In quantum field theories, Feynman diagrams depict visually the interaction of elementary particles and involve closed loops, corresponding to integration over all possible combinations of energy and momentum of the virtual particles traveling in the space-time continuum, leading often to infinities. To treat these infinities, renormalization of the parameters of the theory is required. Renormalization specifies relationships between parameters in the theory whose values at large length scales are different from those at short length scales. Behind renormalization lies the problem of the proper elimination of degrees of freedom in order to bridge the gap between different length and time scales. Nonequilibrium thermodynamics offers an alternative approach to the problem of the time evolution of an open quantum system through a time-evolution master equation for the density matrix of the system, which includes reversible and irreversible contributions. In particular, irreversibility introduces dissipative smoothing mechanisms for the terms responsible for the infinities, providing the proper regularization of the theory. The objective of the present doctoral dissertation is the implementation of the dissipative quantum field theory (DQFT) developed by Prof. Dr. Hans Christian Öttinger to calculate the perturbative expansions up to third order in the interaction parameter of the two- (propagator) and four-point (effective interaction vertex) correlation functions of the scalar theory with quartic interactions (φ^4 theory) in the limit of zero temperature, as well as to extract the respective Feynman diagrams where (in the context of DQFT) collision events have a well-defined arrow of time. To achieve this, we developed a powerful symbolic code which allowed us to organize and simplify the outcome of the commands performing the calculation of terms contained in each function within a given order so that to lead to a compact final expression, thus rendering the identification of the relevant Feynman diagrams more transparent. The use of symbolic computation was motivated by the fact that the perturbative DQFT in d dimensions (d denotes the number of space dimensions) is considerably more complicated than the usual calculations in D = d + 1 dimensions (D the number of space + time dimensions) of the Lagrangian quantum field theory, generating a huge number of terms with increasing order of perturbation. As expected, the resulting expressions for the propagator and the effective interactive vertex contain terms corresponding to zeroth-, first-, second- and third-order contributions. The terms up to second order have already been reported by Prof. Dr. Hans Christian Öttinger. In this Thesis, we computed the third-order contributions to both of them in terms of connected and unconnected Feynman diagrams and studied their topology. In the limit of vanishing dissipation (zero friction coefficient), the final expressions for the two correlation functions analyzed in this Thesis coincide with those obtained from the Lagrangian quantum field theory. This is achieved by integrating out the time or energy component in the D-dimensional integrals of the Lagrangian approach to obtain the d-dimensional integrals of the dissipative approach. The final expression for the propagator up to third order is regularized with two different schemes, one of them being the so-called “on shell” scheme, thus obtaining fully convergent results in d = 3 dimensions. Even more important, by combining our results for the second- and third-order contributions at the long-time or low-energy limit, we confirm that the value of the critical coupling constant λ* as a function of space dimensionality d is correctly reproduced, which demonstrates the power of the new, dissipative approach to quantum field theory and the correct implementation (in its entirety) of the powerful symbolic code developed in this Thesis. The corresponding dissipative result for the effective interaction vertex is expressed in terms of a parameter describing the level of energy conservation violation. A compact and rather friendly expression is obtained by assuming that the external legs are amputated and the mass is equal to zero, demonstrating the finiteness of the terms appearing in the vertex, in the limit of vanishing friction, which is a great outcome of the dissipative approach followed. Moreover, many striking similarities are pointed out and discussed with the corresponding Lagrangian result at the same order of perturbation.
