Harmonic oscillator is a part of quantum mechanics which is commonly used as an approximation model to solve cases in physics that are considered complicated. The harmonic oscillator has a function as an energy source, namely as a description of anatomic particles. This research focuses on solving the Schrödinger equation for particles under the influence of a harmonic oscillator potential. This study aims to visualize the wave function and particle probability under the influence of a harmonic oscillator potential. The wave function is obtained by solving the Schrödinger equation. The Schrödinger equation can be solved using a second order differential equation that satisfies the solution of the hermite polynomial. The nature of the first hermite polynomial is the relationship between polynomials that have adjacent orders, the second is the derivative of hermite polynomials and the third is the orthogonality of hermite polynomials. The solution to the Schrödinger equation is in the form of a wave function which is then developed to determine the probability of particles in a harmonic oscillator which is then visualized using Matlab programming. The wave function and particle probability visualization is obtained by plotting the wave function and probability using Matlab programming. Osilator harmonik menjadi salah satu bagian dari mekanika kuantum yang biasa digunakan sebagai model pendekatan untuk menyelesaikan kasus-kasus dalam fisika yang dianggap rumit. Osilator harmonik memiliki fungsi dalam sumber energi yaitu sebagai pendeskripsi partikel anatomik. Penelitian ini memfokuskan bahasan mengenai penyelesaian persamaan Schrödinger untuk partikel dibawah pengaruh potensial osilator harmonik. Penelitian ini bertujuan memvisualisasikan fungsi gelombang dan probabilitas partikel dalam pengaruh potensial osilator harmonik. Fungsi gelombang diperoleh dengan penyelesaian persamaan Schrödinger. Persamaan Schrödinger tersebut dapat diselesaikan menggunakan penyelesaian persamaan diferensial orde 2 yang memenuhi solusi polinomial hermitte. Sifat dari polinom hermitte yang pertama adalah hubungan antar polinom yang memiliki orde berdekatan, kedua adalah derivatif polinom hermitte dan ketiga adalah keortogonalan polinom hermitte. Penyelesaian persamaan Schrödinger tersebut berupa fungsi gelombang yang kemudian dikembangkan untuk mengetahui probabilitas pada partikel dalam osilator harmonik yang kemudian dilakukan visualisasi menggunakan pemrograman Matlab. Visualisasi fungsi gelombang dan probabilitas partikel diperoleh dengan melakukan ploting terhadap fungsi gelombang dan probabilitas menggunakan pemrograman Matlab.
Harmonic oscillator is a part of quantum mechanics which is commonly used as an approximation model to solve cases in physics that are considered complicated. The harmonic oscillator has a function as an energy source, namely as a description of anatomic particles. This research focuses on solving the Schrödinger equation for particles under the influence of a harmonic oscillator potential. This study aims to visualize the wave function and particle probability under the influence of a harmonic oscillator potential. The wave function is obtained by solving the Schrödinger equation. The Schrödinger equation can be solved using a second order differential equation that satisfies the solution of the hermite polynomial. The nature of the first hermite polynomial is the relationship between polynomials that have adjacent orders, the second is the derivative of hermite polynomials and the third is the orthogonality of hermite polynomials. The solution to the Schrödinger equation is in the form of a wave function which is then developed to determine the probability of particles in a harmonic oscillator which is then visualized using Matlab programming. The wave function and particle probability visualization is obtained by plotting the wave function and probability using Matlab programming. Osilator harmonik menjadi salah satu bagian dari mekanika kuantum yang biasa digunakan sebagai model pendekatan untuk menyelesaikan kasus-kasus dalam fisika yang dianggap rumit. Osilator harmonik memiliki fungsi dalam sumber energi yaitu sebagai pendeskripsi partikel anatomik. Penelitian ini memfokuskan bahasan mengenai penyelesaian persamaan Schrödinger untuk partikel dibawah pengaruh potensial osilator harmonik. Penelitian ini bertujuan memvisualisasikan fungsi gelombang dan probabilitas partikel dalam pengaruh potensial osilator harmonik. Fungsi gelombang diperoleh dengan penyelesaian persamaan Schrödinger. Persamaan Schrödinger tersebut dapat diselesaikan menggunakan penyelesaian persamaan diferensial orde 2 yang memenuhi solusi polinomial hermitte. Sifat dari polinom hermitte yang pertama adalah hubungan antar polinom yang memiliki orde berdekatan, kedua adalah derivatif polinom hermitte dan ketiga adalah keortogonalan polinom hermitte. Penyelesaian persamaan Schrödinger tersebut berupa fungsi gelombang yang kemudian dikembangkan untuk mengetahui probabilitas pada partikel dalam osilator harmonik yang kemudian dilakukan visualisasi menggunakan pemrograman Matlab. Visualisasi fungsi gelombang dan probabilitas partikel diperoleh dengan melakukan ploting terhadap fungsi gelombang dan probabilitas menggunakan pemrograman Matlab.
