Este Trabalho de Conclusão de Curso disserta sobre as técnicas que englobam a Engenharia de Floquet, permitindo a resolução de problemas quânticos perturbados por potenciais periódicos. Tais potenciais alteram as características do sistema, modificando suas simetrias e introduzindo novos parâmetros, que impactam as energias e são, caracteristicamente, mais controláveis experimentalmente. A maioria dos problemas analisados envolve o acoplamento entre spin e um campo magnético externo. Diversas foram as técnicas de resolução empregadas: solução analítica exata, expansão para altas frequências e simulações numéricas, por exemplo. Nos regimes adequados, todos os resultados foram concordantes. Ademais, o trabalho adentrou o tópico da evolução temporal sobre a ótica de Floquet, que introduz o conceito de operadores estroboscópicos, HF [t0], que descrevem como o sistema sai do ponto t = t0 e como ele chega em t = t0 + T - um período T à frente. Sua obtenção continua relacionada à adoção de técnicas aproximativas, válidas sob determinados regimes. O tratamento numérico, com auxílio da decomposição de Trotter-Suzuki, permite descrever como o sistema evolui em todos os pontos temporais; em particular, os múltiplos do período. Os resultados mostram que, para frequências altas, qualquer método adotado concorda com os valores obtidos. Por fim, discutiu-se, sob a ótica dos métodos aplicados anteriormente, um modelo baseado na literatura científica [1]. O hamiltoniano em questão não descreve mais um acoplamento magnético, mas sim um supercondutor topológico de segunda ordem, que tem suas características alteradas a partir da introdução de um potencial periódico cossenoidal. Esta discussão particularmente interessa, pois, apesar do modelo ser naturalmente mais complexo que os outros analisados neste Trabalho, as mesmas técnicas de resolução são||aplicáveis, o que revela a força do formalismo introduzido.
Este Trabalho de Conclusão de Curso disserta sobre as técnicas que englobam a Engenharia de Floquet, permitindo a resolução de problemas quânticos perturbados por potenciais periódicos. Tais potenciais alteram as características do sistema, modificando suas simetrias e introduzindo novos parâmetros, que impactam as energias e são, caracteristicamente, mais controláveis experimentalmente. A maioria dos problemas analisados envolve o acoplamento entre spin e um campo magnético externo. Diversas foram as técnicas de resolução empregadas: solução analítica exata, expansão para altas frequências e simulações numéricas, por exemplo. Nos regimes adequados, todos os resultados foram concordantes. Ademais, o trabalho adentrou o tópico da evolução temporal sobre a ótica de Floquet, que introduz o conceito de operadores estroboscópicos, HF [t0], que descrevem como o sistema sai do ponto t = t0 e como ele chega em t = t0 + T - um período T à frente. Sua obtenção continua relacionada à adoção de técnicas aproximativas, válidas sob determinados regimes. O tratamento numérico, com auxílio da decomposição de Trotter-Suzuki, permite descrever como o sistema evolui em todos os pontos temporais; em particular, os múltiplos do período. Os resultados mostram que, para frequências altas, qualquer método adotado concorda com os valores obtidos. Por fim, discutiu-se, sob a ótica dos métodos aplicados anteriormente, um modelo baseado na literatura científica [1]. O hamiltoniano em questão não descreve mais um acoplamento magnético, mas sim um supercondutor topológico de segunda ordem, que tem suas características alteradas a partir da introdução de um potencial periódico cossenoidal. Esta discussão particularmente interessa, pois, apesar do modelo ser naturalmente mais complexo que os outros analisados neste Trabalho, as mesmas técnicas de resolução são||aplicáveis, o que revela a força do formalismo introduzido.