In quantum field theories, Feynman diagrams depict visually the interaction of elementary particles and involve closed loops, corresponding to integration over all possible combinations of energy and momentum of the virtual particles traveling in the space-time continuum, leading often to infinities. To treat these infinities, renormalization of the parameters of the theory is required. Renormalization specifies relationships between parameters in the theory whose values at large length scales are different from those at short length scales. Behind renormalization lies the problem of the proper elimination of degrees of freedom in order to bridge the gap between different length and time scales. Nonequilibrium thermodynamics offers an alternative approach to the problem of the time evolution of an open quantum system through a time-evolution master equation for the density matrix of the system, which includes reversible and irreversible contributions. In particular, irreversibility introduces dissipative smoothing mechanisms for the terms responsible for the infinities, providing the proper regularization of the theory. The objective of the present doctoral dissertation is the implementation of the dissipative quantum field theory (DQFT) developed by Prof. Dr. Hans Christian Öttinger to calculate the perturbative expansions up to third order in the interaction parameter of the two- (propagator) and four-point (effective interaction vertex) correlation functions of the scalar theory with quartic interactions (φ^4 theory) in the limit of zero temperature, as well as to extract the respective Feynman diagrams where (in the context of DQFT) collision events have a well-defined arrow of time. To achieve this, we developed a powerful symbolic code which allowed us to organize and simplify the outcome of the commands performing the calculation of terms contained in each function within a given order so that to lead to a compact final expression, thus rendering the identification of the relevant Feynman diagrams more transparent. The use of symbolic computation was motivated by the fact that the perturbative DQFT in d dimensions (d denotes the number of space dimensions) is considerably more complicated than the usual calculations in D = d + 1 dimensions (D the number of space + time dimensions) of the Lagrangian quantum field theory, generating a huge number of terms with increasing order of perturbation. As expected, the resulting expressions for the propagator and the effective interactive vertex contain terms corresponding to zeroth-, first-, second- and third-order contributions. The terms up to second order have already been reported by Prof. Dr. Hans Christian Öttinger. In this Thesis, we computed the third-order contributions to both of them in terms of connected and unconnected Feynman diagrams and studied their topology. In the limit of vanishing dissipation (zero friction coefficient), the final expressions for the two correlation functions analyzed in this Thesis coincide with those obtained from the Lagrangian quantum field theory. This is achieved by integrating out the time or energy component in the D-dimensional integrals of the Lagrangian approach to obtain the d-dimensional integrals of the dissipative approach. The final expression for the propagator up to third order is regularized with two different schemes, one of them being the so-called “on shell” scheme, thus obtaining fully convergent results in d = 3 dimensions. Even more important, by combining our results for the second- and third-order contributions at the long-time or low-energy limit, we confirm that the value of the critical coupling constant λ* as a function of space dimensionality d is correctly reproduced, which demonstrates the power of the new, dissipative approach to quantum field theory and the correct implementation (in its entirety) of the powerful symbolic code developed in this Thesis. The corresponding dissipative result for the effective interaction vertex is expressed in terms of a parameter describing the level of energy conservation violation. A compact and rather friendly expression is obtained by assuming that the external legs are amputated and the mass is equal to zero, demonstrating the finiteness of the terms appearing in the vertex, in the limit of vanishing friction, which is a great outcome of the dissipative approach followed. Moreover, many striking similarities are pointed out and discussed with the corresponding Lagrangian result at the same order of perturbation.