ABSTRACT \nTheoretical analysis about LC circuit with very tiny capacitor and inductor, i.e very \nsmall value of capacitance and inductance (10-18 order), have been done. In \nnanotechnology period, Integrated Circuit (IC) must be undergo reduction in \ndimension significantly so that the transistor, capacitor, and inductor dimensions \nwill soon approach atomic scale. This theoretical analysis is based from a \nhypothesis that not only electromagnetic energy stored in LC circuit is quantized in \nphoton, but also the LC circuit with that capacitor and inductor have a set of \nprobabilistic phenomena which represent by quantum mechanics wavefunction. LC \ncircuit show oscillation of electric current as well as charge in capacitor, so that LC \ncircuit is consider as quantum harmonic oscillator. Central potentials in three \ndimensions as the realistic potential have been choosen so that the Schrȍdinger \nEquation with harmonic oscillator potential have been written in spherical \ncoordinate and solved by variable separation such that the second order differential \nequation for radial part and angular part are obtained with radial wavefunction and \nangular wavefunction as the solution, respectively. Harmonic oscillator energy \nequation has the same form as electromagnetic energy in LC circuit equation so that \nsome variable and observable operator in harmonic oscillator energy equation can \nbe analogous to electromagnetic energy in LC circuit. The analogy is used when \nthe variable in radial wavefunction is subtituted to get the LC circuit wavefunction. \nVisualization of LC circuit wavefunction for the six lowest energy level tell the \nprobability density distribution and maximum probability to get inductance for \ncertain charge in capacitor, varies with energy levels and orbital quantum number. \nKeywords: LC Circuit, harmonic oscillator, Schrödinger equation, probability \ndensity, probability density distribution, maximum probability, \ninductance, charge in capacitor \nINTISARI \nTelah dilakukan analisis teoritik pada rangkaian LC dengan kapasitor dan induktor \npenyusunnya memiliki ukuran (dimensi) yang sangat kecil, yaitu dengan \nkapasitansi dan induktansi rangkaian yang memiliki nilai yang sangat kecil (berorde \n10-18 satuan). Era nanoteknologi mengharuskan ukuran IC (Integrated Circuit) \nmengalami reduksi secara signifikan, sehingga meniscayakan ukuran komponen \npenyusunnya, seperti transistor, kapasitor dan induktor juga akan mengalami \nreduksi ukuran secara signifikan hingga menuju skala atomik. Analisis secara \nteoritik ini dilakukan atas dasar hipotesis bahwa tidak hanya energi elektromagnetik \nyang tersimpan dalam rangkaian LC terkuantisasi dalam bentuk foton, namun \nrangkaian LC yang disusun dari kapasitor dan induktor berukuran atomik juga akan \nmenampakkan sekumpulan fenomena probabilistik yang direpresentasi oleh fungsi \ngelombang dalam mekanika kuantum. Rangkaian LC memperlihatkan fenomena \nosilasi arus listrik rangkaian dan muatan kapasitor, sehingga rangkaian LC \ndianalogikan sebagai osilator harmonik kuantum. Pemilihan potensial sentral tiga \ndimensi sebagai potensial osilator harmonik yang realistik meniscayakan \npersamaan Schrȍdinger potensial osilator harmonik dinyatakan menggunakan \nsistem koordinat bola dan mengalami separasi variabel sedemikian rupa sehingga \ndiperoleh persamaan differensial orde dua bagian radial dan bagian angular dengan \nsolusi masing-masing adalah fungsi gelombang radial dan fungsi gelombang \nangular. Persamaan energi osilator harmonik memiliki bentuk serupa dengan \npersamaan energi elektromagnetik rangkaian LC, sehingga sejumlah variabel dan \nobservable operator dari persamaan energi osilator harmonik dapat dianalogikan \ndengan sejumlah variabel dan observable operator dari persamaan energi \nelektromagnetik rangkaian LC. Analogi tersebut digunakan ketika melakukan \nsubstitusi variabel pada fungsi gelombang radial persamaan Schrȍdinger potensial \nosilator harmonik menjadi fungsi gelombang rangkaian LC. Hasil visualisasi fungsi \ngelombang rangkaian LC untuk enam level energi terendahnya menggambarkan \nsebaran rapat probabilitas dan probabilitas terbesar terjadinya induktansi pada \nkondisi tertentu muatan kapasitor, yang bervariasi seiring dengan variasi level \nenergi dan bilangan kuantum orbital. \nKata kunci: Rangkaian LC, osilator harmonik, persamaan Schrödinger, rapat \npeluang, sebaran rapat peluang, peluang terbesar, induktansi, muatan \nkapasitor
The harmonic oscillator has been described numerically using Delphi 7.0
programming language. It’s wave function and probabilistic density expressedby
hermitte polynomial are visualized graphically for n = 0 until n = 10. The graph
can be used to describethe behaviorof particles that moves under the influence
of periodic force (oscillation). In addition tothesolution using polynomial
hermitte, the wave function also can be derived using operator method (algebraic)
which is expressed asfirst order differential expression and solved using Maple
9.5 programming.
