Calculation of multi-time correlation functions in dissipative quantum φ4 theory

Abstract

Στις κβαντικές θεωρίες πεδίου, τα διαγράμματα Feynman αναπαριστούν εικονικά την αλληλεπίδραση στοιχειωδών σωματιδίων. Στα διαγράμματα αυτά περιλαμβάνονται κλειστοί βρόγχοι που αντιστοιχούν σε ολοκλήρωση πάνω σε όλους τους πιθανούς συνδυασμούς ενέργειας και ορμών των εικονικών σωματιδίων, τα οποία ταξιδεύουν στο χωροχρονικό συνεχές, οδηγώντας συχνά σε απειρισμούς. Για να αντιμετωπιστούν αυτοί οι απειρισμοί, είναι αναγκαία η επανακανονικοποίηση των παραμέτρων της θεωρίας. Η επανακανονικοποίηση καθορίζει τις σχέσεις μεταξύ των παραμέτρων της θεωρίας, των οποίων οι τιμές σε μεγάλες κλίμακες μήκους διαφέρουν από εκείνες σε μικρές κλίμακες. Πίσω από την επανακανονικοποίηση βρίσκεται το πρόβλημα της κατάλληλης εξάλειψης βαθμών ελευθερίας έτσι ώστε να γεφυρωθούν περιγραφές σε διαφορετικές κλίμακες μήκους και χρόνου. Η θερμοδυναμική εκτός ισορροπίας προσφέρει μια εναλλακτική προσέγγιση στο πρόβλημα της χρονικής εξέλιξης ενός ανοιχτού κβαντικού συστήματος μέσω της διατύπωσης μιας χρονομεταβαλλόμενης καταστατικής εξίσωσης για τον πίνακα πυκνότητας πιθανοτήτων (density matrix) του συστήματος, η οποία εμπεριέχει αντιστρεπτές και μη αντιστρεπτές συνεισφορές. Ειδικά οι μη αντιστρεπτές διεργασίες εισάγουν μηχανισμούς αποσβεστικής εξομάλυνσης των όρων που είναι υπεύθυνοι για τους απειρισμούς και έτσι συνεισφέρουν τα μέγιστα στη σωστή συμπεριφορά της θεωρίας.Ο σκοπός της παρούσας διδακτορικής διατριβής είναι η εφαρμογή μιας μοντέρνας προσέγγισης καθοδηγούμενη από αρχές της θερμοδυναμικής εκτός ισορροπίας για κβαντικά συστήματα πάνω σε κβαντικές θεωρίες πεδίου. Πιο συγκεκριμένα, εφαρμόζουμε την αποσβεστική κβαντική θεωρία πεδίου (ΑΚΘΠ - dissipative quantum field theory, DQFT) η οποία αναπτύχθηκε από τον Καθ. Δρ. Hans Christian Öttinger στην απλούστερη δυνατή περίπτωση, αυτή της βαθμωτής φ^4 θεωρίας στην οποία οι αλληλεπιδράσεις εμπλέκουν πάντα τέσσερα βαθμωτά σωματίδια, ώστε να υπολογίσουμε τα διαταρακτικά αναπτύγματα πολυχρονικών συναρτήσεων συσχέτισης (multi-time correlation functions) στο όριο μηδενικής θερμοκρασίας και να εξάγουμε τα σχετικά διαγράμματα Feynman. Στην παρούσα διατριβή, επικεντρωνόμαστε στις συναρτήσεις συσχέτισης δύο σημείων (two-point correlation function) και τεσσάρων σημείων (four-point correlation function), οι οποίες είναι γνωστές ως διαδότης (propagator) και συνάρτηση κορυφής (effective interaction vertex), αντίστοιχα. Για την επίτευξη αυτού, αναπτύξαμε έναν κατάλληλο συμβολικό κώδικα για τον υπολογισμό των δύο αυτών συναρτήσεων έως και όρους τρίτης τάξης ως προς την παράμετρο αλληλεπίδρασης. Οπουδήποτε ήταν εφικτό, μερικοί όροι του διαταρακτικού αναπτύγματος υπολογίστηκαν αναλυτικά ώστε να ελέγξουμε και να επαληθεύσουμε την εγκυρότητα του κώδικα.Έναυσμα για τη χρήση συμβολικών υπολογισμών ήταν το γεγονός ότι οι υπολογισμοί της διαταρακτικής θεωρίας στην ΑΚΘΠ σε d διαστάσεις (d είναι ο αριθμός των χωρικών διαστάσεων) είναι δραματικά πιο περίπλοκοι από τους συνήθεις υπολογισμούς σε D = d + 1 (D είναι ο αριθμός των χωρικών + χρονικών διαστάσεων) της Λαγκρανζιανής κβαντικής θεωρίας πεδίου, δημιουργώντας έναν τεράστιο αριθμό όρων αυξανομένου του βαθμού της διαταραχής. Σε αυτήν τη διατριβή, παρουσιάζουμε αναλυτικά τη δομή του νέου κώδικα και των εντολών που εκτελούν τον υπολογισμό των όρων σε μία δεδομένη τάξη. Επεξηγούμε με ποιον τρόπο το παραγόμενο αποτέλεσμα οργανώνεται και απλοποιείται ώστε να φτάσουμε σε ένα πιο συμπαγές αποτέλεσμα, από το οποίο