Στις κβαντικές θεωρίες πεδίου, τα διαγράμματα Feynman αναπαριστούν εικονικά την αλληλεπίδραση στοιχειωδών σωματιδίων. Στα διαγράμματα αυτά περιλαμβάνονται κλειστοί βρόγχοι που αντιστοιχούν σε ολοκλήρωση πάνω σε όλους τους πιθανούς συνδυασμούς ενέργειας και ορμών των εικονικών σωματιδίων, τα οποία ταξιδεύουν στο χωροχρονικό συνεχές, οδηγώντας συχνά σε απειρισμούς. Για να αντιμετωπιστούν αυτοί οι απειρισμοί, είναι αναγκαία η επανακανονικοποίηση των παραμέτρων της θεωρίας. Η επανακανονικοποίηση καθορίζει τις σχέσεις μεταξύ των παραμέτρων της θεωρίας, των οποίων οι τιμές σε μεγάλες κλίμακες μήκους διαφέρουν από εκείνες σε μικρές κλίμακες. Πίσω από την επανακανονικοποίηση βρίσκεται το πρόβλημα της κατάλληλης εξάλειψης βαθμών ελευθερίας έτσι ώστε να γεφυρωθούν περιγραφές σε διαφορετικές κλίμακες μήκους και χρόνου. Η θερμοδυναμική εκτός ισορροπίας προσφέρει μια εναλλακτική προσέγγιση στο πρόβλημα της χρονικής εξέλιξης ενός ανοιχτού κβαντικού συστήματος μέσω της διατύπωσης μιας χρονομεταβαλλόμενης καταστατικής εξίσωσης για τον πίνακα πυκνότητας πιθανοτήτων (density matrix) του συστήματος, η οποία εμπεριέχει αντιστρεπτές και μη αντιστρεπτές συνεισφορές. Ειδικά οι μη αντιστρεπτές διεργασίες εισάγουν μηχανισμούς αποσβεστικής εξομάλυνσης των όρων που είναι υπεύθυνοι για τους απειρισμούς και έτσι συνεισφέρουν τα μέγιστα στη σωστή συμπεριφορά της θεωρίας.Ο σκοπός της παρούσας διδακτορικής διατριβής είναι η εφαρμογή μιας μοντέρνας προσέγγισης καθοδηγούμενη από αρχές της θερμοδυναμικής εκτός ισορροπίας για κβαντικά συστήματα πάνω σε κβαντικές θεωρίες πεδίου. Πιο συγκεκριμένα, εφαρμόζουμε την αποσβεστική κβαντική θεωρία πεδίου (ΑΚΘΠ - dissipative quantum field theory, DQFT) η οποία αναπτύχθηκε από τον Καθ. Δρ. Hans Christian Öttinger στην απλούστερη δυνατή περίπτωση, αυτή της βαθμωτής φ^4 θεωρίας στην οποία οι αλληλεπιδράσεις εμπλέκουν πάντα τέσσερα βαθμωτά σωματίδια, ώστε να υπολογίσουμε τα διαταρακτικά αναπτύγματα πολυχρονικών συναρτήσεων συσχέτισης (multi-time correlation functions) στο όριο μηδενικής θερμοκρασίας και να εξάγουμε τα σχετικά διαγράμματα Feynman. Στην παρούσα διατριβή, επικεντρωνόμαστε στις συναρτήσεις συσχέτισης δύο σημείων (two-point correlation function) και τεσσάρων σημείων (four-point correlation function), οι οποίες είναι γνωστές ως διαδότης (propagator) και συνάρτηση κορυφής (effective interaction vertex), αντίστοιχα. Για την επίτευξη αυτού, αναπτύξαμε έναν κατάλληλο συμβολικό κώδικα για τον υπολογισμό των δύο αυτών συναρτήσεων έως και όρους τρίτης τάξης ως προς την παράμετρο αλληλεπίδρασης. Οπουδήποτε ήταν εφικτό, μερικοί όροι του διαταρακτικού αναπτύγματος υπολογίστηκαν αναλυτικά ώστε να ελέγξουμε και να επαληθεύσουμε την εγκυρότητα του κώδικα.Έναυσμα για τη χρήση συμβολικών υπολογισμών ήταν το γεγονός ότι οι υπολογισμοί της διαταρακτικής θεωρίας στην ΑΚΘΠ σε d διαστάσεις (d είναι ο αριθμός των χωρικών διαστάσεων) είναι δραματικά πιο περίπλοκοι από τους συνήθεις υπολογισμούς σε D = d + 1 (D είναι ο αριθμός των χωρικών + χρονικών διαστάσεων) της Λαγκρανζιανής κβαντικής θεωρίας πεδίου, δημιουργώντας έναν τεράστιο αριθμό όρων αυξανομένου του βαθμού της διαταραχής. Σε αυτήν τη διατριβή, παρουσιάζουμε αναλυτικά τη δομή του νέου κώδικα και των εντολών που εκτελούν τον υπολογισμό των όρων σε μία δεδομένη τάξη. Επεξηγούμε με ποιον τρόπο το παραγόμενο αποτέλεσμα οργανώνεται και απλοποιείται ώστε να φτάσουμε σε ένα πιο συμπαγές αποτέλεσμα, από το οποίο επιτυγχάνεται πιο καθαρά η ταυτοποίηση των σχετικών Feynman διαγραμμάτων. Όπως ήταν αναμενόμενο, οι απορρέουσες εκφράσεις του διαδότη και της συνάρτησης κορυφής είναι ένα άθροισμα όρων που αντιστοιχούν σε συνεισφορές μηδενικής, πρώτης, δευτέρας και τρίτης τάξης. Οι όροι έως και δευτέρας τάξης έχουν ήδη παρουσιαστεί από τον Καθ. Δρ. Hans Christian Öttinger. Στην παρούσα διατριβή, υπολογίσαμε τη συνεισφορά τρίτης τάξης των δύο συναρτήσεων συσχέτισης η οποία ανάγεται σε όρους συνδεδεμένων (connected) και ασύνδετων (unconnected) διαγραμμάτων Feynman των οποίων η τοπολογία μελετήθηκε. Αναφορικά με τα ασύνδετα διαγράμματα, αυτά δε συνεισφέρουν στο τελικό αποτέλεσμα των δύο συναρτήσεων. Επιπλέον, λόγω χρήσης της κανονικής διάταξης (Wick ή normal ordering) των τελεστών δεν παρατηρούνται διαγράμματα τύπου tadpole.