Realizamos nesse trabalho um tratamento abrangente da interação entre um sistema quântico e o meio ambiente modelado como um conjunto de osciladores harmônicos. Partimos para isso de um tratamento prévio de redes de osciladores harmônicos quânticos dissipativos. Utilizando a função característica, transformamos a equação de von Neumann em uma equação diferencial, e explorando a sua linearidade, essa é transformada em uma equação vetorial, cuja resolução é computacionalmente eficiente. Nosso formalismo, que parte de uma rede de osciladores harmônicos, não necessariamente dividida entre sistema e meio ambiente, permite que se contorne a necessidade da hipótese de acoplamento súbito sistema-reservatório para o tratamento exato da evolução do sistema. Em seguida, mostramos que essa evolução pode ser sempre descrita por uma equação mestra na forma usual de Lindblad, embora os coeficientes que a definem possam ser dependentes do tempo. Isso abre novas possibilidades para a dinâmica do sistema, e leva a efeitos que podem ser classificados de não-Markovianos, embora sejam descritos por uma equação mestra completamente local no tempo. Ressaltamos que, por ser baseado em uma solução exata, o método pode ser aplicado para qualquer intensidade de acoplamento, e é consideravelmente mais simples do que outros métodos disponíveis para esse fim, como os baseados em integrais de trajetória. Por fim, utilizamos simulações computacionais para explorar a validade das aproximações de ondas girantes e de Born-Markov, e os fenômenos que podem ser observados nos regimes em que elas deixam de ser válidas.
Neste trabalho, estudamos as propriedades críticas do XY definido em uma rede cúbica simples através da relaxação dinâmica em tempos curtos. O sistema consiste de rotores planares, localizados nos sítios da rede. Os rotores são dotados de momento magnético e inércia rotacional. Existe interação apenas entre os primeiros vizinhos. Uma vez que o modelo XY não possui uma dinâmica intrínseca, adicionamos ao hamiltoniano de interação do sistema um termo de energia cinética rotacional para permitir uma dinâmica hamiltoniana. Dessa forma, a evolução dinâmica do sistema foi obtida através da integração numérica das equações de movimento de Hamilton. Empregamos um algoritmo simplético, baseado na decomposição Trotter-Suzuki do operador exponencial, para na integração do sistema de equações acopladas. No instante inicial da simulação, t = 0, o sistema é preparado em um microestado completamente ordenado e sua energia total é fixada em um valor na região crítica. Em seguida ele é liberado para evoluir e as grandezas termodinâmicas são calculadas ao longo do tempo. Monitoramos a magnetização, seu segundo momento e a transformada de Fourier da função de correlação de dois pontos. Esse cálculo foi repetido para vários valores da densidade de energia no regime crítico. Nesta abordagem determinística, a energia é conservada e as configurações do sistema estão distribuídas de acordo com um ensenble microcanônico. Por outro lado, tradicionalmente as simulações computacionais de sistemas modelos são realizadas no ensemble canônico, pelo método Monte Carlo. Aqui, compararamos nosso resultados obtidos pela relaxação determinística com aqueles obtidos de simulações estocásticas. Comprovamos que a relaxação crítica do parâmetro de ordem do sistema satisfaz a mesma lei de escala observada pelos métodos estocásticos. O cálculo dos expoentes críticos estáticos e dinâmicos, mostram que a dinâmica determinística e a dinâmica estocástica pertencem a uma mesma classe de universalidade.
Realizamos nesse trabalho um tratamento abrangente da interação entre um sistema quântico e o meio ambiente modelado como um conjunto de osciladores harmônicos. Partimos para isso de um tratamento prévio de redes de osciladores harmônicos quânticos dissipativos. Utilizando a função característica, transformamos a equação de von Neumann em uma equação diferencial, e explorando a sua linearidade, essa é transformada em uma equação vetorial, cuja resolução é computacionalmente eficiente. Nosso formalismo, que parte de uma rede de osciladores harmônicos, não necessariamente dividida entre sistema e meio ambiente, permite que se contorne a necessidade da hipótese de acoplamento súbito sistema-reservatório para o tratamento exato da evolução do sistema. Em seguida, mostramos que essa evolução pode ser sempre descrita por uma equação mestra na forma usual de Lindblad, embora os coeficientes que a definem possam ser dependentes do tempo. Isso abre novas possibilidades para a dinâmica do sistema, e leva a efeitos que podem ser classificados de não-Markovianos, embora sejam descritos por uma equação mestra completamente local no tempo. Ressaltamos que, por ser baseado em uma solução exata, o método pode ser aplicado para qualquer intensidade de acoplamento, e é consideravelmente mais simples do que outros métodos disponíveis para esse fim, como os baseados em integrais de trajetória. Por fim, utilizamos simulações computacionais para explorar a validade das aproximações de ondas girantes e de Born-Markov, e os fenômenos que podem ser observados nos regimes em que elas deixam de ser válidas.