Keywords: harmonic oscillator, operator method, hermitte polynomial
This research aims to develop computational visualization of the wave function and probability distribution of particles in a one dimensional infinite potential well. The wave function is obtained analytically from the time-independent Schrödinger equation and then normalized to give it probabilistic meaning. Numerical simulations are carried out using Python with the NumPy library for computation and Matplotlib for visualization, allowing manipulation of parameters such as box length and quantum number. The visualization results confirm the basic concepts of quantum mechanics, namely quantized energy levels, sinusoidal wave function forms with a specific number of nodes, and probability distributions that have several peaks and are always positive. The simulation also shows the correspondence between wave-function nodes and zero-probability points, as well as the increasing complexity of oscillations and variations in probability distributions as the quantum number increases. These findings are consistent with theoretical predictions and show that the computational approach is effective in visualizing abstract concepts in quantum mechanics, thereby clarifying the relationship between mathematical formulation and its physical interpretation.
Osilator harmonik terjadi jika suatu sistem jenis tertentu bergetar di sekitar konfigurasi kesetimbangannya. Secara kuantum, penyelesaian fungsi gelombang osilator harmonik dilakukan dengan mentransformasikan persamaan Schrodinger tak bergantung waktu dalam satu dimensi ke dalam bentuk persamaan diferensial Hermite untuk batas asimtotik dengan memperhatikan syarat ternormalisasinya fungsi gelombang. Dengan mengganti fungsi Hermite menjadi polinomial Hermite maka fungsi gelombang yang menggambarkan keadaan sistem tersebut dapat diketahui sehingga dapat ditentukan sifat statistik seperti nilai ekspektasi yang merupakan prinsip dari ketidakpastian Heisenberg. Jika biasanya dalam penentuan nilai ekspektasi setiap orde pada fungsi Hermite langsung dimasukkan nilainya, maka kali ini tetap dalam fungsi Hermite tanpa harus memasukkan ordenya sehingga penyelesaiannya dapat menggunakan relasi rekursi dan ortogonalitas polinom Hermite. Nilai ekspektasi dan prinsip ketidakpastian Heisenberg yang dihasilkan dari kedua metode akan memiliki hasil akhir yang sama
Telah dilakukan analisis teoritik pada rangkaian LC dengan kapasitor dan induktor penyusunnya memiliki dimensi yang sangat kecil serta nilai kapasitansi dan induktansi rangkaian dalam orde 10-18 satuan. Analisis secara teoritik ini dilakukan atas dasar hipotesis bahwa tidak hanya energi elektromagnetik yang tersimpan dalam rangkaian LC terkuantisasi dalam bentuk foton, namun rangkaian LC yang disusun dari kapasitor dan induktor berukuran atomik juga akan menampakkan sekumpulan fenomena probabilistik yang direpresentasi oleh fungsi gelombang dalam mekanika kuantum. Rangkaian LC memperlihatkan fenomena osilasi arus listrik rangkaian dan muatan kapasitor, sehingga rangkaian LC dianalogikan sebagai osilator harmonik kuantum. Pemilihan potensial sentral tiga dimensi sebagai potensial osilator harmonik yang realistik meniscayakan persamaan Schrȍdinger potensial osilator harmonik dinyatakan menggunakan sistem koordinat bola dan mengalami separasi variabel sedemikian rupa sehingga diperoleh persamaan differensial orde dua bagian radial dan bagian angular dengan solusi masing-masing adalah fungsi gelombang radial dan fungsi gelombang angular. Persamaan energi osilator harmonik memiliki bentuk serupa dengan persamaan energi elektromagnetik rangkaian LC, sehingga sejumlah variabel dan observable operator dari persamaan energi osilator harmonik dapat dianalogikan dengan sejumlah variabel dan observable operator dari persamaan energi elektromagnetik rangkaian LC. Analogi tersebut digunakan ketika melakukan substitusi variabel pada fungsi gelombang radial persamaan Schrȍdinger potensial osilator harmonik menjadi fungsi gelombang rangkaian LC. Hasil visualisasi fungsi gelombang rangkaian LC untuk enam level energi terendahnya menggambarkan sebaran rapat probabilitas dan probabilitas terbesar terjadinya induktansi pada kondisi tertentu muatan kapasitor, yang bervariasi seiring dengan variasi level energi dan bilangan kuantum orbital. Kata kunci: Rangkaian LC, Osilator Harmonik, Persamaan Schrödinger.