επιτυγχάνεται πιο καθαρά η ταυτοποίηση των σχετικών Feynman διαγραμμάτων. Όπως ήταν αναμενόμενο, οι απορρέουσες εκφράσεις του διαδότη και της συνάρτησης κορυφής είναι ένα άθροισμα όρων που αντιστοιχούν σε συνεισφορές μηδενικής, πρώτης, δευτέρας και τρίτης τάξης. Οι όροι έως και δευτέρας τάξης έχουν ήδη παρουσιαστεί από τον Καθ. Δρ. Hans Christian Öttinger. Στην παρούσα διατριβή, υπολογίσαμε τη συνεισφορά τρίτης τάξης των δύο συναρτήσεων συσχέτισης η οποία ανάγεται σε όρους συνδεδεμένων (connected) και ασύνδετων (unconnected) διαγραμμάτων Feynman των οποίων η τοπολογία μελετήθηκε. Αναφορικά με τα ασύνδετα διαγράμματα, αυτά δε συνεισφέρουν στο τελικό αποτέλεσμα των δύο συναρτήσεων. Επιπλέον, λόγω χρήσης της κανονικής διάταξης (Wick ή normal ordering) των τελεστών δεν παρατηρούνται διαγράμματα τύπου tadpole.Στο όριο μηδενικής τριβής, τα αποτελέσματα για τις δύο υπό μελέτη συναρτήσεις συσχέτισης (διαδότης και συνάρτηση κορυφής) ταυτίζονται με εκείνα της κλασσικής Λαγκρανζιανής προσέγγισης. Αυτό επιτυγχάνεται ολοκληρώνοντας τα D-διάστατα ολοκληρώματα της Λαγκρανζιανής προσέγγισης ως προς τη διάσταση του χρόνου ή της ενέργειας, καταλήγοντας σε d-διάστατα ολοκληρώματα της αποσβεστικής προσέγγισης.Η τελική έκφραση του διαδότη έως και τρίτης τάξης επανακανονικοποιείται με δύο μεθόδους, μία εκ των οποίων είναι η λεγόμενη ‘on shell’, καταλήγοντας έτσι σε αποτελέσματα που δεν εμφανίζουν απειρισμούς σε d = 3 διαστάσεις. Ένα πολύ σημαντικό αποτέλεσμα είναι ότι από τον συνδυασμό όρων δευτέρας και τρίτης τάξης στον διαδότη, στο όριο των μεγάλων χρόνων, η θεωρία επαληθεύει την τιμή της κρίσιμης σταθεράς σύζευξης λ* συναρτήσει του αριθμού των χωρικών διαστάσεων d, γεγονός που επιδεικνύει τη δύναμη της νέας αποσβεστικής προσέγγισης αλλά και των νέων υπολογιστικών εργαλείων που αναπτύχθηκαν στα πλαίσια της παρούσας διατριβής.Αναφορικά με τη συνάρτηση κορυφής, το αντίστοιχο αποσβεστικό αποτέλεσμα εκφράζεται σε όρους μια παραμέτρου η οποία περιγράφει το βαθμό παραβίασης της διατήρησης ενέργειας. Αμελώντας την ορμή των εισερχόμενων και εξερχόμενων σωματιδίων και θεωρώντας ότι η μάζα των εικονικών σωματιδίων είναι μηδενική, καταλήγουμε σε μια συμπαγή και αρκετά φιλική έκφραση, από την οποία φαίνεται ότι οι όροι της συνάρτησης κορυφής δεν εμφανίζουν απειρισμούς στο όριο μηδενικής τριβής, γεγονός που είναι πολύ σημαντικό για την αποσβεστική θεωρία που εφαρμόστηκε. Επιπλέον, παρατηρούνται αρκετές εντυπωσιακές ομοιότητες με το αντίστοιχο αποτέλεσμα της Λαγκρανζιανής προσέγγισης στην ίδια τάξη της διαταραχής, οι οποίες συζητούνται εκτενώς.Γενικά, τα γεγονότα αλληλεπίδρασης που απεικονίζονται στα διαγράμματα Feynman της ΑΚΘΠ έχουν μια σαφώς καθορισμένη χρονική αλληλουχία, χαρακτηριστικό το οποίο είναι αρκετά ενδιαφέρον. Επίσης, παρά την πολυπλοκότητα των ενδιάμεσων πράξεων, η χρήση του συμβολικού κώδικα μαζί με την εφαρμογή ορισμένων καλά μελετημένων απλοποιήσεων και της αναδιοργάνωσης κάθε όρου ξεχωριστά οδηγεί σε ένα τελικό αποτέλεσμα το οποίο είναι αρκετά φιλικό και άμεσα συγκρινόμενο με το αντίστοιχο αποτέλεσμα της Λαγκρανζιανής προσέγγισης. Το γεγονός αυτό επιδεικνύει τη δύναμη του συμβολικού προγραμματισμού στο να χειρίζεται πολυχρονικές συναρτήσεις συσχέτισης στα πλαίσια της ΑΚΘΠ. Εν τούτοις, η δομή του συμβολικού κώδικα που αναπτύχθηκε στη παρούσα διατριβή είναι γενική έτσι ώστε να είναι εφικτός ο υπολογισμός επιπρόσθετων όρων του αναπτύγματος των δύο συναρτήσεων συσχέτισης που μελετήθηκαν, όπως επίσης και η επέκτασή του σε άλλες θεωρίες έπειτα από την κατάλληλη τροποποίησή του.