Στο όριο μηδενικής τριβής, τα αποτελέσματα για τις δύο υπό μελέτη συναρτήσεις συσχέτισης (διαδότης και συνάρτηση κορυφής) ταυτίζονται με εκείνα της κλασσικής Λαγκρανζιανής προσέγγισης. Αυτό επιτυγχάνεται ολοκληρώνοντας τα D-διάστατα ολοκληρώματα της Λαγκρανζιανής προσέγγισης ως προς τη διάσταση του χρόνου ή της ενέργειας, καταλήγοντας σε d-διάστατα ολοκληρώματα της αποσβεστικής προσέγγισης.Η τελική έκφραση του διαδότη έως και τρίτης τάξης επανακανονικοποιείται με δύο μεθόδους, μία εκ των οποίων είναι η λεγόμενη ‘on shell’, καταλήγοντας έτσι σε αποτελέσματα που δεν εμφανίζουν απειρισμούς σε d = 3 διαστάσεις. Ένα πολύ σημαντικό αποτέλεσμα είναι ότι από τον συνδυασμό όρων δευτέρας και τρίτης τάξης στον διαδότη, στο όριο των μεγάλων χρόνων, η θεωρία επαληθεύει την τιμή της κρίσιμης σταθεράς σύζευξης λ* συναρτήσει του αριθμού των χωρικών διαστάσεων d, γεγονός που επιδεικνύει τη δύναμη της νέας αποσβεστικής προσέγγισης αλλά και των νέων υπολογιστικών εργαλείων που αναπτύχθηκαν στα πλαίσια της παρούσας διατριβής.Αναφορικά με τη συνάρτηση κορυφής, το αντίστοιχο αποσβεστικό αποτέλεσμα εκφράζεται σε όρους μια παραμέτρου η οποία περιγράφει το βαθμό παραβίασης της διατήρησης ενέργειας. Αμελώντας την ορμή των εισερχόμενων και εξερχόμενων σωματιδίων και θεωρώντας ότι η μάζα των εικονικών σωματιδίων είναι μηδενική, καταλήγουμε σε μια συμπαγή και αρκετά φιλική έκφραση, από την οποία φαίνεται ότι οι όροι της συνάρτησης κορυφής δεν εμφανίζουν απειρισμούς στο όριο μηδενικής τριβής, γεγονός που είναι πολύ σημαντικό για την αποσβεστική θεωρία που εφαρμόστηκε. Επιπλέον, παρατηρούνται αρκετές εντυπωσιακές ομοιότητες με το αντίστοιχο αποτέλεσμα της Λαγκρανζιανής προσέγγισης στην ίδια τάξη της διαταραχής, οι οποίες συζητούνται εκτενώς.Γενικά, τα γεγονότα αλληλεπίδρασης που απεικονίζονται στα διαγράμματα Feynman της ΑΚΘΠ έχουν μια σαφώς καθορισμένη χρονική αλληλουχία, χαρακτηριστικό το οποίο είναι αρκετά ενδιαφέρον. Επίσης, παρά την πολυπλοκότητα των ενδιάμεσων πράξεων, η χρήση του συμβολικού κώδικα μαζί με την εφαρμογή ορισμένων καλά μελετημένων απλοποιήσεων και της αναδιοργάνωσης κάθε όρου ξεχωριστά οδηγεί σε ένα τελικό αποτέλεσμα το οποίο είναι αρκετά φιλικό και άμεσα συγκρινόμενο με το αντίστοιχο αποτέλεσμα της Λαγκρανζιανής προσέγγισης. Το γεγονός αυτό επιδεικνύει τη δύναμη του συμβολικού προγραμματισμού στο να χειρίζεται πολυχρονικές συναρτήσεις συσχέτισης στα πλαίσια της ΑΚΘΠ. Εν τούτοις, η δομή του συμβολικού κώδικα που αναπτύχθηκε στη παρούσα διατριβή είναι γενική έτσι ώστε να είναι εφικτός ο υπολογισμός επιπρόσθετων όρων του αναπτύγματος των δύο συναρτήσεων συσχέτισης που μελετήθηκαν, όπως επίσης και η επέκτασή του σε άλλες θεωρίες έπειτα από την κατάλληλη τροποποίησή του.
This thesis is a contribution to the debate on (a) fully understanding and describing the communication between remote systems through quantum fields, and (b) constructing a theoretical model for accurately describing the information transmission, which does not lead to a violation of causality. To this end, we studied the system of two localized detectors (oscillators) interacting through a mass-less scalar quantum field in a vacuum state via an Unruh-DeWitt coupling. This system admits an exact solution is providing a good model for addressing fundamental issues in particle-field interactions, causality, and locality in quantum field measurements that are relevant to proposed quantum experiments in space. Our analysis of the exact solution led to the following results. (i) Common approximations used in the study of analogous open quantum systems fail when the distance between the detectors becomes of the order of the relaxation time. In particular, the creation of correlations between remote detectors is not well described by ordinary perturbation theory and the Markov approximation. (ii) There is a unique asymptotic state that is correlated; it is not entangled unless the detector separation is of the order of magnitude of the wavelength of the exchanged quanta. (iii) The evolution of seemingly localized observables is non-causal. The latter is a manifestation of Fermi’s two-atom problem, albeit in an exactly solvable system. We argue that the problem of causality requires a re-examination of the notion of entanglement in relativistic systems, in particular, the physical relevance of its extraction from the quantum vacuum.
