen, untersucht.
Im ersten Teil wird eine alternative, auf dem Sechs-Vertex-Modell
beruhende Gitterregularisierung des Sine-Gordon- bzw. des dazu
aquivalenten massiven Thirring-Modells entwickelt. Dieses Verfahren erlaubt
es, Transfermatrizen sowohl mit reeller als auch mit imaginarer Zeit zu
behandeln. Daraus ergibt sich ein alternativer Zugang zur Thermodynamik
mit Hilfe der Quantentransfermatrix, der auch fur die Bestimmung
von Korrelationsfunktionen bei endlichen Temperaturen geeignet ist. Fur
das Gittermodell werden nichtlineare Integralgleichungen zur Berechnung
der freien Energie hergeleitet. Im Kontinuumslimes gehen diese in die
bekannten Gleichungen fur das Sine-Gordon-Modell uber. Des Weiteren wird
fur das Gittermodell eine Vielfachintegraldarstellung fur eine erzeugende
Funktion von Korrelationsfunktionen hergeleitet. Der Kontinuumslimes am
Punkt freier Fermionen fuhrt auf eine Verallgemeinerung einer bekannten
Fredholm-Determinanten-Darstellung auf endliche Temperaturen.
Im zweiten Teil werden temperatur- und magnetfeldabhangige
Korrelationsfunktionen der massiven XXZ-Kette bei kurzen Abstanden
explizit berechnet. Die Rechnungen beruhen auf dem kurzlich entdeckten
Phanomen der Faktorisierung der Korrelationsfunktionen der XXZ-Kette.
Faktorisierung bedeutet, dass alle Korrelationsfunktionen polynomial
von speziellen Ein- und Nachbar-Zweipunktfunktionen eines verallgemeinerten
Modells abhangen. Fur letztere gab es im massiven Bereich des
Phasendiagramms keine numerisch effiziente Formulierung. In der vorliegenden
Arbeit werden die entsprechenden linearen und nichtlinearen
Integralgleichungen hergeleitet und fur den gesamten massiven Bereich
des Phasendiagramms numerisch ausgewertet. Im Grenzfall groser Anisotropie
stellt sich der magnetfeldgetriebene Phasenubergang der klassischen
Isingkette als Tripelpunkt des quantenmechanischen Systems dar. Die
exponentiell hohe Entartung der Isingkette wird durch quantenmechanische
Restwechselwirkungen aufgehoben. In der Arbeit wird die Umgebung des
Tripelpunkts zum einen exakt, zum anderen mit Hilfe entarteter
Storungsrechnung untersucht. Die Betrachtung des effektiven
Hamiltonoperators aus der Storungsrechnung gestattet es, das
Skalenverhalten in der Nahe des Tripelpunkts zu verstehen und damit die
Integralgleichungen im Limes analytisch zu losen. Dies resultiert in
expliziten Ergebnissen fur die Korrelationsfunktionen bei kurzen
Abstanden in der Nahe des Tripelpunkts.