A Termodinâmica foi concebida através da observação da eficiência no funcionamento mecânico de máquinas que dependiam da troca de temperatura e calor com meio. O paradigma de modelo nesses estudos foram máquinas idealizadas que operavam em ciclos tais como o ciclo de Carnot (o mais eficiente possível) e o ciclo de Otto. Esses ciclos de operação das máquinas ditas térmicas podem ser decompostos em trechos em que processos termodinâmicos, tais como adiabático e isotérmico, atuam. Contudo, embora a compreensão da eficiência no funcionamento dessas máquinas tenha sido o primeiro passo, esta teoria não ficou limitada a tal, se desenvolvendo ao ponto de ser considerada um dos pilares da Física moderna. Atualmente tem-se visto um crescimento substancial dos estudos da Termodinâmica considerando sistemas pequenos e/ou fora do equilíbrio termodinâmico. Resultados curiosos têm sido obtidos quando considerados sistemas pequenos tais que efeitos quânticos têm grande relevância. Nesta situação surge o que tem sido chamado de Termodinâmica quântica: as leis da Termodinâmica sendo obtidas a partir de flutuações descritas pela Mecânica Quântica. Naturalmente, um dos primeiros problemas a ser tratado nesta nova circunstância foi a eficiência de máquinas térmicas. Para a descrição dessas máquinas quânticas foi-se primeiro construído o que seriam os diferentes processos termodinâmicos que guiam o funcionamento da mesma. Baseado nesses resultados, as versões quânticas dos ciclos de Carnot e Otto, através dos quais essas máquinas operavam, foram também determinados e as propriedades das máquinas térmicas puderam ser exploradas e comparadas com seu análogo clássico. Nesta dissertação estudaremos diferentes tipos de máquinas térmicas operando no ciclo de Otto. Essas máquinas são descritas por Hamiltonianos de dois spins 1/2 que apresentam interação. Algumas características desses Hamiltonianos são exploradas e o papel das mesmas sobre a eficiência da máquina foram determinado. Comparamos também esta eficiência com os limites dados pelo ciclo de Carnot e o limite dado pela situação em que o acoplamento entre os spins é nulo. Diferentes situações físicas são exploradas e suas consequências determinadas. Por fim, proporemos algumas discussões sobre o papel da Mecânica Quântica no funcionamento destas máquinas.
O formalismo de sistemas quânticos abertos tem se tornado cada vez mais popular para a análise de problemas físicos, uma vez que nos permite construir modelos mais realistas via inclusão de um ambiente externo que influencie na dinâmica de um sistema de interesse.Dentre as infinitas possibilidades, dois modelos que vêm sendo efervescentes nos últimos anos são o ponto quântico duplo e a cavidade óptica.O primeiro é visto como um sistema fermiônico, por permitir a entrada e saída de elétrons, enquanto o segundo tem natureza bosônica, por permitir a injeção e a ejeção de fótons.O acoplamento dessas duas entidades dá origem a um sistema composto rico em aplicações empíricas, muito no que diz respeito à detecção de fótons isolados.Tendo isso em vista, esse trabalho buscou introduzir a abordagem da estatística de tempo de espera para esse tipo de acoplamento, uma vez que esse tipo de formalismo nos permite extrair explicitamente (e analiticamente) probabilidades de ocorrência de certos fenômenos dissipativos em sistemas quânticos.Assim, quantidades como a probabilidade de um fóton contido em uma cavidade óptica vazar ou interagir com o ponto quântico duplo foram calculadas para diferentes cenários, o que nos permitiu analisar sob quais condições podemos esperar certa predominância de interação no modelo.Além disso, a comparação entre os diferentes cenários nos permitiu inferir uma hierarquia entre as probabilidades de ocorrência dos possíveis eventos, o que caracteriza por completo o cenário em questão.Tais resultados podem ser vistos como um próximo passo natural daqueles obtidos anteriormente na literatura, via estatística de contagem total.