Ο φορμαλισμός των ολοκληρωμάτων διαδρομής του Feynman είναι ένα από τα ισχυρότερα εργαλεία για την κατανόηση των ιδιοτήτων κβαντικών συστημάτων μέσω κλασικών υπολογισμών. Όντας κατάλληλη για ημικλασσικές προσεγγίσεις, η θεωρία των ολοκληρωμάτων διαδρομής προσφέρει μία μεγάλη πληθώρα αναλυτικών μεθόδων για την μελέτη της δυναμικής κβαντικών συσχετισμών, σε κλειστά και ανοικτά κβαντικά συστήματα. Η επέκταση των ολοκληρωμάτων αυτών στο μιγαδικό επίπεδο C, μέσω των Glauber συνοχικών καταστάσεων, στο μιγαδικό μη-επίπεδο πολύπτυγμα C ̅ μέσω των su(2) συνοχικών καταστάσεων, και σε φερμιονικά συστήματα, μέσω των φερμιονικών συνοχικών καταστάσεων, επέτρεψε την εφαρμογή των μεθόδων ολοκληρωμάτων διαδρομής στη μελέτη συστημάτων πολλών σωμάτων. Τα συστήματα αυτά είναι μείζονος σημασίας τόσο για τη Φυσική Στερεάς Κατάστασης όσο και για την επιστήμη Κβαντικής Πληροφόριας, καθώς επιτρέπουν την ύπαρξη εναγγαλισμένων καταστάσεων. Οι συσχετισμοί τέτοιων καταστάσεων έχουν καθαρά κβαντικό χαρακτήρα, καθώς δεν έχουν κλασικό ανάλογο, και μπορούν να χρησιμοποιηθούν τόσο για την κατανόηση κβαντικών αλλαγών φάσης όσο και ως το βασικό εργαλείο για την επεξεργασία κβαντικής πληροφορίας. Τα τελευταία χρόνια έχει υπάρξει σημαντική πρόοδος στη μελέτη των στατικών ιδιοτήτων και της δυναμικής κλειστών συστημάτων πολλών σωμάτων, σε πειραματικό αλλά και θεωρητικό επίπεδο. Παρά αυτής της προόδου, η χρήση τεχνικών ολοκληρωμάτων διαδρομής στις αντίστοιχες αναλύσεις είναι σχετικά περιορισμένη. Ο κύριος λόγος για τον οποίο συμβαίνει αυτό είναι ότι, προς το παρόν, δεν υπάρχει κοινά αποδεκτός τρόπος για τον ορισμό της συναρτησιακής ολοκλήρωσης σε μιγαδικούς χώρους οι οποίοι καλύπτονται από συνοχικές καταστάσεις, για γενικά συστήματα που εκφράζονται από μποζονικούς, σπιν ή φερμιονικούς τελεστές. Απουσία εννοιολογικών και δομικών προβλημάτων, τα ολοκληρώματα διαδρομής συνοχικών καταστάσεων μπορούν να προσφέρουν ποικιλία τεχνικών, αναλυτικών και αριθμητικών, για την ανάλυση κλειστών και ανοικτών συστημάτων. Στην παρούσα διατριβή γίνεται ένα βήμα προς αυτήν την κατεύθυνση, καθώς ο κύριος στόχος είναι η κατασκευή μίας σειράς από μαθηματικά συνεπείς μεθόδους κατασκευής τέτοιων ολοκληρωμάτων για τη μελέτη μποζονικών, σπιν και φερμιονικών συστημάτων. Επιπροσθέτως, οι μέθοδοι αυτές γενικέυονται για τη μελέτη οδηγούμενων, αλλά και ανοικτών κβαντικών συστημάτων. Οι τεχνικές που θα χρησιμοποιηθούν για να επιτευχθεί αυτό διαφέρουν σημαντικά για τις περιπτώσεις μποζονικών/σπιν και φερμιονικών συνοχικών καταστάσεων. Στις πρώτες δύο περιπτώσεις, μια συλλογή από μαθηματικά εργαλεία προερχόμενα από τον τομέα της γεωμετρικής κβάντωσης θα είναι απαραίτητα, καθώς τα ολοκληρώματα διαδρομής μποζονικών και σπιν συνοχικών καταστάσεων μπορούν να ερμηνευτούν ως ολοκληρώματα διαδρομής φασικού χώρου πάνω σε Kahler πολυπτύγματα. Παρόλο που η θεωρία της κβάντωσης πάνω σε συμπλεκτικά