Sistemas unidimensionais desordenados destacam-se por apresentar fenomenos sem analogos nos casos sem desordem ou em dimensoes maiores. Fenomenos inerentes a sistemas com desordem incluem antiferromagneticas de sistemas de spins, onde o estado fundamental e formado por colecoes de singletos de pares de spins, e localizacao de Anderson, onde a funcao de onda apresenta decaimento exponencial. Nesta Tese, estudamos alguns casos onde a fisica de baixas energias e dramaticamente alterada quando o sistema e desordenado, incluindo os exemplos citados anteriormente. Alem de sistemas que apresentam as propriedades fisicas anteriores, elucidamos ainda um mecanismo generico que leva ao aumento de simetria de baixas energias em sistemas de spins desordenados, um tema nao explorado previamente. Investigamos os efeitos de desordem em cadeias de spin genericos em uma dimensao, sendo as interacoes invariantes por rotacao do sistema de coordenadas e por reversao temporal. Para tanto, consideramos todos os termos possiveis que preservam estas simetrias. Tais termos vao alem do habitual termo de Heisenberg, em cadeias de spin S>1/2. Em cadeias de spin 1, encontramos distintas antiferromagneticas onde o estado fundamental e composto de uma colecao de singletos de spins cujas posicoes sao aleatorias. Em baixas energias, a desordem efetiva nestas cresce sem limites; tais sao chamadas, portanto, de fases de desordem infinita. Mais surpreendentemente, verificamos que nas antiferromagneticas a simetria de baixas energias e aumentada, de SU(2) para SU(3). Tal verificacao e feita a partir do mapeamento de operadores de spin monopolares, dipolares e quadrupolares para geradores de representacoes de SU(3), e a posterior constatacao de que a fisica de baixas energias e invariante por rotacoes com tal grupo de geradores. Em analogia com a fisica de particulas, uma das e do tipo barionica, onde o estado fundamental e composto de singletos de colecoes de tres spins (ou quarks formando um singleto de cor, pela analogia com altas energias), enquanto outra fase e do tipo mesonica, sendo o estado fundamental uma sopa de pares de spins (ou pares quark-antiquark, pela analogia). Alem das antiferromagneticas, mapeamos o diagrama de completo da cadeia de spin 1 bilinear e biquadratica (nos operadores de spin) no regime de desordem finita, incluindo ferromagneticas e de spin alto. Nestas, o ferromagnetismo e o antiferomagnetismo competem, o que se reflete no crescimento de spin efetivos, que sao os graus de liberdade efetivos em baixas energias, ser mais lento que no caso ferromagnetico. Ao contrario das antiferromagneticas, nestas de spin alto, a desordem efetiva satura em um valor finito. Estendemos o estudo para spins S>1 atraves do uso de tensores esfericos irredutiveis, que se mostram a linguagem natural para construcao das regras de dizimacao e analise do fluxo do grupo de renormalizacao para desordem forte. Novamente, incluimos todos os termos possiveis que respeitam invariância por rotacao SU(2) e reversao temporal. Descobrimos que ha tambem simetria aumentada nas antiferromagneticas em baixas energias, agora para o grupo SU(2S+1), simetria esta herdada de um ponto no espaco de parâmetros onde o mapeamento para SU(2S+1) e exato em todas as escalas de energia. Esta e uma generalizacao da fase mesonica SU(3) de cadeias de spin 1. Nos tambem discutimos o porque da fase barionica ser muito mais restritiva e, portanto, especial da cadeia de spins 1. Outro objeto de nosso estudo foram sistemas de fermions nao-interagentes em uma dimensao. Os hoppings de longo alcance sao escolhidos tendo um desvio padrao com decaimento em funcao da distância entre sitios, em forma de lei de potencia. Para tal estudo, estendemos o metodo de Equacoes de Fluxo, pioneiramente proposto por Wegner, para sistemas desordenados. Acoplado a esta extensao do metodo, propusemos uma tecnica de grupo de renormalizacao. A combinacao do uso direto das Equacoes de Fluxo, mais o metodo de grupo de renormalizacao, permitiu o mapeamento completo do diagrama de fases, com uma fase estendida (nao-localizada) para expoentes de decaimento menores que um, e uma fase localizada para expoentes maiores que um. O carater localizado ou delocalizado de determinada fase e determinado tanto pela evolucao da distribuicao de acoplamentos, quanto pelos autovalores do Hamiltoniano, atraves da medida de sua repulsao mutua entre niveis
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