πολυπτύγματα είναι ένα πολύ μαθηματικά εκτεταμμένο θέμα, γίνεται προφανές ότι η χρήση συγκεκριμμένων αποτελεσμάτων, όχι μόνο επιτρέπει τη λύση των προβλημάτων που αντιμετωπίζουν τα ολοκληρώματα διαδρομής συνοχικών καταστάσεων με μποζονικές μεταβλητές, αλλά και προσφέρει σαφήνεια σε διφορούμενα θέματα προερχόμενα από τον τομέα της Kahler κβάντωσης. Πιο συγκεκριμένα, η προτεινόμενη μεθοδολογία επιτρέπει την πρώτη μαθηματικά αυστηρή απάντηση στο ερώτημα σχετικά με την αναγκαιότητα της μεταπλεκτικής διόρθωσης. Αυτό επιτυγχάνεται με τη κατασκευή μίας απεικόνισης που απο-κβαντώνει κβαντικούς τελεστές, προσφέροντας τις κατάλληλες κλασικές Χαμιλτονιανές συναρτήσεις, για χρήση στην αντίστοιχη ολοκλήρωση διαδρομής. Η προαναφερθείσα απο-κβάντωση επιτυγχάνεται για τους γεννήτορες της άλγεβρας τόσο μποζονικών όσο και σπιν συστημάτων, μέσω της αντιστροφής της διαδικασίας της γεωμετρικής κβάντωσης. Καθώς η υπόθεση οι κυματοσυναρτήσεις να περιέχουν ή όχι διορθώσεις ημι-μορφών, επηρεάζει με μη τετριμμένο τρόπο την αντιστοιχία αυτή τελεστών-συναρτήσεων, τα Χαμιλτονιανά σύμβολα που προκύπτουν οδηγούν στο συμπέρασμα ότι η σωστή ερμηνεία του συνεχούς ορίου χρειάζεται απαραίτητα την μεταπλεκτική διόρθωση. Με αυτόν τον τρόπο, ως τελικό αποτέλεσμα προσφέρεται μία πολύ απλή απεικόνιση που υπό συγκεκριμένες αλλά καλώς τεκμηρειωμένες φυσικές συνθήκες προσφέρει το σωστό συνεχές όριο για κβαντικά συστήματα που εκφράζονται από τελεστές πρώτης τάξης ως προς τους γεννήτορες των αλγεβρών. Καθώς τα αποτελέσματα αυτά οδηγούν σε καλώς ορισμένα συναρτησιακά ολοκληρώματα, που επιδέχονται αλγεβρική επεξεργασία, είναι δυνατό να χρησιμοποιηθούν για την κατανόηση ανώτερων τάξεων και πολυωνύμων τελεστών, καθώς και για την μελέτη αλληλεπιδράσεων. Η μελέτη τέτοιων περιπτώσεων γίνεται για συγκεκριμένες κλασεις τελεστών, ενώ προτείνονται πιθανοί τρόποι επέκτασης των αποτελεσμάτων. Η περίπτωση φερμιονικών ολοκληρωμάτων διαδρομής συνοχικών καταστάσεων δεν είναι δυνατό να μελετηθεί με τέτοιο τρόπο όμως, καθώς τα φερμιόνια δεν επιδέχονται τέτοιο τύπου συμπλεκτική δομή, με αποτέλεσμα να είναι απαραίτητη η χρήση μίας ριζικά διαφορετικής διαδικασίας. Η κατασκευή μίας τέτοιας διαδικασίας είναι δυνατή με της χρήση κάποιων πρόσφατων αποτελεσμάτων σχετικά με την συνεπή κβάντωση ολοκληρωμάτων διαδρομής Majorana φερμιονικών συστημάτων. Μέσω αυτών των αποτελεσμάτων προτείνεται μία μέθοδος, η οποία οδηγεί σε καλώς ορισμένες δράσεις, κατάλληλες για χρήση σε ολοκληρώματα διαδρομής μιγαδικών φερμιονίων, τα οποία ταυτίζονται με τα ολοκληρώματα διαδρομής φερμιονικών συνοχικών καταστάσεων. Η κατασκευή αυτή στη συνέχεια χρησιμοποιείται για τη μελέτη του μονοδιάστατου XY μοντέλου αλυσίδας σπιν, επιτρέποντας τον πολύ απλό υπολογισμό μίας σειράς γνωστών και μη τετριμμένων αποτελεσμάτων για συναρτήσεις συσχετισμού, που δρουν ως έλεγχος σχετικά με την εγκυρότητα της μεθόδου. Κατά την προαναφερθείσα μελέτη, το πρόβλημα αναγνώρισης του σωστού συνεχούς ορίου αναγνωρίστηκε και επιλύθηκε ακόμα και για την περίπτωση συναρτήσεων συσχετισμού, καθώς αποδείχθηκε ότι η αναγνώριση των κατάλληλων συναρτησιακών παραγωγίσεων της γεννήτριας συνάρτησης δεν είναι πάντα η τετριμμένη. Με την καλώς ορισμένη αυτή μέθοδο στη συνέχεια αναπτύχθηκε μία γενικευμένη μέθοδος για τη μελέτη γενικών φερμιονικών και σπιν-1/2 συστημάτων, με ή και χωρίς χρονοεξαρτώμενους συντελεστές. Για την τελευταία περίπτωση, η προαναφερθείσα μέθοδος αναπτύχθηκε στα πλαίσια της θεωρίας δυναμικής εκτός ισορροπίας, όπου κατασκευάστηκε το κατάλληλο ολοκλήρωμα διαδρομής ως προς την Schwinger-Keldysh χρονική διαδρομή. Η μελέτη αυτή οδήγησε σε σημαντικά αποτελέσματα σχετικά με τη συμπεριφορά του συστήματος της μονοδιάστατης ΧΥ αλυσίδας καθώς διέρχεται από το κρίσιμο σημείο, ενώ επιβεβαιώθηκε ο Kibble-Zurek μηχανισμός. Και οι δύο προτεινόμενες λύσεις διαφέρουν από τις υπάρχουσες, καθώς οι γνωστές μέθοδοι είτε εξαρτώνται από τη διακριτή δομή είτε είναι υπερβολικά έμμεσες. Οι μέθοδοι αυτές στη συνέχεια εφαρμόζονται για την μελέτη ανοικτών μποζονικών και φερμιονικών κβαντικών συστημάτων μέσω ολοκληρωμάτων διαδρομής συνοχικών καταστάσεων. Στα πλαίσια αυτής της μελέτης προτείνεται ένα συστηματικός και συνεπής τρόπος για την κατασκευή τέτοιων ολοκληρωμάτων παρουσία σύνθετων συστημάτων, ενώ έμφαση δίνεται στη μελέτη συστημάτων εμβαπτισμένων σε κβαντικό θερμικό λουτρό. Η δομές που κατασκευάζονται εφαρμόζονται στο όριο της Μαρκοβιανής προσέγγισης, η οποία επιτρέπει την πιο άμεση κατανόηση της φυσικής της μεθόδου, ενώ ως παράδειγμα παρουσιάζεται η μελέτη της χρονικής εξέλιξης συναρτήσεων συσχετισμού για τα συστήματα του μποζονικού και του φερμιονικού απλού αρμονικού ταλαντωτή, οδηγώντας σε πλήρη αντιστοιχία με τα γνωστά αποτελέσματα.
Η παρούσα eργασία eπικeντρώνeται στην πeριγραφή των κβαντικών συστημάτων τριών καταστάσeων μέσω eξισώσeων master για την μήτρα πυκνότητας πιθανότητάς τους (density matrix), συμπeριλαμβάνοντας μία πρόσφατα προτeινόμeνη μη-γραμμική θeρμοδυναμική eξίσωση. Το πρώτο μέρος eστιάζeι σe ένα σύστημα τριών καταστάσeων το οποίο βρίσκeται σe αλληλeπίδραση μe δύο λουτρά θeρμότητας, ένα θeρμό και ένα ψυχρό. Eξeτάζeται ο ρυθμός ροής θeρμότητας από το θeρμό προς το ψυχρό λουτρό μέσω του κβαντικού συστήματος, και μe ποιον τρόπο eπιτυγχάνeται η μόνιμη κατάσταση. Eπιπλέον υπολογισμοί αναφέρονται στον ρυθμό παραγωγής της eντροπίας και στην eξέλιξη όλων των στοιχeίων της μήτρας πυκνότητας πιθανότητας από μία τυχαία αρχική κατάσταση προς την ισορροπία ή τη μόνιμη κατάσταση. Τα αποτeλέσματα παρουσιάζονται συγκριτικά μe eκeίνα μιας γραμμικής, τύπου Lindblad master eξίσωσης, κατάλληλα σχeδιασμένης ώστe στην eιδική πeρίπτωση eνός κβαντικού συστήματος σe αλληλeπίδραση μe ένα λουτρό θeρμότητας eπιτυγχάνeται η ίδια τeλική μόνιμη κατάσταση Gibbs.
Στο δeύτeρο μέρος, eστιάζουμe στην ηλeκτρομαγνητικά eπαγόμeνη διαφάνeια (electromagnetically induced transparency (EIT)), ένα φαινόμeνο το οποίο τυπικά eίναι eφικτό μόνο σe άτομα μe eιδικές eνeργeιακές δομές. Για ένα σύστημα τριών καταστάσeων (στο οποίο eπικeντρώνeται η παρούσα eργασία), για παράδeιγμα, το EΙΤ απαιτeί δύο διπολικά eπιτρeπτές μeταβάσeις (την 1-3 και την 2-3) και μία απαγορeυμένη (την 1-2). Το φαινόμeνο παρατηρeίται όταν ένα ισχυρό laser (το αποκαλούμeνο ως control laser) συντονίζeται στη συχνότητα των δύο άνω eνeργeιακών σταθμών. Τότe, καθώς ένα ασθeνές probe laser ανιχνeύeται μe συχνότητα όμοια μe της άλλης eπιτρeπόμeνης μeτάβασης, το μέσο παρατηρeίται να eμφανίζeι τα eξής: α) διαφάνeια στο σημeίο μέγιστης απορρόφησης απουσία του control πeδίου, και β) έντονα φαινόμeνα διασποράς στον ατομικό συντονισμό. Θα συζητήσουμe τη Χαμιλτονιανή που πeριγράφeι το φαινόμeνο και θα παρουσιάσουμe αποτeλέσματα από δύο eξισώσeις master: α) μία eμπeιρική τροποποιημένη Von-Neumann eξίσωση eπιτρέποντας τις απώλeιeς από κάθe eνeργeιακή κατάσταση, και β) μία τυπική Lindblad eξίσωση, μe χρόνο-eξαρτώμeνους τeλeστές. Στην πρώτη πeρίπτωση, eίναι πιθανή η eύρeση μιας αναλυτικής λύσης, η οποία έχeι eπιβeβαιωθeί μέσω μιας άμeσης (direct) λύσης της πλήρους eξίσωσης master. Στη δeύτeρη πeρίπτωση, μπορούν να ληφθούν μόνο αριθμητικά αποτeλέσματα. Παρουσιάζονται και συγκρίνονται τα αποτeλέσματα που eλήφθησαν από τις δύο master eξισώσeις και αφορούν την eπιδeκτικότητα (susceptibility) του συστήματος σe σχέση μe το probe πeδίο, και τέλος συζητιούνται σe σχέση μe διαθέσιμα πeιραματικά δeδομένα γι’ αυτό το πολύ σημαντικό φαινόμeνο.
This is the first of a series of papers which describe the functional-integral approach to the study of the statistical and kinetic properties of nonequilibrium quantum fields in flat and curved spacetimes. In this paper we treat a system of self-interacting bosons described by \ensuremath{\lambda}${\ensuremath{\varphi}}^{4}$ scalar fields in flat space. We adopt the closed-time-path (CTP or ``in-in'') functional formalism and use a two-particle irreducible (2PI) representation for the effective action. These formalisms allow for a full account of the dynamics of quantum fields, and put the correlation functions on an equal footing with the mean fields. By assuming a thermal distribution we recover the real-time finite-temperature theory as a special case. By requiring the CTP effective action to be stationary with respect to variations of the correlation functions we obtain an infinite set of coupled equations which is the quantum-field-theoretical generalization of the Bogoliubov-Born-Green-Kirkwood-Yvon (BBGKY) hierarchy. Truncation of this series leads to dissipative characteristics in the subsystem. In this context we discuss the nature of dissipation in interacting quantum fields.To one-loop order in a perturbative expansion of the CTP effective action, the 2PI formalism yields results equivalent to the leading 1/N expansion for an O(N)-symmetric scalar field. To higher-loop order we introduce a two-time approximation to separate the quantum-field effects of radiative correction and renormalization from the statistical-kinetic effects of collisions and relaxation. In the weak-coupling quasiuniform limit, the system of nonequilibrium quantum fields can subscribe to a kinetic theory description wherein the propagators are represented in terms of relativistic Wigner distribution functions. From a two-loop calculation we derive the Boltzmann equation for the distribution function and the gap equation for the effective mass of the quasiparticles. One can define an entropy function for the quantum gas of quasiparticles which satisfies the H theorem. We also calculate the limits to the validity of the binary collision approximation from a three-loop analysis. The theoretical framework established here can be generalized to nonconstant background fields and for curved spacetimes.